定位置投票

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選好投票は、各投票用紙のランク位置に基づいてオプションまたは候補者がポイントを獲得し、全体で最も多くのポイントを獲得したものが勝つ、ランク付けされた投票 選挙システムです。[1]隣接するペアの下位の優先順位は、一般に上位の優先順位よりも価値が低くなります。同じ重みが付けられることもありますが、それ以上の価値はありません。ポイントまたは重み付けの有効な進行は、自由に選択できます(Eurovision Song Contest )。または、等差数列( Borda count)、幾何学的進行(位置番号システム)、または調和的進行(Nauru / Dowdall )などの数学的シーケンスを形成できます。方法)。選挙で採用される一連の重み付けは、候補者の順位に大きく影響します。ランクが下がるにつれて優先度の値が最初に下がるのが急になるほど、位置投票システムはより二極化され、合意が得られなくなります。

位置投票は採点投票と区別する必要があります。前者では、各投票者が各候補者に与えるスコアは、候補者のランクによって一意に決定されます。後者の場合、各有権者は任意の候補者に任意のスコアを自由に与えることができます。

投票とカウント

位置投票では、有権者は自分の好みをランク順に表現することにより、ランク付けされた投票用紙を完成させます。各投票者の好みのランク位置には、特定の固定の重みが割り当てられます。通常、設定のランクが高いほど、より多くのポイントの価値があります。場合によっては、ランクの低いプリファレンスと同じ重みを共有することもありますが、ポイントを減らす価値はありません。

通常、すべての有権者は、投票用紙の各オプションに固有の序数の好みを厳密な降順で表現する必要があります。ただし、特定の位置投票システムでは、有権者が1つ以上の投票を行った後、自分の好みを切り捨てて、残りのオプションをランク付けせず、結果として価値がないままにすることができます。同様に、他のいくつかのシステムでは、表現できる設定の数が制限される場合があります。たとえば、ユーロビジョンソングコンテストでは、10曲以上がコンテストに参加していますが、各国では上位10曲のみがランク付けされています。繰り返しますが、ランク付けされていない設定には価値がありません。位置投票では、オプションが同数のランク付けされた投票用紙は通常無効と見なされます。

カウントプロセスは簡単です。有権者によって投じられたすべての選好には、彼らのランク位置に関連するポイントが与えられます。次に、各オプションのすべてのポイントが集計され、ポイントが最も多いものが勝者になります。カウントの後に数人の勝者(W)が代わりに必要な場合は、Wの最高ランクのオプションが選択されます。位置投票は、単一の勝者を特定する手段であるだけでなく、個々の好みのセット(ランク付けされた投票用紙)を1つの集合的で完全にランク付けされたセットに変換する方法でもあります。この結果のセットでオプションを結び付けることは可能であり、正当です。そもそも。

3つのオプションA、B、Cから1人の勝者を選ぶための位置投票選挙を考えてみましょう。切り捨てや同点は許可されておらず、ここでは1番目、2番目、3番目の優先順位がそれぞれ4、2、1ポイントの価値があります。次に、各有権者がこれらのオプションをランク付けする6つの異なる方法があります。100人の有権者は、ランク付けされた投票用紙を次のように投じます。

投票用紙の数 最優先 2番目の好み 3番目の好み
24 A B C
18 A C B
12 B A C
16 B C A
20 C A B
10 C B A

投票が終了した後、投票者によって付与されたポイントが集計され、合計ポイントに従ってオプションがランク付けされます。

オプション 集計するポイント 合計 総合ランク
A (24 + 18)x 4 +(12 + 20)x 2 +(16 + 10)x 1 258 初め
B (12 + 16)x 4 +(24 + 10)x 2 +(18 + 20)x 1 218 三番
C (20 + 10)x 4 +(18 + 16)x 2 +(24 + 12)x 1 224 2番

したがって、タリーが最も高いオプションAがここでの勝者です。選挙結果は、すべてのオプションの完全なランキングも生成することに注意してください。

ポイント分布

位置投票の場合、ランク付けされた各投票用紙に共通であり、2つの必須条件が満たされている限り、ランク位置へのポイントの配分は有効です。[1]まず、最初の優先順位(最高ランクの位置)の値は、最後の優先順位(最低ランクの位置)の値よりも価値が高くなければなりません。第二に、隣接する2つのランクの位置については、低い方の位置が高い方の位置よりも価値が高くてはなりません。実際、ほとんどの位置投票選挙制度では、隣接する2つの選好のうち高い方の値が低い方よりも大きいため、両方の基準を満たしています。

