有理数

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有理数()は実数に含まれます)、それ自体は整数)、これには自然数

数学有理数である数値として表すことができる又は分数 NS/NS2つの整数分子 pと非ゼロ分母 qの[1]たとえば、−3/7すべての整数と同様に、は有理数です(例:5 =5/1)。有理数とも呼ばれるすべての有理数セット[2]有理数フィールド[3]または有理数フィールドは、通常、太字のQ(または黒板太字)で示されます。 、Unicode U +1D410𝐐 数学 太字大文字QまたはU + 211Aℚ二重構造大文字Q); [4]それは、このようにすることによって1895年に示されたジュゼッペ・ペアノquoziente「のためのイタリア語、、」[要出典]と最初ブルバキの中で登場しAlgèbre[5]

有理数10進展開は、有限の数の後で終了します(例:3/4= 0.75)、または最終的に同じ有限の数字シーケンス何度も繰り返し始めます(例:9/44= 0.20454545 ...)。[6]逆に、繰り返しまたは終了する小数は有理数を表します。これらのステートメントは、基数10、および他のすべての整数基数(たとえば、2進数または16進数)に当てはまります[要出典]

実数合理的ではないと呼ばれている不合理[5]無理数は、2πE、及びφを無理数小数展開は繰り返さずに続きます。有理数の集合は可算であり、実数の集合は非可算であるためほとんどすべての有理数は非可算です。[1]

有理数をすることができる正式として定義される等価クラス整数の対PQQ ≠0使用して、同値関係は以下のように定義します:

分数 NS/NS次に、pqの同値類を示します。[7]

有理数は、加算乗算とともに整数を含むフィールド形成し整数を含むすべてのフィールドに含まれます。言い換えれば、有理数の体は素数体であり、有理数がサブフィールドとして含まれている場合に限り、体は標数ゼロを持ちます。有限拡張子Qは、と呼ばれている代数体、および代数的閉包Qは、の分野である代数的数[8]

では、数学的分析、有理数が形成密なサブセット実数のを。実数はコーシー列デデキント切断、または無限小数を使用して完了までに有理数から構成できます(詳細については、実数の構成を参照してください)。[要出典]

用語

集合Qに関する有理数という用語は、有理数が2つの整数の比率表すという事実を指します。数学では、「有理数」は「有理数」を表す名詞としてよく使用されます。形容詞の有理数は、係数有理数であることを意味する場合があります。たとえば、有理点は有理座標を持つ点(つまり、座標が有理数である点)です。合理的な行列は、ある行列有理数の。合理的な多項式有理式よりも多項式」という用語が一般的に好まれますが、「有理式」と「有理関数」の混同を避けるために、有理係数を持つ多項式の場合があります多項式は有理式であり、有理関数を定義します。係数は有理数ではありません)。ただし、有理曲線 、有理に対して定義された曲線ではなく、有理関数によってパラメーター化できる曲線です。[要出典]

語源

今日が有理数での用語で定義される、用語合理的ではない派生。反対に、有理数から導出される比率です。現代的な意味を持つ比率の最初の使用は、1660年頃に英語で証明されましたが[9]数を修飾するための有理数の使用は、ほぼ1世紀前の1570年に登場しました。[ 10]この有理数の意味は、有理数の数学的意味から来ました。、1551年に最初に使用され、「ユークリッドの翻訳(ἄλογοςの彼の独特の使用に続く)」で使用されました[11] [12]

この珍しい歴史は、古代ギリシャ人が「それらの[不合理な]長さを数として考えることを禁じることによって異端を避けた」という事実に端を発しています。[13]したがって、そのような長さは非論理的な意味で、「話されるべきではない」(ギリシャ語でἄλογοςという非合理でした。[14]

この語源はと同様である架空の数字実際の数字

算術

既約分数

すべての有理数は、既約分数として独自の方法で表現できます。 NS/NS、ここab互いに素な整数であり、b > 0です。これはしばしば有理数の標準形と呼ばれます。

有理数から始める NS/NS、その標準形を割ることによって得ることができるBはそれらによって最大公約数場合、およびB <0 得られた分子と分母の符号を変えます。[要出典]

整数の埋め込み

任意の整数nは有理数として表すことができますNS/1、これは有理数としての標準形です。[要出典]

平等

場合に限り

両方の分数が標準形の場合、次のようになります。

場合に限り [7]

注文

両方の分母が正の場合(特に両方の分数が標準形の場合):

