Projeção 3D

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Classificação de algumas projeções 3D

Uma projeção 3D (ou projeção gráfica ) é uma técnica de design usada para exibir um objeto tridimensional (3D) em uma superfície bidimensional (2D). Essas projeções contam com perspectiva visual e análise de aspecto para projetar um objeto complexo para capacidade de visualização em um plano mais simples.

As projeções 3D usam as qualidades primárias da forma básica de um objeto para criar um mapa de pontos, que são então conectados uns aos outros para criar um elemento visual. O resultado é um gráfico que contém propriedades conceituais para interpretar que a figura ou imagem não é realmente plana (2D), mas sim um objeto sólido (3D) sendo visualizado em uma tela 2D.

Os objetos 3D são amplamente exibidos em mídias bidimensionais (ou seja, papel e monitores de computador). Como tal, as projeções gráficas são um elemento de design comumente usado; notavelmente, em desenho de engenharia , rascunho e computação gráfica . As projeções podem ser calculadas através do emprego de análises e fórmulas matemáticas, ou usando várias técnicas geométricas e ópticas.

Visão geral

Vários tipos de projeção gráfica comparados
Várias projeções e como são produzidas

A projeção é alcançada pelo uso de "projetores" imaginários; a imagem mental projetada torna-se a visão do técnico da imagem finalizada e desejada. [ mais explicações necessárias ] Os métodos fornecem um procedimento de imagem uniforme entre pessoas treinadas em gráficos técnicos (desenho mecânico, desenho assistido por computador, etc.). Seguindo um método, o técnico pode produzir a imagem prevista em uma superfície plana, como papel de desenho.

Existem duas categorias de projeção gráfica, cada uma com seu próprio método:

Projeção paralela

A projeção paralela corresponde a uma projeção em perspectiva com um ponto de vista hipotético; ou seja, aquele em que a câmera fica a uma distância infinita do objeto e tem uma distância focal infinita, ou "zoom".

Na projeção paralela, as linhas de visão do objeto ao plano de projeção são paralelas entre si. Assim, as linhas que são paralelas no espaço tridimensional permanecem paralelas na imagem projetada bidimensional. A projeção paralela também corresponde a uma projeção em perspectiva com distância focal infinita (a distância da lente de uma câmera e do ponto focal ), ou " zoom ".

Imagens desenhadas em projeção paralela contam com a técnica de axonometria ("medir ao longo dos eixos"), conforme descrito no teorema de Pohlke . Em geral, a imagem resultante é oblíqua (os raios não são perpendiculares ao plano da imagem); mas em casos especiais o resultado é ortográfico (os raios são perpendiculares ao plano da imagem). A axonometria não deve ser confundida com a projeção axonométrica , pois na literatura inglesa esta última geralmente se refere apenas a uma classe específica de pictóricos (veja abaixo).

Projeção ortográfica

A projeção ortográfica é derivada dos princípios da geometria descritiva e é uma representação bidimensional de um objeto tridimensional. É uma projeção paralela (as linhas de projeção são paralelas tanto na realidade quanto no plano de projeção). É o tipo de projeção de escolha para desenhos de trabalho .

Se a normal do plano de visão (a direção da câmera) for paralela a um dos eixos primários (que é o eixo x , y ou z ), a transformação matemática é a seguinte; Para projetar o ponto 3D,,no ponto 2D,usando uma projeção ortográfica paralela ao eixo y (onde y positivo representa a direção para frente - vista de perfil), as seguintes equações podem ser usadas:

onde o vetor s é um fator de escala arbitrário e c é um deslocamento arbitrário. Essas constantes são opcionais e podem ser usadas para alinhar adequadamente a viewport. Usando a multiplicação de matrizes , as equações se tornam:

Embora as imagens projetadas ortograficamente representem a natureza tridimensional do objeto projetado, elas não representam o objeto como seria registrado fotograficamente ou percebido por um espectador que o observasse diretamente. Em particular, comprimentos paralelos em todos os pontos em uma imagem projetada ortograficamente são da mesma escala, independentemente de estarem distantes ou próximos do visualizador virtual. Como resultado, os comprimentos não são encurtados como seriam em uma projeção em perspectiva.