ただし、一部の非ランク付けシステムは、暗黙の同点に同じ優先値とランク位置が与えられている場合、位置システムとして数学的に分析できます。以下を参照してください

位置投票選挙制度の典型的な例は、ボルダ得点です。[1]通常、N人の候補者がいる単一の当選者の選挙では、最初の優先順位はNポイント、2番目の優先順位はN-1ポイント、3番目の優先順位はN-2ポイントというように、最後(N番目)の優先順位まで続きます。たった1ポイントの価値があります。したがって、たとえば、4人の候補者の選挙の場合、ポイントはそれぞれ4、3、2、および1になります。

数学的には、特定のランク位置(n)に関連付けられたポイント値または重み(w n )を以下に定義します。ここで、最初の優先順位の重み付けは「a」であり、一般的な違いは「d」です。

w n = a-(n-1)dここで、a = N(候補の数)

最初のプリファレンスの値はNである必要はありません。最後のプリファレンスがゼロの価値があるように、N-1に設定されることもあります。カウントには便利ですが、候補者の全体的なランキングはその特定の値の影響を受けないため、共通の差を1つに固定する必要はありません。したがって、異なる集計を生成するにもかかわらず、ボルダ得点選挙の「a」または「d」の値は、同じ候補ランキングになります。[1]

連続するボルダカウントの重み付けは、等差数列を形成します。等比数列として知られる代替の数学的シーケンスも、位置投票で使用できます。ここでは、代わりに、隣接する重み付けの間に共通の比率「r」があります。2つの妥当性条件を満たすには、「r」の値を1未満にして、プリファレンスのランクが下がるにつれて重みが減少するようにする必要があります。最初の優先順位の値が「a」である場合、特定のランク位置(n)に与えられる 重み(w n )は次のように定義されます。

w n = ar n-1 ここで、0≤r<1

たとえば、2進数システムで使用される、1、1 / 2、1 / 4、1 / 8、…の連続して半分にされた重みのシーケンスは、半分の一般的な比率(r = 1/2)の等比数列を構成します。 )。このような重み付けは、正当な共通比率が採用されている場合、位置投票システムでの使用に本質的に有効です。ゼロの一般的な比率を使用して、この形式の位置投票は1、0、0、0、…の重みを持ち、したがって、単純小選挙区制または複数の投票の場合と同じランキング結果を生成します。

あるいは、上記の分数加重の分母は、代わりに等差数列を形成する可能性があります。つまり、1 / 1、1 / 2、1 / 3、1/4などを1/Nまで下げます。このさらなる数学的シーケンスは、調和数列の例です。これらの特定の降順の重み付けは、実際、ナウル議会へのN候補の位置投票選挙で使用されます。このような選挙制度の場合、特定のランク位置(n)に割り当てられる均等化(w n)は次のように定義されます。ここで、最初の設定の値は「a」です。

w n = a 2 /(a +(n-1)d)= a /(1+(n-1)d / a)ここで、w 1 = a 2 /(a +(1-1)d)= a

Nauru(Dowdall)システムの場合、最初の優先順位「a」は1の価値があり、隣接する分母間の共通の違い「d」も1です。他の多くの調和数列も位置投票で使用できます。たとえば、「a」を1に、「d」を2に設定すると、すべての奇数(1、1 / 3、1 / 5、1 / 7、…)の逆数が生成されますが、「a」を1/2に設定すると'd' be 1/2は、すべての偶数(1 / 2、1 / 4、1 / 6、1 / 8、…)のものを生成します。

これらの3つの標準的なタイプの数学的進行(等差数列、幾何学的および調和的)とは別に、位置投票で使用できるシーケンスは他にも無数にあります。2つの妥当性基準は、シーケンスがランクの降順で単調に減少することのみを要求します。このようなシーケンスは、隣接する2つの重みの値が等しくない場合の「厳密な」シーケンスです。単調に増加する整数シーケンスが多数あるため、各整数の逆数を取ることにより、単調に減少するシーケンスが生成されます。たとえば、フィボナッチ数列のすべての数の逆数(0と1の開始数を除く)を取得すると、1、1 / 2、1 / 3、1 / 5、1/8などの有効な位置投票シーケンスが生成されます。

