オクタル

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数字システムビットグレイコード
ヘックス 12月 10月 3 2 1 0 ステップ
0ヘクス 012月0日 00 oct 0 0 0 0 g0
1ヘクス 012月1 010月1 0 0 0 1 h1
2ヘクス 012月2 02オクト 0 0 1 0 j3
3ヘクス 012月3 010月3 0 0 1 1 2
4ヘクス 012月4 010月4 0 1 0 0 n7
5ヘクス 012月5 010月5 0 1 0 1 m6
6ヘクス 012月6 010月6 0 1 1 0 k4
7ヘクス 012月7 010月7 0 1 1 1 l5
8ヘクス 012月8 10月10 1 0 0 0 vF
9ヘクス 012月9 10月11 1 0 0 1 uE
ヘクス_ 12月10 10月12 1 0 1 0 sC
Bヘックス 12月11 10月13 1 0 1 1 tD
Cヘックス 12月12 10月14 1 1 0 0 o8
D hex 12月13 10月15 1 1 0 1 p9
Eヘックス 12月14 10月16 1 1 1 0 rB
F hex 12月15 10月17 1 1 1 1 qA

8進数 記数法、または略して8進数は、8進数の基数体系であり、0〜7の数字を使用します。つまり、10進数は8を表し、100進数は64を表します。ただし、英語は、ほとんどの言語と同様に、基数10の記数法を使用するため、真の8進法では異なる語彙を使用する場合があります。

10進法では、各桁は10の累乗です例えば:

8進法では、各場所は8の累乗です。例えば:

おなじみの10進数システムで上記の計算を実行すると、8進数の112が10進数の64 + 8 + 2 = 74に等しい理由がわかります。

8進数は、連続する2進数を3つのグループ(整数の場合は右から開始)にグループ化することにより、 2進数表現( 4進数システムと同様)から簡単に変換できます。たとえば、10進数74の2進数表現は1001010です。左側に2つのゼロを追加できます:(00)1 001 010、8進数の1 1 2に対応して、8進数表現112を生成します。

8進数の掛け算の九九
×× 1 2 3 4 5 6 7 10
1 1 2 3 4 5 6 7 10
2 2 4 6 10 12 14 16 20
3 3 6 11 14 17 22 25 30
4 4 10 14 20 24 30 34 40
5 5 12 17 24 31 36 43 50
6 6 14 22 30 36 44 52 60
7 7 16 25 34 43 52 61 70
10 10 20 30 40 50 60 70 100

使用法

中国では

基部が0、上部が7、右側が1〜3、左側が4〜6

易経の8つの八卦またはトライグラムは8進数に対応します。

  • 0 =☷、1 =☳、2 =☵、3 =☱、
  • 4 =☶、5 =☲、6 =☴、7 =☰。

GWライプニッツは、1703年にトライグラム、ヘキサグラム、2進数を結び付けました。[1]

ネイティブアメリカンによる

  • カリフォルニアユキ語、話者が指自体ではなく指の間のスペースを使用して数えるため、8進法を採用しています。[2]
  • メキシコPamean言語も、話者が閉じた拳の指関節を頼りにしているため、8進法を採用しています。[3]

