自然数

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重に打たれた大文字のN記号。多くの場合、すべての自然数のセットを示すために使用されます(数学記号の用語集を参照)。
自然数を数えるために使用することができます(1つのリンゴ、2つのリンゴ、3つのリンゴ、...)

数学では、自然数カウント(「テーブルに6枚のコインがある」のように)と注文(「これは国で3番目に大きい都市」のように)に使用される数です。一般的な言葉では、口語的に数えるために使用される数字は「基数」と呼ばれ、順序付けに使用される単語は「序数」と呼ばれます。自然数は、便利なコードのセット(ラベルまたは「名前」)として表示される場合があります。つまり、言語学者が呼び数と呼ぶものとして、数学的な意味での数であるという特性の多くまたはすべてを放棄します。[1] [2]

標準のISO80000-2[3] [a]を含む一部の定義は、非負の整数0、1、2、3、...対応する0で始まる自然数ですが、対応する1で始まる定義もあります。正の整数1、2、3、... [4] [b]自然数からゼロを除外するテキストは、整数としてゼロと一緒に自然数を参照することがありますが、他の文章では、その用語が使用されます代わりに整数(負の整数を含む)。[5]

自然数は、他の多くの数集合を拡張によって構築できる基礎です。整数は、中性要素0と、ゼロ以外の各自然数nの反数n )を(まだ含まれていない場合は)含めることによって作成されます。乗法逆数を含めることによる有理数)ゼロ以外の整数nごと(およびこれらの逆元の整数による積)。有理数に(収束する)コーシー列の有理数の限界を含めることによる実数実数にマイナス1の未解決の平方根(およびその合計と積)を含めることによる複素数。等々。[c] [d]この一連の拡張により、自然数が他の数体系に正規に埋め込まれる(識別される)ようになります。

分割可能性や素数の分布などの自然数の性質は、で研究されています。分割列挙などのカウントと順序付けに関する問題は、組み合わせ論で研究されています。

一般的な言語、特に小学校の教育では、自然数はカウント数と呼ばれることがあり[6]、負の整数とゼロを直感的に除外し、カウントの離散測定連続性と対比します。これは実数の特徴です

歴史

古代のルーツ

イシャンゴの骨(ベルギー王立自然科学研究所で展示中[7] [8] [9]は、2万年前に自然数の計算に使用されたと考えられています。

自然数を表す最も原始的な方法は、各オブジェクトにマークを付けることです。後で、オブジェクトのセットは、マークを削除してセットからオブジェクトを削除することにより、同等性、過剰、または不足についてテストできます。

抽象化における最初の大きな進歩は、数字を表すために数字を使用することでした。これにより、多数を記録するためのシステムを開発することができました。古代エジプト人は、1、10 、および10のすべての累乗から100万を超えるまでの明確な象形文字を備えた強力な数字のシステムを開発しました。カルナック神殿からの石の彫刻は、紀元前1500年頃にさかのぼり、現在はパリのルーブル美術館にあり、276を200、7十、6のものとして描いています。同様に、4,622という数字についても同様です。バビロニア人場所の価値を持っていました基本的に1と10の数字に基づいており、基数60を使用しているため、60の記号は1の記号と同じであり、その値はコンテキストから決定されます。[10]

ずっと後の進歩は、  0はそれ自身の数詞を持つ数と見なすことができるという考えの発展でした。(他の数字の中での)位取り記数法での0の使用は、バビロニア人によって紀元前700年にさかのぼります。バビロニア人は、数字の最後の記号であるときにそのような数字を省略しました。[e]オルメカ文明とマヤ文明紀元前1世紀には早くも0を別個の数字として使用していましたが、この使用法はメソアメリカを超えて広まりませんでした[12] [13]現代における数字の0の使用は、インドの数学者ブラフマグプタに端を発しています。西暦628年。ただし、中世の計算(イースターの日付の計算)では、西暦525年のディオニュシウスエクシグウスから始まり、数字で示されることなく0が数字として使用されていました(標準のローマ数字には0の記号がありません)。代わりに、ラテン語で「none」を意味するnullusのnulla(または属格nullae)を使用して、0の値示しまし[14]