等差数列の公式は、オプションまたは候補者の数が未定義または無制限である位置投票選挙制度の選好の重み付けを定義するために必要です。ただし、実際の選挙では、投票の前に優先順位の数が確定されるため、結果のシーケンスが有効である場合は、各ランク位置に任意の重み付けを割り当てることができます。このアプローチの典型的な例は、ユーロビジョンソングコンテストで使用されている独自の位置投票システムです。ここで、最初の優先順位の値'a'は12ポイントの価値があり、2番目の優先順位の値には10ポイントが与えられます。次の8つの連続した設定には、8、7、6、5、4、3、2、および1ポイントが付与されます。残りのすべての設定はゼロポイントを受け取ります。この一連のプリファレンスは、すべての有効なものがそうである必要があるため単調ですが、すべての最小の重みが値(ゼロ)で等しいため、「厳密な」ものではありません。ナウルシステムと同様に、この方法はボルダ得点の「バリアント」と呼ばれることもあります。

進行タイプの比較

位置投票では、最初から最後までの連続した優先順位の重み(w)は、ランク位置(n)とともに単調に減少します。ただし、減少率は、採用した進行の種類によって異なります。選択された進行がランク位置とともに比較的ゆっくりと下降する一連の重み付けを採用する選挙結果では、より低い選好がより影響力があります。加重がゆっくりと低下するほど、合意に基づいた、偏りの少ない位置投票になります。

4つの位置投票選挙制度の順位の降順による選好の重み付けの相対的な低下

この図は、次の4つの位置投票選挙制度に対する10以上の選好のそのような低下を示しています。

  • ボルダ得点(ここで、a = N=10およびd=1)
  • 2進数システム(a=1およびr=1/2の場合)
  • ナウル法(a=1およびd=1の場合)
  • ユーロビジョンソングコンテスト(ゼロ以外の設定のみ)

比較を容易にするために、実際の重み付けは正規化されています。つまり、最初の優先順位が1に設定され、特定のシーケンスの他の重み付けが同じ係数1/aでスケーリングされます。

等差数列における重みの相対的な低下は、一般的な差「d」の関数ではないため、一定です。つまり、隣接する重み間の相対的な差は1/Nに固定されます。対照的に、調和数列の「d」の値は、その減少率に影響を与えます。その値が高いほど、重み付けの下降が速くなります。等比数列の一般的な比率「r」の値が低いほど、その重みは速く低下します。

2進数システムの桁位置の重み付けは、位置投票の等比数列の例を強調するためにここで選択されました。実際、すべてが等比数列を構成するため、任意のデジタル記数法の連続した重み付けを使用できます。たとえば、2進数、3進数、8進数、および10進数のシステムは、それぞれ2、3、8、および10の基数「R」を使用します。値「R」は、ランク順に上がる等比数列の一般的な比率でもあり、「r」は、ランクが下がる補完的な一般的な比率です。したがって、「r」は「R」の逆数であり、「r」の比率は、位置投票で使用される場合、これらの位置番号システムでそれぞれ1 / 2、1 / 3、1 / 8、および1/10です。

基数が最小であるため、2進数システムを使用すると、優先度の重み付けの低下率が最も遅くなります。基数「R」(記数法で使用される一意の桁数)は整数である必要がありますが、位置投票の一般的な比率「r」はそのような整数の逆数である必要はありません。ゼロから1未満の値はすべて有効です。2進数システムを使用して生成されたものよりも重みの下降が遅い場合は、半分より大きい一般的な比率を使用する必要があります。'r'の値が高いほど、ランクが下がる重みの減少が遅くなります。

非ランキングシステムの分析

位置投票選挙制度として分類されていませんが、それでも、いくつかの非ランク付け方法は、ポイントを適切に割り当てることによるものであるかのように数学的に分析できます。[1]ここに厳密な単調なランク付けがないことを考えると、すべての優先オプションは同じように高い値で重み付けされ、残りのすべてのオプションは共通の低い値で重み付けされます。したがって、一連の重み付けの2つの妥当性基準が満たされます。

