サンプリング(信号処理)

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信号サンプリング表現。連続信号は緑色の線で表され、離散サンプルは青色の垂直線で示されます。

信号処理サンプリングの減少である連続時間信号離散時間信号一般的な例は、音波(連続信号)から一連のサンプル(離散時間信号)への変換です。

サンプルは、時間および/または空間内の点の値または値の集合です。サンプラーは、サブシステムまたは操作から抽出サンプルすなわち連続信号理論上の理想なサンプラーは、目的のポイントでの連続信号の瞬時値に相当するサンプルを生成します。

元の信号は、サンプルのシーケンスを再構成フィルターと呼ばれるローパスフィルターのタイプに通すことによりナイキスト限界までのサンプルのシーケンスから取得できます

理論

サンプリングは、空間、時間、またはその他の次元が異なる関数に対して実行でき、2つ以上の次元で同様の結果が得られます。

時間とともに変化する関数の場合、st)をサンプリングする連続関数(または「信号」)とし、Tごとに連続関数の値を測定してサンプリングを実行します。これをサンプリング間隔またはサンプリング期間[1]  次に、サンプリングされた関数は次のシーケンスで与えられます

snT)、nの整数値の場合

サンプリング周波数またはサンプリングレートは、F 、S一秒(で得られたサンプルの平均数で毎秒サンプル従って、)fは、S = 1 / T

サンプルからの連続関数の再構築は、補間アルゴリズムによって行われます。ウィッタカー、シャノン補間式は、理想的に数学的に等価である低域通過フィルタ、その入力のシーケンスであるディラックのデルタ関数のサンプル値によって変調される(乗算します)。隣接するサンプル間の時間間隔が定数(T)の場合、デルタ関数のシーケンスはディラックの型関数と呼ばれます。数学的には、変調されたディラックくし型関数は、くし型関数とst積に相当します。その純粋に数学的な抽象化は、インパルスサンプリングと呼ばれることもあります。[2]

ほとんどのサンプリングされた信号は、単純に保存および再構築されるわけではありません。しかし、理論的再構成の忠実度は、サンプリングの有効性の慣習的な尺度です。st)に周期性が2サンプルよりも小さい周波数成分が含まれている場合、その忠実度は低下します。または同等に、サンプルに対するサイクルの比率が½を超えています(エイリアシングを参照)。数量 サイクル/サンプル ×  F S サンプル/秒= F S / 2サイクル/秒ヘルツが)として知られてナイキスト周波数サンプラー。したがって、st)は通常、アンチエイリアシングフィルターとして機能的に知られているローパスフィルターの出力ですアンチエイリアシングフィルターがないと、ナイキスト周波数よりも高い周波数がサンプルに影響を及ぼし、補間プロセスによって誤って解釈されます。[3]

実用的な考慮事項

実際には、連続信号は、さまざまな物理的制限のあるデバイスであるアナログ-デジタルコンバータ(ADC)を使用してサンプリングされます。これにより、理論的に完全な再構成から逸脱し、まとめて歪みと呼ばれます。

次のようなさまざまなタイプの歪みが発生する可能性があります。

  • エイリアシング理論上の無限に長い関数だけがナイキスト周波数を超える周波数成分を持つことができないため、ある程度のエイリアシングは避けられません。十分に大きな次数のアンチエイリアシングフィルタを使用することにより、エイリアシングを任意に小さくすることができます。
  • アパーチャエラーは、サンプルがサンプリング瞬間の信号値に等しいだけでなく、サンプリング領域内の時間平均として取得されるという事実に起因します[4]において、コンデンサベースのサンプルホールド回路を、アパーチャエラーが複数の機構によって導入されます。たとえば、コンデンサは入力信号を瞬時に追跡することはできず、コンデンサを入力信号から瞬時に分離することはできません。
  • 正確なサンプルタイミング間隔からのジッターまたは偏差。
  • ノイズ、熱センサノイズを含むアナログ回路のノイズ、等
  • ADC入力値を十分に急速に変化させることができないために発生するスルーレート制限エラー。
  • 変換された値を表す単語の有限精度の結果としての量子化
  • (量子化の影響に加えて)変換された出力値への入力電圧のマッピングのの非線形効果によるエラー