ヨーロッパ人による

  • 「9」を表す再構成されたインド・ヨーロッパ祖語(PIE)の単語は、「新しい」を表すPIEの単語に関連している可能性があることが示唆されています。これに基づいて、インド・ヨーロッパ祖語は8進数システムを使用したと推測する人もいますが、これを裏付ける証拠はわずかです。[4]
  • 1668年、真性の文字と哲学の言語のジョン・ウィルキンス、10進数ではなく8進数の使用を提案しました。これは、二分法または二分法が最も自然で簡単な除算であるため、その数はこれを下げることができます団結する」。[5]
  • 1716年、スウェーデンのカール12世は、エマヌエル・スヴェーデンボリに尋ねました。しかし、スヴェーデンボリは、王よりも知性が低い人々にとって、そのような大きな基地は難しすぎると主張し、代わりに8を基地として提案しました。1718年、スヴェーデンボリは原稿を書いた(しかし出版しなかった):「Enny rekenkonst som om vexlas wid Thalet 8 i stelle then wanliga wid Thalet 10」(「新しい算術(または数え方)は、代わりに8番で変わる」いつもの10インチ)。数字の1〜7は、子音l、s、n、m、t、f、u(v)で示され、ゼロは母音oで示されます。したがって、8 = "lo"、16 = "so"、24 = "no"、64 = "loo"、512 = "looo"などです。子音が連続する数字は、特別な規則に従って母音で発音されます。[6]
  • 1745年7月のTheGentleman 's Magazine(ロンドン)で「HirossaAp-Iccim」というペンネームで書いたヒュー・ジョーンズは、英国の硬貨、重り、小節の8進法を提案しました。「理由と利便性は、すべての量について統一された基準を示していますが、これをジョージア基準と呼びます。これは、各種のすべての整数を8つの等しい部分に分割し、すべての部分を再び8つの実数または虚数の粒子に分割することだけです。必要な限り。すべての国は普遍的に数十で数えます(元々は両手の桁数によって発生しました)それでも、8ははるかに完全で寛大な数です。分数なしで半分、四分の一、半四分の一(または単位)に分割できるので、その細分10は不可能です...」オクターブ計算に関する後の論文(1753)で、ジョーンズは次のように結論付けまし。物事の性質に同意するため、数十年で現在使用されているものとは反対の自然算術と呼ばれることがあります。これは、人工算術と見なされる可能性があります。」[7]
  • 1801年、ジェームズアンダーソンは、メートル法を10進算術に基づいているとしてフランス人を批判しました。彼は基数8を提案し、そのために8進数という用語を作り出しました。彼の作品はレクリエーショナルマセマとして意図されていましたが、彼は純粋に8進数の重みと測定のシステムを提案し、既存の英国単位のシステムがすでにかなりの程度まで8進数のシステムであることに気づきました。[8]
  • 19世紀半ば、アルフレッドB.テイラーは、「したがって、私たちの8進数[基数8]の基数は、すべての比較を超えて、算術システムにとって「可能な限り最良の基数」である」と結論付けました。提案には、数字のグラフィック表記と数字の新しい名前が含まれており、「unduthefopasekiuntyunty-ununty-du」などを数える必要があることを示唆しています。 「 untydutythetyfoty」という名前の8の連続する倍数patysetykity and under。 "したがって、たとえば、65という数字(8進数で101)は、8進数でunder-unとして話されます。[9] [10]テイラーは、スヴェーデンボリの8進数に関する研究の一部を付録として再発行しました。上記の出版物に。

コンピューターの場合

オクタルは、 UNIVAC 1050PDP-8ICL 1900IBMメインフレームなどのシステムが6ビット12ビット24ビット、または36ビットのワードを採用したときにコンピューティングで広く使用されるようになりました8進数は、ワードサイズが3で割り切れるため、これらのマシンにとって理想的な2進数の略語でした(各8進数は3つの2進数を表します)。したがって、2桁、4桁、8桁、または12桁で、マシンワード全体を簡潔に表示できますまた、ニキシー管7セグメントディスプレイ計算機を使用できるようにすることで、コストを削減します。2進表示が複雑すぎて使用できないオペレーター・コンソールに使用するには、10進表示には基数を変換するための複雑なハードウェアが必要であり、16進表示にはより多くの数値を表示する必要がありました。

ただし、最新のコンピューティングプラットフォームはすべて、16ビット、32ビット、または64ビットのワードを使用し、さらに8ビットバイトに分割されています。このようなシステムでは、1バイトあたり3桁の8進数が必要であり、最上位の8進数は2桁の2進数を表します(さらに、次の有効バイトの1ビット(存在する場合))。16ビットワードの8進数表現には6桁が必要ですが、最も重要な8進数は、1ビット(0または1)のみを表します(非常にエレガントではありません)。この表現は、4進数にスミアされているため、最上位バイトを簡単に読み取る方法を提供しません。したがって、2つの16進数が正確に1バイトを指定するため、16進数は今日のプログラミング言語でより一般的に使用されています。2の累乗のワードサイズを持つ一部のプラットフォームには、8進数で表示すると、より簡単に理解できる命令サブワードがあります。これには、PDP-11およびMotorola68000ファミリーが含まれます現代のユビキタスx86アーキテクチャもこのカテゴリに属しますが、このプラットフォームで8進数が使用されることはめったにありません。ただし、8進数で表示すると、オペコードのバイナリエンコーディングの特定のプロパティがより簡単に明らかになります。たとえば、ModRMバイトは次のように分割されます。 2、3、および3ビットのフィールドであるため、8進数はこれらのエンコーディングの記述に役立ちます。アセンブラが利用可能になる前は、一部のプログラマーはプログラムを8進数でハンドコーディングしていました。たとえば、ディックウィップルとジョンアーノルドは、8進数を使用してマシンコードで直接Tiny BASICExtendedを作成しました。[11]

