3-manifold

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Uma imagem de dentro de um toro 3 . Todos os cubos na imagem são o mesmo cubo, já que a luz no coletor se envolve em círculos fechados, o efeito é que o cubo está ladrilhando todo o espaço. Este espaço tem volume finito e sem limite.

Em matemática , uma variedade 3 é um espaço que localmente se parece com o espaço tridimensional euclidiano. Uma variedade de 3 pode ser considerada como uma forma possível do universo . Assim como uma esfera parece um plano para um observador pequeno o suficiente, todas as três variedades se parecem com o nosso universo para um observador pequeno o suficiente. Isso é tornado mais preciso na definição abaixo.

Introdução

Definição

Um espaço topológico X é uma variedade de 3 se for um espaço de Hausdorff de segunda contagem e se cada ponto em X tiver uma vizinhança que seja homeomórfica ao espaço 3 euclidiano .

Teoria matemática de 3-variedades

As categorias topológicas, lineares por partes e suaves são todas equivalentes em três dimensões, portanto, pouca distinção é feita se estamos lidando, digamos, com três variedades topológicas ou três variedades suaves.

Fenômenos em três dimensões podem ser notavelmente diferentes de fenômenos em outras dimensões e, portanto, há uma prevalência de técnicas muito especializadas que não generalizam para dimensões maiores que três. Este papel especial levou à descoberta de conexões estreitas com uma diversidade de outros campos, como teoria do nó , teoria do grupo geométrico , geometria hiperbólica , teoria dos números , teoria de Teichmüller , teoria de campo quântico topológico , teoria de calibre , homologia de Floer e diferencial parcial equações . A teoria de 3 variedades é considerada uma parte da topologia de baixa dimensão outopologia geométrica .

Uma ideia chave na teoria é estudar uma variedade de 3, considerando as superfícies especiais embutidas nela. Pode-se escolher a superfície a ser bem posicionada na variedade de 3, o que leva à ideia de uma superfície incompressível e à teoria das variedades de Haken , ou pode-se escolher as peças complementares para serem as mais bonitas possíveis, levando a estruturas como Divisões de Heegaard , que são úteis mesmo no caso não Haken.

As contribuições de Thurston para a teoria permitem que se considere também, em muitos casos, a estrutura adicional dada por uma geometria de modelo de Thurston particular (da qual existem oito). A geometria mais prevalente é a geometria hiperbólica. Usar uma geometria além de superfícies especiais costuma ser proveitoso.

Os grupos fundamentais de variedades 3 refletem fortemente as informações geométricas e topológicas pertencentes a uma variedade 3. Portanto, existe uma interação entre a teoria dos grupos e os métodos topológicos.

Invariantes descrevem 3-p

3-variedades são um caso especial interessante de topologia de baixa dimensão porque seus invariantes topológicos fornecem muitas informações sobre sua estrutura em geral. Se deixarmos ser um coletor de 3 e ser seu grupo fundamental, então muitas informações podem ser derivadas deles. Por exemplo, usando a dualidade de Poincaré e o teorema de Hurewicz , temos os seguintes cálculos

onde os dois últimos grupos são isomórficos à homologia de grupo e cohomologia de, respectivamente; isso é,

A partir dessas informações, uma classificação teórica básica de homotopia de três variedades [1] pode ser encontrada. Nota da torre Postnikov, há um mapa canônico

Se seguirmos o impulso da classe fundamental em nós temos um elemento . Acontece que o grupo junto com a aula de homologia em grupo dá uma descrição algébrica completa do tipo de homotopia de.

Somas conexas

Uma operação topológica importante é a soma conectada de duas variedades de 3. Na verdade, a partir de teoremas gerais em topologia, encontramos para uma variedade de três com uma decomposição de soma conectada os invariantes acima para pode ser calculado a partir do . Em particular

Além disso, um manifold de 3 que não pode ser descrito como uma soma conectada de duas variedades de 3 é chamada de primo .

Grupos de homotopia segundo

Para o caso de uma variedade 3 dada por uma soma conectada de variedades 3 primos, verifica-se que há uma boa descrição do segundo grupo fundamental como um -módulo. [2] Para o caso especial de ter cada é infinito, mas não cíclico, se tomarmos embeddings baseados de uma esfera 2

Onde

então o segundo grupo fundamental tem a apresentação

dando um cálculo direto deste grupo.

Exemplos importantes de 3-variedades

Euclidiana 3-space

O espaço 3 euclidiano é o exemplo mais importante de uma variedade 3, pois todas as outras são definidas em relação a ela. Este é apenas o espaço vetorial tridimensional padrão sobre os números reais.