オーバーサンプリング使用すると、通過帯域外にシフトすることでアパーチャエラーとエイリアシングを完全に排除できますが、この手法は数GHzを超えると実際には使用できず、はるかに低い周波数では非常に高価になる可能性があります。さらに、オーバーサンプリングは量子化誤差と非線形性を減らすことができますが、これらを完全に排除することはできません。その結果、可聴周波数での実際のADCは、通常、エイリアシング、アパーチャエラーを示さず、量子化エラーによって制限されません。代わりに、アナログノイズが支配的です。オーバーサンプリングが実用的でなく、フィルターが高価なRFおよびマイクロ波周波数では、アパーチャエラー、量子化エラー、およびエイリアシングが重大な制限になる可能性があります。

ジッタ、ノイズ、および量子化は、サンプル値に追加されたランダムエラーとしてモデル化することによって分析されることがよくあります。積分とゼロ次ホールド効果は、ローパスフィルタリングの形式として分析できますADCまたはDACの非線形性は、理想的な線形関数マッピングを提案された非線形関数に置き換えることによって分析されます

アプリケーション

オーディオサンプリング

デジタルオーディオは、音声再生にパルス符号変調(PCM)とデジタル信号を使用します。これには、アナログ-デジタル変換(ADC)、デジタル-アナログ変換(DAC)、ストレージ、および送信が含まれます。事実上、一般にデジタルと呼ばれるシステムは、実際には、以前の電気アナログの離散時間、離散レベルのアナログです。最新のシステムはその方法が非常に微妙な場合がありますが、デジタルシステムの主な有用性は、品質を損なうことなく信号を保存、取得、および送信できることです。

サンプリングレート

一般的に見られるサンプリングレートの単位はHzです。これはヘルツを表し、「1秒あたりのサンプル数」を意味します。例として、48kHzは1秒あたり48,000サンプルです。

音楽や多くの種類の音響イベントを録音する場合など人間の可聴範囲20〜20,000 Hz全体をカバーするオーディオをキャプチャする必要がある場合[5]、オーディオ波形は通常44.1 kHz(CD)、48 kHz、88.2でサンプリングされます。kHz、または96kHz。[6]ほぼ2倍のレート要件は、ナイキスト定理の結果です。約50kHz〜60 kHzを超えるサンプリングレートでは、人間のリスナーにとってより有用な情報を提供できません。初期のプロオーディオ機器メーカーは、この理由から40〜50kHzの範囲のサンプリングレートを選択しました。

96kHzや192kHzなどの基本的な要件をはるかに超えるサンプリングレートに向かう業界の傾向があります[7]超音波周波数は人間には聞こえませんが、より高いサンプリングレートでの録音とミキシングは、フォールドバックエイリアシングが原因です。逆に、超音波は周波数スペクトルの可聴部分と相互作用して変調し(相互変調歪み)、忠実度を低下させる可能性があります。[8]より高いサンプリングレートの利点の1つは、ADCおよびDACのローパスフィルター設計要件を緩和できることですが、最新のオーバーサンプリングを使用します。シグマデルタコンバータこの利点はそれほど重要ではありません。

オーディオエンジニアリング協会はほとんどのアプリケーションで48 kHzのサンプリングレートをお勧めしますが、44.1ためkHzに認識を与えるコンパクトディスク(CD)及び他の消費者用途、伝送関連のアプリケーションのための32kHzの、より高い帯域幅または緩和するための96kHzのアンチエイリアシングフィルタ[9] LavryEngineeringとJ.Robert Stuartはどちらも、理想的なサンプリングレートは約60 kHzであると述べていますが、これは標準周波数ではないため、録音には88.2または96kHzをお勧めします。[10] [11] [12] [13]

