セット(数学)

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オイラー図のポリゴンのセット

数学セットはのコレクションです要素[1] [2] [3] セットを構成する要素は、数値、記号、空間内の点、線、その他の幾何学的形状、変数、またはその他のセットなど、あらゆる種類の数学的オブジェクトにすることができます。[4] 要素のないセット空のセットです;単一の要素を持つセットはシングルトンです。セットには、有限数の要素がある場合と、無限セットの場合があります。 2つのセットはそれらがまったく同じ要素を持っている場合にのみ等しくなります。[5]

セットは現代の数学に遍在しています。確かに、集合論、より具体的にはツェルメロフレンケル集合論は、20世紀の前半以来、数学のすべての分野に厳密な基礎を提供するための標準的な方法でした。[4]

起源

セットの概念は、19世紀の終わりに数学で登場しました。[6]ドイツ語の集合の単語、メンゲはベルナルト・ボルツァーノの作品「無限の逆説」で造られました[7] [8] [9]

ゲオルク・カントールの元のセット定義の翻訳を含むパッセージ。セットのドイツ語のMengeはここ集計し翻訳されています。

集合論の創始者の一人であるゲオルク・カントールは、彼のBeiträgezurBegründungdertransfinitenMengenlehreの冒頭で次の定義を与えました[10]

セットとは、セットの要素と呼ばれる、私たちの知覚または思考の明確で明確なオブジェクト全体に集まったものです。

ナイーブ集合論

セットの最も重要な特性は、メンバーとも呼ばれる要素を持つことができるということです。同じ要素を持つ場合、2つのセットは等しくなります。より正確には、セットA及びBは、のすべての要素場合に等しく、AはのメンバーであるB、及びの各要素Bがの要素であるAこのプロパティは、セット拡張性と呼ばれます[11]

セットの単純な概念は数学で非常に役立つことが証明されていますが、セットの構築方法に制限がない場合パラドックスが発生します。

  • ラッセルのパラドックスは、「自分自身を含まないすべてのセットのセット」、つまり{ x | xが設定され、XX }、存在することができません。
  • Cantorのパラドックスは、「すべてのセットのセット」が存在できないことを示しています。

ナイーブ集合論は、集合を明確に定義された個別の要素のコレクションとして定義しますが、問題は、明確に定義された用語のあいまいさから生じます。

公理集合論

ナイーブ集合論の最初の定式化の時以来、これらのパラドックスを解決するためのその後の努力において、集合の特性は公理によって定義されてきました公理的集合論は、集合の概念を原始概念としてとらえています。[12]公理の目的は、一階述語論理を使用して、集合に関する特定の数学的命題(ステートメント)の真偽を推論するための基本的なフレームワークを提供することです。しかし、ゲーデルの不完全性定理によれば、一階述語論理を使用して、そのような特定の公理的集合論にパラドックスがないことを証明することはできません。[要出典]

セットの定義方法とセット表記法

数学のテキストは通常ABCなどのイタリック体の大文字[13] [4] [14]集合を示します[14] [15]セットは、特にその要素自体がセットである場合コレクションまたはファミリーと呼ばれることもあります。

セマンティック定義

セットを定義する1つの方法は、ルールを使用して要素が何であるかを判別することです。

してみましょうAは、そのメンバーが最初の4つのプラスでセットで整数
してみましょうBは、色のセットでフランス国旗

このような定義は、セマンティック記述とも呼ばれます[16] [17]

名簿表記

名簿または列挙表記は、コンマで区切られた中括弧で囲まれた要素をリストすることによってセットを定義します。[18] [19] [20] [21]

A = {4、2、1、3}
B = {青、白、赤}

セットでは、重要なのは各要素がその中にあるかどうかだけなので、名簿表記での要素の順序は関係ありません(対照的に、シーケンスタプル、またはセットの順列では、用語が重要です)。たとえば、{2、4、6}{4、6、2}は同じセットを表します。[22] [15] [23]

