交代行列

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数学、特に線形代数は、スキュー対称(または反対称または反対称[1]行列は、転置が負に等しい正方行列です。つまり、条件[2] :pを満たします。38 

マトリックスのエントリに関して、のエントリを示します-行と-番目の列の場合、スキュー対称条件は次のようになります。

マトリックス

交代行列であるため

プロパティ

全体を通して、すべての行列エントリがフィールドに属していると想定しています その数は2に等しくありません。つまり、1 + 1≠0と仮定します。ここで、1は乗法単位元を示し、0は与えられた体の加法単位元を示します。フィールドの標数が2の場合、スキュー対称行列は対称行列と同じものになります。

  • 2つのスキュー対称行列の合計はスキュー対称です。
  • 交代行列のスカラー乗は、交代行列です。
  • 交代行列の対角上の要素はゼロであるため、そのトレースはゼロに等しくなります。
  • もしもは実際の交代行列であり、は実固有値であり、つまり、スキュー対称行列の非ゼロの固有値は非実数です。
  • もしもは実数の交代行列であり、可逆であり、ここで単位行列です。
  • もしもはスキュー対称行列であり、は対称負の半確定行列です。

ベクトル空間構造

上記の最初の2つのプロパティの結果として、固定サイズのすべての交代行列のセットがベクトル空間を形成します。の空間交代行列には次元があります

させてのスペースを示します行列。交代行列は、次の式で決定されます。スカラー(主対角線より上のエントリの数); 対称行列によって決定されます スカラー(主対角線上またはそれより上のエントリの数)。させてのスペースを示します交代行列とのスペースを示します対称行列。もしもそれから

注意してくださいこれはすべての正方行列に当てはまります 特性2とは異なる任意のフィールドからのエントリを使用します。

どこ直和を示します。

で表すの標準内積本当のマトリックス次の場合にのみ、スキュー対称です

これも同等ですすべてのために(1つの意味は明白であり、もう1つの意味はすべてのために)。

この定義は基底の選択とは無関係であるため、スキュー対称性は線形演算子のみに依存するプロパティです。 内積の選択

スキュー対称行列は、外積を行列の乗算として 表すために使用できます。

行列式

させてである交代行列。行列満たす

特に、は奇数であり、基になる体は標数2ではないため、行列式は消えます。したがって、行列式は常にゼロであるため、すべての奇数次元の交代行列は特異です。この結果は、カール・グスタフ・ヤコビ(Eves、1980) にちなんで、ヤコビの定理と呼ばれています。

偶数次元の場合はもっと興味深いです。の行列式がためにのエントリに多項式の二乗として書くこともできます、これはケイリーによって最初に証明されました:[3]

この多項式は、のパフィアンと呼ばれますと表示されますしたがって、実際の交代行列の行列式は常に非負です。ただし、この最後の事実は、次のように基本的な方法で証明できます。実際の交代行列の固有値は純粋に虚数であり(以下を参照)、すべての固有値に同じ多重度の共役固有値が対応します。したがって、行列式は固有値の積であり、それぞれがその多重度に従って繰り返されるため、行列式は、0でない場合、正の実数であることがすぐにわかります。

個別の用語の数次数のスキュー対称行列式の行列式の展開Cayley、Sylvester、およびPfaffによってすでに検討されています。キャンセルのため、この数は、順序の一般的な行列の項の数と比較して非常に少ないです。、これはシーケンスOEISのシーケンスA002370)は

1、0、1、0、6、0、120、0、5250、0、395010、0、…

そしてそれは指数母関数でエンコードされます

後者は漸近解析に帰着します(平)

正と負の項の数は全体の約半分ですが、それらの差は次のように正と負の値がますます大きくなります。増加します(OEISのシーケンスA167029)。

クロス積

3行3列のスキュー対称行列を使用して、外積を行列の乗算として表すことができます。ベクトルを検討する 次に、マトリックスを定義します

外積は次のように書くことができます

これは、前の方程式の両辺を計算し、結果の対応する各要素を比較することですぐに確認できます。

1つは実際に持っています

つまり、スキュー対称の3行3列の行列の整流子は、3つのベクトルの外積で識別できます。スキュー対称の3行3列の行列は、回転群のリー代数であるためこれにより、3空間間の関係が明らかになります、外積と3次元回転。微小回転の詳細については、以下をご覧ください。

スペクトル理論

行列はそれ自体の転置にているため、同じ固有値を持っている必要があります。したがって、スキュー対称行列の固有値は常にペア±λになります(ペアになっていない0の固有値が追加される奇数次元の場合を除く)。スペクトル定理から、実数の交代行列の場合、非ゼロの固有値はすべて純粋な虚数であるため、次の形式になります。ここで、本物です。

実数の交代行列は通常の行列であり(隣接する行列と交換します)、したがって、スペクトル定理の対象となります。これは、任意の実数の交代行列をユニタリ行列で対角化できることを示しています実数の交代行列の固有値は虚数であるため、実数の行列で対角化することはできません。ただし、特別な直交変換によって、すべてのスキュー対称行列をブロック対角形式にすることは可能です。[4] [5]具体的には、実数のスキュー対称行列は、次の形式で記述できます。どこ直交していて