場合に限り

一方、いずれかの分母が負の場合、分子と分母の両方の符号を変更することにより、負の分母を持つ各分数を最初に正の分母を持つ同等の形式に変換する必要があります。[7]

追加

次のように2つの分数が追加されます。

両方の分数が標準形である場合、bd互いに素な整数である場合に限り、結果は標準形になります[7] [15]

減算

両方の分数が標準形である場合、bd互いに素な整数である場合に限り、結果は標準形になります[15] [検証が必要]

掛け算

乗算のルールは次のとおりです。

ここで、結果は約分数になる可能性があります—両方の元の分数が標準形であっても。[7] [15]

すべての有理数 NS/NSしばしばその反対と呼ばれる反数を持っています

もしも NS/NS は標準形ですが、その反対についても同じことが言えます。

ゼロ以外の有理数 NS/NS持っ逆数もその呼ばれ、逆数を

もしも NS/NS が標準形である場合、その逆数の標準形は次のいずれかです。 NS/NS また b/a、の符号に応じて[要出典]

分割

場合BC、及びDはゼロでない、分割ルールであります

したがって、分割 NS/NSNS/NS 乗算と同等です NS/NS逆数によってNS/NS

[15] [検証が必要]

整数乗のべき乗

もしnは負でない整数であり、次いで

同じことが当てはまる場合、結果は標準形になります NS/NS特に、

もし≠0 その後、

もしも NS/NS が標準形である場合、結果の標準形は次のようになります。 b n/a nもし> 0またはnが偶数です。それ以外の場合、結果の標準形は次のようになります。b n/a n[要出典]

連分数表現

有限連分数は、このような表現であります

ここでanは整数です。すべての有理数NS/NSは有限連分数として表すことができ、その係数 a nは、ユークリッドアルゴリズムab)に適用することで決定できます

その他の表現

同じ有理値を表すさまざまな方法です。

正式な建設

整数のペアの同値類の表現を示す図

有理数は、以下のように構築することができる等価クラス順序対整数[7] [15]

より正確には、Z ×(Z \ {0}))をn ≠0のような整数のペアmnセットとします同値関係をすることによって、このセットで定義されています

[7] [15]

加算と乗算は、次のルールで定義できます。

[7]

この同値関係は合同関係です。つまり、上記で定義した加算と乗算と互換性があります。有理数の集合Q、上記の演算によって引き起こされる加算と乗算を備えた、この同値関係Z ×(Z \ {0}))/〜によって設定される整数として定義されます。(この構築は、任意の整域で実行でき、その商体を生成します。)[7]

ペアの同値類mnは次のように表されます。NS/NS2つのペアm 1n 1m 2n 2は、m 1 n 2 = m 2 n 1の場合に限り、同じ同値類(つまり同等)に属します。この意味はm 1/n 1 = m 2/n 2場合にのみmは1 、N 2 = M 2 nは1[7] [15]

すべての同値類 NS/NS なぜなら、無限に多くのペアで表される可能性があるからです。

各同値類には、一意の正規の代表要素が含まれています正規の代表は、mn互いに素であり、n > 0であるような、同値類の一意のペアmnです。これは、有理数の最低項での表現と呼ばれます。

整数は、整数n有理数で識別する有理数と見なすことができます。NS/1

全順序は、整数の自然な順序を延びる、有理数上で定義されてもよいです。1つは持っています

もしも

プロパティ

正の有理数の可算性の図解

すべての有理数の集合Qは、上記の加算および乗算演算とともに、フィールドを形成します[7]

Qに、アイデンティティ以外フィールド自己同型はありません[要出典]

上記で定義された順序で、Qはある順序体[15]自体以外のサブフィールドを持っていない、あらゆる順序体が固有のサブフィールド含有するという意味で、最小の順序体である同型Qは[要出典]

Q素数フィールドであり、それ自体以外にサブフィールドを持たないフィールドです。[16]有理数は、標数ゼロの最小フィールドです。標数ゼロのすべての体には、 Qと同型の一意のサブフィールドが含まれます[要出典]

Q整数Zの分数フィールドです[17]代数的閉包Q、合理的な多項式の根のIEフィールドは、フィールドのある代数的数[要出典]

すべての有理数のセットは可算ですが(図を参照)、すべての有理数のセット(および無理数のセット)は数えられません。可算であるため、有理数の集合は零集合です。つまりルベーグ測度の意味でほとんどすべての有理数は非合理的です。[要出典]

有理数は密に順序付けられたセットです。任意の2つの有理数の間に、別の有理数が存在するため、他の有理数は無限に多くなります。[7]たとえば、次のような任意の2つの分数の場合