3 esferas

Projeção estereográfica dos paralelos da hiperesfera (vermelho), meridianos (azul) e hipermeridianos (verde). Como esta projeção é conforme , as curvas se cruzam ortogonalmente (nos pontos amarelos) como em 4D. Todas as curvas são círculos: as curvas que se cruzam <0,0,0,1> têm raio infinito (= linha reta).

Uma 3-esfera é um análogo de dimensão superior de uma esfera . Consiste no conjunto de pontos equidistantes de um ponto central fixo no espaço euclidiano quadridimensional . Assim como uma esfera comum (ou 2-esfera) é uma superfície bidimensional que forma o limite de uma bola em três dimensões, uma 3-esfera é um objeto com três dimensões que forma o limite de uma bola em quatro dimensões. Muitos exemplos de variedades 3 podem ser construídos tomando quocientes da esfera 3 por um grupo finito agindo livremente em através de um mapa , tão . [3]

Projetiva 3-espaço real

3-espaço projetivo real, ou RP 3 , é o espaço topológico de retas que passam pela origem 0 em R 4 . É uma variedade compacta e lisa de dimensão 3 e é um caso especial Gr (1, R 4 ) de um espaço Grassmanniano .

RP 3 é ( difeomórfico a) SO (3) , portanto admite uma estrutura de grupo; o mapa de cobertura S 3RP 3 é um mapa de grupos Spin (3) → SO (3), onde Spin (3) é um grupo de Lie que é a cobertura universal de SO (3).

3-toro

O toro tridimensional é o produto de 3 círculos. Isso é:

O toro 3, T 3 pode ser descrito como um quociente de R 3 em deslocamentos integrais em qualquer coordenada. Ou seja, o toro 3 é R 3 módulo a ação da rede inteira Z 3 (com a ação sendo tomada como adição de vetor). De forma equivalente, o toro tridimensional é obtido do cubo tridimensional colando as faces opostas.

Um toro tridimensional, neste sentido, é um exemplo de uma variedade compacta tridimensional . É também um exemplo de um grupo de Lie abeliano compacto . Isso decorre do fato de que o círculo unitário é um grupo de Lie abeliano compacto (quando identificado com os números complexos unitários com multiplicação). A multiplicação de grupos no toro é então definida pela multiplicação por coordenadas.

Hiperbólica 3-space

Uma projeção em perspectiva de uma tesselação dodecaédrica em H 3 .
Quatro dodecaedros se encontram em cada aresta e oito se encontram em cada vértice, como os cubos de uma tesselação cúbica em E 3

Espaço hiperbólico é um espaço homogénea que pode ser caracterizado por uma constante negativa curvatura . É o modelo da geometria hiperbólica . É distinto de espaços euclidianos com curvatura zero que definem a geometria euclidiana , e modelos de geometria elíptica (como a 3-esfera ) que têm uma curvatura positiva constante. Quando embutido em um espaço euclidiano (de dimensão superior), cada ponto de um espaço hiperbólico é um ponto de sela . Outra propriedade distintiva é a quantidade de espaço coberto pela bola 3em espaço 3 hiperbólico: aumenta exponencialmente em relação ao raio da bola, em vez de polinomialmente.

Poincaré espaço dodecahedral

A esfera de homologia de Poincaré (também conhecida como espaço dodecaédrico de Poincaré) é um exemplo particular de uma esfera de homologia. Sendo uma variedade 3 esférica , é a única homologia 3-esfera (além da própria 3-esfera ) com um grupo fundamental finito . Seu grupo fundamental é conhecido como grupo binário icosaédrico e tem ordem 120. Isso mostra que a conjectura de Poincaré não pode ser expressa apenas em termos de homologia.

Em 2003, a falta de estrutura nas escalas maiores (acima de 60 graus) no fundo de micro-ondas cósmico observada por um ano pela espaçonave WMAP levou à sugestão, por Jean-Pierre Luminet do Observatoire de Paris e colegas, de que a forma do universo é uma esfera de Poincaré. [4] [5] Em 2008, os astrônomos encontraram a melhor orientação no céu para o modelo e confirmaram algumas das previsões do modelo, usando três anos de observações pela espaçonave WMAP. [6] No entanto, não há um forte suporte para a correção do modelo, ainda.

Espaço Seifert-Weber

Em matemática , o espaço Seifert-Weber (introduzido por Herbert Seifert e Constantin Weber) é uma variedade 3 hiperbólica fechada . É também conhecido como espaço dodecaédrico Seifert-Weber e espaço dodecaédrico hiperbólico . É um dos primeiros exemplos descobertos de variedades 3 hiperbólicas fechadas.