抽象化としての数の最初の体系的な研究は、通常、ギリシャの哲学者ピタゴラスアルキメデスの功績によるものです。一部のギリシャの数学者は、1を大きな数とは異なる方法で扱い、時にはまったく数として扱わないこともありました。[f] たとえば、ユークリッドは最初に単位を定義し、次に数を多数の単位として定義しました。したがって、彼の定義によれば、単位は数ではなく、一意の数はありません(たとえば、無期限に多くの単位からの任意の2つの単位はa 2)。[16]

数に関する独立した研究は、インド、中国、メソアメリカでもほぼ同時に行われました[17]

現代の定義

19世紀のヨーロッパでは、自然数の正確な性質について数学的および哲学的な議論がありました。学校[どっち?自然主義の]、自然数は人間の精神の直接の結果であると述べました。アンリ・ポアンカレはその支持者の1人であり、レオポルト・クロネッカーは彼の信念を「神は整数を作った、他はすべて人間の仕事である」と要約しました。[g]

自然主義者とは反対に、建設主義者は数学の基礎における論理的厳密さを改善する必要があると考えました[h] 1860年代に、ヘルマングラスマンは自然数の再帰的定義を提案しました。したがって、それらは実際には自然ではなく、定義の結果であると述べました。その後、そのような正式な定義の2つのクラスが構築されました。その後も、ほとんどの実際のアプリケーションで同等であることが示されました。

自然数の集合論的定義はフレーゲによって始められました彼は当初、自然数を、特定のセットと1対1で対応するすべてのセットのクラスとして定義しました。しかし、この定義はラッセルのパラドックスを含むパラドックスにつながることが判明しましたこのようなパラドックスを回避するために、自然数が特定のセットとして定義されるように形式が変更され、そのセットと1対1で対応できるセットはすべてその数の要素を持つと言われます。[20]

2番目のクラスの定義は、チャールズサンダースパースによって導入され、リヒャルトデデキンドによって洗練され、ジュゼッペペアノによってさらに調査されましたこのアプローチは現在、ペアノ算術と呼ばれています。これは、序数のプロパティの公理化に基づいています。各自然数には後続があり、ゼロ以外のすべての自然数には一意の先行があります。ペアノ算術は、集合論のいくつかの弱いシステムと同等です。そのようなシステムの1つは、無限公理が否定に置き換えられたZFCです。ZFCで証明できるが、ペアノの公理を使用して証明できない定理には、次のものがあります。グッドスタインの定理[21]

これらすべての定義で、自然数として0(空集合に対応)を含めると便利です。現在、0を含めることは、集合理論家[22]論理学者の間で一般的な慣習です。[23]他の数学者も0、[a]を含み、ループカウンター文字列または配列要素などの項目を列挙する場合コンピューター言語はゼロから始まることがよくあります[24] [25]一方、多くの数学者は、1を最初の自然数とするという古い伝統を守ってきました。[26]

表記

数学者はNまたはすべての自然数のセットを参照します。[1] [27]そのような集合の存在は、集合論で確立されています。古いテキストでも、このセットの記号としてJが使用されることがあります。[28]

トークン01には通常、さまざまなプロパティが関連付けられているため(たとえば、それぞれ加算と乗算のニュートラル要素)、検討中のケースで使用されている自然数のバージョンを知ることが重要です。これは、散文での説明、セットを明示的に書き留めること、または一般的な識別子を上付き文字または下付き文字で修飾することによって行うことができます[3] [29]、たとえば次のようになります。

  • ゼロのないナチュラル:
  • ゼロのナチュラル:

あるいは、自然数は自然に整数のサブセットを形成するため(多くの場合)、それらはそれぞれ正または非負の整数と呼ばれることがあります。[30] 0が含まれるかどうかを明確にするために、前者の場合は下付き文字(または上付き文字)「0」が追加され、後者の場合は上付き文字「*」が追加されることがあります。[3]

プロパティ

追加

セットを考えると自然数と後継関数の 各自然数を次の自然数に送信する場合、すべてのabに対してa + 0 = aおよびa + Sb)= Sa + b)を設定することにより、自然数の加算を再帰的に定義できますその 場合、(ℕ、+)は単位元0の可換 モノイドです。これは1ジェネレーター上の自由モノイドです。この可換モノイドは簡約律を満たすので、グループに埋め込むことができます 自然数を含む最小のグループは整数です。

1がS(0)として定義されている場合b + 1 = b + S(0)= Sb + 0)= Sbつまり、b +1は単にbの後継です。

掛け算

同様に、加算が定義されている場合、乗算演算子a ×0 = 0およびa ×S(b)=(a × b)+ aを介して定義できますこれにより、(ℕ *、×)が単位元1を持つ自由可換モノイドに変わります。このモノイドのジェネレータセットは素数のセットです。

足し算と掛け算の関係

加算と乗算は互換性があり、分布の法則で表されます:a ×(b + c)=(a × b)+(a × c加算と乗算のこれらの特性により、自然数は可換半 のインスタンスになります。半環は、乗算が必ずしも可換であるとは限らない自然数の代数的な一般化です。反数の欠如。これは、 ℕ閉じられていないという事実に相当します。減算中(つまり、ある自然を別の自然から減算しても、必ずしも別の自然が得られるとは限りません)は、ℕがではないことを意味します。代わりに、半環(リグとも呼ばれます)です。

自然数を「0を除く」、「1から始まる」とすると、+と×の定義は、+ 1 = S(a)とa×1 = aで始まること除い上記とおりです

注文

このセクションでは、 abなどの並置された変数は積a × b [31]を示し、標準の演算順序が想定されています。

自然数の全順序は、 a + c = bである別の自然数c存在する場合にのみ a≤bとすることによって定義されますこの順序は、次の意味で算術演算と互換性があります。a b およびcが自然数でありa≤b場合a + c≤b + cおよびac≤bcです

自然数の重要な特性は、それらが適切に順序付けられていることです。空でない自然数のセットはすべて、最小の要素を持っています。秩序だったセット間のランクは、序数で表されます。自然数の場合、これはω(オメガ) として表されます。

分割

このセクションでは、 abなどの並置された変数は積a × bを示し、操作の標準的な順序が想定されています。

一般に、ある自然数を別の自然数で除算して結果として自然数を取得することはできませんが、残りの除算またはユークリッド除算の手順を代わり使用できます。b ≠0の任意の2つの自然数aおよびbの代わりに使用できます。自然数qrは次のように なります

qと呼ばれ、 rはaをbで割った余りと 呼ばますqrは、 aと bによって一意に決定されます。このユークリッドの除算は、他のいくつかのプロパティ(分割可能性)、アルゴリズム(ユークリッドのアルゴリズムなど)、および数論のアイデアの鍵なります

自然数が満たす代数的性質

上で定義した自然数の加算(+)および乗算(×)演算には、いくつかの代数的特性があります。

  • 加算と乗算による閉包:すべての自然数abについて、a + ba × bの両方が自然数です。[32]
  • 結合性:すべての自然数ab、およびcについて、a +(b + c)=(a + b)+ cおよびa ×(b × c)=(a × b)× c[33]
  • 可換性:すべての自然数aおよびbについて、a + b = b + aおよびa × b = b × a[34]
  • 単位元の存在:すべての自然数aについて、a + 0 = aおよびa ×1 = a
  • すべての自然数ab、およびcの加算に対する乗算の分配法則、a ×(b + c)=(a × b)+(a × c
  • ゼロ以外のゼロ因子はありませんabがa × b = 0のような自然数の場合a = 0またはb = 0(または両方)。