一般的なオーディオサンプルレートのより完全なリストは次のとおりです。

サンプリングレート 使用する
8,000 Hz 電話と暗号化されたトランシーバーワイヤレスインターホンワイヤレスマイク送信。人間の発話には十分ですが、歯擦音はありませんesseff/ s // f /ように聞こえます)。
11,025 Hz オーディオCDのサンプリングレートの4分の1。低品質のPCM、MPEGオーディオ、およびサブウーファーバンドパスのオーディオ分析に使用されます。[要出典]
16,000 Hz 標準の電話 狭帯域8,000Hzを超える広帯域周波数拡張最新のVoIPおよびVVoIP通信製品のほとんどで使用されています。[14]
22,050 Hz オーディオCDのサンプリングレートの半分。低品質のPCMおよびMPEGオーディオ、および低周波エネルギーのオーディオ分析に使用されます。以下のような初期の20世紀のオーディオフォーマットデジタル化するための適切な78SおよびAMラジオを[15]
32,000 Hz miniDVデジタルビデオカムコーダー、追加のオーディオチャンネルを備えたビデオテープ(例:4チャンネルのオーディオを備えたDVCAM)、DAT(LPモード)、ドイツのDigitales SatellitenradioNICAMデジタルオーディオ、一部の国ではアナログテレビサウンドと一緒に使用されています。高品質のデジタルワイヤレスマイク[16] FMラジオのデジタル化に適しています。[要出典]
37,800 Hz CD-XAオーディオ
44,056 Hz NTSC カラービデオ信号にロックされたデジタルオーディオで使用されます(1行あたり3サンプル、1フィールドあたり245行、1秒あたり59.94フィールド= 1秒あたり29.97フレーム)。
44,100 Hz オーディオCD。MPEG -1オーディオ(VCDSVCDMP3でも最も一般的に使用されています。もともとソニーが選んだのは、25フレーム/秒(PAL)または30フレーム/秒(NTSCモノクロビデオレコーダーを使用)で動作する変更されたビデオ機器で録画でき、プロのアナログ録画機器と一致するために必要と考えられる20kHzの帯域幅をカバーできるためです。当時の。PCMアダプタは、例えば、アナログビデオチャネル内のデジタルオーディオサンプルを適合するPALライン当たり3つのサンプルを、フレーム当たり588本のライン、毎秒25個のフレームを使用してビデオテープ。
47,250 Hz 日本コロムビア(デノン) による世界初の商用PCMサウンドレコーダー
48,000 Hz テープレコーダー、ビデオサーバー、ビジョンミキサーなどのプロのデジタルビデオ機器で使用される標準のオーディオサンプリングレート。このレートが選択されたのは、最大22 kHzの周波数を再構築し、29.97フレーム/秒のNTSCビデオ、および25フレーム/秒、30フレーム/秒、24フレーム/秒のシステムで動作できるためです。 29.97フレーム/秒のシステムでは、フレームごとに1601.6のオーディオサンプルを処理して、5番目のビデオフレームごとに整数のオーディオサンプルを配信する必要があります。[9]   DV、デジタルTVDVD、映画などの民生用ビデオ形式のサウンドにも使用されます。プロフェッショナルなシリアルデジタルインターフェース(SDI)と高解像度シリアルデジタルインターフェース(HD-SDI)放送テレビ機器を接続するために使用されるのは、このオーディオサンプリング周波数を使用します。ほとんどのプロフェッショナルオーディオ機器は、ミキシングコンソールデジタル録音デバイスなど、48kHzのサンプリングを使用しています。
50,000 Hz 3MおよびSoundstreamの70年代後半からの最初の商用デジタルオーディオレコーダー
50,400 Hz MitsubishiX-80デジタルオーディオレコーダーで使用されるサンプリングレート
64,000 Hz あまり使用されませんが、一部のハードウェア[17] [18]およびソフトウェアでサポートされています[19] [20]
88,200 Hz 宛先がCD(44,100 Hzの倍数)の場合に一部のプロの録音機器で使用されるサンプリングレート。一部のプロオーディオギアは、ミキサー、EQ、コンプレッサー、リバーブ、クロスオーバー、録音デバイスなど、88.2 kHzのサンプリングを使用します(または選択できます)。
96,000 Hz DVD-Audio、一部のLPCM DVDトラック、BD-ROM(Blu-ray Disc)オーディオトラック、HD DVD(High-Definition DVD)オーディオトラック。一部のプロの録音および制作機器は、96kHzのサンプリングを選択できます。このサンプリング周波数は、プロ仕様の機器のオーディオで一般的に使用されている48kHz標準の2倍です。
176,400 Hz HDCDレコーダーやその他のCD制作用のプロフェッショナルアプリケーションで使用されるサンプリングレート44.1kHzの周波数の4倍。
192,000 Hz DVD-Audio、一部のLPCM DVDトラック、BD-ROM(Blu-ray Disc)オーディオトラック、HD DVD(High-Definition DVD)オーディオトラック、High-Definitionオーディオ録音デバイスおよびオーディオ編集ソフトウェア。このサンプリング周波数は、プロのビデオ機器のオーディオで一般的に使用されている48kHz標準の4倍です。
352,800 Hz 1ビットのDirectStream Digital(DSD)は編集に適していないためスーパーオーディオCDの録音と編集に使用されるDigital eXtremeDefinition44.1kHzの周波数の8倍。
2,822,400 Hz SACDDirect Stream Digitalとして知られる1ビットのデルタシグマ変調プロセス。SonyPhilipsが共同開発しました
5,644,800 Hz ダブルレートDSD、SACDの2倍のレートの1ビットダイレクトストリームデジタル一部のプロのDSDレコーダーで使用されます。
11,289,600 Hz クアッドレートDSD、SACDの4倍のレートの1ビットダイレクトストリームデジタルいくつかの珍しいプロのDSDレコーダーで使用されます。
22,579,200 Hz 10倍レートDSD、SACDの8倍のレートの1ビットダイレクトストリームデジタルまれな実験用DSDレコーダーで使用されます。DSD512とも呼ばれます。