Ele é construído colando cada face de um dodecaedro em seu oposto de uma forma que produz uma 3-manifold fechada. Existem três maneiras de fazer esta colagem de forma consistente. As faces opostas são desalinhadas em 1/10 de volta, portanto, para combiná-las, elas devem ser giradas em 1/10, 3/10 ou 5/10 de volta; uma rotação de 3/10 dá espaço ao Seifert-Weber. A rotação de 1/10 fornece a esfera de homologia de Poincaré , e a rotação de 5/10 fornece o espaço projetivo real tridimensional .

Com o padrão de colagem de 3/10 voltas, as bordas do dodecaedro original são coladas umas às outras em grupos de cinco. Assim, no espaço Seifert-Weber, cada aresta é circundada por cinco faces pentagonais, e o ângulo diedro entre esses pentágonos é de 72 °. Isso não corresponde ao ângulo diédrico de 117 ° de um dodecaedro regular no espaço euclidiano, mas no espaço hiperbólico existem dodecaedros regulares com qualquer ângulo diédrico entre 60 ° e 117 °, e o dodecaedro hiperbólico com ângulo diédrico de 72 ° pode ser usado para fornecer o espaço Seifert-Weber é uma estrutura geométrica como uma variedade hiperbólica. É um espaço quociente do favo de mel dodecaédrico de ordem 5 , um mosaico regular de3-espaço hiperbólico por dodecaedro com este ângulo diedro.

Gieseking colector

Em matemática , a variedade Gieseking é uma variedade 3 hiperbólica cusped de volume finito. É não orientável e possui o menor volume entre as variedades hiperbólicas não compactas, com volume de aproximadamente 1,01494161. Foi descoberto por Hugo Gieseking ( 1912 ).

A variedade de Gieseking pode ser construída removendo os vértices de um tetraedro e , em seguida, colando as faces em pares usando mapas lineares afins. Rotule os vértices 0, 1, 2, 3. Cole a face com os vértices 0,1,2 na face com os vértices 3,1,0 nessa ordem. Cole o rosto 0,2,3 no rosto 3,2,1, nessa ordem. Na estrutura hiperbólica da variedade de Gieseking, esse tetraedro ideal é a decomposição poliédrica canônica de David BA Epstein e Robert C. Penner. [7] Além disso, o ângulo feito pelas faces é. A triangulação tem um tetraedro, duas faces, uma aresta e nenhum vértice, então todas as arestas do tetraedro original são coladas.

Algumas classes importantes de 3-variedades

Complementos ligação hiperbólicas

Os anéis borromeanos são um elo hiperbólico.

Um elo hiperbólico é um elo na esfera 3 com complemento que possui uma métrica Riemanniana completa de curvatura negativa constante , ou seja, possui uma geometria hiperbólica . Um nó hiperbólico é um elo hiperbólico com um componente .

Os exemplos a seguir são particularmente bem conhecidos e estudados.

As classes não são necessariamente mutuamente exclusivas.

Algumas estruturas importantes em 3-variedades

Contactar geometria

A geometria de contato é o estudo de uma estrutura geométrica em variedades suaves dada por uma distribuição hiperplana no feixe tangente e especificada por uma forma única , ambas as quais satisfazem uma condição de 'não degenerescência máxima' chamada 'não integrabilidade completa'. A partir do teorema de Frobenius , reconhece-se a condição como o oposto da condição de que a distribuição seja determinada por uma foliação de codimensão um na variedade ('integrabilidade completa').

A geometria de contato é, em muitos aspectos, uma contraparte de dimensão ímpar da geometria simplética , que pertence ao mundo de dimensão par. Tanto o contato quanto a geometria simplética são motivados pelo formalismo matemático da mecânica clássica , onde se pode considerar o espaço de fase de dimensão par de um sistema mecânico ou o espaço de fase estendido de dimensão ímpar que inclui a variável de tempo.

Haken colector

Um Haken colector é um compacto , P²-irredutível 3-colector que é suficientemente grande , o que significa que ele contém uma adequadamente incorporado dois lados superfície incompressível . Às vezes, considera-se apenas variedades de Haken orientáveis, caso em que uma variedade de Haken é uma variedade 3 compacta, orientável e irredutível que contém uma superfície orientável e incompressível.

Diz-se que um manifold de 3 finitamente coberto por um manifold de Haken é virtualmente Haken . A conjectura de Virtually Haken afirma que cada 3-manifold compacto e irredutível com grupo fundamental infinito é virtualmente Haken.

