相対密度

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比重
一般的な記号
SG
SI単位ユニットレス

他の量からの派生
アメリカ海軍のAviationBoatswain's Mateは、JP-5燃料の比重をテストします

相対密度または比重[1] [2]、特定の参照物質の密度に対する物質の密度(単位体積の質量)の比率です。液体の比重は、ほとんどの場合、最も密度の高い(4°Cまたは39.2°F)に対して測定されます。ガスの場合、基準は室温(20°Cまたは68°F)の空気です。「相対密度」という用語は、科学的な使用法でしばしば好まれます。

物質の相対密度が1未満の場合、参照よりも密度が低くなります。1より大きい場合は、参照よりも密度が高くなります。相対密度が正確に1の場合、密度は等しくなります。つまり、2つの物質の等量は同じ質量を持ちます。参照物質が水である場合、相対密度(または比重)が1未満の物質は水に浮きます。たとえば、相対密度が約0.91の角氷が浮きます。相対密度が1より大きい物質は沈みます。

サンプルとリファレンスの両方に温度と圧力を指定する必要があります。圧力はほとんどの場合1気圧(101.325 kPa)です。そうでない場合は、密度を直接指定するのが一般的です。サンプルとリファレンスの両方の温度は、業界によって異なります。英国の醸造慣行では、上記の比重に1000を掛けます。 [ 3]比重は、ブラインなどのさまざまな材料の溶液の濃度に関する情報を取得する簡単な手段として、業界で一般的に使用されてますシロップ、ジュース、蜂蜜、醸造者の麦汁マストなど)と酸。

基本計算

相対密度 ()または比重()は、密度または重みの比率であるため 、無次元量です。

どこは相対密度ですは測定される物質の密度であり、は参照の密度です。(慣例により、ギリシャ文字のrhoは、密度を示します。)

参考資料は、下付き文字を使用して示すことができます。これは「参照に対する物質の相対密度」を意味します参照が明示的に記載されていない場合、通常はC(より正確には、水が最大密度に達する温度である3.98°C)の水であると見なされます。SI単位では、水の密度は(約)1000  kg / m3または 1g / cm 3であるため、相対密度の計算が特に便利です。オブジェクトの密度は、1000または1で除算するだけで済みます。単位。

ガスの相対密度は、多くの場合、温度20°C、絶対圧101.325 kPa、密度1.205 kg / m3の乾燥空気に対して測定されます。空気に対する相対密度は、次の式で求めることができます。

どこモル質量であり、ほぼ等しい符号が使用されます。これは、 1molのガスと1molの空気が特定の温度と圧力で同じ体積を占める場合、つまり両方とも理想気体である場合にのみ等式が関係するためです。理想的な動作は通常、非常に低い圧力でのみ見られます。たとえば、1molの理想気体は0°Cおよび1気圧で22.414Lを占めますが、二酸化炭素は同じ条件下で22.259Lのモル体積を持ちます。

SGが1より大きいものは水よりも密度が高く、表面張力の影響を無視して水に沈みます。SGが1未満のものは、水よりも密度が低く、水に浮きます。科学的研究では、質量と体積の関係は通常、研究対象の物質の密度(単位体積あたりの質量)で直接表されます。多くの場合、歴史的な理由から、比重が幅広い用途に使用されるのは業界です。

液体の真の比重は、数学的に次のように表すことができます。

どこはサンプルの密度であり、は水の密度です。

見かけの比重は、単に空気中の等量のサンプルと水の重量の比率です。

どこ空気中で測定されたサンプルの重量を表し、空気中で測定された等量の水の重量。

真の比重はさまざまな特性から計算できることを示すことができます。

ここで、gは重力による局所加速度、Vはサンプルと水の体積(両方で同じ)、ρsampleサンプルの密度、ρH2 Oは水の密度WVは真空中で得られた重量、はサンプルの質量であり、は等量の水の質量です。

