反射関係

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数学では、集合X同次 二項関係 Rは、 Xのすべての要素をそれ自体に関連付ける場合、反射的です。[1] [2]

反射関係の例は、すべての実数がそれ自体に等しいため、実数のセットの「等しい」という関係です。反射関係は、反射性を持っている、または反射性を持っていると言われています対称性推移性に加えて、再帰性は同値関係を定義する3つのプロパティの1つです

定義

させてセットのバイナリ関係である、これは定義上、のサブセットにすぎません 任意の表記という意味です「ではない" という意味です

関係次の場合は反射的と呼ばれますすべてのためのまたは同等に、どこ上の恒等関係を示します の反射閉鎖組合ですこれは同等に最小として定義することができます(に関して)反射関係それはのスーパーセットです関係それがその反射的閉鎖に等しい場合にのみ、反射的です。

反射的還元または非反射カーネル最小です(に関して)関係それはと同じ反射的閉鎖を持っていますそれは等しいの無反射カーネルある意味で、反射的閉鎖の「反対」である構造として見ることができます たとえば、標準的な厳密な不等式の反射的閉鎖実数 通常の非厳密な不等式です一方、反射的減少

関連する定義

反射特性に関連するいくつかの定義があります。関係と呼ばれます:

反射しない、反反射またはAliorelative [3]
要素をそれ自体に関連付けていない場合。つまり、そうでない場合すべてのための関係はその補集合反射的です。非対称関係は必然的に無反射です推移的で非反射的な関係は、必然的に非対称です。
左準反射
いつでもそのようなものですその後、必然的に[4]
右準反射
いつでもそのようなものですその後、必然的に
準反射的
ある要素に関連するすべての要素がそれ自体にも関連している場合。明示的に、これはいつでもそのようなものですその後、必然的に 同様に、二項関係は、左準反射と右準反射の両方である場合にのみ、準反射です。関係対称的なクロージャである場合に限り、準反射的です 左(または右)の準反射的です。
反対称
いつでもそのようなものですその後、必然的に
Coreflexive
いつでもそのようなものですその後、必然的に[5]関係対称クロージャが反対称である場合に限り、コアフレクシブです

空でない集合の反射関係非反射的でも非対称的でもあり得ない(次の場合は非対称と呼ばれます意味しない)、またはアンチトランジティブ次の場合逆遷移です意味しない)。

反射関係の例は次のとおりです。

非反射的な関係の例は次のとおりです。

  • 「等しくない」
  • 互いに素である」(整数の場合)1は互いに素なので)
  • 「の適切なサブセットです」
  • "より大きい"
  • "より少ない"

非反射関係の例は、要素をそれ自体に関連付けないことを意味し、「大なり記号」関係(実数で反射的でないすべての関係が非反射的であるわけではありません。一部の要素はそれ自体に関連しているが、他の要素は関連していない(つまり、すべてでもまったく関連していない)関係を定義することもできます。たとえば、バイナリ関係「の積iseven 」は、偶数のセットでは反射的であり、奇数のセットでは反射的ではなく、自然数のセットでは反射的でも非反射的でもありません。

準反射関係の例は、実数のシーケンスのセットに対して「同じ制限があります」です。すべてのシーケンスに制限があるわけではないため、関係は再帰的ではありませんが、シーケンスがあるシーケンスと同じ制限がある場合は、同じ制限があります。それ自体として。左の準反射関係の例は、左のユークリッド関係です。これは、常に左の準反射ですが、必ずしも右の準反射ではなく、したがって必ずしも準反射ではありません。

コアフレクシブ関係の例は、各奇数がそれ自体に関連し、他の関係がない整数の関係です。等式関係は、反射的関係と共反射的関係の両方の唯一の例であり、共反射的関係は、恒等関係のサブセットです。同じセットでの共屈曲関係と推移関係の和集合は常に推移的です。

反射関係の数

上の反射関係の数-要素セットは[6]

異なるタイプのn要素のバイナリ関係の
要素 どれでも 推移的 反射 対称 予約注文 半順序 トータルプレオーダー 全注文 同値関係
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 2 1 1 1 1 1
2 16 13 4 8 4 3 3 2 2
3 512 171 64 64 29 19 13 6 5
4 65,536 3,994 4,096 1,024 355 219 75 24 15
n 2 n 2 2 n 2n 2 nn +1)/ 2 n
OEIS A002416 A006905 A053763 A006125 A000798 A001035 A000670 A000142 A000110

Snk)は第2種のスターリング数を指すことに注意してください

哲学的論理学

哲学的論理学の著者は、しばしば異なる用語を使用します。数学的意味での反射関係は哲学的論理では完全反射と呼ばれ、準反射関係は反射と呼ばれます[7] [8]

メモ

  1. ^ Levy 1979:74
  2. ^ リレーショナル数学、2010年
  3. ^ この用語は、 CSパースによるものです。バートランドラッセル(1920年4月)を参照数学的哲学入門(PDF)(第2版)。ロンドン:George Allen&Unwin、Ltd。 (オンライン修正版、2010年2月)。ここで:p。32.ラッセルはまた、多様性に含まれる、または多様性を暗示する2つの同等の用語を紹介します
  4. ^ ブリタニカ百科事典は、このプロパティを準再帰性と呼んでいます。
  5. ^ Fonseca de Oliveira、JN、およびPereira Cunha Rodrigues、CDJ(2004)。関係の転置:多分関数からハッシュテーブルへ。プログラム構築の数学(p.337)。
  6. ^ 整数シーケンスのオンライン百科事典A053763
  7. ^ アランハウスマン; ハワード・カハネ; ポール・ティドマン(2013)。論理と哲学—現代の紹介ワズワース。ISBN 1-133-05000-Xこちら:p.327-328
  8. ^ DSクラーク; リチャードベーリング(1998)。演繹論理—評価手法と論理理論の紹介ユニバーシティプレスオブアメリカ。ISBN 0-7618-0922-8こちら:p.187

参考文献

  • Levy、A。(1979)基本集合論、数理論理学の展望、Springer-Verlag。2002年に転載、ドーバー。ISBN 0-486-42079-5 
  • Lidl、R。およびPilz、G。(1998)。応用抽象代数数学の学部テキスト、Springer-Verlag。ISBN 0-387-98290-6 
  • クイン、WV(1951)。数理論理学、改訂版。2003年に転載、ハーバード大学出版局。ISBN 0-674-55451-5 
  • ガンザーシュミット、2010年。リレーショナル数学ケンブリッジ大学出版局ISBN978-0-521-76268-7 

外部リンク