ランダム性

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疑似ランダムに生成されたビットマップ

一般的な用語では、ランダム性は、イベントのパターンまたは予測可能性の明らかなまたは実際の欠如です。[1] [2]イベント、シンボル、またはステップのランダムなシーケンスには順序がなく、理解しやすいパターンまたは組み合わせに従わないことがよくあります。個々のランダムイベントは、定義上、予測できませんが、確率分布がわかっている場合、繰り返されるイベント(または「試行」)でのさまざまな結果の頻度は予測可能です。【注1】例えば、サイコロを2個投げるとき、特定のロールの結果は予測できませんが、合計7は4の2倍の頻度で発生する傾向があります。この見方では、ランダム性は偶然ではありません。それは結果の不確実性の尺度です。ランダム性は、チャンス、確率、および情報エントロピーの概念に適用されます

数学、確率、統計の分野では、ランダム性の正式な定義が使用されています。統計では、確率変数は、イベントスペースの考えられる各結果への数値の割り当てですこの関連付けにより、イベントの確率の識別と計算が容易になります。確率変数は、ランダムなシーケンスで表示される場合があります。確率過程は、結果が決定論的パターンに従わないが、確率分布によって記述される進化に従う確率変数シーケンスですこれらおよびその他の構成は、確率論およびランダム性のさまざまなアプリケーションで非常に役立ちます

ランダム性は、明確に定義された統計プロパティを示すために統計で最もよく使用されます。ランダム入力(乱数ジェネレーター疑似乱数ジェネレーターなど)に依存するモンテカルロ法は、科学、特に計算科学の分野で重要な手法です。[3]類推により、準モンテカルロ法準乱数発生器を使用します。

単純ランダムサンプルに狭く関連付けられている場合のランダム選択は、母集団からアイテム(ユニットと呼ばれることが多い)を選択する方法です。特定のアイテムを選択する確率は、母集団内のそれらのアイテムの割合です。たとえば、10個の赤い大理石と90個の青い大理石が入っているボウルの場合、ランダム選択メカニズムは1/10の確率で赤い大理石を選択します。このボウルから10個のビー玉を選択したランダムな選択メカニズムでは、必ずしも1個の赤と9個の青になるとは限らないことに注意してください。母集団が識別可能なアイテムで構成されている状況では、ランダム選択メカニズムでは、選択するアイテムに対して等しい確率が必要です。つまり、選択プロセスが、母集団の各メンバー、たとえば研究対象が選択される確率が同じである場合、選択プロセスはランダムであると言えます。[2]

ラムゼー理論によれば、特に大きな構造の場合、純粋なランダム性は不可能です。数学者のテオドール・モツキンは、「一般的には無秩序である可能性が高いが、完全な無秩序は不可能である」と示唆した。[4]これを誤解すると、多くの陰謀説につながる可能性があります。[5] Cristian S. Caludeは、「真のランダム性が不可能であることを考えると、その努力はランダム性の程度を研究することに向けられている」と述べた。[6]ランダム性の形式には(品質または強度の点で)無限の階層があることが証明できます。[6]

歴史

ポンペイのサイコロプレーヤーの古代のフレスコ画

古代の歴史では、偶然とランダム性の概念は運命の概念と絡み合っていました。多くの古代の人々は運命を決定するためにサイコロを投げました、そしてこれは後に運が左右するゲームに進化しました。ほとんどの古代文化は、ランダム性と運命を回避するためにさまざまな占いの方法を使用していました。[7] [8]

3000年前の中国人はおそらくオッズとチャンスを形式化する最も早い人々でした。ギリシャの哲学者たちは、ランダム性について詳細に議論しましたが、それは非定量的な形式でのみでした。イタリアの数学者がさまざまな運が左右するゲームに関連するオッズを形式化し始めたのは16世紀のことでした。微積分の発明は、ランダム性の正式な研究にプラスの影響を及ぼしました。ジョン・ベンは、彼の著書The Logic of Chanceの1888年版で、円周率の数字のランダム性の見方を含むランダム性の概念に関する章を、それらを使用して2次元のランダムウォークを構築することによって作成しました。[9]

20世紀の初めには、確率の数学的基礎へのさまざまなアプローチが導入されたため、ランダム性の正式な分析が急速に成長しました。20世紀半ばから後半にかけて、アルゴリズム情報理論のアイデアは、アルゴリズムのランダム性の概念を介してフィールドに新しい次元を導入しました