ビット深度

オーディオは通常、8、16、および24ビット深度で記録されます。これにより、約49.93 dB、98.09 dB、および122.17 dBの純粋な正弦波の 理論上の最大信号対量子化ノイズ比(SQNR)が得られます。 。[21] CD品質のオーディオは16ビットのサンプルを使用します。熱雑音は、量子化に使用できる実際のビット数を制限します。120 dBを超える信号対雑音比(SNR)持つアナログシステムはほとんどありませんただし、デジタル信号処理操作は非常に高いダイナミックレンジを持つ可能性があるため、ミキシングおよびマスタリング操作を32ビット精度で実行してから、16ビットまたは24ビットに変換して配信するのが一般的です。

音声サンプリング

音声信号、つまり人間の音声のみを伝送することを目的とした信号は、通常、はるかに低いレートでサンプリングできます。ほとんどの音素では、ほとんどすべてのエネルギーが100 Hz〜4 kHzの範囲に含まれているため、8kHzのサンプリングレートが可能です。これは、G.711サンプリングおよび量子化仕様を使用するほぼすべてのテレフォニーシステムで使用されるサンプリングレートです。[要出典]

ビデオサンプリング

標準画質テレビ(SDTV)は、可視画像領域に720 x 480ピクセル(US NTSC 525ライン)または720 x 576ピクセル(UK PAL 625ライン)のいずれかを使用します

高解像度テレビ(HDTV)は、720p(プログレッシブ)、1080i(インターレース)、および1080p(プログレッシブ、フルHDとも呼ばれます)を使用します。

デジタルビデオ、時間的サンプリングレートが定義されているフレームレート またはむしろ-フィールドレート -なく概念的ピクセルクロックを画像のサンプリング周波数は、センサー積分期間の繰り返し率です。積分期間は繰り返し間の時間よりも大幅に短い可能性があるため、サンプリング頻度はサンプル時間の逆数とは異なる可能性があります。

  • 50 Hz –PALビデオ
  • 60 / 1.001 Hz〜 = 59.94 Hz –NTSCビデオ

ビデオデジタル-アナログコンバーターはメガヘルツ範囲で動作します(初期のゲームコンソールの低品質コンポジットビデオスケーラーの場合は約3 MHz、最高解像度のVGA出力の場合は250 MHz以上)。

アナログビデオがデジタルビデオ変換されると、スキャンラインに沿った空間サンプリングレートに対応するピクセル周波数で、異なるサンプリングプロセスが発生します一般的なピクセルサンプリングレートは次のとおりです。

他の方向の空間サンプリングは、ラスター内のスキャンラインの間隔によって決定されます。両方の空間方向のサンプリングレートと解像度は、画像の高さあたりの線の単位で測定できます。

高周波の輝度または彩度のビデオコンポーネントの空間エイリアシングモアレパターンとして表示されます

3Dサンプリング

ボリュームレンダリングのプロセスではボクセルの3Dグリッドをサンプリングして、スライスされた(断層撮影)データの3Dレンダリングを生成します。3Dグリッドは、3D空間の連続領域を表すと想定されています。ボリュームレンダリングは、医用画像、X線コンピューター断層撮影(CT / CAT)、磁気共鳴画像(MRI)、ポジトロン放出断層撮影(PET)で一般的です。また、地震波トモグラフィーやその他のアプリケーションにも使用されます。