8進数は、16進数の代わりにコンピューティングで使用されることがあります。おそらく、現代では、Unixシステムでのファイルパーミッションと組み合わせて使用​​されます(chmod参照)。数字として余分な記号を必要としないという利点があります(16進法は基数16であるため、0〜9を超える6つの追加の記号が必要です)。また、デジタルディスプレイにも使用されます。

プログラミング言語では、8進リテラルは通常、数字、文字または、数字と文字の組み合わせ、または記号[12]またはを含むさまざまなプレフィックスで識別されます。Motorolaの規則では、8進数の前に。が付きますが、 Intelの規則に従って、小さな(または大文字の[13])文字[13]または[13]が接尾辞として追加されます。[14] [15]コンカレントDOSマルチユーザーDOSおよびREAL / 320oq0o&$@oqDOS PlusおよびDR-DOSと同様に、 $ CLS$ ON$ OFF$ HEADER$ FOOTERなどのさまざまな環境変数は8進数表記をサポートし[16] [17] [18]およびDR- DOSDEBUG8進数の接頭辞も。 \nnn\

たとえば、リテラル73(基数8)は、、、、、、、、、、またはさまざま言語表される073場合あります。o73q730o73\73@73&73$7373o

010進数は先行ゼロで表されることが多いため、新しい言語ではプレフィックスが廃止されています。プレフィックスqは、プレフィックスoがゼロと間違われるのを防ぐため0oに導入されましたが、アルファベット文字(oまたはq)で数値リテラルを開始しないようにするために導入されました。これは、リテラルが変数名と混同される可能性があるためです。プレフィックスは、 C言語の16進リテラルに使用される0oプレフィックスによって設定されたモデルにも準拠していますHaskell[19] OCaml[20]バージョン3.0以降のPython 、 [21] Raku[22]でサポートされています。0x Ruby[23] バージョン9以降のTcl[24] バージョン8.1以降のPHP [25]であり、 ECMAScript 6 [26]でサポートされることを目的としています(プレフィックスは元々 JavaScript0の基数8を表していましたが、混乱を招く可能性があります。 [27]したがって、ECMAScript 3では推奨されておらず、ECMAScript 5では削除されています[28])。

一部のプログラミング言語(C、PerlPostScript …)で、一部のバイト値(コードページに表示されない、非グラフィック、現在のコンテキストで特別な意味を持つ、またはその他の望ましくない)の場合にバイト文字列のテキスト/グラフィック表現に使用される8進数。としてエスケープする必要があります\nnn8進表現は、6ビットのグループをエンコードするUTF-8の非ASCIIバイトで特に便利な場合があり、開始バイトには8進値\3nnがあり、継続バイトには8進値があります\2nn

OctalはFerranti Atlas(1962)、Burroughs B5500(1964)、Burroughs B5700(1971)、Burroughs B6700(1971)、およびBurroughs B7700(1972)コンピューター の浮動小数点にも使用されました。

航空で

航空機のトランスポンダは、地中レーダーによって問い合わせられると、4進数の数字で表される「squawk」コードを送信します。このコードは、レーダー画面上のさまざまな航空機を区別するために使用されます。

基数間の変換

10進数から8進数への変換

8による除法の連続除法の方法

整数の小数を8進数に変換するには、元の数値を可能な最大の8の累乗で除算し、余りを8の累乗で除算して、累乗が1になるようにします。8進数の表現は、商によって生成され、アルゴリズム。たとえば、12510を8進数に変換するにはのようにします。

125 = 82 × 1 + 61
61 = 81 × 7 + 5
5 = 80 × 5 + 0

したがって、125 10 = 1758

もう一つの例:

900 = 83 × 1 + 388
388 = 82 × 6 + 4
4 = 81 × 0 + 4
4 = 80 × 4 + 0

したがって、900 10 = 16048

8を連続して掛ける方法

小数を8進数に変換するには、8を掛けます。結果の整数部分は、8進数の小数部の最初の桁です。結果がnullになるか、許容可能なエラー範囲内になるまで、結果の小数部分でプロセスを繰り返します。