水の密度は、サンプルの密度と同様に、温度と圧力によって異なります。したがって、密度または重量が決定された温度と圧力を指定する必要があります。ほとんどの場合、測定は1つの公称大気(101.325 kPa±気象パターンの変化による変動)で行われます。しかし、比重は通常、高度に非圧縮性の水溶液または他の非圧縮性物質(石油製品など)を指すため、圧力による密度の変動は、少なくとも見かけの比重が測定されている場合は通常無視されます。真の(真空中の)比重計算では、気圧を考慮する必要があります(以下を参照)。温度は表記(T s / Tr)、T sはサンプルの密度が決定された温度を表し、T rは参照(水)密度が指定された温度を表します。たとえば、SG(20°C / 4°C)は、サンプルの密度が20°Cで測定され、水の密度が4°Cで測定されたことを意味すると理解されます。さまざまなサンプル温度と参照温度を考慮に入れると、SG H 2 O =1.000 000(20°C / 20°C)、SG H 2 O =0.998 2030.999 840 =0.998 363(20°C / 4°C)。ここでは、温度は現在のITS-90スケールを使用して指定されており、ここおよびこの記事の残りの部分で使用される密度[4]はそのスケールに基づいています。以前のIPTS-68スケールでは、20°Cと4°Cでの密度は0.9982071および_それぞれ0.9999720あり、その結果、水のSG(20°C / 4°C)値は0.9982343_

業界での比重測定の主な用途は水溶液中の物質の濃度の測定であり、これらはSG対濃度の表に記載されているため、分析者が正しい形の比重で表に入ることが非常に重要です。たとえば、醸造業界では、Platoテーブルに真のSGに対するスクロースの重量濃度がリストされており、元々は(20°C / 4°C)[5]、つまり実験室温度で作成されたスクロース溶液の密度の測定に基づいていました( 20°C)ただし、水が最大密度になる温度に非常に近い4°Cでの水の密度を基準にすると、 ρH2Oは999.972kg / m3に等しくなりますSI単位系(0.999 972  g / cm 3cgs単位)または62.43 lb / cu ft(米国慣習単位)。現在北米で使用されているASBCテーブル[6]は、元のプラトンテーブルから派生したものですが、水の密度が0.998 2071 g  / cm3砂糖、清涼飲料、蜂蜜、フルーツジュース、および関連業界では、ショ糖の重量濃度は、SG(17.5°C / 17.5°C)を使用するA.Brixが作成した表から取得されます。最後の例として、英国のSGユニットは、60°Fの参照温度とサンプル温度に基づいているため、(15.56°C / 15.56°C)です。

物質の比重が与えられると、その実際の密度は上記の式を再配置することによって計算できます。

水以外の参照物質(空気など)が指定される場合があります。この場合、比重はその参照に対する密度を意味します。

温度依存性

さまざまな温度で測定された水の密度の表については、密度を参照してください。

物質の密度は温度と圧力によって変化するため、密度または質量が決定された温度と圧力を指定する必要があります。ほとんどの場合、測定は公称1気圧(気象パターンの変化による変動を無視して101.325 kPa)で行われますが、相対密度は通常、高度に非圧縮性の水溶液またはその他の非圧縮性物質(石油製品など)の密度の変動を指します。圧力によって引き起こされるものは、通常、少なくとも見かけの相対密度が測定されている場合は無視されます。真の(真空中の)相対密度の計算では、気圧を考慮する必要があります(以下を参照)。温度は表記(T s / T r )で指定されますT sはサンプルの密度が決定された温度を表し、Tr参照(水)密度が指定された温度を表しますたとえば、SG(20°C / 4°C)は、サンプルの密度が20°Cで測定され、水の密度が4°Cで測定されたことを意味すると理解されます。さまざまなサンプル温度と参照温度を考慮に入れると、SG H 2 O = 1.000000(20°C / 20°C)である一方で、RD H 2 O =0.998203/0.998840= 0.998363(20°C / 4°C)。ここでは、温度は現在のITS-90スケールを使用して指定されており、ここおよびこの記事の残りの部分で使用される密度[7]はそのスケールに基づいています。以前のIPTS-68スケールでは、20°Cと4°Cでの密度はそれぞれ0.9982071と0.9999720であり、水のRD(20°C / 4°C)値は0.9982343になります。

2つの材料の温度は、密度記号で明示的に示すことができます。例えば:

相対密度:8.1520°C4
°C
; または比重:2.43215
0

ここで、上付き文字は材料の密度が測定される温度を示し、下付き文字はそれが比較される参照物質の温度を示します。

を使用します

相対密度は、流体または気体中の物質の浮力を定量化したり、別の既知の密度から未知の物質の密度を決定したりするのにも役立ちます。相対密度は、地質学者鉱物学者が岩石やその他のサンプルの鉱物含有量を決定するためによく使用されます。宝石学者は、宝石の識別の補助としてそれを使用します測定は現場で簡単に実行できるため、参照として水が推奨されます(測定方法の例については以下を参照してください)。

