軌道

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上り坂のターゲットに発射された弾丸の軌道を示す図。

軌道または飛行経路は、質量動いているオブジェクト時間の関数として空間をたどる経路です。古典力学では、軌道は正準座標を介してハミルトニアン力学によって定義されます。したがって、完全な軌道は、位置と運動量によって同時に定義されます。

質量は発射体または衛星である可能性があります。[1]たとえば、それは軌道である可能性があります—惑星小惑星、または彗星が中央の質量の周りを移動するときの軌道です。

制御理論では、軌道は動的システムの時間順に並べられた状態のセットです(たとえば、ポアンカレ写像を参照)。離散数学は、軌道はシーケンスですマッピングの反復適用によって計算された値の要素にそのソースの。

軌道の物理学

弾道のよく知られた例は、投げられたボールや岩などの発射体の経路です。大幅に簡略化されたモデルでは、オブジェクトは均一な重力場の影響下でのみ移動しますこれは、たとえば月の表面など、短距離で投げられる岩の近似値になります。この単純な近似では、軌道は放物線の形を取ります。一般に、軌道を決定するときは、不均一な重力と空気抵抗(抗力空気力学)を考慮する必要があります。これが弾道学の分野の焦点です。

ニュートン力学の注目すべき成果の1つは、ケプラーの法則の導出でした点質量または球対称の拡張質量(太陽など)の重力場では、移動するオブジェクトの軌道は円錐曲線であり、通常は楕円または双曲線です。[a]これは、惑星彗星、および人工宇宙船の観測された軌道とかなり良い近似で一致しますが、彗星が太陽の近くを通過する場合太陽放射圧。これにより、軌道が変更され、彗星が物質を宇宙に放出します。

ニュートンの理論は、後に古典力学として知られる理論物理学の分野に発展しましたそれは微分学の数学を採用しています(これもニュートンが若い頃に始めたものです)。何世紀にもわたって、無数の科学者がこれら2つの分野の発展に貢献してきました。古典力学は、科学と技術における合理的思考の力、すなわち理性の最も顕著なデモンストレーションになりました。膨大な範囲の現象を理解して予測するのに役立ちます軌道はほんの一例です。

質量の粒子を考えてみましょう 、潜在的な分野で動く 物理的に言えば、質量は慣性を表し、フィールドは「保守的」として知られる特定の種類の外力を表します。与えられた関連するすべての位置で、たとえば重力から、その位置で作用する関連する力を推測する方法があります。ただし、すべての力をこのように表現できるわけではありません。

粒子の運動は二階微分方程式で表されます

右側では、力は次のように与えられます軌道に沿った位置で取られたポテンシャルの勾配。これは、ニュートンの運動の第2法則の数学的形式です。このような状況では、力は質量と加速度の積に等しくなります。

均一な重力、引きずりも風もありません

70°の角度で投げられた質量の軌道、
 ドラッグなし
 ストークスの抗力
 ニュートンドラッグ

他の力(空気抵抗など)がない場合の均一な重力場での発射体の運動の理想的なケースは、ガリレオガリレイによって最初に調査されました。軌道を形成する際に大気の作用を無視することは、ヨーロッパの中世を通して、実用的な研究者によって無駄な仮説と見なされていたでしょうそれにもかかわらず、真空の存在を予測することにより、後に彼の共同研究者であるエヴァンジェリスタ・トリチェッリによって地球上で実証される[要出典] 、ガリレオは将来の力学の科学を開始することができました[要出典]たとえば月で判明したように、真空に近い状態では、彼の単純化された放物線軌道は本質的に正しいことがわかります。

以下の分析では、地面に対して静止している慣性系から測定された発射体の運動方程式を導き出します。フレームに関連付けられているのは、発射体の発射点を原点とする右側の座標系です。The-軸は地面に接しており、軸はそれに垂直です(重力場の線に平行)。させて重力の加速度になります。平坦な地形に対して、初期水平速度をと初期垂直速度は範囲_、および最大高度は特定の初速度の最大範囲次の場合に取得されます、つまり初期角度は45度ですこの範囲は、および最大範囲での最大高度は

運動方程式の導出

発射体の運動が、 t = 0でたまたま(xy)=(0,0)に ある自由落下フレームから測定されていると仮定します 。このフレームでの発射体の運動方程式(等価原理による) ) だろう慣性系に対するこの自由落下フレームの座標は次のようになります。あれは、

これで、慣性座標系に戻ると、発射体の座標は次のようになります。あれは:

(ここで、v 0は初速度であり、は仰角、gは重力による加速度です)。

範囲と高さ

発射体の軌道は、異なる仰角で発射されますが、真空中で同じ速度で10 m / sであり、10 m / s2の均一な下向き重力場ですポイントは0.05秒間隔であり、テールの長さは速度に直線的に比例します。t =打ち上げからの時間、T =飛行時間、R =範囲、H =軌道の最高点(矢印で示されています)。

範囲R、オブジェクトがIセクターのx軸に沿って移動する最大距離です。初速度viオブジェクトが原点から発射される速度です初期角度θi前記物体が解放される角度です。gは、ヌル媒体内のオブジェクトに対するそれぞれの引力です。

高さh、オブジェクトがその軌道内で到達する最大の放物線の高さです

仰角

弾道の計算方法を示す例

仰角に関してと初速度

範囲を与える

この方程式を再配置して、必要な範囲の角度を見つけることができます

(式II:発射体の発射角度)

正弦関数は、次の2つの解があることに注意してください。与えられた範囲に対して角度最大範囲を与えることは、導関数を考慮することによって見つけることができますまたはに関してゼロに設定します。

で重要な解決策があります、 また最大範囲は次のようになりますこの角度で、したがって、得られる最大の高さは

与えられた速度の最大の高さを与える角度を見つけるために、最大の高さの導関数を計算しますに関して、 あれは ゼロのときだから最大の高さ発射物が真っ直ぐに発射されたときに得られます。

軌道を回るオブジェクト

均一な下向きの重力の代わりに、2つの物体が相互の重力で軌道を回っていると考えると、ケプラーの惑星運動の法則が得られます。これらの導出は、アイザックニュートンの主要な作品の1つであり、微分計算の開発の動機の多くを提供しました

ボールをキャッチする

野球やクリケットボールなどの発射体が放物線軌道を移動し、空気抵抗が無視できる場合、プレーヤーが降下するときにそれを捕らえるように配置されている場合、飛行中、発射体の仰角が連続的に増加します。仰角の接線は、通常はバットで打たれてボールが空中に送られてからの時間に比例します。ボールが実際に降下しているときでも、飛行の終わり近くで、プレーヤーから見たボールの仰角は大きくなり続けます。したがって、プレイヤーはそれが一定の速度で垂直に上昇しているように見えます。ボールが着実に上昇しているように見える場所を見つけることは、プレーヤーがキャッチを行うために自分自身を正しく配置するのに役立ちます。彼がボールを打った打者に近すぎると、ボールは加速して上昇しているように見えます。

メモ

  1. ^ 理論的には、軌道は放射状の直線、円、または放物線である可能性があります。これらは、実際に発生する可能性がゼロの限定的なケースです。

も参照してください

参考文献

  1. ^ メタ、ロヒット。「11」。物理学の原則p。378。

外部リンク