上の2つのグラフは、特定のレートでサンプリングされたときに同じ結果を生成する2つの異なる関数のフーリエ変換を示しています。ベースバンド関数はナイキストレートよりも速くサンプリングされ、バンドパス関数はアンダーサンプリングされて、効果的にベースバンドに変換されます。下のグラフは、サンプリングプロセスのエイリアスによって同一のスペクトル結果がどのように作成されるかを示しています。

アンダーサンプリング

バンドパス信号がナイキストレートよりも遅くサンプリングされる場合、サンプルは高周波信号の低周波エイリアスサンプルと区別できませんこれは、バンドパス信号が依然として一意に表現され、回復可能であるため、最低周波数のエイリアスがナイキスト基準を満たすように意図的に行われることがよくあります。このようなアンダーサンプリングは、バンドパスサンプリング高調波サンプリングIFサンプリング、および直接IFからデジタルへの変換としても知られています。[22]

オーバーサンプリング

オーバーサンプリングは、ほとんどの最新のアナログ-デジタルコンバーターで使用されWhittaker-Shannon補間式のような理想化の代わりにゼロ次ホールドなどの実用的なデジタル-アナログコンバーターによって導入される歪みを低減します。[23]

複雑なサンプリング

複素数サンプリングI / Qサンプリング)は、2つの異なるが関連する波形の同時サンプリングであり、結果としてサンプルのペアが生成され、その後、複素数として扱われます[A]   1つの波形の場合  さヒルベルト変換、他の波形の  複素数値関数、    は解析信号と呼ばれ、そのフーリエ変換は周波数のすべての負の値に対してゼロです。その場合、周波数B以上の 波形のナイキストレートは、2 B(実際のサンプル/秒)ではなく、B(複雑なサンプル/秒)だけに減らすことができます[B] より明らかに、同等のベースバンド波形、    また、ゼロ以外の周波数成分がすべて区間[-B / 2、B / 2)にシフトされるため、ナイキストレートはBになります。

複素数値のサンプルは上記のように取得できますが、実数値の波形のサンプルを操作することによっても作成されます。たとえば、同等のベースバンド波形は、明示的に計算せずに作成できます  製品シーケンスを処理することによって[C]  カットオフ周波数がB / 2のデジタルローパスフィルターを通過します。[D] 出力シーケンスの1つおきのサンプルのみを計算すると、ナイキストレートの減少に比例してサンプルレートが減少します。結果は、実際のサンプルの元の数の半分の複素数値サンプルになります。情報が失われることはなく、必要に応じて元のs(t)波形を復元できます。

も参照してください

注意事項

  1. ^ サンプルペアは、コンスタレーションダイアグラム上のポイントと見なされることもあります。
  2. ^ 複素サンプルレートがBの場合、たとえば0.6 Bの周波数成分は 、-0.4 Bエイリアスを持ちます 。これは、事前にサンプリングされた信号が分析的であるという制約があるため、明確です。エイリアシング§複雑な正弦波も参照してください
  3. ^ s(t)がナイキスト周波数(1 / T = 2B)でサンプリングされる場合、製品シーケンスは次のように簡略化されます。
  4. ^ 複素数のシーケンスは、実数値の係数を持つフィルターのインパルス応答で畳み込まれます。これは、実数部と虚数部のシーケンスを個別にフィルタリングし、出力で複素数ペアを再形成することと同じです。

