順序

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数学は、シーケンスは、繰り返しが許可され、順序が重要なオブジェクトの列挙されたコレクションですセットと同様に、メンバー(要素または用語とも呼ばれます)が含まれます要素の数(おそらく無限)は、シーケンスの長さと呼ばれます。セットとは異なり、同じ要素がシーケンス内の異なる位置に複数回出現する可能性があり、セットとは異なり、順序は重要です。正式には、シーケンスは自然数からの関数として定義できます(シーケンス内の要素の位置)各位置の要素に。シーケンスの概念は、インデックス付きファミリーに一般化できます。これは、数値ではない可能性のあるインデックスセットから別の要素セットへの関数として定義されます。

たとえば、(M、A、R、Y)は、文字「M」が最初で「Y」が最後の文字のシーケンスです。このシーケンスは(A、R、M、Y)とは異なります。また、2つの異なる位置に番号1を含むシーケンス(1、1、2、3、5、8)は、有効なシーケンスです。シーケンスは、これらの例のように有限にすることも、すべての偶数の正の整数(2、4、6、...) のシーケンスのように無限にすることもできます。

シーケンス内の要素の位置は、そのランクまたはインデックスです。これは、要素が画像である自然数です。最初の要素のインデックスは、コンテキストまたは特定の規則に応じて0または1になります。数学的分析では、シーケンスは多くの場合、次の形式の文字で表されます。、ここで、下付き文字nはシーケンスのn番目の要素を指します。たとえば、フィボナッチ数列のn番目の要素 一般的に次のように表されます

コンピューティングおよびコンピュータサイエンスでは、有限シーケンスは文字列単語、またはリストと呼ばれることもあります。さまざまな名前は、コンピュータメモリでそれらを表すさまざまな方法に一般的に対応しています無限のシーケンスはストリームと呼ばれます。空のシーケンス()は、シーケンスのほとんどの概念に含まれていますが、コンテキストによっては除外される場合があります。

実数の無限のシーケンス(青色)。このシーケンスは、増加、減少、収束、またはCauchyのいずれでもありません。ただし、制限があります。

例と表記

シーケンスは、特定の順序を持​​つ要素のリストと考えることができます。[1] [2]シーケンスは、シーケンスの収束特性を使用して関数空間、およびその他の数学的構造を 研究するための多くの数学的分野で役立ちます。特に、シーケンスは級数の基礎であり、微分方程式解析で重要です。シーケンスもそれ自体が重要であり、素数の研究など、パターンまたはパズルとして研究することができます

シーケンスを表す方法はいくつかありますが、その一部は特定のタイプのシーケンスに役立ちます。シーケンスを指定する1つの方法は、そのすべての要素をリストすることです。たとえば、最初の4つの奇数はシーケンス(1、3、5、7)を形成します。この表記は、無限シーケンスにも使用されます。たとえば、正の奇数の整数の無限シーケンスは(1、3、5、7、...)と記述されます。省略記号でシーケンスを表記するとあいまいさが生じるため、リストは、最初のいくつかの要素から簡単に認識できる通常の無限シーケンスに最も役立ちます。シーケンスを示す他の方法については、例の後に説明します。

辺の長さが連続するフィボナッチ数である正方形タイリング。

素数除数がなく、1とそれ自体を持つ1より大きい自然数です。これらを自然な順序で取得すると、シーケンス(2、3、5、7、11、13、17、...)が得られます。素数は数学、特にそれらに関連する多くの結果が存在する 数論で広く使用されています。

フィボナッチ数は、要素が前の2つの要素の合計である整数列を構成します。最初の2つの要素は0と1または1と1のいずれかであるため、シーケンスは(0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、...)になります。[1]

シーケンスの他の例には、有理数実数複素数で構成されるものが含まれます。たとえば、シーケンス(.9、.99、.999、.9999、...)は、数値1に近づきます。実際、すべての実数は、有理数のシーケンスの限界として記述できます(たとえば、小数展開)。別の例として、πは数列の極限(3、3.1、3.14、3.141、3.1415、...)であり、増加しています。関連するシーケンスは、 πの10進数のシーケンス、つまり(3、1、4、1、5、9、...)です。前のシーケンスとは異なり、このシーケンスには、検査で簡単に識別できるパターンはありません。