業界での相対密度測定の主な用途は水溶液中の物質の濃度の決定であり、これらはRD対濃度の表に記載されているため、分析者が正しい形式の相対密度で表に入力することが非常に重要です。たとえば、醸造業界では、真のRDに対するスクロースの質量濃度をリストしたPlatoテーブルは、元々(20°C / 4°C) [8]であり、実験室で作成されたスクロース溶液の密度の測定に基づいています。温度(20°C)ですが、4°Cでの水の密度を基準にしています。これは、水の最大密度がρH
2
O )0.999972 g / cm
3(または62.43lb・ft -3)に等しい現在北米で使用されているASBCテーブル[9]は、元のプラトンテーブルから派生したものですが、水の密度が0.9982071 g / cm3砂糖、清涼飲料、蜂蜜、フルーツジュース、および関連業界では、SG(17.5°C / 17.5°C)を使用するこの作業[3]からショ糖の質量濃度を取得しています。最後の例として、英国のRDユニットは、60°Fの参照温度とサンプル温度に基づいているため、(15.56°C / 15.56°C)です。[3]

測定

相対密度は、サンプルの密度を測定し、それを参照物質の(既知の)密度で割ることによって直接計算できます。サンプルの密度は、単にその質量をその体積で割ったものです。質量は簡単に測定できますが、不規則な形状のサンプルの体積を確認するのは難しい場合があります。1つの方法は、サンプルを水で満たされたメスシリンダーに入れ、それがどれだけの水を置換するかを読み取ることです。あるいは、容器を縁まで満たし、サンプルを浸し、オーバーフローの量を測定することもできます。水の表面張力により、大量の水が溢れるのを防ぐことができます。これは、少量のサンプルでは特に問題になります。このため、できるだけ口の小さい水容器を使用することが望ましい。

各物質について、密度ρは次の式で与えられます。

これらの密度を分割すると、ばね定数、重力、および断面積への参照が単純にキャンセルされ、

静水圧計量

相対密度は、体積を測定しなくても、より簡単に、おそらくより正確に測定できます。バネばかりを使用して、サンプルを最初に空気中で、次に水中で計量します。次に、相対密度(水に対する)を次の式を使用して計算できます。

どこ

W空気は、空気中のサンプルの重量です(ニュートンポンド力、またはその他の力の単位で測定)
Wは、水中のサンプルの重量です(同じ単位で測定)。

この手法は、サンプルが浮くため、1未満の相対密度を測定するために簡単に使用することはできません。Wは負の量になり、サンプルを水中に保つために必要な力を表します。

別の実用的な方法は、3つの測定値を使用します。サンプルを秤量して乾燥させます。次に、縁まで水を満たした容器の重さを量り、押しのけられた水が溢れて除去された後、サンプルを浸した状態で再度重さを量ります。最初の2つの読み取り値の合計から最後の読み取り値を差し引くと、押しのけられた水の重量が得られます。相対密度の結果は、乾燥したサンプルの重量を置換された水の重量で割ったものです。この方法では、浮遊サンプルを処理できないスケールを使用できます。水よりも密度の低いサンプルも処理できますが、押さえる必要があり、固定材による誤差を考慮する必要があります。

比重計

Hydro.PNG

液体の相対密度は、比重計を使用して測定できます。これは、隣接する図に示すように、一定の断面積の茎に取り付けられた球根で構成されています。

まず、比重計を参照液体(水色で表示)に浮かせ、変位(茎の液体のレベル)をマークします(青い線)。参照は任意の液体である可能性がありますが、実際には通常は水です。

次に、比重計は密度が不明な液体(緑色で表示)に浮かびます。変位の変化Δx示されています。示されている例では、比重計は緑色の液体にわずかに落ちています。したがって、その密度は参照液体の密度よりも低くなります。比重計は両方の液体に浮かぶ必要があります。

単純な物理的原理を適用することで、変位の変化から未知の液体の相対密度を計算できます。(実際には、比重計の茎には、この測定を容易にするために目盛りが事前に付けられています。)