ランダム性は何世紀にもわたって障害や迷惑と見なされることがよくありましたが、20世紀になると、コンピューター科学者は、計算にランダム性を意図的に導入することが、より優れたアルゴリズムを設計するための効果的なツールになり得ることに気付き始めました。場合によっては、そのようなランダム化されたアルゴリズムは、最良の決定論的方法よりも優れています。[10]

科学では

多くの科学分野はランダム性に関係しています。

物理科学では

19世紀、科学者たちは統計力学の開発に分子のランダムな動きのアイデアを使用して、熱力学の現象とガスの特性を説明しまし

量子力学のいくつかの標準的な解釈によれば、微視的現象は客観的にランダムです。[11]つまり、因果関係のあるすべてのパラメーターを制御する実験では、結果のいくつかの側面は依然としてランダムに変化します。たとえば、単一の不安定な原子が制御された環境に置かれている場合、原子が崩壊するのにかかる時間を予測することはできません。特定の時間に崩壊する確率のみを予測できます。[12]したがって、量子力学は個々の実験の結果を指定するのではなく、確率のみを指定します。隠れた変数理論自然には既約のランダム性が含まれているという見方を拒否します。このような理論では、ランダムに見えるプロセスでは、特定の統計的分布を持つプロパティが舞台裏で機能し、それぞれの場合の結果を決定します。

生物学では

現代の進化的総合は、観察された生命の多様性を、自然淘汰が続くランダムな遺伝子突然変異に帰する。後者は、それらの突然変異した遺伝子がそれらを所有する個人に与える生存と生殖の体系的に改善された機会のために、遺伝子プールにいくつかのランダムな突然変異を保持します。突然変異の場所は完全にランダムではありませんが、たとえば生物学的に重要な領域は突然変異からより保護されている可能性があります。[13] [14] [15]

何人かの著者はまた、進化(そして時には発達)には特定の形のランダム性、すなわち質的に新しい行動の導入が必要であると主張しています。いくつかの事前に与えられたものの中から1つの可能性を選択する代わりに、このランダム性は新しい可能性の形成に対応します。[16] [17]

生物の特徴は、ある程度決定論的に(例えば、遺伝子や環境の影響下で)、そしてある程度ランダムに発生します。たとえば、人の皮膚に現れるそばかすの密度、遺伝子と光への露出によって制御されます。一方、個々のそばかすの正確な位置はランダムに見えます。[18]

行動に関する限り、動物が他の人に予測できない方法で行動する場合、ランダム性は重要です。たとえば、飛行中の昆虫は方向がランダムに変化して動き回る傾向があり、捕食者を追跡してその軌道を予測することは困難です。

数学では

確率の数学的理論は、元々はギャンブルの文脈で、後に物理学に関連して、偶然の出来事の数学的記述を定式化する試みから生じました。統計は、経験的観測のコレクションの基礎となる確率分布を推測するために使用されます。シミュレーションの目的で、乱数を大量に供給する必要があります。つまり、必要に応じて乱数を生成する手段が必要です。

アルゴリズム情報理論は、他のトピックの中でも、ランダムシーケンスを構成するものを研究します。中心的な考え方は、ビットの文字列は、その文字列を生成できるコンピュータプログラム( Kolmogorov randomness )よりも短い場合にのみランダムであるということです。つまり、ランダムな文字列は圧縮できない文字列です。この分野の先駆者には、アンドレイ・コルモゴロフと彼の学生であるペール・マルティン・レーフレイ・ソロモノフグレゴリー・チャイティンが含まれます。無限シーケンスの概念については、数学者は一般的にペールマルティンレフを受け入れますの半名義の定義:無限シーケンスは、それがすべての帰納的可算ヌルセットに耐える場合にのみランダムです。[19]ランダムシーケンスの他の概念には、とりわけ、再帰的に計算可能なマルチンゲールに基づく再帰的ランダム性とSchnorrランダム性が含まれます。これらのランダム性の概念は一般的に異なることがYonggeWangによって示されました。[20]

ランダム性は、log(2)piなどの数値で発生します。円周率の10進数は無限のシーケンスを構成し、「循環的に繰り返されることはありません」。円周率のような数値も正常である可能性が高いと見なされます:

Piは確かにこのように動作するようです。円周率の小数点以下60億桁では、0から9までの各桁が約6億回表示されます。しかし、そのような結果は、おそらく偶然であり、基数10でも正規性を証明せず、他の基数では正規性がはるかに低くなります。[21]