整数シーケンスのオンライン百科事典は、整数シーケンスの例の大規模なリストで構成されています。[3]

索引付け

他の表記法は、パターンを簡単に推測できないシーケンスや、πの数字などのパターンを持たないシーケンスに役立ちます。そのような表記法の1つは、 n番目の項をnの関数として計算するための一般式を書き留め、それを括弧で囲み、nが取ることができる値のセットを示す下付き文字を含めることです。たとえば、この表記では、偶数のシーケンスは次のように記述できます。正方形のシーケンスは次のように書くことができます変数nインデックスと呼ばれ、変数が取ることができる値のセットはインデックスセットと呼ばれます。

この表記法を、シーケンスの要素を個々の変数として扱う手法と組み合わせると便利なことがよくあります。これにより、次のような式が生成されます、これは、 n番目の要素が変数によって与えられるシーケンスを示します例えば:

異なる変数を使用することにより、同時に複数のシーケンスを考慮することができます。例えばシーケンスとは異なる可能性がありますシーケンスのシーケンスを考えることさえできます:m番目の項がシーケンスであるシーケンスを示します

下付き文字にシーケンスのドメインを記述する代わりに、インデックスが取ることができる値の範囲を、その最高および最低の有効な値をリストすることによって示すこともできます。たとえば、表記平方の10項シーケンスを示します限界許可されていますが、これらはインデックスの有効な値を表すものではなく、それぞれそのような値の上限または下限のみを表します。たとえば、シーケンスシーケンスと同じです、および「無限大」という追加の用語は含まれていません。シーケンス無限のシーケンスであり、次のように書くこともできます。

インデックス番号のセットが理解されている場合、下付き文字と上付き文字は省略されることがよくあります。つまり、単に書く任意のシーケンスに対して。多くの場合、インデックスkは1から∞まで実行されると理解されます。ただし、シーケンスは、次のように、ゼロから始まるインデックスが付けられることがよくあります。

場合によっては、シーケンスの要素は、パターンを簡単に推測できる整数のシーケンスに自然に関連付けられます。このような場合、インデックスセットは、最初のいくつかの抽象要素のリストによって暗示される場合があります。たとえば、奇数の平方のシーケンスは、次のいずれかの方法で表すことができます。

さらに、添字集合が自然数であると理解されていれば、下付き文字と上付き文字は3番目、4番目、5番目の表記で省略されている可能性があります。2番目と3番目の箇条書きには、明確に定義されたシーケンスがあります、ただし、式で示されるシーケンスと同じではありません。

再帰によるシーケンスの定義

要素が前の要素に直接関連しているシーケンスは、多くの場合、再帰を使用して定義されます。これは、要素のシーケンスをそれらの位置の関数として定義することとは対照的です。

再帰によってシーケンスを定義するには、前の要素に関して各要素を構築するための漸化式と呼ばれるルールが必要です。さらに、シーケンスの後続のすべての要素が漸化式の連続した適用によって計算できるように、十分な初期要素を提供する必要があります。

フィボナッチ数列は、漸化式によって定義される単純な古典的な例です

初期条件付きこれから、簡単な計算は、このシーケンスの最初の10項が0、1、1、2、3、5、8、13、21、および34であることを示しています。

漸化式によって定義されるシーケンスの複雑な例は、漸化式によって定義 されるRecamánのシーケンス[4]です

初期期間付き

一定の係数を持つ線形漸化式は、次の形式の漸化式です。

どこ定数です一般的な用語を表現するための一般的な方法がありますnの関数としてのそのようなシーケンスの; 線形回帰を参照してくださいフィボナッチ数列の場合、結果として得られるnの関数は、 Binetの式で与えられます。

ホロノミックシーケンスは、形式の漸化式によって定義される シーケンスです

どこn多項式ですほとんどのホロノミックシーケンスでは、明示的に表現するための明示的な式はありませんnの関数としてそれにもかかわらず、ホロノミックシーケンスは数学のさまざまな分野で重要な役割を果たします。たとえば、多くの特殊関数には、係数のシーケンスがホロノミックであるテイラー級数があります。漸化式を使用すると、このような特殊関数の値を高速に計算できます。