次の説明では、

ρrefは、参照液体(通常は水)の既知の密度(単位体積あたりの質量)です。
ρnewは、新しい(緑色の)液体の未知の密度です。
RD new / refは、参照に対する新しい液体の相対密度です。
Vは、押しのけられた参照液体の体積、つまり図の赤い体積です。
mは比重計全体の質量です。
g局所重力定数です。
Δxは変位の変化です。比重計の通常の目盛りの仕方に従って、ここでは、変位線が比重計の茎で上昇する場合は負、下降する場合は正と見なされます。示されている例では、Δx負です。
Aはシャフトの断面積です。

浮力比重計は静的平衡状態にあるため、それに作用する下向きの重力は、上向きの浮力と正確に釣り合う必要があります。比重計に作用する重力は、単にその重量mgです。アルキメデスの 浮力の原理から、比重計に作用する浮力は、押しのけられた液体の重量に等しくなります。この重量は、押しのけられた液体の質量にgを掛けたものに等しく、参照液体の場合はρrefVgですこれらを等しく設定すると、

あるいは単に

(1)

比重計が測定対象の液体に浮かんでいる場合は、新しい体積がV  -  AΔxであることを除いて、まったく同じ式が適用されます( Δxの符号については上記の注を参照してくださいしたがって、

(2)

(1)と(2)を組み合わせると、

(3)

しかし、(1)から、V = m / ρrefがられます。(3)に代入すると

(4)

この式により、変位の変化、参照液体の既知の密度、および比重計の既知の特性から相対密度を計算できます。Δxが小さい場合、等比数列の1次近似として、式(4)は次のように記述できます。

これは、Δxが小さい場合変位の変化が相対密度の変化にほぼ比例することを示しています。

ピクノメーター

空のガラスピクノメーターとストッパー
満たされたピクノメーター

ピクノメーター(ギリシャ語から:「高密度」を意味するπυκνόςpuknos))は、ピクノメーターまたは比重ボトルとも呼ばれ液体密度測定するために使用されるデバイスです。ピクノメーターは通常ガラスでできており、気泡が装置から逃げる可能性があるように、ぴったりと合うすり合わせストッパー毛細管が通っています。この装置は、分析天びんを使用して、水銀などの適切な作動油を参照することにより、液体の密度を正確に測定することを可能にします[ 要出典]

フラスコの重量が空で、水で満たされ、相対密度が望ましい液体で満たされている場合、液体の相対密度を簡単に計算できます。通常の計量方法では適用できない粉末粒子密度も、ピクノメーターで測定できます。粉末はピクノメーターに追加され、次にそれが計量されて、粉末サンプルの重量が得られます。次に、ピクノメーターは、粉末が完全に不溶性である既知の密度の液体で満たされます。次に、押しのけられた液体の重量、したがって粉末の相対密度を決定することができます。

ガスピクノメーターは、ピクノメーターのガスベースの症状であり、参照(通常は既知の体積の鋼球)を含む閉じた体積の測定された変化によって引き起こされる圧力の変化を、下のサンプルによって引き起こされる圧力の変化と比較します。同じ条件。圧力変化の差は、参照球と比較したサンプルの体積を表し、通常、上記のピクノメーター設計の液体媒体に溶解する可能性のある固体粒子、または液体が溶解しない多孔質材料に使用されます完全に浸透します。

ピクノメーターが特定の、しかし必ずしも正確に知られているとは限らない体積Vまで満たされ、天びんに置かれると、力がかかります

ここで、m bはボトルの質量、gは測定が行われている場所で重力加速度です。ρa周囲圧力での空気の密度、ρbはボトルを構成する材料(通常はガラス)の密度であるため、第2項は、その重量がボトルのガラスによって置き換えられた空気の質量ですアルキメデスの原理による減算する必要があります。ボトルは空気で満たされていますが、その空気が同じ量の空気を置換するため、その空気の重量は、置換された空気の重量によって相殺されます。次に、ボトルに参照液、たとえば純水を入れます。天びんの鍋にかかる力は次のようになります。

これから空のボトルで測定された力を差し引くと(または水を測定する前に天びんを風袋引きする)、が得られます。

ここで、下付き文字nは、この力が空のボトルの力を差し引いたものであることを示しています。これでボトルが空になり、完全に乾燥してサンプルが再充填されます。空のボトルを差し引いた力は、次のようになります。