統計では

統計では、ランダムネスは一般的に単純なランダムサンプルを作成するために使用されます。これにより、完全にランダムな人々のグループの調査で、人口を反映した現実的なデータを提供できます。これを行う一般的な方法には、帽子から名前を描くか、ランダムな数字のチャート(ランダムな数字の大きなテーブル)を使用することが含まれます。

情報科学において

情報科学では、無関係または無意味なデータはノイズと見なされます。ノイズは、統計的にランダム化された時間分布を持つ多数の一時的な外乱で構成されます。

通信理論では、信号のランダム性は「ノイズ」と呼ばれ、ソースである信号に因果関係があるその変動の成分とは対照的です。

ランダムネットワークの開発に関しては、通信のランダム性は、ノードの数が固定されており、この数はネットワークの存続期間中固定されたままであると述べたPaulErdősAlfrédRényiの2つの単純な仮定に基づいています。ノードは等しく、互いにランダムにリンクされていました。[説明が必要] [22]

金融で

ランダムウォーク仮説は、組織化された市場資産価格は、変化の期待値がゼロであるが実際の値が正または負になる可能性があるという意味で、ランダムに変化すると見なします。より一般的には、資産価格は、一般的な経済環境におけるさまざまな予測不可能な出来事の影響を受けます。

政治では

ランダムな選択は、一部の法域で同点の選挙を解決するための公式の方法である可能性があります。[23]政治におけるその使用は、ずっと前に始まりました。古代アテネの多くの事務所は、現代の投票ではなく抽選で選ばれました。

ランダム性と宗教

ランダム性は、過去と未来のすべての出来事を認識している全知の神によって宇宙が作成されるような、いくつかの宗教の決定論的な考えと矛盾していると見なすことができます。宇宙に目的があると見なされる場合、ランダム性は不可能であると見なすことができます。これは、進化論に対する宗教的反対の論理的根拠の1つであり、ランダムな遺伝的変異の結果に 非ランダムな選択が適用されると述べています。

ヒンドゥー教仏教の哲学は、カルマの概念に反映されているように、どんな出来事も以前の出来事の結果であると述べていますそのため、この概念はランダム性の概念とは相容れず、両者の間の調整には説明が必要になります。[24]

いくつかの宗教的な文脈では、一般的にランダマイザーとして認識されている手順が占いに使用されます。クレロマンシーは、骨やサイコロの鋳造を使用して、神の意志として見られるものを明らかにします。

アプリケーション

その数学的、政治的、社会的、宗教的用途のほとんどで、ランダム性はその生来の「公平さ」と偏見の欠如のために使用されます。

政治アテナイの民主主義はイソノミア(政治的権利の平等)の概念に基づいており、アテナイを運営する与党委員会の地位が公平に割り当てられるように複雑な割り当て機械を使用していました。現在、割り当ては、アングロサクソンの法制度における陪審員の選択に制限されており、陪審員の選択や徴兵制の抽選 など、 「公平性」が無作為化によって近似される状況では制限されています。

ゲーム:乱数はギャンブルの文脈で最初に調査され、サイコロシャッフルトランプルーレット盤などの多くのランダム化デバイスがギャンブルで使用するために最初に開発されました。乱数を公正に生成する機能は、電子ギャンブルに不可欠であり、そのため、それらを作成するために使用される方法は、通常、政府のゲーム規制委員会によって規制されています。ランダム抽選は、宝くじの当選者を決定するためにも使用されます。実際、ランダム性は、歴史を通じて運が左右するゲームに使用され、不要なタスクの対象となる個人を公正な方法で選択するために使用されてきました(ストローの描画を参照)。

スポーツアメリカンフットボールを含む一部のスポーツでは、コイン投げを使用して、ゲームの開始条件をランダムに選択したり、シーズン後のプレーのためにチームをシードしたりします。全米バスケットボール協会は、そのドラフトでチームを注文するため に加重宝くじを使用しています。

数学:世論調査や品質管理システムでの統計的サンプリングなど、数学的に重要な場合は乱数も使用されます。モンテカルロ法遺伝的アルゴリズムなど、一部のタイプの問題の計算ソリューションでは、乱数が広く使用されます

医学:臨床介入のランダム化は、対照試験(例えば、ランダム化比較試験)のバイアスを減らすために使用されます。

宗教:ランダムであることを意図していませんが、聖職者などのさまざまな形態の占い神の存在が彼らの意志を伝えるための手段としてランダムなイベントのように見えるものを見ています(詳細については自由意志決定論も参照してください)。