すべてのシーケンスを漸化式で指定できるわけではありません。例として、自然な順序(2、3、5、7、11、13、17、...) の素数のシーケンスがあります。

正式な定義と基本的なプロパティ

数学には多くの異なるシーケンスの概念があり、そのうちのいくつか(たとえば正確なシーケンス)は、以下で紹介する定義と表記法ではカバーされていません。

定義

この記事では、シーケンスは、ドメインが整数の区間である関数として正式定義ますこの定義は、片側無限シーケンス、双無限シーケンス、および有限シーケンスを含む、「シーケンス」という単語のいくつかの異なる使用法をカバーしています(これらの種類のシーケンスの定義については、以下を参照してください)。ただし、多くの作成者は、シーケンスのドメインを自然数のセットにすることを要求することにより、より狭い定義を使用しています。このより狭い定義には、有限シーケンスと双無限シーケンスを除外するという欠点があります。これらは両方とも、標準的な数学の実践では通常シーケンスと呼ばれます。もう1つの欠点は、シーケンスの最初の項を削除した場合、この定義を適合させるために残りの項のインデックスを再作成する必要があることです。一部のコンテキストでは、説明を短くするために、シーケンスの終域はコンテキストによって固定されます。たとえば、実数のセットR 、 [5]複素数のセットC 、 [6]または位相空間である必要があります。[7]

シーケンスは関数の一種ですが、通常、入力が括弧ではなく下付き文字つまり(nではなくnとして記述されるという点で、関数とは表記上区別されます用語の違いもあります。最も低い入力(多くの場合1)のシーケンスの値はシーケンスの「最初の要素」と呼ばれ、2番目に小さい入力(多くの場合2)の値は「2番目の要素」と呼ばれます。また、入力から抽象化された関数は通常、fなどの単一の文字で表されますが、入力から抽象化されたシーケンスは通常、次のような表記で記述されます。、またはちょうど同じように ここで、 Aはシーケンスのドメインまたはインデックスセットです。

シーケンスとその制限(以下を参照)は、位相空間を研究するための重要な概念です。シーケンスの重要な一般化は、ネットの概念です。ネットは、(おそらく数えられない有向集合から位相空間への関数です。シーケンスの表記規則は通常、ネットにも適用されます。

有限および無限

シーケンスの長さは、シーケンス内の用語の数として定義されます。

有限長nのシーケンスは、 nタプルとも呼ばれます。有限シーケンスには、 要素を持たない 空のシーケンス()が含まれます。

通常、無限シーケンスという用語は、一方の方向が無限で、もう一方の方向が有限であるシーケンスを指します。シーケンスには最初の要素がありますが、最後の要素はありません。このようなシーケンスは、曖昧性解消が必要な場合、単一無限シーケンスまたは片側無限シーケンスと呼ばれます。対照的に、両方向に無限であるシーケンス、つまり最初の要素も最後の要素も持たないシーケンスは、双方向無限シーケンス双方向無限シーケンス、または二重無限シーケンスと呼ばれます。すべての整数集合Zからの関数 たとえば、すべての偶数の整数(...、-4、-2、0、2、4、6、8、...)のシーケンスなどのセットに入れると、無限大になります。このシーケンスは次のように表すことができます

増減

各項がその前の項以上である場合、シーケンスは単調に増加していると言われます。たとえば、シーケンスn +1の場合に限り、単調に増加します すべてn∈Nに対してan_ 連続する各項が前の項よりも厳密に大きい(>)場合、シーケンスは厳密に単調に増加すると呼ばれます。シーケンスは、連続する各項が前の項以下の場合は単調に減少し、各項が前の項よりも厳密に小さい場合は厳密に単調に減少します。シーケンスが増加または減少している場合、それは単調シーケンスと呼ばれます。これは、単調関数のより一般的な概念の特殊なケースです