Os manifolds Haken foram introduzidos por Wolfgang Haken. Haken provou que os manifolds de Haken têm uma hierarquia , onde podem ser divididos em 3 esferas ao longo de superfícies incompressíveis. Haken também mostrou que havia um procedimento finito para encontrar uma superfície incompressível se a variedade de 3 tivesse uma. Jaco e Oertel forneceram um algoritmo para determinar se uma variedade de 3 era Haken.

Laminação essencial

Uma laminação essencial é uma laminação em que cada folha é incompressível e termina incompressível, se as regiões complementares da laminação forem irredutíveis e se não houver folhas esféricas.

As laminações essenciais generalizam as superfícies incompressíveis encontradas nos coletores de Haken.

Heegaard divisão

Uma divisão de Heegaard é uma decomposição de um coletor de 3 orientado compacto que resulta da divisão em dois guidões .

Todo coletor triplo orientável e fechado pode ser obtido dessa forma; isso decorre de resultados profundos sobre a triangulabilidade de três variedades devido a Moise . Isso contrasta fortemente com variedades de dimensões superiores que não precisam admitir estruturas lineares suaves ou por partes. Assumindo suavidade, a existência de uma divisão de Heegaard também segue do trabalho de Smale sobre decomposições de manuseio da teoria de Morse.

Taut folheação

Um folheação tenso é um codimens~ao uma folheação de um 3-colector com a propriedade de que existe um único círculo transversal que intersecta cada folha. Por círculo transversal, entende-se um loop fechado que é sempre transversal ao campo tangente da foliação. De forma equivalente, por um resultado de Dennis Sullivan , uma foliação de codimensão 1 é esticada se houver uma métrica Riemanniana que torne cada folha uma superfície mínima .

As folheações esticadas ganharam destaque com o trabalho de William Thurston e David Gabai .

Resultados fundamentais

Alguns resultados são nomeados como conjecturas decorrentes de artefatos históricos.

Começamos com o puramente topológico:

Teorema de Moise

Na topologia geométrica , o teorema de Moise , provado por Edwin E. Moise em, afirma que qualquer variedade topológica de 3 tem uma estrutura linear por partes essencialmente única e uma estrutura suave .

Como corolário, todo manifold compacto de 3 tem uma divisão Heegaard .

Decomposição Primeiro teorema

O teorema da decomposição principal para variedades 3 principais afirma que toda variedade 3 compacta e orientável é a soma conectada de uma coleção única ( até o homeomorfismo ) de variedades 3 principais .

Uma variedade é primo se não pode ser apresentada como uma soma conectada de mais de uma variedade, nenhuma das quais é a esfera da mesma dimensão.

Kneser-Haken finitude

A finitude Kneser-Haken diz que para cada variedade de 3, há uma constante C tal que qualquer coleção de superfícies de cardinalidade maior que C deve conter elementos paralelos.

Loop e Sphere teoremas

O teorema do laço é uma generalização do lema de Dehn e deveria ser mais apropriadamente chamado de "teorema do disco". Foi provado pela primeira vez por Christos Papakyriakopoulos em 1956, junto com o lema de Dehn e o teorema da esfera .

Uma versão simples e útil do teorema do loop afirma que, se houver um mapa

com não nulohomotópico em , haverá uma incorporação com a mesma propriedade.

O teorema da esfera de Papakyriakopoulos  ( 1957 ) fornece condições para que os elementos do segundo grupo de homotopia de uma variedade 3 sejam representados por esferas embutidas.

Um exemplo é o seguinte:

Deixar ser um coletor 3 orientável de modo quenão é o grupo trivial. Então existe um elemento diferente de zero de ter um representante que é uma incorporação .

Anel e Torus teoremas

O teorema do anel afirma que, se um par de curvas fechadas simples disjuntas no limite de uma variedade de três são homotópicas livremente, então elas formam um anel devidamente embutido. Isso não deve ser confundido com o teorema de alta dimensão de mesmo nome.

O teorema do toro é o seguinte: Seja M uma variedade 3 compacta e irredutível com limite não vazio. Se M admite um mapa essencial de um toro, então M admite uma incorporação essencial de um toro ou de um anel [8]

JSJ decomposição

A decomposição JSJ , também conhecida como decomposição toral , é uma construção topológica dada pelo seguinte teorema:

Irredutível orientável fechado (ou seja, compacto e sem limite) 3-manifolds têm uma coleção mínima única (até a isotopia ) de toros incompressíveis incorporados disjuntamente de modo que cada componente do 3-manifold obtido pelo corte ao longo do tori é ou Seifert - tori com fibra .