世代

ルーレットのボールは、その動作が初期条件に非常に敏感であるため、見かけのランダム性のソースとして使用できます。

システムの(明らかに)ランダムな動作の原因となる3つのメカニズムが存在することは一般的に認められています。

  1. 環境から発生するランダム性(たとえば、ブラウン運動だけでなく、ハードウェア乱数ジェネレーター)。
  2. 初期条件から生じるランダム性。この側面はカオス理論によって研究されており、初期条件の小さな変化に非常に敏感な動作をするシステム(パチンコ機やサイコロなど)で観察されます。
  3. システムによって本質的に生成されるランダム性。これは疑似乱数とも呼ばれ、疑似乱数ジェネレーターで使用される種類です。疑似乱数を生成するための多くのアルゴリズム(算術またはセルオートマトンに基づく)があります。システムの動作は、シードの状態と使用されるアルゴリズムを知ることで判断できます。これらの方法は、多くの場合、環境から「真の」ランダム性を取得するよりも高速です。

ランダム性の多くのアプリケーションは、ランダムデータを生成するための多くの異なる方法につながりました。これらの方法は、予測不可能または統計的にランダムであるかどうか、および乱数を生成する速度が異なる場合があります。

計算乱数ジェネレーターが登場する前は、十分にランダムな数(統計で重要)を大量に生成するには、多くの作業が必要でした。結果は、乱数表として収集および配布される場合がありました

対策とテスト

バイナリシーケンスのランダム性には多くの実用的な尺度があります。これらには、Kak、Phillips、Yuen、Hopkins、Beth and Dai、Mund、Marsaglia and Zamanによるテストなど、頻度、離散変換複雑さ、またはこれらの混合に基づく測定が含まれます。[25]

量子非局所性は、与えられた数の文字列に本物のまたは強い形のランダム性が存在することを証明するために使用されてきました。[26]

誤解と論理的誤謬

電気的な欠陥のため、オーディオアンプの表示されている入力セレクターは高速で、一見ランダムに切り替わります。しかし、これは人間が科学的な監督の後でしか認識できなかった計画に従うかもしれません。

ランダム性の一般的な認識はしばしば誤解され、誤った推論や直感に基づいていることがよくあります。

誤謬:数字は「期限」です

この議論は、「ランダムな数字の選択では、すべての数字が最終的に現れるので、まだ出ていない数字は「期限」であり、したがってすぐに現れる可能性が高い」です。この論理は、トランプが引かれ、デッキに戻されない場合など、出てきた数字がシステムから削除されるシステムに適用された場合にのみ正しいです。この場合、ジャックがデッキから取り除かれると、次のドローはジャックである可能性が低くなり、他のカードである可能性が高くなります。ただし、ジャックがデッキに戻され、デッキが完全に再シャッフルされた場合、ジャックは他のカードと同じように引かれる可能性があります。同じことが、オブジェクトが個別に選択され、サイコロの目、コイントス、またはほとんどの宝くじなどの各イベントの後に削除されない他のプロセスにも当てはまります。番号選択スキーム。これらのような真にランダムなプロセスには記憶がないため、過去の結果が将来の結果に影響を与えることは不可能です。実際、成功を保証できる試行の数には限りがありません。

誤謬:数は「呪われている」または「祝福されている」

ランダムな数列では、過去に出現する頻度が少ないために呪われていると言え、将来的には出現頻度が低くなると考えられます。過去に他の数よりも頻繁に発生したことから、祝福されていると思われるものもあり、今後も頻繁に出現する可能性が高いと考えられます。このロジックは、ランダム化にバイアスがかかる可能性がある場合にのみ有効です。たとえば、ダイスがロードされている疑いがある場合、十分な6を振ることができない場合は、そのロードの証拠になります。サイコロが公正であることがわかっている場合、前のサイコロは将来のイベントを示すことはできません。

自然界では、事前にわかっている頻度でイベントが発生することはめったにないため、結果を観察して、どのイベントがより可能性が高いかを判断することは理にかなっています。ただし、シャッフルされたカード、サイコロ、ルーレット盤など、すべての結果が同じように発生するように設計され、知られているシステムにこのロジックを適用することは誤りです。

誤謬:オッズは決して動的ではありません

シナリオの最初に、特定のイベントの確率を計算する場合があります。ただし、シナリオに関する詳細情報を取得するとすぐに、それに応じて確率を再計算する必要がある場合があります。