多くの要素を持つセット、特に暗黙のパターンに従うセットの場合、メンバーのリストは省略記号' 'を使用して省略できます[24] [25]たとえば、最初の1000個の正の整数のセットは、名簿表記で次のように指定できます。

{1、2、3、…、1000}

名簿表記の無限集合

無限集合は要素の無限のリストが設定されています。名簿表記で無限集合を記述するために、リストの最後または両端に省略記号を付けて、リストが永久に続くことを示します。たとえば、非負の整数のセットは次のとおりです。

{0、1、2、3、4、…}

そして、すべての整数のセット

{…、−3、−2、−1、0、1、2、3、…}

集合の内包的記法

集合の内包的記法は、要素の条件によって決定される、より大きなセットからの選択としてセットを指定します。[17] [26] [27]たとえば、集合Fは次のように定義できます。

NS

この表記では、縦棒「|」は「そのような」を意味し、説明は「Fnが0から19までの範囲の整数であるようなすべての数nの集合」と解釈できます一部の作成者は、縦棒の代わりにコロン「:」を使用しています。[28]

定義方法の分類

哲学は、特定の用語を使用して定義のタイプを分類します。

  • 内包的定義は、使用ルールをメンバーシップを決定します。セマンティック定義および集合の内包的記法を使用した定義は例です。
  • 外延的定義がでセットを記述し、そのすべての要素をリストアップ[17]このような定義は列挙型とも呼ばれます
  • 直示的定義を与えることによって、セットを記述する一つの実施例の要素を、省略記号を含む名簿がその一例です。

メンバーシップ

場合Bはセットであり、xはの元素であるB、これは以下のように省略表現で記述されているXB「とも読み取ることができ、xはに属するB」、または「XはであるB」。[11]文「yがの要素ではないBのように書かれている」YB「としても読み取りまたはすることができ、yはしていないB」。[29] [14] [30]

たとえば、集合A = {1、2、3、4}に関してB = {青、白、赤}、およびF = { n | nは整数であり、0≤であるN ≤19}

4∈ A12∈ F
20∉ F及び緑色∉ B

空のセット

空のセット(またはnullのセットが)メンバーがないユニークなセットです。それは示されまたはまたは{} [31] [14] [32]またはϕ [33](またはϕ)。[34]

シングルトンセット

シングルトンセットは正確に一つの要素とのセットです。このようなセットは、ユニットセットと呼ばれることもあります[5]このようなセットは、{ x }と書くことができますここで、xは要素です。セット{ x }と要素xは異なる意味を持ちます。ハルモス[35]は、帽子が入っている箱は帽子と同じではないというアナロジーを描いています。

サブセット

集合の各要素場合AがでもあるB、次いでAがあると記載されているBのサブセット、またはBに含ま書かれ、AB[36]又はBA[37] [14]後者の表記を読み取ることができるBはAが含まれBはAを含む、またはBはAのスーパーセットです⊆によって確立されたセット間関係は、包含または包含と呼ばれます。彼らはお互いが含まれている場合、2つのセットが同じである:AB及びBAは、と等価であるA = B[26]

場合Aは、の部分集合であり、Bが、Aは、と等しくないBは、Aが呼び出され、適切なサブセットBこれは書くことができるAB同様に、BAを意味し、BはAの適切なスーパーセットである、すなわちBが含まれているAを、とに等しくないA

⊃オペレータの⊂及び第3の対は異なる別の著者によって使用されるいくつかの著者が使用するABBA平均のAは任意のサブセットであるB(必ずしもなく、適切なサブセット)、[38] [29]他の一方リザーブABBA場合のAは、の適切なサブセットであるB[36]

例:

  • すべての人間のセットは、すべての哺乳類のセットの適切なサブセットです。
  • {1、3}⊂{1、2、3、4}。
  • {1、2、3、4}⊆{1、2、3、4}。

空のセットはすべてのセットのサブセットであり[31]、すべてのセットはそれ自体のサブセットです:[38]