A sigla JSJ é para William Jaco , Peter Shalen e Klaus Johannson . Os dois primeiros trabalharam juntos e o terceiro trabalhou de forma independente. [9] [10]

Scott núcleo teorema

O teorema central de Scott é um teorema sobre a apresentabilidade finita de grupos fundamentais de três variedades devido a G. Peter Scott . [11] A declaração precisa é a seguinte:

Dada uma variedade 3 (não necessariamente compacta ) com grupo fundamental finitamente gerado , existe uma subvariedade tridimensional compacta , chamada de núcleo compacto ou núcleo de Scott , de modo que seu mapa de inclusão induz um isomorfismo nos grupos fundamentais. Em particular, isso significa que um grupo de 3 variedades gerado finitamente é finitamente apresentável .

Uma prova simplificada é fornecida em, [12] e uma declaração de exclusividade mais forte é comprovada em. [13]

Lickorish-Wallace teorema

O teorema de Lickorish-Wallace afirma que qualquer variedade 3 fechada , orientável e conectada pode ser obtida realizando-se a cirurgia de Dehn em um link emoldurado na esfera 3 comcoeficientes de cirurgia. Além disso, cada componente do link pode ser considerado sem nó.

Teoremas de Waldhausen em rigidez topológica

Os teoremas de Friedhelm Waldhausen sobre rigidez topológica dizem que certas variedades 3 (como aquelas com uma superfície incompressível) são homeomórficas se houver um isomorfismo de grupos fundamentais que respeite a fronteira.

Waldhausen conjectura sobre Heegaard splittings

Waldhausen conjecturou que cada variedade 3 orientável fechada tem apenas finitamente muitas divisões de Heegaard (até o homeomorfismo) de qualquer gênero.

Smith conjectura

A conjectura de Smith (agora comprovada) afirma que se f é um difeomorfismo da esfera 3 de ordem finita , então o conjunto de pontos fixos de f não pode ser um não trivial .

Cirurgia cíclica teorema

A cirurgia cíclico teorema indica que, para um compacto , ligado , orientável , irredutível três colector M cujo limite é uma toro T , se M não é um espaço Seifert desfibrado e r, s são pistas sobre o t de tal modo que os seus enchimentos Dehn têm grupo fundamental cíclico, então a distância entre r e s (o número mínimo de vezes que duas curvas fechadas simples em T representando r e sdeve se cruzar) é no máximo 1. Consequentemente, há no máximo três obturações de Dehn de M com grupo fundamental cíclico.

Hiperbólica teorema de Thurston Dehn cirurgia e o teorema Jørgensen-Thurston

O teorema da cirurgia hiperbólica de Dehn de Thurston afirma: é hiperbólico, desde que um conjunto finito de inclinações excepcionais é evitado para a i- ésima cúspide para cada i . Além disso,converge para M em H como todos para todos correspondendo a recheios Dehn não vazios .

Este teorema é devido a William Thurston e fundamental para a teoria das 3-variedades hiperbólicas. Ele mostra que existem limites não triviais em H . O estudo de Troels Jorgensen da topologia geométrica mostra ainda que todos os limites não triviais surgem pelo preenchimento de Dehn como no teorema.

Outro resultado importante de Thurston é que o volume diminui sob o enchimento hiperbólico de Dehn. Na verdade, o teorema afirma que o volume diminui sob o enchimento topológico de Dehn, assumindo, é claro, que a variedade cheia de Dehn é hiperbólica. A prova se baseia nas propriedades básicas da norma de Gromov .

Jorgensen também mostrou que a função volume deste espaço é uma contínua , adequada função. Assim, pelos resultados anteriores, os limites não triviais em H são considerados limites não triviais no conjunto de volumes. Na verdade, pode-se ainda concluir, como fez Thurston, que o conjunto de volumes de três variedades hiperbólicas de volume finito tem tipo ordinal . Este resultado é conhecido como teorema de Thurston-Jørgensen . Um trabalho adicional de caracterização deste conjunto foi feito por Gromov .

Além disso, Gabai, Meyerhoff & Milley mostraram que a variedade Weeks tem o menor volume de qualquer variedade 3 hiperbólica orientável fechada.

Teorema hiperbolização de Thurston para variedades de Haken

Uma forma do teorema da geometrização de Thurston afirma: Se M é uma variedade de Haken atoroidal compacta irredutível cujo limite tem característica de Euler zero, então o interior de M tem uma estrutura hiperbólica completa de volume finito.

O teorema da rigidez de Mostow implica que se uma variedade de dimensão pelo menos 3 tem uma estrutura hiperbólica de volume finito, então ela é essencialmente única.