インフィニティ

自然数の集合は無限集合です。定義上、この種の無限大は可算無限大と呼ばれます自然数と全単射関係にできるすべての集合は、この種の無限大を持っていると言われています。これは、セットの基数がアレフ数(ℵ0 )であると言うことでも表されます[35]

一般化

自然数の2つの重要な一般化は、基数序数の2つのカウントと順序付けの使用から生じます

  • 自然数は、有限集合のサイズを表すために使用できます。より正確には、基数は集合のサイズの尺度であり、無限集合にも適しています。この「サイズ」の概念は、セット間のマップに依存しているため、2つのセットの間に全単射が存在する場合は、2つのセットが同じサイズになります。自然数の集合自体、およびその全単射画像は、可算無限大であり、カーディナリティのアレフヌルℵ0 )を持っていると言われています
  • 自然数は、「最初の」、「2番目の」、「3番目の」などの言語の序数としても使用されます。このようにして、それらを完全に順序付けられた有限集合の要素に割り当てることができます。また、適切に順序付けられた可算無限集合の要素にも割り当てることができます。この割り当ては、可算を超えたカーディナリティを持つ一般的なウェルオーダーに一般化して、序数を生成できます。序数は、カーディナリティとは異なる意味で、秩序だった集合の「サイズ」の概念を説明するためにも使用できます。2つの秩序だった集合の間に順序同型(全単射以上!)がある場合、同じ序数を持っています。自然数ではない最初の序数はωとして表されます; これは、自然数のセット自体の序数でもあります。

カーディナリティℵ0の最小序数(つまり、ℵ0最初の序数ωですが、基数ℵ0を持つ多くの順序の良いセットωより大きい序数を持っています

有限の秩序だった集合の場合、序数と基数の間には1対1の対応があります。したがって、両方とも同じ自然数、つまり集合の要素数で表すことができます。この数値は、より大きな有限または無限のシーケンス内の要素の位置を表すためにも使用できます

ペアノの公理(つまり、1次ペアノの公理)を満たす可算の非標準算術モデルは 1933年にスコーレムによって開発されました。超自然数は、超能力構造を介して通常の自然数から構築できる数えられないモデルです。

Georges Reebは、ナイーブな整数は を満たさないと挑発的に主張していましたその他の一般化については、数値に関する記事で説明しています。

正式な定義

ペアノの公理

自然数の多くの特性は、5つのペアノの公理から導き出すことができます[36] [i]

  1. 0は自然数です。
  2. すべての自然数には、自然数でもある後継があります。
  3. 0は自然数の後継ではありません。
  4. 後継者の場合の後継者に等しい、 それから等しい
  5. 誘導の公理:ステートメントが0の真であり、ある数に対するそのステートメントの真理がその数の後継者の真理を意味する場合、そのステートメントはすべての自然数に対して真です。

これらはペアノによって公開された元の公理ではありませんが、彼に敬意を表して名付けられています。ペアノの公理のいくつかの形式では、0の代わりに1が使用されます。通常の算術では、公理5を公理スキーマに置き換えると、ペアノ算術と呼ばれる(より弱い)一階理論が得られます

集合論に基づく構築

フォンノイマン序数

集合論と呼ばれる数学の分野では、ジョン・フォン・ノイマン[37] [38]による特定の構造は、自然数を次のように定義しています。

  • セット0 = {}空のセット
  • すべてのセットaに対してSa)= a∪{ a }を定義ます。Saはaの後継でありS後継関数と呼ばれます。
  • 無限公理により、0を含み、後継関数の下で閉じられる集合が存在します。そのような集合は帰納的であると言われています このようなすべての帰納的集合の共通部分は、自然数の集合として定義されます。自然数の集合がペアノの公理を満たしていることを確認できます。
  • したがって、各自然数は、それよりも小さいすべての自然数のセットに等しくなります。
  • 0 = {}
  • 1 =0∪{0} = {0} = {{}}
  • 2 =1∪{1} = {0、1} = {{}、{{}}}
  • 3 =2∪{2} = {0、1、2} = {{}、{{}}、{{}、{{}}}}
  • n = n −1∪ { n −1} = {0、1、...、n −1} = {{}、{{}}、...、{{}、{{}}、.. 。}}など。

