ウィキペディア:数学の基礎

2012 年 3 月 5 日現在、このページは、英語版ウィキペディアの数理論理学に関する記事の認識の悪さについての ユーザー:Incnis Mrsiの考察を紹介するエッセイです。

導入

ほとんどの状況では、等価性が常識になっていれば、暗黙的に等価性や異なる定義を使用することが許容されます。場合によっては、異なる定義が同等である理由を説明するウィキペディアの記事さえ存在します。しかし、数学の基本的な概念に関する記事には、他のほとんどの数学のトピックとは異なるアプローチが必要です。そこでは、あるものがどこで同等なのか、なぜ同等なのか、そして場合によってはどのように同等なのかを明記する必要があります

もう一つの問題が存在します。それは、数学の基礎に対していくつかの競合するアプローチが存在するということです。 「宇宙探査はアメリカの宇宙計画だけではない」などと言ったら、アメリカ人であっても誰も反論しないでしょう。しかし、悲しいことに、今日の en.Wikipedia では、「物質的条件文は、物質的条件文に関する古典論理の見解だけではありえない」などのことを、非常に辛抱強く説明し、その後、証明し、擁護する必要があります。

形式理論

形式理論に関する記事 (例:理論 (数理論理学) ) は、形式システムとしてのその構造と、その意図された意味論の両方を説明する必要があります。ただし、「この理論は…が数学的真実であることを証明しています」などの文言は避けるべきです。ある形式命題が形式理論の定理であるという事実は、「もし <…> が数学の基礎として使用されれば、(…) のような結果が証明されるだろう」のように表現することもできます。 「数学的事実」と形式言語での表現との間の対応関係自体が問題を引き起こす可能性があることに注意してください。以下の #超理論的概念を参照してください。

命題、規則、メタ定理

専用の Wikipedia 記事を持つ形式理論 (または複数の要素、以下を参照) の要素は、その理論に関して明示的に修飾されたステータスを持っていなければなりません。それは次のように表すことができます。

  • 公理または常識定理たとえばトートロジー (論理) は、古典的な命題計算の定理です。等価理論におけるさまざまな公理セットについては、#公理の証明を参照してください。
  • 推論の基本ルール。仮定されているルールであり、証明する必要はありません。
  • 基本的な規則と、場合によっては公理から導き出される推論規則。

この後者のケースは、実際にはメタ定理、つまり外部手段によって証明されるかもしれないが、システム自体には属さない形式システムに関する事実を表しています。メタ定理を正式に証明された定理と混同しないでください。

おそらく、同じウィキペディアの記事が、論理微積分の公理/定理と推論規則 (またはメタ定理) の両方として認定される可能性はありません。 3 月 5 日現在、カテゴリ:推論のルールにそのような事例がいくつかあります。

超理論的概念

当初は正式な定義なしで使用されていた、または使用できるが、後に正式な理論に組み込まれた数学的概念が数多くあります。そのような概念の多くは、本質的に異なる競合する理論に組み込まれていました。私はそのような概念を「超理論的」と呼ぶことにします。そのような顕著な例は、「関数」(定義に関していくつかの議論があります。たとえば、関係∃!による述語論理の定義は構成数学では受け入れられません)と「デカルト積」(集合論よりも圏論の方が一般的な意味です)です。

超理論的概念に関する記事は、特定の理論の定義や使用に焦点を当てるべきではなく、全体像を提供する必要があります。

論理接続語

おそらくピアースの矢とその二重シェファーのストロークを除いて、すべての論理結合子は本質的に超理論的です。したがって、これらの記事は、古典論理の観点からトピックを一方的に提示することはできませんし、そうすべきではありません

数理論理学に関する記事では命題式そのものを、真理関数や、より一般的には代数的真理値などの派生構成要素から区別する必要があります。一般的な命題言語 (論理接続詞と命題変数) で書かれた式は、その解釈に特定の論理システムを指定しません。したがって、「 p  →  qは論理的にʼ p  ∨  qと同等です」などのステートメントは論理記事では使用すべきではありません。ただし、具体的な論理システム、またはそのような等価性が成立する論理システムのセットがコンテキストによって明確に決定される場合は別です。

含意と推論の規則

含意」と「推論規則」は確かに超理論的な概念です。modus ponensなどのいくつかの具体的な推論規則も超理論的です。そのような規則を「証明」しようとする場合、これらの推論がどの形式理論またはメタ理論に対して有効であるかを特定する必要があります。

定理

理想的には、定理に関する記事では、どの理論がそれを証明するのか、またはどの定理を使用して証明できるのかを明記する必要があります。場合によっては、どの理論が重要な結果を証明していないのかについて言及することが有益です。たとえば、ハーン・バナッハの定理は、選択公理または同等の公準がなければ、最も一般的な場合には証明できません

証拠

上で述べたように、特定の「定理」に対して、それを証明する多くの理論が存在する可能性があります。場合によっては、これらの理論は「厳密さ」によって順序付けされます。つまり、より弱い (しかし「より厳密な」) 理論のすべての定理は、他のより強力な (しかし厳密ではない) 理論に属します。この場合、ウィキペディアは、信頼できる情報源に存在する、より厳密な理論(存在する場合)の証拠を提示するよう努めるべきです。これは、Wikipedia の基本ポリシーであるWP:NPOVによって動機付けられています。より厳密な理論の証明は、すべてのより強力な理論で有効になります (たとえば、追加の公理や推論規則を追加することによって得られます)。

仮説三段論法#Proof (3 月 5 日現在)のような証明は役に立ちそうにありませんが、古典論理でのみ有効な否定と等価性の使用に根本的な欠陥があります。この問題は、数理論理学だけでなく、代数学などの数学の他の分野でも発生する可能性があります。アイデンティティとそれを導き出す証明を考えてみましょう

この証明は、実数、複素数、有理数には有効ですが、標数 2 のどの体にも無効で (1/2 などの数は存在しません)、単位環には適用できません(割り算がまったくないため)。アイデンティティは今でも保たれています。 「普遍的に正しい」証明は次のようになります。

一方で、一部の事実は、真の証明を提示する代わりに、単純化されたパラダイムまたは偏ったパラダイムを使用して説明される場合があります。たとえば、命題式真偽は、真理値表と、集合論の概念を使用した一階論理のいくつかのアイデアを使用して説明できます

公理の証明

通常の認識に反して、公理の証明や証明の順序のないグラフは異端ではなく、Circulus vitiosusのような論理的欠陥でもありません。 「公理」 C' に関する記事がA, B, C ⊢ C'と言い、C に関する記事がA, B, C' ⊢ Cと言う場合、これは {A, B, C} と {A, B が等価であることを意味します。 、C'}。しかし、与えられた命題がどのような命題から導き出されるのかを明示的に言及することが絶対に必要です。

複雑な用語

確立された用語が重複していたり​​、情報源ごとに異なるトピックがいくつかあります。たとえば、false (論理) は命題定数および真理値である場合がありますが、他の情報源では、「偽」という用語は真理値「0」に対してのみ予約されており、対応する命題定数 (ヌル接続詞) は、 「矛盾」。

このようなケースは、ハットノートと特定の伝統と情報源の表示 によって解決される可能性があります。

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