N候補のランク付けされた投票用紙の場合、投票用紙ごとの優先候補者の許容数をFとし、2つの重み付けを、これらの優先候補者の場合は1ポイント、非優先候補者の場合は0ポイントとします。位置投票を使用して分析的に表現する場合、優先候補者は、ランク付けされた各投票用紙の上位Fランクの位置に任意の順序でリストされ、他の候補者は下位NFランクの位置にリストされる必要があります。各ランク位置の重み付けは固定されており、位置投票のすべての投票用紙に共通であるため、これは不可欠です。

位置投票選挙制度として分析できるランク付けされていない単一の勝者の方法には、次のものがあります。

  • 多数決(FPTP):最も好ましいオプションは1ポイントを受け取ります。他のすべてのオプションはそれぞれ0ポイントを受け取ります。[F = 1]
  • 反複数投票:最も好ましくないオプションは0ポイントを受け取ります。他のすべてのオプションは、それぞれ1ポイントを受け取ります。[F = N-1]

また、複数の当選者の選挙(Wの当選者を含む)のランク付けされていない方法には、次のものがあります。

  • 単記非移譲投票:最も好ましいオプションは1ポイントを受け取ります。他のすべてのオプションはそれぞれ0ポイントを受け取ります。[F = 1]
  • 制限連記制:X個の最も好ましいオプション(1 <X <W)は、それぞれ1ポイントを受け取ります。他のすべてのオプションはそれぞれ0ポイントを受け取ります。[F = X]
  • ブロック投票:Wの最も好ましいオプションはそれぞれ1ポイントを受け取ります。他のすべてのオプションはそれぞれ0ポイントを受け取ります。[F = W]

承認投票では、有権者は自由に希望する数の候補者を支持できるため、Fは固定されませんが、投票される個々のランク付けされた投票用紙によって異なります。ランク位置は投票用紙ごとに異なる重みを持つため、承認投票は位置投票システムではありません。また、そのように分析することもできません。

比較例

テネシー州とその4つの主要都市:南西部のメンフィス。 中央がナッシュビル、南がチャタヌーガ、東がノックスビル

テネシー州が首都の場所で選挙を行っていると想像してみてくださいテネシー州の人口は、州全体に広がる4つの主要都市に集中しています。この例では、有権者全員がこれら4つの都市に住んでいて、誰もができるだけ首都の近くに住みたいと考えているとします。

首都の候補者は次のとおりです。

有権者の選好は次のように分けられます。

有権者の42%
(メンフィスに近い)
有権者の26%
(ナッシュビルに近い)
有権者の15%
(チャタヌーガに近い)
有権者の17%
(ノックスビルに近い)
  1. メンフィス
  2. ナッシュビル
  3. チャタヌーガ
  4. ノックスビル
  1. ナッシュビル
  2. チャタヌーガ
  3. ノックスビル
  4. メンフィス
  1. チャタヌーガ
  2. ノックスビル
  3. ナッシュビル
  4. メンフィス
  1. ノックスビル
  2. チャタヌーガ
  3. ナッシュビル
  4. メンフィス

w nがn番目の優先度の重み付けである場合、次の表は、各都市の結果の集計計算を定義します。

有権者の故郷 1200人の投票者ごとの投票集計
メンフィス (42w 1 + 26w 4 + 15w 4 + 17w 4)x 1200/100
ナッシュビル (42w 2 + 26w 1 + 15w 3 + 17w 3)x 1200/100
チャタヌーガ (42w 3 + 26w 2 + 15w 1 + 17w 2)x 1200/100
ノックスビル (42w 4 + 26w 3 + 15w 2 + 17w 1)x 1200/100

w 1 = 1に相当する最初の優先順位について、次の表は、この選挙に使用できるさまざまな位置投票システムの4つの重み付けのそれぞれの値を示しています。

投票システム w 1 w 2 w 3 w 4
複数性 1 0 0 0 1
2進数システム 1 1/2 1/4 1/8 1.875
ナウル法 1 1/2 1/3 1/4 2.083
ボルダ得点 1 3/4 1/2 1/4 2.5
反複数性 1 1 1 0 3

これらの5つの位置投票システムは、進行タイプの順序でリストされています。ランクの降順で重み付け値の低下が遅いほど、4つの重み付けの合計は大きくなります。終了列を参照してください。複数性は最も速く低下しますが、反複数性は最も遅くなります。

位置投票システムごとに、4つの都市オプションのそれぞれの集計は、上記の2つの表から決定され、以下に示されます。

投票システム メンフィス ナッシュビル チャタヌーガ ノックスビル
複数性 504 312 180 204
2進数システム 591 660 564 435
ナウル法 678 692 606 524
ボルダ得点 678 882 819 621
反複数性 504 1200 1200 696