例:0.1640625を8進数に変換します。

0.1640625×8 = 1.3125 = 1 + 0.3125
0.3125×8 = 2.5 = 2 + 0.5
0.5×8 = 4.0 = 4 + 0

したがって、0.1640625 10 = 0.1248

これらの2つの方法を組み合わせて、整数部分と小数部分の両方で10進数を処理できます。最初の方法は整数部分で、2番目の方法は小数部分です。

連続複製の方法

整数の小数を8進数に変換するには、数値の前に「0」を付けます。基数の右側に数字が残っている限り、次の手順を実行します。8進数の規則を使用して、基数の左側に値を2倍にし、基数のポイントを1桁右に移動してから、2倍の値を現在の値の下に配置します。基数ポイントが揃うように値を設定します。移動した基数ポイントが8または9の桁と交差する場合は、それを0または1に変換し、現在の値の次の左の桁に桁上げを追加します。基数の左側にこれらの数字を8進数で追加 し、変更せずにそれらの数字を右側にドロップダウンします。

例:

0.4 9 18の10進値
  +0
 ---------
   4.9 1 8
  +1 0
  --------
   6 1.1 8
  +1 4 2
  --------
   7 5 3.8
  +1 7 2 6
  --------
 1 1 4 66.8進値

8進数から10進数への変換

数値kを10進数に変換するには、基数8の表現を定義する式を使用します。

この式では、a iは変換される個々の8進数です。ここで、iは桁の位置です(右端の桁は0から数えます)。

例:7648を10進数に変換ます。

764 8 = 7× 82 + 6× 81 + 4×80 = 448 + 48 + 4 = 500 10

2桁の8進数の場合、この方法は、先頭の桁に8を掛け、2番目の桁を加算して合計を求めることになります。

例:65 8 = 6×8 + 5 = 53 10

連続複製の方法

8進数を10進数に変換するには、数値の前に「0」を付けます。基数の右側に数字が残っている限り、次の手順を実行します。小数点の規則を使用して、基数の左側に値を2倍にし、基数ポイントを1桁右に移動してから、2倍の値を現在の値の下に配置します。基数ポイントが揃うように値を設定します。基数の左側にあるこれらの数字を10進数で減算 し、変更せずにそれらの数字を右側にドロップダウンするだけです。

例:

0.1 1 4 66の8進値
  -0
 -----------
   1.1 4 6 6
  --2
  ----------
     9.4 6 6
  --1 8
  ----------
     7 6.6 6
  --1 5 2
  ----------
     6 1 4.6
  --1 2 2 8
  ----------
     4 9 1 8.1進数値

8進数から2進数への変換

8進数を2進数に変換するには、各8進数をその2進数表現に置き換えます。

例:518をバイナリに 変換します。

5 8 = 101 2
1 8 = 001 2

したがって、51 8 = 101 0012

2進数から8進数への変換

このプロセスは、前のアルゴリズムの逆です。2進数は、最下位ビットから始まり、左および右に進む3でグループ化されます。必要に応じて、先行ゼロ(または小数点の右側に後続ゼロ)を追加して、最後の3つのグループに入力します。次に、各トリオを同等の8進数に置き換えます。

たとえば、バイナリ1010111100を8進数に変換します。

001 010 111 100
1 2 7 4

したがって、1010111100 2 = 12748

2進数の11100.01001を8進数に変換します。

011 100  。  010 010
3 4  。  2 2

したがって、11100.01001 2 = 34.228

8進数から16進数への変換

変換は、中間ベースとしてバイナリを使用して2つのステップで行われます。8進数は2進数に変換され、次に2進数から16進数に変換され、数字が4進数でグループ化されます。4進数はそれぞれ16進数に対応します。

たとえば、8進数の1057を16進数に変換します。

バイナリへ:
1 0 5 7
001 000 101 111
次に16進数に:
0010 0010 1111
2 2 F

したがって、1057 8 = 22F16

16進数から8進数への変換

16進数から8進数への変換は、最初に16進数を4ビットの2進数値に変換し、次に2進数ビットを3ビットの8進数に再グループ化することによって進行します。

たとえば、3FA5 16を変換するには:

バイナリへ:
3 F A 5
0011 1111 1010 0101
次に8進数に:
0 011 111 110 100 101
0 3 7 6 4 5

したがって、3FA5 16 = 376458

実数

分数

2の因数しかないため、多くの8進数の分数には数字が繰り返されますが、これらはかなり単純になる傾向があります。

10進基数基数の素因数
2、5基数の下の1
の素因数:3
基数の上の1の素因数:11
その他の素因数:7 13 17 19 23 29 31
オクタルベースベース
の素因数:2
ベースの下の1つの素因数:7
ベースの上の1つの素因数:3
その他の素因数:5 13 15 21 23 27 35 37
分数
分母の素因数
位置表現 位置表現
分母の素因数
分数
1/2 2 0.5 0.4 2 1/2
1/3 3 0. 3333 ... = 0. 3 0. 2525 ... = 0. 25 3 1/3
1/4 2 0.25 0.2 2 1/4
1/5 5 0.2 0.1463 _ 5 1/5
1/6 2、3 _ _ 0.1 6 0.1 25 2、3 _ _ 1/6
1/7 7 0.142857 _ 0. 1 7 1/7
1/8 2 0.125 0.1 2 1/10
1/9 3 0. 1 0. 07 3 1/11
1/10 2、5 _ _ 0.1 0.0 6314 2、5 _ _ 1/12
1/11 11 0. 09 0。0564272135 _ 13 1/13
1/12 2、3 _ _ 0.08 3 0.0 52 2、3 _ _ 1/14
1/13 13 0.076923 _ 0.0473 _ 15 1/15
1/14 2、7 _ _ 0.0 714285 0.0 4 2、7 _ _ 1/16
1/15 3、5 _ _ 0.0 6 0.0421 _ 3、5 _ _ 1/17
1/16 2 0.0625 0.04 2 1/20
1/17 17 0。0588235294117647 _ 0.03607417 _ 21 1/21
1/18 2、3 _ _ 0.0 5 0.0 34 2、3 _ _ 1/22
1/19 19 0。052631578947368421 _ 0.032745 _ 23 1/23
1/20 2、5 _ _ 0.05 0.0 3146 2、5 _ _ 1/24
1/21 3、7 _ _ 0.047619 _ 0. 03 3、7 _ _ 1/25
1/22 2、11 _ _ 0.0 45 0.0 2721350564 2、13 _ _ 1/26
1/23 23 0。0434782608695652173913 _ 0.02620544131 _ 27 1/27
1/24 2、3 _ _ 0.041 6 0.0 25 2、3 _ _ 1/30
1/25 5 0.04 0. 02436560507534121727 5 1/31
1/26 2、13 _ _ 0.0 384615 0.0 2354 2、15 _ _ 1/32
1/27 3 0.037 _ 0.022755 _ 3 1/33
1/28 2、7 _ _ 0.03 571428 0.0 2 2、7 _ _ 1/34
1/29 29 0。0344827586206896551724137931 _ 0.0215173454106475626043236713 _ 35 1/35
1/30 2、3、5 _ _ _ _ 0.0 3 0.0 2104 2、3、5 _ _ _ _ 1/36
1/31 31 0.032258064516129 _ 0. 02041 37 1/37
1/32 2 0.03125 0.02 2 1/40

無理数

次の表は、10進数と8進 数のいくつかの一般的な無理数の展開を示しています。

番号 位置表現
10進数 オクタル
√2 (単位正方形の対角線長さ 1.414 213 562 373 095 048 ..。 1.3240 4746 3177 1674 .. ..
√3 (単位立方体 の対角線の長 1.732 050 807 568 877 293 ..。 1.5666 3656 4130 2312 .. ..
√5 ( 1 ×2の長方形の対角線の長さ 2.236 067 977 499 789 696 ..。 2.1706 7363 3457 7224 .. ..
φ (ファイ、黄金比= ( 1 + √5)/ 2 1.618 033 988 749 894 848 ..。 1.4743 3571 5627 7512 .. ..
π (円周率、円直径に対する円周率) 3.141 592 653 589 793 238 462 643
383279502884197169399375105 ..。 _ _ _ _ _ _ _ _
3.1103 7552 4210 2643 .. ..
e 自然対数の基数) 2.718 281 828 459 045 235 ..。 2.5576 0521 3050 5355 .. ..

も参照してください

参考文献

  1. ^ GWライプニッツ(1703) 2進算術の説明
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外部リンク