厳密に増加すること厳密に減少することとの混同を避けるために、増加および減少の代わりに、非減少および非増加という用語がよく使用されます。

有界

実数のシーケンス(a n )が、すべての項がある実数M未満である場合、シーケンスは上から有界であると言われます言い換えれば、これは、すべてのnについて、an≤MとなるようなM存在することを意味しますそのようなMはすべて上界と下界と呼ばれます。同様に、ある実数のmについて、あるNより大きいすべてのnに対してan≥mある場合、シーケンスは下から制限され、そのようなmはすべて下限と呼ばれます。シーケンスが上からの境界と下からの境界の両方である場合、そのシーケンスは境界があると言われます

サブシーケンス

特定のシーケンスのサブシーケンスは、残りの要素の相対的な位置を乱すことなく、いくつかの要素を削除することによって特定のシーケンスから形成されたシーケンスです。たとえば、正の偶数の整数(2、4、6、...)のシーケンスは、正の整数(1、2、3、...)のサブシーケンスです。他の要素が削除されると、一部の要素の位置が変わります。ただし、相対位置は保持されます。

正式には、シーケンスのサブシーケンスフォームの任意のシーケンスです、 どこ正の整数の厳密に増加するシーケンスです。

他のタイプのシーケンス

定義が簡単な他のタイプのシーケンスには、次のものがあります。

  • 整数シーケンスは、項が整数であるシーケンスです
  • 多項式列は、項が多項式であるシーケンスです
  • 正の整数列は、すべてのペアnmに対してnm = a n a mであり、nm互いに素である場合乗法と呼ばれることがあります。[8]他の例では、すべてのnに対してa n = na 1の場合 、シーケンスは乗法と呼ばれることがよくあります。さらに、乗法フィボナッチ数列[9]は、漸化式a n = anを満たします。 -1 a n -2
  • バイナリシーケンスは、項が2つの離散値のいずれかを持つシーケンスです。たとえば、基数2の値(0,1,1,0、...)、一連のコイントス(ヘッド/テール)H、T、H、H 、T、...、一連の真または偽の質問(T、F、T、T、...)への回答など。

限界と収束

収束シーケンス(a n)のプロットは青で示されています。グラフから、 nが増加するにつれてシーケンスが限界ゼロに収束していることがわかります

シーケンスの重要な特性は収束です。シーケンスが収束すると、限界と呼ばれる特定の値に収束します。シーケンスがある限界に収束する場合、それは収束します。収束しないシーケンスは発散します。

非公式には、シーケンスの要素がある値にどんどん近づいていくと、シーケンスには限界があります(数列の極限と呼ばれます)、そしてそれらは任意に近くなり、残ります、実数が与えられたことを意味しますゼロより大きい場合、シーケンスの有限数を除くすべての要素の距離は未満

たとえば、シーケンス右に示すように、値0に収束します。一方、シーケンス(1、8、27、…で始まります)そして(-1、1、-1、1、…で始まる)は両方とも発散しています。

シーケンスが収束する場合、収束する値は一意です。この値は、数列の極限と呼ばれます。収束シーケンスの限界通常はもしもは発散シーケンスであり、式無意味です。

収束の正式な定義

実数のシーケンス 実数に収束しますもし、すべてのために、自然数が存在しますすべての人のために[ 5]

もしもは実数のシーケンスではなく複素数のシーケンスですが、この最後の式は、次の条件を満たせば、収束を定義するために引き続き使用できます。複素弾性率を示します。もしもが距離空間内の点のシーケンスである場合、式を使用して収束を定義できます。式に置き換えられます、は間の距離を示します

アプリケーションと重要な結果

もしもが収束シーケンスである場合、次の制限が存在し、次のように計算できます。[5] [10]

  • すべての実数
  • 、ただし
  • すべてのために

さらに:

  • もしもすべてのためにいくつかよりも大きい、 それから[a]
  • はさみうちの定理
    次のようなシーケンスですすべてのために
    その後収束し、
  • シーケンスが有界単調である場合、それは収束します。
  • シーケンスは、そのすべてのサブシーケンスが収束している場合にのみ収束します。

コーシー列

X nnとして青で示されている、コーシー列(X n )のプロット。グラフでは、 nが増加するにつれてシーケンス内の連続する項間の距離が小さくなるため、シーケンスは限界に収束しているように見えます実数では、すべてのコーシー列はある限界に収束します。