モンティホール問題では、ホストがヤギを含む1つのドアを明らかにすると、確率の計算に含める必要のある新しい情報が提供されます。

たとえば、女性に2人の子供がいると言われた場合、一方はどちらかが女の子かどうか、もしそうならもう一方の子供も女の子である確率を知りたいと思うかもしれません。2つのイベントを個別に考慮すると、もう1人の子供が女性である確率は1/2(50%)であると予想できますが、考えられるすべての結果を示す確率空間を構築することにより、確率は実際にはわずか1/3(33%)であることがわかります。 。

確かに、確率空間は、これら2人の子供を持つ4つの方法を示しています。男の子-男の子、女の子-男の子、男の子-女の子、女の子-女の子です。しかし、少なくとも1人の子供が女性であることがわかったら、これは男の子と男の子のシナリオを除外し、2人の子供を持つ3つの方法(男の子と女の子、女の子と男の子、女の子と女の子)だけを残します。このことから、これらのシナリオの1/3だけが、他の子供も女の子であることがわかります[27](詳細については、男の子または女の子のパラドックスを参照してください)。

一般に、確率空間を使用することにより、考えられるシナリオを見逃したり、新しい情報の重要性を無視したりする可能性が低くなります。この手法は、モンティホール問題、車が3つのドアの1つに隠され、2つのヤギがブービー賞として隠されるゲームショーシナリオなど、他の状況で洞察を提供するために使用できます。他の後ろに。競技者がドアを選択すると、ホストは残りのドアの1つを開いてヤギを表示し、オプションとしてそのドアを削除します。ドアが2つしか残っていない場合(1つは車、もう1つは別のヤギ)、プレーヤーは決定を続けるか、もう1つのドアを切り替えて選択するかを決定する必要があります。直感的には、プレイヤーは2つのドアのどちらかを同じ確率で選択していると思うかもしれません。また、別のドアを選択する機会は何の違いもありません。ただし、確率空間を分析すると、競技者は新しい情報を受け取り、もう一方のドアに変更すると勝つ可能性が高くなることがわかります。[27]