この選挙で使用される可能性のある各潜在的な位置投票システムについて、結果として生じるオプションの全体的なランク順を以下に示します。

投票システム 最初の場所 二位 第三位 4位
複数性 メンフィス ナッシュビル ノックスビル チャタヌーガ
2進数システム ナッシュビル メンフィス チャタヌーガ ノックスビル
ナウル法 ナッシュビル メンフィス チャタヌーガ ノックスビル
ボルダ得点 ナッシュビル チャタヌーガ メンフィス ノックスビル
反複数性 チャタヌーガ/ナッシュビル ノックスビル メンフィス

この表は、勝利の結果を決定する上での進行タイプの重要性を強調しています。すべての有権者がメンフィスに強く賛成または反対しているため、これは非常に「二極化された」オプションであるため、メンフィスは最初に複数で終了し、最後に反複数で終了します。その中心的な場所を考えると、ナッシュビルはここでの「コンセンサス」オプションです。ボルダ得点と他の2つの非分極システムの下で勝ちます

投票システム基準に対する評価

投票システムのクラスとして、位置投票を客観的な数学的基準に照らして評価し、他の単一勝者の選挙方法と比較してその長所と短所を評価することができます。

位置投票は、次の基準を満たしています。

ただし、次の基準を満たしていません。

アローの不可能性定理によれば、3つ以上の選択肢をまとめてランク付けする場合、ランク付けされた投票システムは次の4つの基準すべてを満たすことができません。

有権者の選好がキャストされる前に、すべての有権者を同等として扱い、すべての候補者を同等として扱う投票システムは、上記の最初の2つの基準に合格します。したがって、他のランキングシステムと同様に、位置投票は他の2つの両方を通過することはできません。パレート効率的ですが、無関係な選択肢から独立していませんこの失敗は、すべての有権者のランク付けされた選好が同じままであるにもかかわらず、勝てない(無関係な)候補者の追加または削除によって、誰が選挙に勝つかが変わる可能性があることを意味します。

IIAの例

3人の候補者A、B、Cによる位置投票選挙を考えてみましょう。ここで、1番目、2番目、3番目の選好はそれぞれ4、2、1ポイントの価値があります。12人の有権者は、ランク付けされた投票用紙を次のように投じました。

投票用紙の数 最優先 2番目の好み 3番目の好み
5 A B C
4 B C A
3 C A B

したがって、選挙結果は次のようになります。

候補者 集計するポイント 合計 総合ランク
A (5 x 4)+(3 x 2)+(4 x 1) 30 初め
B (4 x 4)+(5 x 2)+(3 x 1) 29 2番
C (3 x 4)+(4 x 2)+(5 x 1) 25 三番

したがって、候補者Aが単一の勝者であり、候補者BとCが2人の敗者です。無関係な選択肢(敗者)として、投票システムがIIAに準拠している場合、Bがコンテストに参加するかどうかは、Aの勝利に影響を与えないはずです。

AとCの正しいランク付けされた優先順位を維持しながら、候補者Bなしで選挙を再実行すると、12票が次のように投じられます。

投票用紙の数 最優先 2番目の好み 3番目の好み
5 A C -
4 C A -
3 C A -

再放送選挙の結果は次のとおりです。

候補者 集計するポイント 合計 総合ランク
A (5 x 4)+(7 x 2) 34 2番
C (7 x 4)+(5 x 2) 38 初め

候補者Bの撤退を考えると、勝者はCになり、Aではなくなります。好みのランク位置に与えられる特定のポイントに関係なく、無関係な選択肢の追加または削除によって結果が変わる場合が常にあります。選挙。したがって、定位置投票はIIAに準拠していません。

IoCの例

位置投票は、クローン候補(IoC)基準にも失敗します。クローンの戦略的指名は、選挙の結果に大きな影響を与える可能性が非常に高く、その背後にある意図であることがよくあります。クローンは、2つのうちどちらがクローンであるかについて知らされない限り、有権者がそれらを区別することができない、すでに立っているものと名目上同一の候補です。同順位のランキングは許可されていないため、これら2つの候補者は、代わりに隣接する位置の有権者によってランク付けされる必要があります。クローン作成は、クローン作成されていない候補者の総合ランキングを促進または降格させる可能性があります。