Projeção multivista

Símbolos usados ​​para definir se uma projeção multivista é Terceiro Ângulo (direita) ou Primeiro Ângulo (esquerda).

Com projeções multivista , são produzidas até seis imagens (chamadas vistas primárias ) de um objeto, com cada plano de projeção paralelo a um dos eixos coordenados do objeto. As vistas são posicionadas uma em relação à outra de acordo com um dos dois esquemas: projeção de primeiro ângulo ou de terceiro ângulo . Em cada uma, as aparências das vistas podem ser pensadas como sendo projetadas em planos que formam uma caixa de 6 lados ao redor do objeto. Embora seis lados diferentes possam ser desenhados, geralmente três vistas de um desenho fornecem informações suficientes para criar um objeto 3D. Essas vistas são conhecidas como vista frontal , vista superior e vista final. Os termos elevação , planta e seção também são usados.

Projeção oblíqua

Bancada de envasamento desenhada em projeção de gabinete com ângulo de 45° e proporção de 2/3
Arco de pedra desenhado em perspectiva militar

Nas projeções oblíquas, os raios de projeção paralelos não são perpendiculares ao plano de visão como na projeção ortográfica, mas atingem o plano de projeção em um ângulo diferente de noventa graus. Tanto na projeção ortográfica quanto na oblíqua, as linhas paralelas no espaço aparecem paralelas na imagem projetada. Devido à sua simplicidade, a projeção oblíqua é usada exclusivamente para fins pictóricos e não para desenhos formais de trabalho. Em um desenho pictórico oblíquo, os ângulos exibidos entre os eixos, bem como os fatores de escorço (escala) são arbitrários. A distorção criada desse modo é geralmente atenuada pelo alinhamento de um plano do objeto da imagem para ser paralelo ao plano de projeção, criando assim uma imagem em tamanho real do plano escolhido. Tipos especiais de projeções oblíquas são:

Projeção Cavalier (45°)

Na projeção cavalheiresca (às vezes perspectiva cavalheiresca ou ponto de vista alto ) um ponto do objeto é representado por três coordenadas, x , y e z . No desenho, ele é representado por apenas duas coordenadas, x″ e y″ . No desenho plano, dois eixos, xez na figura , são perpendiculares e o comprimento desses eixos é desenhado em escala 1:1; é assim semelhante às projeções dimétricas , embora não seja uma projeção axonométrica , como o terceiro eixo, aqui y, é desenhado em diagonal, fazendo um ângulo arbitrário com o eixo x″ , geralmente 30 ou 45°. O comprimento do terceiro eixo não é dimensionado.

Projeção de gabinete

O termo projeção de gabinete (às vezes perspectiva de gabinete ) deriva de seu uso em ilustrações pela indústria moveleira. [ citação necessária ] Como a perspectiva cavalheiresca, uma face do objeto projetado é paralela ao plano de visão, e o terceiro eixo é projetado saindo em um ângulo (tipicamente 30° ou 45° ou arctan(2) = 63,4°). Ao contrário da projeção cavalier, onde o terceiro eixo mantém seu comprimento, com a projeção do gabinete o comprimento das linhas de recuo é cortado pela metade.