As condições em que a variedade M deve ser irredutível e atoroidal são necessárias, pois as variedades hiperbólicas têm essas propriedades. No entanto, a condição de que o manifold seja Haken é desnecessariamente forte. A conjectura de hiperbolização de Thurston afirma que uma variedade 3 atoroidal irredutível fechada com grupo fundamental infinito é hiperbólica, e isso segue da prova de Perelman da conjectura de geometrização de Thurston.

Tameness conjectura, também chamada de conjectura Marden ou fins domésticos conjecturar

O teorema da mansidão afirma que toda variedade 3 hiperbólica completa com grupo fundamental finitamente gerado é topologicamente mansa , em outras palavras, homeomórfica ao interior de uma variedade 3 compacta .

O teorema da mansidão foi conjecturado por Marden. Foi provado por Agol e, independentemente, por Danny Calegari e David Gabai . É uma das propriedades fundamentais das variedades 3 hiperbólicas geometricamente infinitas, junto com o teorema da densidade para grupos kleinianos e o teorema da laminação final . Também implica a conjectura da medida de Ahlfors .

Acabar com laminação conjectura

O teorema da laminação final , originalmente conjecturado por William Thurston e mais tarde provado por Jeffrey Brock , Richard Canary e Yair Minsky, afirma que 3-variedades hiperbólicas com grupos fundamentais finitamente gerados são determinados por sua topologia junto com certos "invariantes finais", que são laminações geodésicas em algumas superfícies no limite do manifold.

Conjectura de Poincaré

A 3-esfera é uma variedade 3 especialmente importante por causa da conjectura de Poincaré agora comprovada . Conjecturado originalmente por Henri Poincaré , o teorema diz respeito a um espaço que localmente se parece com um espaço tridimensional comum, mas é conectado, de tamanho finito e não possui qualquer fronteira (uma variedade 3 fechada ). A conjectura de Poincaré afirma que se esse espaço tem a propriedade adicional de que cada volta no espaço pode ser continuamente apertada em um ponto, então é necessariamente uma esfera tridimensional. Um resultado análogo é conhecido em dimensões superiores há algum tempo.

Após quase um século de esforços de matemáticos, Grigori Perelman apresentou uma prova da conjectura em três artigos disponibilizados em 2002 e 2003 no arXiv . A prova seguiu a partir do programa de Richard S. Hamilton para usar o fluxo de Ricci para atacar o problema. Perelman introduziu uma modificação do fluxo de Ricci padrão, denominado fluxo de Ricci com cirurgia, para extirpar sistematicamente regiões singulares à medida que se desenvolvem, de maneira controlada. Várias equipes de matemáticos verificaram que a prova de Perelman está correta.

Geometrização conjectura de Thurston

A conjectura de geometrização de Thurston afirma que certos espaços topológicos tridimensionais cada um tem uma estrutura geométrica única que pode ser associada a eles. É um análogo do teorema de uniformização para superfícies bidimensionais , que afirma que toda superfície de Riemann simplesmente conectada pode receber uma das três geometrias ( euclidiana , esférica ou hiperbólica) Em três dimensões, nem sempre é possível atribuir uma única geometria a todo um espaço topológico. Em vez disso, a conjectura da geometrização afirma que cada variedade 3 fechada pode ser decomposta de forma canônica em pedaços, cada um com um dos oito tipos de estrutura geométrica. A conjectura foi proposta por William Thurston (1982) , e implica várias outras conjecturas, como a conjectura de Poincaré e a conjectura de eliptização de Thurston .

O teorema da hiperbolização de Thurston implica que as variedades de Haken satisfazem a conjectura da geometrização. Thurston anunciou uma prova na década de 1980 e, desde então, várias provas completas foram publicadas.

Grigori Perelman esboçou uma prova da conjectura de geometrização completa em 2003 usando o fluxo de Ricci com cirurgia . Existem agora vários manuscritos diferentes (veja abaixo) com detalhes da prova. A conjectura de Poincaré e a conjectura da forma do espaço esférico são corolários da conjectura da geometrização, embora existam provas mais curtas da primeira que não conduzem à conjectura da geometrização.

Conjectura praticamente fibered e praticamente conjectura Haken

A conjectura virtualmente fibrosa , formulada pelo matemático americano William Thurston , afirma que toda variedade 3- toroidal fechada , irredutível , com grupo fundamental infinito tem uma cobertura finita que é um feixe de superfície sobre o círculo .