も参照してください

ノート

  1. ^ 厳密に言えば、試行回数が任意に多くなると、結果の頻度はほぼ確実に予測可能な値に収束します。非収束または別の値への収束が可能ですが、確率はゼロです。

参考文献

  1. ^ Oxford English Dictionaryは、「ランダム」を「明確な目的や目的がない、特定の方向に送信または誘導されていない、方法や意識的な選択なしに作成、実行、発生など、無計画」と定義しています。
  2. ^ a b "ランダム性の定義| Dictionary.com"www.dictionary.com 2019年11月21日取得
  3. ^ モンテカルロ法に関する第3回ワークショップ、Jun Liu、ハーバード大学統計学教授
  4. ^ ハンスユルゲンプレメル(2005)。「完全な無秩序は不可能です:ウォルター・デューバーの数学的仕事」。組み合わせ論、確率およびコンピューティングケンブリッジ大学出版局。14:3–16。土井10.1017 / S0963548304006674S2CID37243306_ 
  5. ^ Ted.com、(2016年5月)。無数の陰謀説の起源
  6. ^ a b Cristian S. Calude、(2017)。「量子ランダム性:実践から理論へ、そしてその逆」編集者:S。バリークーパーマリヤI.ソスコバ、169–181、doi:10.1007 / 978-3-319-43669-2_11 。
  7. ^ レスリーアドキンスによる古代ローマでの生活へのハンドブック1998ISBN 0-19-512332-8279ページ 
  8. ^ サラ・アイルズ・ジョンストンによる古代世界の宗教2004 ISBN0-674-01517-7ページ370 
  9. ^ Herbert Aron Davidによる統計の歴史の注釈付きの読み、2001 ISBN 0-387-98844-0ページ115。1866年版のVennの本(Googleブックス)にはこの章が含まれていないことに注意してください。 
  10. ^ Reinert、Knut(2010)。「概念:アルゴリズムの種類」(PDF)FreieUniversitätBerlin 2019年11月20日取得
  11. ^ ツァイリンガー、アントン; Aspelmeyer、Markus; Żukowski、マレク; Brukner、Časlav; Kaltenbaek、Rainer; Paterek、Tomasz; Gröblacher、Simon(2007年4月)。「非局所的リアリズムの実験的テスト」。ネイチャー446(7138):871–875。arXiv0704.2529Bibcode2007Natur.446..871G土井10.1038 / nature05677ISSN1476-4687_ PMID17443179_ S2CID4412358_   
  12. ^ 「各核は、偶然の盲目的な働きに従って、ランダムに自発的に崩壊します。」クォンタムのQジョングリビン
  13. ^ 「研究はDNA突然変異がランダムであるという進化論に挑戦します」カリフォルニア大学デービス校2022年2月12日取得
  14. ^ モンロー、J。グレイ; Srikant、Thanvi; カルボネル-ベヘラーノ、パブロ; ベッカー、クロード; レンシンク、マリエレ; エクスポジト-アロンソ、モイゼス; クライン、マリー; ヒルデブラント、ジュリア; ノイマン、マヌエラ; Kliebenstein、Daniel; ウェン、マオルン; インバート、エリック; Ågren、Jon; Rutter、Matthew T。; フェンスター、チャールズB。; ヴァイゲル、デトレフ(2022年2月)。「突然変異バイアスはシロイヌナズナの自然淘汰を反映している」。ネイチャー602(7895):101–105。土井10.1038 / s41586-021-04269-6ISSN1476-4687_ 
  15. ^ ベルフィールド、エリックJ。; 丁、中傑; ジェイミーソン、フィオナJC; Visscher、Anne M。; 鄭、少建; ミタニ、アジズ; ハーバード、ニコラスP.(2018年1月)。「DNAミスマッチ修復は、遺伝子を突然変異から優先的に保護します」。ゲノム研究28(1):66–74。土井10.1101 /gr.219303.116
  16. ^ ロンゴ、ジュゼッペ; モンテビル、マエル; カウフマン、スチュアート(2012年1月1日)。付随する法則はありませんが、生物圏の進化における可能性遺伝的および進化的計算に関する第14回年次会議コンパニオンの議事録GECCO'12。米国ニューヨーク州ニューヨーク:ACM。pp。1379–1392。arXiv1201.2069CiteSeerX10.1.1.701.3838_ 土井10.1145 /2330784.2330946ISBN  9781450311786S2CID15609415 _
  17. ^ ロンゴ、ジュゼッペ; モンテビル、マエル(2013年10月1日)。「生物学における拡張された臨界、位相空間および可能性」カオス、ソリトン、フラクタル創発的クリティカルブレインダイナミクス。55:64–79。Bibcode2013CSF .... 55 ... 64L土井10.1016 /j.chaos.2013.03.008
  18. ^ Breathnach、AS(1982)。「そばかすのある皮膚に対するトリウムXの長期的な色素沈着低下効果」。ブリティッシュジャーナルオブダーマトロジー106(1):19–25。土井10.1111 /j.1365-2133.1982.tb00897.xPMID7059501_ S2CID72016377_ そばかすの分布は完全にランダムに見え、皮膚の他の明らかに句読点のある解剖学的または生理学的特徴とは関連していません。  
  19. ^ Martin-Löf、Per(1966)。「ランダムシーケンスの定義」情報と管理9(6):602–619。土井10.1016 / S0019-9958(66)80018-9
  20. ^ Yongge Wang:ランダム性と複雑さ。博士論文、1996年。http://webpages.uncc.edu/yonwang/papers/thesis.pdf
  21. ^ 「円周率の数字はランダムですか?研究者が鍵を握っている可能性があります」Lbl.gov。2001年7月23日2012年7月27日取得
  22. ^ Laszso Barabasi、(2003)、リンク、金持ちはより金持ちになる、P81
  23. ^ 市選挙法(カナダ、オンタリオ州)1996、c。32、Sched。、s。62(3):「再集計により、両方またはすべてが選挙で選出されたと宣言できない2人以上の候補者が同じ票数を獲得したことが示された場合、事務員は成功した候補者を抽選で選択するものとします。」
  24. ^ Reichenbach、ブルース(1990)。カルマの法則:哲学的研究パルグレイブマクミラン英国。p。121. ISBN 978-1-349-11899-1
  25. ^ Terry Ritter、ランダム性検定:文献調査。ciphersbyritter.com
  26. ^ Pironio、S。; etal。(2010)。「ベルの不等式によって証明された乱数」。ネイチャー464(7291):1021–1024。arXiv0911.3427Bibcode2010Natur.464.1021P土井10.1038 / nature09008PMID20393558_ S2CID4300790_  
  27. ^ a b ジョンソン、ジョージ(2008年6月8日)。「オッズを再生する」ニューヨークタイムズ

参考文献

外部リンク