Projeção militar

Uma variante da projeção oblíqua é chamada de projeção militar . Neste caso, as seções horizontais são desenhadas isometricamente para que as plantas baixas não sejam distorcidas e as verticais sejam desenhadas em ângulo. A projeção militar é dada pela rotação no plano xy e uma translação vertical de valor z . [1]

Projeção axonométrica

As projeções axonométricas mostram uma imagem de um objeto visto de uma direção inclinada para revelar todas as três direções (eixos) do espaço em uma imagem. [2] As projeções axonométricas podem ser ortográficas ou oblíquas . Desenhos de instrumentos axonométricos são frequentemente usados ​​para aproximar projeções de perspectiva gráfica, mas há uma distorção na aproximação. Como as projeções pictóricas contêm inatamente essa distorção, nos desenhos de instrumentos pictóricos, grandes liberdades podem ser tomadas para economia de esforço e melhor efeito. [ esclarecimentos necessários ]

A projeção axonométrica é subdividida em três categorias: projeção isométrica , projeção dimétrica e projeção trimétrica , dependendo do ângulo exato em que a visão se desvia da ortogonal. [3] [4] Uma característica típica dos pictóricos ortográficos é que um eixo do espaço geralmente é exibido como vertical.

As projeções axonométricas também são conhecidas como visualizações auxiliares , em oposição às visualizações primárias das projeções multivistas .

Projeção isométrica

Em ilustrações isométricas (para métodos, veja Projeção isométrica ), a direção de visão é tal que os três eixos do espaço aparecem igualmente encurtados, e há um ângulo comum de 120° entre eles. A distorção causada pelo escorço é uniforme, portanto, a proporcionalidade de todos os lados e comprimentos é preservada, e os eixos compartilham uma escala comum. Isso permite que as medições sejam lidas ou tiradas diretamente do desenho.

Projeção dimétrica

Nos pictóricos dimétricos (para métodos, veja Projeção dimétrica ), a direção de visão é tal que dois dos três eixos do espaço aparecem igualmente encurtados, dos quais a escala e os ângulos de apresentação correspondentes são determinados de acordo com o ângulo de visão; a escala da terceira direção (vertical) é determinada separadamente. Aproximações são comuns em desenhos dimétricos.

Projeção trimétrica

Em pictóricas trimétricas (para métodos, veja Projeção trimétrica ), a direção de visualização é tal que todos os três eixos do espaço aparecem desigualmente encurtados. A escala ao longo de cada um dos três eixos e os ângulos entre eles são determinados separadamente conforme ditado pelo ângulo de visão. Aproximações em desenhos Trimétricos são comuns.

Limitações da projeção paralela

Um exemplo das limitações da projeção isométrica. A diferença de altura entre as bolas vermelhas e azuis não pode ser determinada localmente.
As escadas de Penrose retratam uma escada que parece subir (no sentido anti-horário) ou descer (no sentido horário), mas forma um loop contínuo.

Objetos desenhados com projeção paralela não parecem maiores ou menores à medida que se aproximam ou se afastam do observador. Embora vantajoso para desenhos arquitetônicos , onde as medidas devem ser tiradas diretamente da imagem, o resultado é uma distorção percebida, pois, diferentemente da projeção em perspectiva , não é assim que nossos olhos ou fotografia normalmente funcionam. Também pode resultar facilmente em situações em que a profundidade e a altitude são difíceis de medir, como mostrado na ilustração à direita.

Neste desenho isométrico, a esfera azul é duas unidades mais alta que a vermelha. No entanto, essa diferença de elevação não é aparente se cobrirmos a metade direita da imagem, pois as caixas (que servem como pistas sugerindo a altura) ficam obscurecidas.

Essa ambiguidade visual tem sido explorada na op art , assim como nos desenhos de "objetos impossíveis". Waterfall (1961), de MC Escher , embora não utilize estritamente a projeção paralela, é um exemplo bem conhecido, no qual um canal de água parece viajar sem ajuda ao longo de um caminho descendente, apenas para então, paradoxalmente, cair novamente ao retornar ao seu fonte. A água parece assim desobedecer à lei da conservação da energia . Um exemplo extremo é retratado no filme A Origem , onde por um truque de perspectiva forçada uma escada imóvel muda sua conectividade. O videogame Fezusa truques de perspectiva para determinar onde um jogador pode e não pode se mover de maneira semelhante a um quebra-cabeça.