この定義では、自然数nはn個の要素を持つ特定のセットであり、 nがmサブセットある場合に限り、 n≤mです現在フォンノイマン序数の定義と呼ばれている標準的な定義は、「各序数は、すべての小さな序数の秩序だったセットです」です。

また、この定義では、ℝn nタプルとnへのマッピング)のような表記法のさまざまな解釈が一致します。

無限公理を受け入れず、したがってすべての自然数の集合が存在することを受け入れることができない場合でも、これらの集合のいずれかを定義することは可能です。

Zermelo序数

標準的な構造は便利ですが、可能な構造はそれだけではありません。エルンスト・ツェルメロの構造は次のとおりです。[38]

  • 0を設定= {}
  • Sa)= { a }を定義します
  • その後、
  • 0 = {}
  • 1 = {0} = {{}}
  • 2 = {1} = {{{}}}
  • n = { n −1} = {{{...}}}など。
その場合、各自然数は、その前にある自然数だけを含むセットと等しくなります。これは、 Zermelo序数の定義ですフォンノイマンの構造とは異なり、ゼルメロの序数は無限の序数に拡張されません。

も参照してください

ナンバーシステム
複雑
本物
合理的な
整数
自然
ゼロ:0
1:1
素数
合成数
負の整数
分数
有限小数
ダイアディック(有限バイナリ)
循環小数
不合理
代数
超越的
イマジナリー

メモ

  1. ^ a b Mac Lane&Birkhoff(1999、p。15)は、自然数にゼロを含みます: '直感的に、集合すべての自然数のうち、次のように説明できます。「初期」番号0が含まれています。... '。彼らは、ペアノの公理の彼らのバージョンでそれに続きます
  2. ^ Carothers(2000、p。3)は、次のように述べています。は自然数(正の整数)のセットです。」どちらの定義も都合のよいときに認められており、自然数としてゼロを含めるべきかどうかについての一般的なコンセンサスはありません。[1]
  3. ^ Mendelson(2008、p。x)は、次のように述べています。「数体系の素晴らしい階層全体は、自然数に関するいくつかの単純な仮定からの純粋な集合論的手段によって構築されています。」
  4. ^ Bluman(2010、p。1):「数字は数学の基礎を構成します。」
  5. ^ Kishで見つかったタブレット...紀元前700年頃からのものと考えられており、3つのフックを使用して位置表記の空の場所を示しています。ほぼ同時期に製造された他のタブレットは、空の場所に1つのフックを使用します。[11]
  6. ^ この規則は、たとえば、ユークリッド原論で使用されています。D。ジョイスのブックVIIのWeb版を参照してください。[15]
  7. ^ 英語の翻訳はGrayからです。脚注の中で、グレイはドイツ語の引用を次のように述べています。「ウェーバー1891 – 1892、19、1886年のクロネッカーの講義からの引用」。[18] [19]
  8. ^ 「20世紀の数学的研究の多くは、主題の論理的基礎と構造を調べることに専念してきました。」 Eves 1990、p。606)
  9. ^ ハミルトン(1988年、117ページ以降)はそれらを「ペアノの公理」と呼び、「1.0  は自然数」で始まります。
    ハルモス(1960、p。46)は、彼の5つの公理に算術の言語ではなく、集合論の言語を使用しています。彼は「(I) 0∈ω (もちろん、 0 =∅」( ωはすべての自然数の集合)で始まります。Morash(1991)は、自然数がで始まる「2つの部分からなる公理」を与えます1.(セクション10.1:正の整数のシステムの公理  

参考文献

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参考文献

外部リンク