  • ∅⊆ A
  • AA

オイラー図とベン図

ABのサブセットです

オイラー図は、セットの集合のグラフです。各セットは、要素が内部にあるループで囲まれた平面領域として表されます。場合Aは、の部分集合であるB、次に示す領域Aが表す領域の内側に完全にBを2つのセットに共通の要素がない場合、領域はオーバーラップしません。

Aベン図は、対照的に、のグラフ表示であるN個た組n個のループに平面を分割する2つのNのいくつかの選択の各方法のためにそのゾーンようなn個のセットを(おそらくはすべてまたはなし)、のゾーンがあります選択したすべてのセットに属し、他のセットには属さない要素。たとえば、セットがAB、およびCの場合、ACの内側およびBの外側にある要素のゾーンが必要です(そのような要素が存在しない場合でも)。

数学の特別な数のセット

自然数ℕはに含まれている整数の中に含まれているℤ、有理数に含まれているℚ、実数の中に含まれているℝ、複素数

数学者が頻繁に参照するような数学的重要性のセットがあり、それらを識別するために特別な名前と表記規則を取得しています。

これらの重要なセットの多くは、太字を使用した数学テキストで表されます(例: )または黒板太字(例:)書体。[39]これらには[14]が含まれます

  • また 、すべての自然数のセット(多くの場合、作成者は0を除外します); [39]
  • また 、すべての整数のセット(正、負、またはゼロ):; [39]
  • また 、すべての有理数のセット(つまり、すべての適切な分数不適切な分数のセット):たとえば、7/4Q5 =5/1Q ; [39]
  • また すべての有理数とすべての無理数(次のような代数的数を含む)を含むすべての実数のセット分数や、πeなどの超越数として書き換えることはできません[39]
  • また 、すべての複素数のセットC = { a + bi | BR }、例えば、1 + 2 IC[39]

上記の各数値セットには、無限の数の要素があります。それぞれは、その下にリストされているセットのサブセットです。

正または負の数のセットは、それぞれ上付きのプラス記号とマイナス記号で示されることがあります。例えば、 正の有理数のセットを表します。

機能

関数(またはマッピングセットから)AセットのBは、各「入力」要素に割り当てる規則であるAの要素である「出力」Bより正式には、関数は特別な種類の関係でありAの要素をBの1つの要素正確に関連付けるものです。関数が呼び出されます

  • 単射(または1対1)は、任意の二つの異なる要素をマッピングしている場合Aのの要素B
  • Bのすべての要素に対して、それにマップするAの要素が少なくとも1つある場合、全射(または上)、および
  • 全単射関数は単射と全射の両方である場合(または1対1に対応) -この場合には、各要素Aは、固有の要素と対にされるB、及びの各要素Bは、固有の要素と対にされるA、ペアになっていない要素がないようにします。

単射が呼び出される注射、全射が呼び出され全射、そして全単射関数が呼び出される全単射又は一対一に対応

カーディナリティ

集合の濃度S表記、| S | 、はSのメンバーの数です[40]たとえば、B = {青、白、赤}の場合、| B | = 3名簿表記の繰り返しメンバーはカウントされません、[41] [42]そう| {青、白、赤、青、白} | = 3も。

より正式には、2つのセットの間に1対1の対応が存在する場合、2つのセットは同じカーディナリティを共有します。

空集合のカーディナリティはゼロです。[43]

無限集合と無限カーディナリティ

一部のセットの要素のリストは無限、または無限です。たとえば、セット自然数無限です。[26]実際、上記のセクションで言及されているすべての特別な数のセットは無限です。無限集合には無限カーディナリティがあります。

いくつかの無限のカーディナリティは他のものよりも大きいです。と同じカーディナリティを持つセット可算集合と呼ばれますおそらく、集合論からの最も重要な結果の1つは、実数のセットが自然数のセットよりもカーディナリティが高いことです。[44]カーディナリティが自然数の集合よりも大きい集合は、非可算集合と呼ばれます