Projeção em perspectiva

Perspectiva de um sólido geométrico usando dois pontos de fuga. Neste caso, o mapa do sólido (projeção ortogonal) é desenhado abaixo da perspectiva, como se estivesse dobrando o plano do solo.
Projeção axonométrica de um esquema exibindo os elementos relevantes de uma perspectiva de plano de imagem vertical. O ponto de parada (PS) está localizado no plano do solo π e o ponto de vista (PV) está logo acima dele. PP é sua projeção no plano de imagem α . LO e LT são as linhas do horizonte e do solo ( linea d'orizzonte e linea di terra ). As linhas em negrito s e q estão em π e interceptam α em Ts e Tq, respectivamente. As linhas paralelas por PV (em vermelho) interceptam LO nos pontos de fuga Fs e Fq: assim pode-se desenhar as projeções s′ e q′ e, portanto, também sua interseção R′ em R .

Projeção de perspectiva ou transformação de perspectiva é uma projeção linear onde objetos tridimensionais são projetados em um plano de imagem . Isso faz com que objetos distantes pareçam menores do que objetos mais próximos.

Isso também significa que as linhas que são paralelas por natureza (isto é, se encontram no ponto no infinito ) parecem se cruzar na imagem projetada, por exemplo, se as ferrovias são retratadas com projeção em perspectiva, elas parecem convergir para um único ponto, chamado de ponto de fuga . As lentes fotográficas e o olho humano funcionam da mesma maneira, portanto, a projeção em perspectiva parece mais realista. [5] A projeção em perspectiva é geralmente categorizada em perspectiva de um ponto , dois pontos e três pontos , dependendo da orientação do plano de projeção em direção aos eixos do objeto representado. [6]

Os métodos de projeção gráfica baseiam-se na dualidade entre linhas e pontos, em que duas linhas retas determinam um ponto enquanto dois pontos determinam uma linha reta. A projeção ortogonal do ponto do olho no plano da imagem é chamada de ponto de fuga principal (PP no esquema da esquerda, do termo italiano punto principale , cunhado durante o renascimento). [7]

Dois pontos relevantes de uma linha são:

  • sua interseção com o plano da imagem, e
  • seu ponto de fuga, encontrado na interseção entre a linha paralela do ponto do olho e o plano da imagem.

O ponto de fuga principal é o ponto de fuga de todas as linhas horizontais perpendiculares ao plano da imagem. Os pontos de fuga de todas as linhas horizontais estão na linha do horizonte . Se, como é frequentemente o caso, o plano da imagem é vertical, todas as linhas verticais são desenhadas verticalmente e não têm ponto de fuga finito no plano da imagem. Vários métodos gráficos podem ser facilmente considerados para projetar cenas geométricas. Por exemplo, as linhas traçadas do ponto do olho a 45° até o plano da imagem cruzam este último ao longo de um círculo cujo raio é a distância do ponto do olho ao plano, traçando assim esse círculo ajuda a construção de todos os pontos de fuga de 45° linhas; em particular, a interseção desse círculo com a linha do horizonte consiste em dois pontos de distância. São úteis para desenhar pisos de xadrez que, por sua vez, servem para localizar a base dos objetos na cena. Na perspectiva de um sólido geométrico à direita, após a escolha do ponto de fuga principal —que determina a linha do horizonte— o ponto de fuga de 45° do lado esquerdo do desenho completa a caracterização do ponto de vista (igualmente distante). Duas linhas são desenhadas a partir da projeção ortogonal de cada vértice, uma a 45° e outra a 90° em relação ao plano da imagem. Depois de cruzar a linha de terra, essas linhas vão em direção ao ponto de distância (para 45°) ou ao ponto principal (para 90°). Sua nova interseção localiza a projeção do mapa. As alturas naturais são medidas acima da linha do solo e depois projetadas da mesma maneira até encontrarem a vertical do mapa.

