サブセット

ウィキペディアから、無料の百科事典
ナビゲーションにジャンプ 検索にジャンプ

Aを示すオイラー図はBのサブセットであり、   A⊆Bであり、逆にBはAのスーパーセットです

数学では、 Aのすべての要素Bの要素でもある場合セット AセットBのサブセットです。その場合、 BAのスーパーセットですABが等しくなる可能性があります。それらが等しくない場合、ABの適切なサブセットですあるセットが別のセットのサブセットであるという関係は、包含(または場合によっては包含)と呼ばれます。ABのサブセットですBがAを含む(または含む) 、またはAがBに含まれる(または含まれる)表現することもできます

サブセット関係は、セットの半順序を定義します。実際、特定のセットのサブセットは、サブセット関係の下でブール代数を形成します。この場合、結合と交わりは共通部分と集合によって与えられ、サブセット関係自体はブール包含関係です。

定義

ABが集合であり、Aのすべての要素がBの要素でもある場合、次のようになります。

  • ABのサブセットでありまたは同等に
  • BAのスーパーセットであり

AがBのサブセットであるが、ABと等しくない 場合(つまり、 Aの要素ではないBの要素が少なくとも1つ存在する場合)、次のようになります。

  • ABの適切な(または厳密なサブセットであり または同等に、
  • Bは、Aの適切な(または厳密なスーパーセットであり
  • のセット、書かれたまたは任意のセットXのサブセットであり、それ自体を除く任意のセットの適切なサブセットです。

任意の集合Sについて、包含関係 セット半順序ですSのべき集合—S [1]すべてのサブセットの集合)によって定義されます半順序で注文することもあります定義による逆集合包含による

定量化すると、として表されます[2]

私たちは声明を証明することができます要素引数[3]として知られている証明手法を適用することによって:

セットABを与えましょう。それを証明するために

  1. aがAの特定の、しかし任意に選択された要素であると仮定します。
  2. aがBの要素であることを示します。

この手法の有効性は、普遍汎化の結果として見ることができます:手法は任意に選択された要素の場合c普遍汎化は、これは上記のように。

プロパティ

  • セットAは、それらの共通部分がAに等しい場合に限り、 Bのサブセットです。
正式に:
  • セットAは、それらの和集合がBに等しい場合に限り、 Bのサブセットです。
正式に:
  • 有限集合Aは、それらの共通部分のカーディナリティがAのカーディナリティと等しい場合に限り、Bサブセットです。
正式に:

⊂および⊃記号

一部の著者は記号を使用しますそれぞれサブセットスーパーセットを示します。つまり、同じ意味で、記号の代わりに、[4]たとえば、これらの作成者の場合、すべてのセットA

他の著者は記号を使用することを好みます適切な(厳密とも呼ばれる)サブセットと適切なスーパーセットをそれぞれ示しますつまり、同じ意味で、記号の代わりに、[5]この使用法は不等式記号に類似たとえば、その場合、 xはyと等しい場合と等しくない場合がありますが、その場合、xは間違いなくy等しくなく、 y未満です同様に、が適切なサブセットである場合その場合、 AはBと等しい場合と等しくない場合がありますが、その場合、Aは間違いなくBと等しくありません

サブセットの例

正多角形は多角形のサブセットを形成します
  • セットA = {1、2}はB = {1、2、3}の適切なサブセットであるため、両方の式本当です。
  • セットD = {1、2、3}は、E = {1、2、3}のサブセットです(ただし、適切なサブセットではありません)。したがって、真実であり、真ではありません(偽)。
  • セットはそれ自体のサブセットですが、適切なサブセットではありません。((真実であり、すべてのセットXに対してfalseです。)
  • 集合{ xx10より大きい素数}は{ xxは10より大きい奇数}の適切なサブセットです
  • 自然数のセットは、有理数のセットの適切なサブセットです。同様に、線分のポイントのセットは、ラインのポイントのセットの適切なサブセットですこれらは、サブセットとセット全体の両方が無限大であり、サブセットが全体として同じカーディナリティ(有限セットのサイズ、つまり要素の数に対応する概念)を持っている2つの例です。そのような場合は、最初の直感に反する可能性があります。
  • 有理数のセットは、実数のセットの適切なサブセットですこの例では、両方のセットは無限ですが、後者のセットは前者のセットよりもカーディナリティ(またはパワー)が大きくなっています。

オイラー図の別の例

その他の包含プロパティ

示す

包含は、すべての半順序集合という意味で、正規の半順序です。包含順に並べられたセットのいくつかのコレクション同型です。序数は単純な例です。各序数nセットで識別される場合n以下のすべての序数のうち場合に限り

パワーセットの場合 集合Sの場合、包含半順序は、次の同型まで、のデカルトです。Sカーディナリティ)上の半順序のコピーそのためにこれは、列挙することで説明できます、および各サブセットとの関連付け(つまり、の各要素)からのkタプルそのうちのi番目の座標は1であり、Tメンバーです

も参照してください

参考文献

  1. ^ ワイスタイン、エリックW. 「サブセット」mathworld.wolfram.com 2020年8月23日取得
  2. ^ ローゼン、ケネスH.(2012)。離散数学とその応用(第7版)。ニューヨーク:マグロウヒル。p。 119ISBN 978-0-07-338309-5
  3. ^ Epp、Susanna S.(2011)。アプリケーションを使用した離散数学(第4版)。p。337. ISBN 978-0-495-39132-6
  4. ^ Rudin、Walter(1987)、Real and complex analysis(3rd ed。)、New York:McGraw-Hill、p。6、ISBN 978-0-07-054234-1MR  0924157
  5. ^ サブセットと適切なサブセット(PDF) 、2013年1月23日にオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2012年9月7日取得

参考文献

外部リンク