A conjectura de virtualmente Haken afirma que toda variedade tridimensional compacta , orientável e irredutível com grupo fundamental infinito é virtualmente Haken . Ou seja, ele tem uma cobertura finita (um espaço de cobertura com um mapa de cobertura finito para um) que é uma variedade de Haken .

Em uma postagem no ArXiv em 25 de agosto de 2009, [14] Daniel Wise implicitamente implicou (referindo-se a um manuscrito mais longo, então não publicado) que ele havia provado a conjectura virtualmente fibrosa para o caso em que o 3-manifold é fechado, hiperbólico e Haken. Isso foi seguido por um artigo de pesquisa em Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences. [15] Vários outros preprints [16] seguiram-se, incluindo o manuscrito mais longo mencionado anteriormente por Wise. [17] Em março de 2012, durante uma conferência no Institut Henri Poincaré em Paris, Ian Agol anunciou que poderia provar a conjectura virtualmente de Haken para três variedades hiperbólicas fechadas. [18]A prova construída sobre os resultados de Kahn e Markovic [19] [20] em sua prova da conjectura do subgrupo Surface e os resultados de Wise em provar o Teorema do Quociente Especial Malnormal [17] e os resultados de Bergeron e Wise para a cubulação de grupos. [14] Juntamente com os resultados de Wise, isso implica na conjectura virtualmente fibrosa para todas as variedades 3 hiperbólicas fechadas.

Laço conjectura simples

Se é um mapa de superfícies conectadas fechadas de modo que não é injetiva, então existe uma curva fechada simples não contraível de tal modo que é homotopicamente trivial. Esta conjectura foi comprovada por David Gabai .

Subgrupo superfície conjectura

A conjectura do subgrupo de superfície de Friedhelm Waldhausen afirma que o grupo fundamental de toda variedade 3 fechada e irredutível com grupo fundamental infinito tem um subgrupo de superfície. Por "subgrupo de superfície" queremos dizer o grupo fundamental de uma superfície fechada, não a esfera 2. Este problema está listado como Problema 3.75 na lista de problemas de Robion Kirby . [21]

Assumindo a conjectura da geometrização , o único caso aberto era o de 3 variedades hiperbólicas fechadas . Uma prova deste caso foi anunciada no verão de 2009 por Jeremy Kahn e Vladimir Markovic e delineada em uma palestra em 4 de agosto de 2009 na Conferência FRG (Focused Research Group) organizada pela Universidade de Utah. Uma pré-impressão apareceu no arxiv em outubro de 2009. [22] Seu artigo foi publicado no Annals of Mathematics em 2012. [23] Em junho de 2012, Kahn e Markovic receberam o Clay Research Awards do Clay Mathematics Institute em uma cerimônia em Oxford . [24]

Conjecturas importantes

Cabeamento conjectura

A conjectura de cabeamento afirma que, se a cirurgia de Dehn em um nó na esfera 3 produzir uma variedade 3 redutível, então esse nó é um -cabo em algum outro nó, e a cirurgia deve ter sido realizada usando o declive .

Lubotzky-Sarnak conjectura

O grupo fundamental de qualquer variedade n hiperbólica de volume finito não tem a propriedade τ.