本当の正の場合-明確この行列の非ゼロ固有値は± λki です奇数次元の場合、Σには常にゼロの行と列が少なくとも1つあります。

より一般的には、すべての複雑な交代行列は次の形式で記述できます。どこ単一であり、上記のブロック対角形式はまだ本当のポジティブ-確かに。これは、複素正方行列のYoula分解の例です。[6]

交代行列と交互形式

交代行列形式 ベクトル空間 フィールド 任意の標数の双線形形式として定義されます

すべての人のために

これは、2に等しくない標数の体上のベクトル空間に望ましい特性を持つ形式を定義しますが、標数2の体上のベクトル空間では、すべての要素が独自の反数であるため、定義は対称形式の定義と同等です。 。

ベクトル空間 標数2を含む任意の標数の体上にある場合、交代形式を双線形形式として定義できます。すべてのベクトルに対して

これは、フィールドが標数2でない場合のスキュー対称形式に相当します。

どこから

双線形形式マトリックスで表されますそのような、かつて基礎が選択され、逆にマトリックスオンフォーム送信を発生させます 対称、スキュー対称、交代形式のそれぞれについて、表現する行列はそれぞれ対称、スキュー対称、交代です。

微小回転

実数の体上のスキュー対称行列は、実直交群への接空間を形成します 単位行列で; 正式には、特別な直交リー代数この意味で、交代行列は微小回転と考えることができます。

別の言い方をすれば、交代行列の空間がリー代数を形成するということです。 リー群 このスペースのリーブラケットは整流子によって与えられます:

2つのスキュー対称行列の交換子が再びスキュー対称であることを確認するのは簡単です。

交代行列行列指数直交行列です

リー代数の指数写像の画像は、常に、単位元を含むリー群の連結成分にあります。リー群の場合この連結成分は特別な直交群です 行列式1のすべての直交行列で構成されます。行列式+1があります。さらに、接続されたコンパクトリー群の指数写像は常に主観的であるため、単位行列式を持つすべての直交行列は、交代行列の指数として記述できることがわかります。寸法の特に重要な場合直交行列の指数表現は、複素数の単位係数のよく知られた極形式になります。確かに、特別な直交行列の形式は

したがって、置く書くことができます

これは極形式に正確に対応します複素数の単位係数の。

次数の直交行列の指数表現次元でという事実から始めることもできます特別な直交行列 次のように書くことができますどこは直交し、Sはブロック対角行列です。次数2のブロックに加えて、次数1のブロック奇妙です。2次の各単一ブロックも直交行列であるため、指数形式を認めます。同様に、行列 Sは、スキュー対称ブロック行列の指数として書き込みます。上記の形式の、となることによって交代行列の指数逆に、指数マップの全射性は、前述のスキュー対称行列のブロック対角化とともに、直交行列のブロック対角化を意味します。

座標フリー

より本質的に(つまり、座標を使用せずに)、ベクトル空間でのスキュー対称線形変換内積を使用すると、空間上のバイベクトルとして定義できます。これは、単純なバイベクトル(2ブレード)の合計です。対応は地図によって与えられますどこベクトルの二重の共ベクトルです; 正規直交座標では、これらは正確に基本的な交代行列です。この特性は、ベクトル場(当然のことながら2ベクトル)の回転を微小回転または「回転」として解釈する際に使用されるため、この名前が付けられています。

スキュー対称化可能なマトリックス

アンマトリックス可逆対角行列が存在する場合、スキュー対称であると言われます そのようなスキュー対称です。実際 行列、時には条件ポジティブなエントリーを持つために追加されます。[7]

も参照してください

参考文献

  1. ^ リチャードA.レイメント; KGJöreskog ; レスリー・F・マーカス(1996)。自然科学における応用因子分析ケンブリッジ大学出版局。p。68. ISBN 0-521-57556-7
  2. ^ リプシュッツ、シーモア; リプソン、マーク(2005年9月)。シャウムの線形代数の理論と問題の概要マグロウヒル。ISBN 9780070605022
  3. ^ ケイリー、アーサー(1847)。「Surlesdeterminantsgauches」[スキュー行列式について]。クレレ誌38:93–96。Cayley、A。(2009)に転載。「SurlesDéterminantsGauches」。収集された数学論文1. pp。410–413。土井10.1017 /CBO9780511703676.070ISBN 978-0-511-70367-6
  4. ^ ヴォロノフ、セオドア。Pfaffian、in:数学と物理学における超対称性と非可換構造の簡潔な百科事典、編。S. Duplij、W。Siegel、J。Bagger(ベルリン、ニューヨーク:Springer 2005)、p。298。
  5. ^ ズミノ、ブルーノ(1962)。「複雑な行列の正規形」。Journal of MathematicalPhysics3(5):1055〜1057。Bibcode1962JMP ..... 3.1055Z土井10.1063 /1.1724294
  6. ^ Youla、DC(1961)。「単一合同グループの下の行列の正規形」。できる。J.数学13:694–704。土井10.4153 / CJM-1961-059-8
  7. ^ フォミン、セルゲイ; ゼレヴ​​ィンスキー、アンドレイ(2001)。「クラスター代数I:基礎」。arXivmath / 0104151v1

さらに読む

外部リンク