Enquanto a projeção ortográfica ignora a perspectiva para permitir medições precisas, a projeção em perspectiva mostra objetos distantes como menores para fornecer realismo adicional.

Fórmula matemática

A projeção em perspectiva requer uma definição mais envolvente em comparação com as projeções ortográficas. Uma ajuda conceitual para entender a mecânica dessa projeção é imaginar a projeção 2D como se o(s) objeto(s) estivesse(m) sendo visualizado(s) através de um visor de câmera. A posição, orientação e campo de visão da câmera controlam o comportamento da transformação da projeção. As seguintes variáveis ​​são definidas para descrever essa transformação:

  • – a posição 3D de um ponto A que deve ser projetado.
  • – a posição 3D de um ponto C representando a câmera.
  • – A orientação da câmera (representada pelos ângulos Tait–Bryan ).
  • – a posição da superfície de exibição em relação ao orifício C da câmera. [8]

A maioria das convenções usa valores de z positivos (o plano está na frente do pinhole), no entanto, os valores de z negativos são fisicamente mais corretos, mas a imagem será invertida tanto na horizontal quanto na vertical. O que resulta em:

  • – a projeção 2D de

Quandoeo vetor 3Dé projetado para o vetor 2D.

Caso contrário, para calcularprimeiro definimos um vetorcomo a posição do ponto A em relação a um sistema de coordenadas definido pela câmera, com origem em C e girado porem relação ao sistema de coordenadas inicial. Isso é obtido subtraindo -se a partir dee, em seguida, aplicando uma rotação porao resultado. Essa transformação é muitas vezes chamada decamera transform , e pode ser expresso da seguinte forma, expressando a rotação em termos de rotações em torno dosx, yez(esses cálculos assumem que os eixos são ordenados como umsistema de eixos à esquerda ): [9] [10 ]

Essa representação corresponde a girar por três ângulos de Euler (mais propriamente, ângulos de Tait–Bryan ), usando a convenção xyz , que pode ser interpretada tanto como "girar em torno dos eixos extrínsecos (eixos da cena ) na ordem z , y , x (leitura da direita para a esquerda)" ou "gire em torno dos eixos intrínsecos (eixos da câmera ) na ordem x, y, z (leitura da esquerda para a direita)". Observe que se a câmera não for girada (), então as matrizes desaparecem (como identidades), e isso se reduz a simplesmente um deslocamento:

Alternativamente, sem usar matrizes (vamos substituircome assim por diante, e abreviarparaepara):

Este ponto transformado pode então ser projetado no plano 2D usando a fórmula (aqui, x / y é usado como plano de projeção; a literatura também pode usar x / z ): [11]

Ou, em forma de matriz usando coordenadas homogêneas , o sistema

em conjunto com um argumento usando triângulos semelhantes, leva à divisão pela coordenada homogênea, dando

A distância do visualizador da superfície da tela,, relaciona-se diretamente com o campo de visão, ondeé o ângulo visto. (Nota: Isso pressupõe que você mapeie os pontos (-1,-1) e (1,1) para os cantos da sua superfície de visualização)

As equações acima também podem ser reescritas como:

No qualé o tamanho da tela,é o tamanho da superfície de gravação ( CCD ou filme ),é a distância da superfície de gravação até a pupila de entrada ( centro da câmera ), eé a distância, do ponto 3D que está sendo projetado, até a pupila de entrada.

Operações subsequentes de recorte e dimensionamento podem ser necessárias para mapear o plano 2D em qualquer mídia de exibição específica.