Referências

  1. ^ Swarup, G. Ananda (1974). "Sobre um Teorema de CB Thomas" . Journal of the London Mathematical Society . s2-8 (1): 13–21. doi : 10.1112 / jlms / s2-8.1.13 . ISSN  1469-7750 .
  2. ^ Swarup, G. Ananda (1973-06-01). "Em esferas embutidas em 3-manifolds" . Mathematische Annalen . 203 (2): 89–102. doi : 10.1007 / BF01431437 . ISSN 1432-1807 . S2CID 120672504 .  
  3. ^ Zimmermann, Bruno. Sobre a classificação de grupos finitos que atuam na homologia 3-esferas . CiteSeerX 10.1.1.218.102 . 
  4. ^ "O universo é um dodecaedro?" , artigo na PhysicsWorld.
  5. ^ Luminet, Jean-Pierre ; Semanas, Jeffrey ; Riazuelo, Alain; Lehoucq, Roland; Uzan, Jean-Phillipe (2003-10-09). "Topologia do espaço dodecaédrico como explicação para as correlações fracas de grande angular de temperatura no fundo cósmico de micro-ondas". Nature . 425 (6958): 593–595. arXiv : astro-ph / 0310253 . Bibcode : 2003Natur.425..593L . doi : 10.1038 / nature01944 . PMID 14534579 . S2CID 4380713 .  
  6. ^ Roukema, Boudewijn; Zbigniew Buliński; Agnieszka Szaniewska; Nicolas E. Gaudin (2008). "Um teste da hipótese da topologia do espaço dodecaédrico de Poincare com os dados WMAP CMB". Astronomia e Astrofísica . 482 (3): 747–753. arXiv : 0801.0006 . Bibcode : 2008A & A ... 482..747L . doi : 10.1051 / 0004-6361: 20078777 . S2CID 1616362 . 
  7. ^ Epstein, David BA ; Penner, Robert C. (1988). "Decomposições euclidianas de variedades hiperbólicas não compactas" . Journal of Differential Geometry . 27 (1): 67–80. doi : 10.4310 / jdg / 1214441650 . MR 0918457 . 
  8. ^ Feustel, Charles D (1976). "Sobre o teorema do toro e suas aplicações" . Transactions of the American Mathematical Society . 217 : 1–43. doi : 10.1090 / s0002-9947-1976-0394666-3 .
  9. ^ Jaco, William; Shalen, Peter B. Um novo teorema de decomposição para 3 variedades irredutíveis suficientemente grandes. Topologia algébrica e geométrica (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Califórnia, 1976), Parte 2, pp. 71-84, Proc. Simpós. Pure Math., XXXII, Amer. Matemática. Soc., Providence, RI, 1978.
  10. ^ Johannson, Klaus, equivalências de homotopia de 3 variedades com limites. Lecture Notes in Mathematics, 761. Springer, Berlin, 1979. ISBN 3-540-09714-7 
  11. ^ Scott, G. Peter (1973), "Compact submanifolds of 3-manifolds", Journal of the London Mathematical Society , Second Series, 7 (2): 246-250, doi : 10.1112 / jlms / s2-7.2.246 , MR 0326737 
  12. ^ Rubinstein, J. Hyam ; Swarup, Gadde A. (1990), "On Scott's core teoreem", Bulletin of the London Mathematical Society , 22 (5): 495–498, doi : 10.1112 / blms / 22.5.495 , MR 1082023 
  13. ^ Harris, Luke; Scott, G. Peter (1996), "The uniqueness of compact core for 3-manifolds" , Pacific Journal of Mathematics , 172 (1): 139-150, doi : 10.2140 / pjm.1996.172.139 , MR 1379290 
  14. ^ a b Bergeron, Nicolas; Wise, Daniel T. (2009). "Um critério de limite para cubulação". arXiv : 0908.3609 [ math.GT ].
  15. ^ Wise, Daniel T. (2009-10-29), "Research Announcement : The structure of groups with a quasiconvex hierarchy" , Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences , 16 : 44–55, doi : 10.3934 / era.2009.16.44 , MR 2558631 
  16. ^ Haglund and Wise, um teorema de combinação para complexos de cubo especiais ,
    Hruska e Wise, propriedades de finitude de grupos cubulados ,
    Hsu e Wise, cubulando amálgamas anormais ,
    http://comet.lehman.cuny.edu/behrstock/cbms/program.html
  17. ^ a b Daniel T. Wise, The structure of groups with a quasiconvex hierarchy , https://docs.google.com/file/d/0B45cNx80t5-2NTU0ZTdhMmItZTIxOS00ZGUyLWE0YzItNTEyYWFiMjczZmIz/edit?pli=1
  18. ^ Agol, Ian; Groves, Daniel; Manning, Jason (2012). "A conjectura virtual de Haken". arXiv : 1204,2810 [ math.GT ].
  19. ^ Kahn, Jeremy; Markovic, Vladimir (2009). "Imersão de superfícies quase geodésicas em três variedades hiperbólicas fechadas". arXiv : 0910.5501 [ math.GT ].
  20. ^ Kahn, Jeremy; Markovic, Vladimir (2010). "Contagem de superfícies essenciais em um manifold hiperbólico fechado de 3". arXiv : 1012,2828 [ math.GT ].
  21. ^ Robion Kirby , Problems in low-dimensional topology
  22. ^ Kahn, Jeremy; Markovic, Vladimir (2009). "Imersão de superfícies quase geodésicas em três variedades hiperbólicas fechadas". arXiv : 0910.5501 [ math.GT ].
  23. ^ Kahn, Jeremy ; Markovic, Vladimir (2012), "Immersing quase geodesic surface in a closed hyperbolic three manifold" , Annals of Mathematics , 175 (3): 1127–1190, arXiv : 0910.5501 , doi : 10.4007 / annals.2012.175.3.4 , S2CID 32593851 
  24. ^ "2012 Clay Research Conference" . Arquivado do original em 4 de junho de 2012 . Recuperado em 30 de abril de 2020 .

Outras leituras

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