3人の候補者が競う可能性のある位置投票選挙を考えてみましょう。投票者はわずか12人で、1番目、2番目、3番目の選好はそれぞれ4、2、1ポイントの価値があります。

この最初のシナリオでは、2人の候補者AとBが指名されますが、コンテストに参加するクローンはありません。有権者は、ランク付けされた投票用紙を次のように投じます。

投票用紙の数 最優先 2番目の好み 3番目の好み
6 A B -
6 B A -

したがって、選挙結果は次のようになります。

候補者 集計するポイント 合計 総合ランク
A (6 x 4)+(6 x 2) 36 最初に等しい
B (6 x 4)+(6 x 2) 36 最初に等しい

平等なサポートがあれば、AとBの間には1位の必然的な結びつきがあります。

このネクタイを予想して、Bが自分のクローンを入力することにしたとします。指名された候補者は現在、A、B 1、およびB2です有権者はB1とB2区別できないため、B1よりB2を優先するため、B2よりもB1をランク付けする可能性がありますこの2番目のシナリオでは、12票が次のように投じられます。

投票用紙の数 最優先 2番目の好み 3番目の好み
3 A B 1 B 2
3 A B 2 B 1
3 B 1 B 2 A
3 B 2 B 1 A

新しい選挙結果は次のとおりです。

候補者 集計するポイント 合計 総合ランク
A (6 x 4)+(0 x 2)+(6 x 1) 30 初め
B 1 (3 x 4)+(6 x 2)+(3 x 1) 27 2番目に等しい
B 2 (3 x 4)+(6 x 2)+(3 x 1) 27 2番目に等しい

それ自体のクローンを追加することにより、Bは候補者Aに勝利を手渡しました。この逆効果の「スポイラー」効果または自傷行為は、票分割と呼ばれます。

自分自身を最初の場所に昇進させるために、Bは代わりに、すべての支持者に、候補の1つ(たとえばB 1)を他の候補(B 2)よりも常に優先するように指示する必要があります。この3番目のシナリオでは、12票が次のように投じられます。

投票用紙の数 最優先 2番目の好み 3番目の好み
3 A B 1 B 2
3 A B 2 B 1
6 B 1 B 2 A

改訂された選挙結果は次のとおりです。

候補者 集計するポイント 合計 総合ランク
A (6 x 4)+(0 x 2)+(6 x 1) 30 2番
B 1 (6 x 4)+(3 x 2)+(3 x 1) 33 初め
B 2 (0 x 4)+(9 x 2)+(3 x 1) 21 三番

「チーム」Bが自身のサポーターに信号を送ることによって(Aサポーターには信号を送らない)、2人の候補のうちどちらが勝ちたいかをBはB1の勝利を獲得するという目的を達成しましクローンがない場合、AとBは同数の第1優先順位と第2優先順位で結び付けられます。クローンB2(無関係な選択肢)の導入により Aの2番目の設定が3位になりましたが、1番目と3番目のシナリオでは「チーム」B(BまたはB 1 )の設定は変更されていません。Aを「埋め」、それ自体を促進するこの意図的な行為は、チーミングと呼ばれます。しっぺ返しの報復において、Aが常にB1よりもB2を好むように自分の支持者に合図した場合、Aと「チーム」Bの間の元の結びつきが再確立される こと注意してください。

多かれ少なかれ、すべての位置投票システムはチーム化に対して脆弱です。複数の同等のものを除いて。最初の好みだけが価値を持っているので、ランクを下げて敵を「埋める」ためにクローンを採用することは、選挙結果に影響を与えることはありません。ただし、最初の優先順位だけが何らかの価値を持っているという理由だけで、複数は代わりに特に票分割の影響を受けやすくなります。程度は低いですが、他の多くの位置投票システムも「スポイラー」候補の影響を受けます。本質的にチーム化に対して脆弱ですが、ボルダ得点は票分割に対して無防備です。[1]

メモ

ドナルド・G・サーリは、位置投票選挙制度を数学的に分析するさまざまな作品を発表しています。彼の分析で探求された基本的な方法は、ボルダ得点です。

参照

  1. ^ a b c d e f Saari、Donald G.(1995)。投票の基本的な幾何学Springer-Verlag。pp。101–103。ISBN 3-540-60064-7

外部リンク