ここで、ρsはサンプルの密度ですサンプルと水の力の比率は次のとおりです。

これは、下付き文字Aで示される見かけの相対密度と呼ばれます。これは、分析天びんから空気中の正味重量の比率を取得するか、比重計を使用した場合に得られるものであるためです(ステムが空気を置換します)。結果は天びんの校正に依存しないことに注意してください。唯一の要件は、力を使って線形に読み取ることです。また、RDAはピクノメーター実際の容量に依存しません。

さらなる操作と最後にRDVの置換、真の相対密度(これはしばしば真空中の相対密度と呼ばれるため、下付き文字Vが使用されます)。ρs / ρwは、見かけの相対密度と真の相対密度の関係を示します。

通常の場合、重量を測定し、真の相対密度が必要になります。これはから見つけられます

20°Cで101.325kPaの乾燥空気の密度は[10] 0.001205 g / cm 3であり、水の密度は0.998203 g / cm 3であるため、相対密度を持つ物質の真の相対密度と見かけの相対密度の差がわかります(約1.100の20°C / 20°C)は0.000120になります。サンプルの相対密度が水の密度に近い場合(たとえば、希薄なエタノール溶液)、補正はさらに小さくなります。

ピクノメーターは、ISO規格:ISO 1183-1:2004、ISO 1014–1985、およびASTM規格:ASTMD854で使用されています。

タイプ

  • ゲイ・ルサック、洋ナシ形、穴あきストッパー付き、調整済み、容量1、2、5、10、25、50、100 mL
  • 上記のように、接地温度計、調整済み、キャップ付きサイドチューブ付き
  • ハバード、ビチューメンおよび重質原油用、円筒型、ASTM D 70、24 mL
  • 上記のように、コニカルタイプ、ASTM D115およびD234、25 mL
  • ブーツ、真空ジャケットと温度計付き、容量5、10、25、50 mL

デジタル密度計

静水圧ベースの機器:このテクノロジーは、流体の垂直柱内の2点間の圧力差が、2点間の垂直距離、流体の密度、および重力に依存するというパスカルの法則に依存しています。この技術は、液面と密度を測定する便利な手段として、タンクゲージアプリケーションによく使用されます。

振動要素トランスデューサ:このタイプの機器では、振動要素を対象の流体と接触させて配置する必要があります。エレメントの共振周波数が測定され、エレメントの設計に依存する特性評価によって流体の密度に関連付けられます。現代の実験室では、相対密度の正確な測定は、振動するU字管を使用して行われます。メートル。これらは小数点以下5〜6桁まで測定可能であり、醸造、蒸留、製薬、石油、その他の業界で使用されています。機器は、0〜80°Cの温度で固定容量に含まれる流体の実際の質量を測定しますが、マイクロプロセッサベースであるため、見かけまたは真の相対密度を計算し、一般的な酸、砂糖溶液などの強度に関連する表を含めることができます。

超音波トランスデューサー:超音波は、ソースから対象の流体を通過し、波の音響分光法を測定する検出器に送られます。密度や粘度などの流体特性は、スペクトルから推測できます。

放射線ベースのゲージ:放射線は、線源から対象の流体を通り、シンチレーション検出器またはカウンターに送られます。流体密度が増加すると、検出される放射線の「カウント」は減少します。発生源は通常、放射性同位体セシウム137であり、半減期は約30年です。このテクノロジーの主な利点は、機器が流体と接触する必要がないことです。通常、ソースと検出器はタンクまたは配管の外側に取り付けられます。[11]

浮力変換器:均質な液体中のフロートによって生成される浮力は、フロートによって押しのけられる液体の重量に等しくなります。浮力はフロートが沈められている液体の密度に対して線形であるため、浮力の測定値は液体の密度の測定値をもたらします。ある市販のユニットは、この機器が±0.005RDユニットの精度で相対密度を測定できると主張しています。水中プローブヘッドには、数学的に特徴付けられたスプリングフロートシステムが含まれています。ヘッドが液体に垂直に浸されると、フロートは垂直に移動し、フロートの位置は、ホール効果線形変位センサーの同心配列によって変位が検出される永久磁石の位置を制御します。[12]

素材 比重
バルサ材 0.2
オーク 0.75
エタノール 0.78
オリーブオイル 0.91
1
アイアンウッド 1.5
黒鉛 1.9〜2.3
食卓塩 2.17
アルミニウム 2.7
セメント 3.15
7.87
8.96
11.35
水星 13.56
劣化ウラン 19.1
ゴールド 19.3
オスミウム 22.59