コーシー列は、nが非常に大きくなるにつれて、項が任意に接近する列です。コーシー列の概念は、距離空間の列の研究、特に実際の分析において重要です。実際の分析で特に重要な結果の1つは、シーケンスの収束のコーシー特性です

実数のシーケンスは、それがコーシーである場合に限り、(実数で)収束します。

対照的に、有理数に収束しない 有理数のコーシー列があります。たとえば、 x 1 = 1およびxn + 1 =で定義される列です。x n +2/x n/2 コーシーですが、合理的な制限はありません。ここより一般的には、無理数に収束する有理数のシーケンスはコーシーですが、有理数のセットのシーケンスとして解釈される場合は収束しません。

シーケンスの収束のコーシー特性を満たす距離空間は、完全距離空間と呼ばれ、分析に特に適しています。

無限限界

微積分では、上記の意味で収束しないが、代わりに任意に大きくなり、任意に大きくなるか、または任意に負になるシーケンスの表記法を定義するのが一般的です。もしもとして任意に大きくなります、 私たちは書く

この場合、シーケンスは発散する、または無限大に収束すると言います。このようなシーケンスの例は、a n = nです。

もしもとして任意に負になる(つまり、負で大きさが大きい)、 私たちは書く

そして、シーケンスが負の無限大に発散または収束すると言います

シリーズ

級数は、非公式に言えば、シーケンスの項の合計ですつまり、それは形の表現ですまた、 どこ実数または複素数のシーケンスです。級数の部分和は、無限大記号を有限数に置き換えた結果の式です。つまり、級数のN番目の部分和です。数です

部分和自体がシーケンスを形成します、これは級数の部分和のシーケンスと呼ばれます部分和のシーケンスが収束する場合、その級数は収束し、限界シリーズのと呼ばれます。同じ表記法を使用して、系列とその値を示します。つまり、次のように記述します。

数学の他の分野での使用

トポロジー

シーケンスは、トポロジー、特に距離空間の研究において重要な役割を果たします例えば:

シーケンスは、ネットまたはフィルターに一般化できますこれらの一般化により、上記の定理の一部をメトリックのないスペースに拡張できます。

製品トポロジー

一連の位相空間の位相積は、それらの空間の直積であり、トポロジーと呼ばれる自然なトポロジーを備えています。

より正式には、一連のスペースが与えられます、製品スペース

すべてのシーケンスのセットとして定義されますiについて、の要素です正規の射影は、方程式によって定義されるマップp i  :XXiです。次に、Xの積トポロジーは、すべての射影pi連続である最も粗いトポロジー(つまり、開集合が最も少ないトポロジー)として定義されます製品トポロジーは、 Tychonoffトポロジーと呼ばれることもあります。

分析

分析では、シーケンスについて話すとき、一般的に次の形式のシーケンスを考慮します

つまり、自然数でインデックス付けされた要素の無限シーケンス。

シーケンスを1または0とは異なるインデックスで開始すると便利な場合があります。たとえば、x n = 1 / logn )で定義されるシーケンスは、n≥2の場合のみ定義されます。通常、シーケンスのメンバーが少なくとも十分に大きい、つまり特定のNよりも大きいすべてのインデックスに対して定義されていると想定するだけで十分です(ほとんどの考慮事項ではあまり変わりません)

最も基本的なタイプのシーケンスは数値のもの、つまり実数または複素数のシーケンスです。このタイプは、いくつかのベクトル空間の要素のシーケンスに一般化できます分析では、考慮されるベクトル空間は多くの場合関数空間ですさらに一般的には、ある位相空間の要素を持つシーケンスを研究することができます。

シーケンススペース

シーケンス空間は、要素が実数または複素数の無限シーケンスであるベクトル空間です。同様に、それは要素が自然数からKまでの関数である関数空間です。ここでKは実数の体または複素数の体のいずれかです。このようなすべての関数のセットは、Kの要素を持つすべての可能な無限シーケンスのセットで自然に識別され、点ごとの加算の操作の下でベクトル空間に変換できます。 関数と点ごとのスカラー乗法の。すべてのシーケンススペースは、このスペースの線形部分空間です。数列空間は通常、ノルム、または少なくとも位相ベクトル空間の構造を備えています。