ただし、直線のカーディナリティ(つまり、ライン上の点の数)は、そのラインの任意のセグメント平面全体、および実際には任意の有限次元 ユークリッドのカーディナリティと同じであることを示すことができます。スペース[45]

連続体仮説

1878年にゲオルクカントールによって定式化された連続体仮説は、自然数のカーディナリティと直線のカーディナリティの間に厳密にカーディナリティのセットがないというステートメントです[46] 1963年、ポールコーエンは、連続体仮説が、選択公理を伴うツェルメロフレンケル集合論からなる公理システムZFCから独立していることを証明しました[47] (ZFCは、公理的集合論の最も広く研究されているバージョンです。)

べき集合

セットSのべき集合は、Sのすべてのサブセットのセットです[26]空集合S自体は、パワーセットの要素であるSこれらの両方のサブセットであるので、S。たとえば、{1、2、3}のべき集合{∅、{1}、{2}、{3}、{1、2}、{1、3}、{2、3}、{1です。 、2、3}}。セットの電源集合Sは一般的のように書かれるPS又は2 P[26] [48] [14] [15]

有限集合のパワー設定n個の要素を有する2つのn個の要素を。[49]たとえば、集合{1、2、3}には3つの要素が含まれ、上記のべき集合には2 3 = 8の要素が含まれます。

無限(可算または非可算)集合のべき集合は常に不可算です。さらに、最も広く使用されている集合論のフレームワーク内では、Sのすべての要素をPの1つの要素とペアにする方法がないという意味で、集合のべき集合は常に元の集合よりも厳密に「大きい」です。S(マップまたは上に存在決して全射からSPS[50]

パーティション

セットのパーティション Sは、の空でない部分集合の集合であり、Sすべての要素のように、XにおけるSは、これらのサブセットのうちの正確に1つです。つまり、サブセットは、対で互いに素(共通でどの要素が含まれていないパーティションのうちのいずれか2つのセットを意味する)、及び組合パーティションのサブセットがあるすべてのSは[51] [52]

基本操作

与えられたセットから新しいセットを構築するためのいくつかの基本的な操作があります。

ユニオン

労働組合ABの表記、AB

二組を接合することができる:組合A及びBで表される、AB[14]のメンバーであるすべてのものの集合であるAまたはBまたは両方の。

例:

  • {1、2}∪{1、2} = {1、2}。
  • {1、2}∪{2、3} = {1、2、3}。
  • {1、2、3}∪{3、4、5} = {1、2、3、4、5}。

組合のいくつかの基本的な特性:

  • AB = BA
  • A ∪(BC)=(AB)∪ C
  • A ⊆(AB)。
  • AA = A
  • A ∪∅= A
  • B 場合に限り、 AB = B

交差点

2つのセットが「共通」しているメンバーを判別することにより、新しいセットを作成することもできます。交差点A及びBで表される、AB[14]の両方のメンバーであるすべてのものの集合であり、AおよびB場合AB =∅、次にABがあると言われているばらばら

交差点A及びBで示さ、AB

例:

  • {1、2}∩{1、2} = {1、2}。
  • {1、2}∩{2、3} = {2}。
  • {1、2}∩{3、4} =∅。

交差点のいくつかの基本的なプロパティ:

  • AB = BA
  • A ∩(BC)=(AB)∩ C
  • ABA
  • AA = A
  • A ∩∅=∅。
  • AB 場合に限り、 AB = A

補足

相対補体
BA
補数AU
対称差A及びB

2つのセットを「減算」することもできます。相対補体BにおけるA(別名集合論的差異A及びBで示される)、A \ B(又はA - B)、[14]のメンバーであるすべての要素の集合であり、A、ではありませんBのメンバーセット{1、2、3}から要素greenを削除するなど、セットに含まれていないセットのメンバーを「減算」することは有効です。これを行っても、セット内の要素には影響しません。

特定の設定では、議論中のすべてのセットは、特定のユニバーサルセット Uのサブセットと見なされますこのような場合には、U \ Aが呼び出され、絶対補体又は単に補体A、によって表され、A 'またはC[14]

