パラメータ化(ジオメトリ)

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数学、より具体的には幾何では、パラメーター化(またはパラメーター化;パラメーター化パラメーター化)は、暗黙の方程式によって定義される、曲線表面、またはより一般的には多様体または多様性のパラメトリック方程式見つけるプロセスです逆のプロセスは暗黙化と呼ばれます。[1] 「パラメータ化する」とは、それ自体が「パラメータ で表現する」ことを意味します[2]

パラメータ化は、システムプロセス、またはモデルの状態を、パラメータと呼ばれるいくつかの独立した量の関数として表現することで構成される数学的プロセスです。システムの状態は、通常、有限の座標セットによって決定されます。したがって、パラメーター化は、各座標のいくつかの実変数の1つの関数で構成されます。パラメータの数は、システムの自由度の数です。

たとえば、3次元空間で曲線上を移動するポイントの位置は、固定原点から開始したときにポイントに到達するのに必要な時間によって決まります。xyzが点の座標である場合、動きはパラメトリック方程式[1]で記述されます。

ここで、tはパラメーターであり、時間を示します。このようなパラメトリック方程式は、 tを時間として解釈することなく、曲線を完全に決定するため、曲線のパラメトリック方程式と呼ばれます(これは、パラメトリック曲線があると言うことで省略されることもあります)。同様に、2つのパラメータtuの関数を考慮することにより、表面のパラメトリック方程式を取得します。

非一意性

パラメータ化は一般的に一意ではありません。通常の3次元オブジェクトは、デカルト座標x、  y、  z)、円筒極座標ρ、  φ、  z)、球座標r、φ、θ)またはその他の座標で同等に効率的にパラメーター化(または「調整」)できます。座標系

同様に、人間の三色色覚の色空間は、赤、緑、青の3色RGB、またはシアン、マゼンタ、黄色、黒のCMYKでパラメータ化できます

次元性

一般に、モデルまたは幾何学的オブジェクトを記述するために必要なパラメーターの最小数はその次元に等しく、パラメーターの範囲(許容範囲内)はパラメーター空間です。パラメータの適切なセットにより、オブジェクト空間内のすべてのポイントを識別できますが、特定のパラメータ化では、異なるパラメータ値が同じポイントを参照する可能性があります。このようなマッピングは全射ですが、単射ではありません。例として、円柱の極座標(ρ、φ、  z)と(ρ、φ+2π、  z)のペアがあります。

不変性

上に示したように、特定のモデル、幾何学的オブジェクトなどのパラメータの選択には恣意性があります。多くの場合、この恣意性に依存しないオブジェクトの固有のプロパティを決定したいので、特定の選択に依存しません。パラメーター。これは特に物理学の場合であり、パラメータ化不変性(または「再パラメータ化不変性」)が物理的に許容できる理論(特に一般相対性理論)の探索における指針となる原理です。

たとえば、ある曲線上の固定点の位置は、曲線のパラメータ化方法に応じて値が異なる一連の数値で指定できますが、そのような2つの固定点間の曲線の長さ(適切に定義されている)は、パラメータ化の特定の選択(この場合:ライン上の任意のポイントに一意のインデックスを付ける方法)。したがって、曲線の長さはパラメータ化不変量です。このような場合、パラメーター化は、値がパラメーター化の詳細に依存しない、または参照しない結果を抽出するために使用される数学的ツールです。より一般的には、物理​​理論のパラメータ化の不変性は、どちらかの次元性を意味しますまたは、パラメータ空間の体積が、問題の物理学(物理的重要性の量)を記述するために必要な量よりも大きい。

一般相対性理論は座標系を参照せずに表現できますが、時空の曲率などの物理的(つまり観測可能な)量の計算には、計算に含まれる時空点を参照するために、常に特定の座標系の導入が含まれます。 。一般相対性理論の文脈では、座標系の選択は時空を「パラメータ化」する方法と見なすことができ、その選択に対する物理的に重要な量の計算結果の鈍感さは例と見なすことができます。パラメータ化不変性の。

別の例として、観測可能な量がオブジェクトのペア間の相対距離(距離の比率)のみに依存する物理理論は、スケール不変であると言われます。そのような理論では、絶対距離への計算の過程での参照は、理論が不変であるパラメータの導入を意味します。

テクニック

参照

  1. ^ a b ヒューズ-ハレット、デボラ; マッカラム、ウィリアムG .; グリーソン、アンドリューM.(2012-01-01)。計算:単一および多変数ジョン・ワイリー。p。780. ISBN 9780470888612OCLC828768012 _
  2. ^ 「PARAMETERIZEの定義」www.merriam-webster.com 2017年5月11日取得

外部リンク