分析で最も重要な数列空間はℓp空間であり、 pノルムを持つp乗の合計可能な数列で構成されます。これらは、自然数のセットの数え上げ測度のためのLp空間の特殊なケースです。収束シーケンスやヌルシーケンスのような他の重要なクラスのシーケンスは、それぞれcc 0で示される、supノルムのシーケンススペースを形成します。任意の数列空間に点収束のトポロジー装備することもでき、その下でそれは特別な種類のフレシェ空間になりますFK空間と呼ばれます

線形代数

フィールド上のシーケンスは、ベクトル空間内のベクトルとして表示することもできます具体的には、F値のシーケンスのセット F体)は、自然数のセットに対する F値の関数の関数空間(実際には積空間)です。

抽象代数

抽象代数は、グループやリングなどの数学的対象のシーケンスを含む、いくつかのタイプのシーケンスを採用しています。

自由モノイド

Aが集合の場合、 A上の自由モノイドA *と表示され、 Aのクリーネ閉包とも呼ばれます)は、連結の2項演算を使用して、A0個以上の要素のすべての有限シーケンス(または文字列)を含むモノイドです。自由な半群A +、空のシーケンスを除くすべての要素を含む A *のサブ半群です。

完全系列

群論の文脈では、シーケンス

各準同型のイメージ(または範囲)が次 のカーネルと等しい場合、準同型の数は正確と呼ばれます。

グループと準同型のシーケンスは、有限または無限のいずれかです。

他の特定の代数的構造についても同様の定義を行うことができますたとえば、ベクトル空間線形写像の完全系列、またはモジュールモジュール準同型の正確なシーケンスを持つことができます。

スペクトル系列

ホモロジー代数代数トポロジーではスペクトル系列は、連続的な近似を行うことによってホモロジー群を計算する手段です。スペクトル系列は完全系列の一般化であり、 Jean Leray  (1946 )による導入以来、特にホモトピー論において重要な研究ツールになっています

集合論

序数インデックス付きシーケンスは、シーケンスの一般化ですαが極限順序数であり、Xが集合である場合、 Xの要素のαインデックス付きシーケンスはαからXまでの関数です。この用語では、ωインデックス付きシーケンスは通常のシーケンスです。

コンピューティング

コンピュータサイエンスでは、有限シーケンスはリストと呼ばれます。潜在的に無限のシーケンスはストリームと呼ばれます。文字または数字の有限シーケンスは文字と呼ばれます。

ストリーム

有限のアルファベットから引き出された数字(または文字)の無限のシーケンスは、理論計算機科学で特に重要です。それらは、有限の文字列とは対照的に、単にシーケンスまたはストリームと呼ばれることがよくあります。たとえば、無限のバイナリシーケンスは、ビットの無限のシーケンス(アルファベット{0、1}から引き出された文字)です。すべての無限バイナリシーケンスの集合C = {0、1} ∞は、カントール空間と呼ばれることもあります

無限バイナリシーケンスは、シーケンスのn 番目のビットを1に設定することにより、形式言語(文字列のセット)を表すことができます。これは、 n 番目の文字列(shortlex順)がその言語にある場合に限ります。この表現は、証明の対角化法で役立ちます。[11]

も参照してください

操作
タイプ
関連する概念

メモ

  1. ^ 不等式が厳密な不等式に置き換えられた場合、これは誤りです。次のようなシーケンスがあります。すべてのために、 しかし

参考文献

  1. ^ a b "シーケンス"www.mathsisfun.com 2020年8月17日取得
  2. ^ ワイスタイン、エリックW. 「シーケンス」mathworld.wolfram.com 2020年8月17日取得
  3. ^ OEISの索引、整数シーケンスのオンライン百科事典、2020-12-03
  4. ^ Sloane、N。J. A.(ed。)"シーケンスA005132(Recamánのシーケンス)"整数シーケンスのオンライン百科事典OEIS財団2018年1月26日取得
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  7. ^ James R. Munkres(2000)。「第1章と第2章」トポロジーISBN 978-01-318-1629-9
  8. ^ Lando、Sergei K.(2003-10-21)。「7.4乗法列」。母関数に関する講義AMS。ISBN 978-0-8218-3481-7
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外部リンク