(サンプルは異なる場合があり、これらの数値は概算です。)相対密度が1の物質は中立的に浮力があり、RDが1より大きい物質は水よりも密度が高いため、(表面張力の影響を無視して)その中に沈みます。 RDが1未満の場合、水よりも密度が低いため、浮きます。

例:

ヘリウムガスの密度は0.164g / Lです。[13]密度は空気の0.139倍で、密度は1.18 g / Lです。[13]

  • 尿の比重は通常1.003から1.030の間です。尿比重診断テストは、尿路系の評価のための腎濃度能力を評価するために使用されます。[14]低濃度は尿崩症を示している可能性があり、高濃度はアルブミン尿または糖尿を示している可能性があります。[14]
  • 血液の比重は通常約1.060です。[15]
  • ウォッカ80°プルーフ(40%v / v)の比重は0.9498です。[16]

も参照してください

参考文献

  1. ^ ダナ、エドワードソールズベリー(1922年)。鉱物学の教科書:結晶学に関する拡張論文付き...ニューヨーク、ロンドン(チャップマンホール):ジョンワイリーアンドサンズ。pp。195–200、316。
  2. ^ シェッツ、ジョセフA。; アレンE.フース(1999-02-05)。流体力学の基礎Wiley、John&Sons、Incorporated。pp。111、142、144、147、109、155、157、160、175。ISBN _ 0-471-34856-2
  3. ^ a b c Hough、JS、Briggs、DE、Stevens、R and Young、TW Malting and Brewing Science、Vol。IIホップした麦汁とビール、チャップマンアンドホール、ロンドン、1991年、p。881
  4. ^ Bettin、H。; Spieweck、F。(1990)。"Die Dichte des Wassers als Funktion derTemperaturnachEinführungdesInternationalenTemperaturskalavon1990"。PTB-Mitteilungen100pp。195–196。
  5. ^ ASBCの分析方法表1の序文:麦汁とビールの抽出物、アメリカ醸造化学者協会、セントポール、2009年
  6. ^ ASBC分析方法op。引用。表1:麦汁とビールの抽出物
  7. ^ Bettin、H。; Spieweck、F。(1990)。Die Dichte des Wassers als Funktion derTemperaturnachEinführungdesInternationalenTemperaturskalavon 1990(ドイツ語)。PTB =ミット。100. pp。195–196。
  8. ^ ASBCの分析方法表1の序文:麦汁とビールの抽出物、アメリカ醸造化学者協会、セントポール、2009年
  9. ^ ASBC分析方法op。引用。表1:麦汁とビールの抽出物
  10. ^ DIN51 757(04.1994):鉱油および関連材料のテスト。密度の決定
  11. ^ 密度– VEGA Americas、IncOhmartvega.com。2011年9月30日に取得。
  12. ^ プロセス制御デジタル電子比重計ガードコ。2011年9月30日に取得。
  13. ^ ab 「講義デモンストレーション」 。physics.ucsb.edu
  14. ^ a b ルイス、シャロンマンティック; ディルクセン、シャノンラフ; ハイトケンパー、マーガレットM。; ブッチャー、リンダ; ハーディング、マリアン(2013年12月5日)。医療-外科看護:臨床問題の評価と管理(第9版)。ミズーリ州セントルイス。ISBN 978-0-323-10089-2OCLC228373703 _
  15. ^ Shmukler、Michael(2004)。Elert、Glenn(ed。)「血の密度」物理ファクトブック2022-01-23を取得
  16. ^ 「リキュールの比重」良いカクテル.com

さらに読む

  • 流体力学の基礎Wiley、BR Munson、DF Young、TH Okishi
  • 流体力学入門第4版、Wiley、SIバージョン、RW Fox&ATマクドナルド
  • 熱力学:エンジニアリングアプローチ第2版、McGraw-Hill、国際版、YA Cengel&MA Boles
  • マンソン、BR; DFヤング; TH Okishi(2001)。流体力学の基礎(第4版)。ワイリー。ISBN 978-0-471-44250-9
  • フォックス、RW; マクドナルド、AT(2003)。流体力学入門(第4版)。ワイリー。ISBN 0-471-20231-2

外部リンク