  • A ′= U \ A

例:

  • {1、2} \ {1、2} =∅。
  • {1、2、3、4} \ {1、3} = {2、4}。
  • 場合Uは整数の集合で、Eはさえ整数の集合であり、Oは奇数の整数の集合、その後、あるU \ E = E '= O

補数のいくつかの基本的なプロパティは次のとおりです。

  • A \ BB \ AについてAB
  • AA '= U
  • AA '=∅。
  • A '')= A
  • ∅\ A =∅。
  • A \∅= A
  • A \ A =∅。
  • A \ U =∅。
  • A \ A '= AおよびA ' \ A = A '。
  • U '=∅∅' = U
  • A \ B = AB "
  • もしABその後、A \ B =∅。

補体の拡張は、対称差集合のために定義され、ABとして

たとえば、{7、8、9、10}と{9、10、11、12}の対称差は、集合{7、8、11、12}です。任意のセットのべき集合は、リングの加算(空のセットをニュートラル要素として)として対称差を持ち、リングの乗算として共通部分を持つブールリングになります。

デカルト積

新しいセットは、あるセットのすべての要素を別のセットのすべての要素に関連付けることによって構築できます。デカルト積二組のABで示さ、A × B、[14]すべての集合である順序対Bような)の一員であり、A及びBは、のメンバーであるB

例:

  • {1、2}×{赤、白、緑} = {(1、赤)、(1、白)、(1、緑)、(2、赤)、(2、白)、(2、緑) }。
  • {1、2}×{1、2} = {(1、1)、(1、2)、(2、1)、(2、2)}。
  • {a、b、c}×{d、e、f} = {(a、d)、(a、e)、(a、f)、(b、d)、(b、e)、(b、 f)、(c、d)、(c、e)、(c、f)}。

デカルト積のいくつかの基本的なプロパティ:

  • A × =∅。
  • A ×(BC)=(A × B)∪(A × C)。
  • AB)× C =(A × C)∪(B × C)。

ましょうABが有限集合すること。その場合、デカルト積のカーディナリティカーディナリティの積です。

  • | A × B  | = | B × A  | = | A  | ×| B  |。

アプリケーション

セットは現代の数学に遍在しています。たとえば、グループフィールドリングなどの抽象代数の構造1つ以上の操作で閉じられたセットです。

素朴集合論の主な用途の1つは、関係の構築ですドメイン Aから Bへの関係は、デカルト積A × Bのサブセットです。例えば、集合考慮S = {ロック、紙、はさみ}における形状のゲーム同じ名前の、より関係「ビート」SSはセットであるB = {(ハサミ、紙)、(紙、岩)、(じゃんけん)} ;したがって、ペアxy)の場合、ゲーム内でxy打ち負かします。Bのメンバーです。別の例は、すべてのペアxx 2の集合Fですここで、xは実数です。すべての正方形のセットはすべての実数のセットのサブセットであるため、この関係はR × Rのサブセットです。すべてのためにので、XR、唯一つのペアXは、...)に見出されるF、それが呼び出される関数。関数表記において、この関係は以下のように書くことができるFX)= X 2

包含と除外の原則

包除原理は、セットの和集合のサイズを計算するために使用されます。和集合のサイズは、2つのセットのサイズから、それらの共通部分のサイズを引いたものです。

包除原理は、各セットのサイズとそれらの共通部分のサイズがわかっている場合に、2つのセットの和集合内の要素の数をカウントするために使用できるカウント手法です。それは象徴的に次のように表現することができます

原理のより一般的な形式を使用して、集合の有限和集合のカーディナリティを見つけることができます。

ド・モルガンの法則

オーガスタス・ド・モーガン、集合に関する2つの法律を述べました

場合ABは、次いで、任意の二つのセットです、

  • AB) '= A '∩ B '

補数A組合Bは、の補数に等しいAは、の補数と交差B

  • AB) '= A '∪ B '

補数Aはと交差Bの補数に等しいの補数に組合B

も参照してください

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参考文献

外部リンク