(どこ ポジティブです)、私たちは持っています

[要出典]

任意の全順序(上の意味での)可算、緻密で、かつ無少なくともまたは最大の要素を持っていないセットがある同型の順序有理数へ。[18]

実数と位相的性質

有理数は実数の密なサブセットです。すべての実数には、任意に近い有理数があります。[7]関連する特性は、有理数が通常の連分数として有限の展開持つ唯一の数であるということです。[要出典]

それらの順序のおかげで、有理数は順序トポロジーを運びます。実数の部分空間としての有理数も、部分空間トポロジーを持っています。有理数は、絶対差計量dxy)= |を使用して距離空間を形成しますxy |、これにより、Qに3番目のトポロジが生成されます。 3つのトポロジーすべてが一致し、有理数をトポロジーフィールドに変換します。有理数は、局所コンパクトではない空間の重要な例です。有理数は、トポロジー的にユニークなものとして特徴付けられます 孤立点のない可算距離化定理空間も完全に切り離されています有理数は完全な距離空間を形成しません[要出典] ; 実数は完了しているQメトリック下でDXY)= | xy | その上。[15]

p進数

上記の絶対値メトリックに加えて、Qをトポロジフィールドに変換する他のメトリックがあります。

してみましょうpが可能素数と整数任意の非ゼロのために、聞かせて| a | p = p n、ここで、p nは、aを除算するpの最大の累乗です

さらにセット| 0 | p = 0有理数の場合NS/NS、設定します|NS/NS| p =| a | NS/| b | NS

次に、d pxy)= | xy | pQのメトリック定義します[19]

距離空間QDのpは完全ではありません、そしてその完成はあるのp進数番号フィールド Q Pオストロフスキーの定理、有理数Qの自明でない絶対値は、通常の実絶対値またはp -adic絶対値のいずれかと同等であると述べています。[要出典]

も参照してください

参考文献

  1. ^ a b ローゼン、ケネス(2007)。離散数学とその応用(第6版)。ニューヨーク州ニューヨーク:McGraw-Hill。pp。105、158–160。ISBN 978-0-07-288008-3
  2. ^ ラス、ハリー(2009)。純粋数学と応用数学の要素(図解版)。クーリエ株式会社。NS。382. ISBN 978-0-486-47186-0 382ページの抜粋
  3. ^ ロビンソン、ジュリア(1996)。ジュリアロビンソンの収集作品アメリカ数学会。NS。104. ISBN 978-0-8218-0575-6 104ページの抜粋
  4. ^ ラウズ、マーガレット。「数学記号」2015年4月1日取得
  5. ^ a b ワイスタイン、エリックW. 「有理数」mathworld.wolfram.com 2020811日取得
  6. ^ 「有理数」ブリタニカ百科事典2020811日取得
  7. ^ a b c d e f g h i j k l m Biggs、Norman L.(2002)。離散数学インド:オックスフォード大学出版局。pp。75–78。ISBN 978-0-19-871369-2
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  9. ^ オックスフォード英語辞典(第2版)。オックスフォード大学出版局。1989年。エントリーn。、センス2.a.
  10. ^ オックスフォード英語辞典(第2版)。オックスフォード大学出版局。1989年。エントリの合理的a。(adv。)およびn。1、センス5.a.
  11. ^ オックスフォード英語辞典(第2版)。オックスフォード大学出版局。1989年。不合理なエントリa。およびn。、センス3。
  12. ^ Shor、Peter(2017-05-09)。「合理的は比率から来るのか、それとも比率は合理的から来るのか」スタック交換2021-03-19を取得
  13. ^ Coolman、Robert(2016-01-29)。「数学的迷信が1000年以上にわたって代数をどのように育てたか」2021-03-20を取得
  14. ^ クレイマー、エドナ(1983)。現代数学の性質と成長プリンストン大学出版局。NS。28。
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  16. ^ Sūgakkai、Nihon(1993)。岩波数学辞典、第1巻イギリス、ロンドン:MIT Press NS。578. ISBN 0-2625-9020-4
  17. ^ ブルバキ、N。(2003)。代数II:第4章から第7章シュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。NS。A.VII.5。
  18. ^ ギーゼ、マーティン; シェーネゲ、アルノ(1995年12月)。エンドポイントのない2つの可算密順序集合は同型です-KIVによる正式な証明(PDF)(テクニカルレポート)2021年8月17日取得
  19. ^ ワイスタイン、エリックW. 「p進数」mathworld.wolfram.com 2021817日取得

外部リンク