Projeção em perspectiva fraca

Uma projeção em perspectiva "fraca" usa os mesmos princípios de uma projeção ortográfica, mas requer que o fator de escala seja especificado, garantindo assim que objetos mais próximos apareçam maiores na projeção e vice-versa. Pode ser visto como um híbrido entre uma projeção ortográfica e uma projeção em perspectiva, e descrito como uma projeção em perspectiva com profundidades de pontos individuaissubstituído por uma profundidade média constante, [12] ou simplesmente como uma projeção ortográfica mais uma escala. [13]

O modelo de perspectiva fraca, portanto, aproxima a projeção em perspectiva enquanto usa um modelo mais simples, semelhante à perspectiva ortográfica pura (sem escala). É uma aproximação razoável quando a profundidade do objeto ao longo da linha de visão é pequena em comparação com a distância da câmera e o campo de visão é pequeno. Com essas condições, pode-se supor que todos os pontos em um objeto 3D estão à mesma distânciada câmera sem erros significativos na projeção (em comparação com o modelo de perspectiva completa).

Equação

assumindo distância focal.

Diagrama

Diagrama de transformação de perspectiva.svg

Para determinar qual coordenada x da tela corresponde a um ponto emmultiplique as coordenadas do ponto por:

Onde

é a coordenada x tela
é a coordenada x modelo
é a distância focal — a distância axial do centro da câmera ao plano da imagem
é a distância do assunto.

Como a câmera está em 3D, o mesmo funciona para a coordenada y da tela , substituindo y por x no diagrama e equação acima.

Você pode usar isso para fazer técnicas de recorte, substituindo as variáveis ​​por valores do ponto que está fora do ângulo FOV e o ponto dentro da Camera Matrix.

Esta técnica, também conhecida como "Câmera Inversa", é um Cálculo de Projeção Perspectiva com valores conhecidos para calcular o último ponto do ângulo visível, projetando a partir do ponto invisível, após todas as transformações necessárias finalizadas.

Veja também

Referências

  1. ^ "Projeções axonométricas - uma visão geral técnica" . Recuperado em 24 de abril de 2015 .
  2. ^ Mitchell, William; Malcolm McCullough (1994). Mídia de design digital . John Wiley e Filhos. pág. 169. ISBN 978-0-471-28666-0.
  3. ^ Maynard, Patric (2005). Desenho de distinções: as variedades de expressão gráfica . Imprensa da Universidade de Cornell. pág. 22. ISBN 978-0-8014-7280-0.
  4. ^ McReynolds, Tom; David Blythe (2005). Programação gráfica avançada usando openGL . Elsevier. pág. 502. ISBN 978-1-55860-659-3.
  5. ^ D. Hearn, & M. Baker (1997). Computação Gráfica, Versão C . Penhascos de Englewood: Prentice Hall], capítulo 9
  6. ^ James Foley (1997). Computação Gráfica . Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-84840-6 ], capítulo 6 
  7. ^ Kirsti Andersen (2007), A geometria de uma arte , Springer, p. xxix, ISBN 9780387259611
  8. ^ Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek (1978). "Projeções Geométricas Planares e Transformações de Visualização" (PDF) . Pesquisas de Computação ACM . 10 (4): 465–502. CiteSeerX 10.1.1.532.4774 . doi : 10.1145/356744.356750 . S2CID 708008 .   
  9. ^ Riley, KF (2006). Métodos Matemáticos para Física e Engenharia . Imprensa da Universidade de Cambridge . págs.  931 , 942. ISBN 978-0-521-67971-8.
  10. ^ Goldstein, Herbert (1980). Mecânica Clássica (2ª ed.). Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. pp. 146-148. ISBN 978-0-201-02918-5.
  11. ^ Sonka, M; Hlavac, V; Boyle, R (1995). Processamento de imagem, análise e visão de máquina (2ª ed.). Chapman e Hall. pág. 14. ISBN  978-0-412-45570-4.
  12. ^ Subhashis Banerjee (2002-02-18). "A câmera de perspectiva fraca" .
  13. ^ Alter, TD (julho de 1992). Pose 3D de 3 Pontos Correspondentes sob Projeção de Perspectiva Fraca (PDF) (Relatório Técnico). Laboratório de IA do MIT .

Leitura adicional

Links externos