参考文献

  1. ^ マーティンH.ウェイク(1996)。通信標準辞書スプリンガー。ISBN 0412083914
  2. ^ Rao、R。(2008)。信号とシステムPrentice-Hall Of IndiaPvt。限定。ISBN 9788120338593
  3. ^ CEシャノン、「ノイズの存在下での通信」、 Proc。無線学会、vol。37、no.1、pp。10–21、1949年1月。古典的な紙として再版:Proc。IEEE、Vol。86、第2号(1998年2月) アーカイブに2010-02-08ウェイバックマシン
  4. ^ HOJohanssonおよびC.Svensson、「NMOSサンプリングスイッチの時間分解能」、IEEE J. Solid-State Circuits Volume:33、Issue:2、pp。237–245、1998年2月。
  5. ^ 「人間の聴覚の周波数範囲」物理ファクトブック
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  8. ^ コレッティ、ジャスティン(2013年2月4日)。「サンプルレートの科学(高いほど良い場合とそうでない場合)」私を信じて私は科学者です。2013年2月6日取得多くの場合、サンプルレートが高いという音は、透明度が高いからではなく、透明度が低いために聞こえます。それらは実際に可聴スペクトルに意図しない歪みをもたらす可能性があります
  9. ^ B AES5-2008:AESは、プロのデジタル・オーディオ用の練習をお勧めします-パルス符号変調を採用したアプリケーションのためのサンプリング周波数優先、オーディオ技術協会、2008年には、取得した2010年1月18日を
  10. ^ Lavry、Dan(2012年5月3日)。「高品質オーディオの最適サンプルレート」(PDF)Lavry EngineeringInc60 KHzは理想に近いでしょうが、既存の標準を考えると、88.2KHzと96KHzが最適なサンプルレートに最も近いです。
  11. ^ Lavry、Dan。「高品質のオーディオのための最適なサンプルレート」Gearslutz 20181110日取得私はすべての耳に対応しようとしていますが、実際に20KHzより少し上で聞こえる人はほとんどいないという報告があります。48KHzはかなり良い妥協案だと思いますが、88.2または96KHzは追加のマージンをもたらします。
  12. ^ Lavry、Dan。「96kで混ぜるかどうか?」Gearslutz 20181110日取得今日では、60〜70KHzのサンプルレートが耳に最適なレートであると考える優れた設計者や耳の人々がたくさんいます。それは私たちが聞くことができるものを含めるのに十分速いですが、それをかなり正確に行うのに十分遅いです。
  13. ^ スチュアート、J。ロバート(1998)。高品質のデジタルオーディオのコーディングCiteSeerX 10.1.1.501.6731音響心理学的分析と経験の両方から、透明性を確保するために必要な最小の長方形チャネルは、58kHzで18.2ビットのサンプルを使用する線形PCMを使用することがわかります。...既存のサンプリングレートと整数の関係を維持することには強い議論があります。これは、88.2kHzまたは96kHzを採用する必要があることを示唆しています。 
  14. ^ http://www.voipsupply.com/cisco-hd-voice [信頼できないソース?]
  15. ^ 「復元手順–パート1」Restoring78s.co.uk。2009年9月14日にオリジナルからアーカイブされまし2011年1月18日取得ほとんどのレコードでは、ステレオでの22050のサンプルレートで十分です。例外は、世紀の後半に作成された録音である可能性が高く、44100のサンプルレートが必要になる場合があります。
  16. ^ 「Zaxcomデジタル無線送信機」Zaxcom.com。2011-02-09にオリジナルからアーカイブされまし2011年1月18日取得
  17. ^ 「RME:HammerfallDSP9632」www.rme-audio.de 20181218日取得サポートされているサンプル周波数:内部で32、44.1、48、64、88.2、96、176.4、192kHz。
  18. ^ 「SX-S30DAB |パイオニア」www.pioneer-audiovisual.eu 20181218日取得サポートされているサンプリングレート:44.1 kHz、48 kHz、64 kHz、88.2 kHz、96 kHz、176.4 kHz、192 kHz
  19. ^ クリスティーナ・バックマン、ハイコ・ビショフ; シュッテ、ベンジャミン。「サンプルレートメニューのカスタマイズ」Steinberg WaveLabPro 20181218日取得一般的なサンプルレート:64 000 Hz
  20. ^ 「MTrack2x2M Cubase Pro9はサンプルレートを変更できません」M-Audio 20181218日取得[Cubaseのスクリーンショット]
  21. ^ 「MT-001:悪名高い公式から謎を取り除く、「SNR = 6.02N + 1.76dB」、およびなぜあなたが気にかけるべきか」(PDF)
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  23. ^ ウィリアムモリスハートマン(1997)。信号、音、感覚スプリンガー。ISBN 1563962837

さらに読む

  • Matt Pharr、Wenzel Jakob、Greg Humphreys、物理ベースのレンダリング:理論から実装まで、第3版。、モルガン・カウフマン、11月2016年ISBN 978から0128006450サンプリングに関する章(オンラインで入手可能)は、図、コア理論、およびコードサンプルでうまく書かれています。 

外部リンク