ミニマックスコンドルセット法

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投票システムでは、ミニマックスコンドルセ法(「ミニマックス法」と呼ばれることが多い)は、小選挙で選好投票を使用するときに投票を集計し、勝者を決定するために使用されるいくつかのコンドルセ法の1つです。これは、シンプソン-クラマー法、および連続反転法と呼ばれることもあります。[要出典]

ミニマックスは、最大のペアワイズ敗北が他の候補の最大のペアワイズ敗北よりも小さい候補を勝者として選択します。言い換えると、ペアワイズコンテストで「サポートが[N]パーセントを下回らない唯一の候補」です。

メソッドの説明

ミニマックスコンドルセット法は、彼または彼女に対する別の候補者の最大のペアワイズスコアがすべての候補者の中で最小のそのようなスコアである候補者を選択します。

正式な定義

正式には、のペアワイズスコアを示しますに対してそれから候補者、ミニマックス(別名勝者)によって選択されたものは次のように与えられます:

ペアワイズスコアのバリエーション

候補者を均等にランク付けすることが許可されている場合、またはすべての候補者をランク付けしないことが許可されている場合、ルールの3つの解釈が可能です。有権者がすべての候補者をランク付けする必要がある場合、3つのバリアントはすべて同等です。

させてYよりXランク付けする有権者の数であるバリアントはスコアを定義しますYに対する候補Xの場合:

  1. XをYより上にランク付けする有権者の数。ただし、このスコアがYをXより上にランク付けする有権者の数を超える場合に限ります。そうでない場合、 Yに対するXのスコアはゼロです。このバリアントは、勝利投票と呼ばれることもあります。
  2. XをYより上にランク付けする有権者の数からYをXより上にランク付けする有権者の数を引いた数このバリアントは、マージンを使用して呼び出されます。
  3. より多くの有権者がXをYより上にランク付けするか、またはその逆であるかに関係なく、XをYより上にランク付けする有権者の数。このバリアントは、ペアワイズオポジションと呼ばれることもあります。

最初の2つのバリアントのいずれかを使用する場合、この方法は次のように言い換えることができます。「1つの候補が無敗になるまで、最も弱いペアワイズ敗北を無視します。」「無敗」の候補者は、彼に対してゼロまたは負の最大スコアを持っています。

満足および失敗した基準

勝利票またはマージンを使用するミニマックスは、コンドルセおよび多数決基準を満たしますが、スミス基準相互多数決基準、またはコンドルセ敗者基準は満たしません。勝利票を使用する場合、ミニマックスは複数基準も満たします。クローンはクローン間の勝率が狭いため、ミニマックスはクローンの独立性の基準を満たすことができません。これは、ミニマックスが無関係な選択肢のローカルな独立性を満たすことができないことを意味します3つのクローンが、1位、2位、3位の勝者として狭い敗北のサイクルを形成する可能性があり、2位の勝者を削除すると、3位の勝者が選出される可能性があるためです。

ペアワイズ反対バリアントが使用される場合、ミニマックスもコンドルセ基準を満たしませんただし、同等のランク付けが許可されている場合、最初に選択した候補者を他の候補者よりも下に置くインセンティブはありません。また、後の害がないという基準も満たしています。つまり、ランキングに追加の低い優先順位をリストすることで、優先候補者を失うことはありません。

スミスセットに制約されると、スミス/ミニマックスとして、ミニマックスはスミス基準を満たし、含意によって、相互多数、スミスが支配する代替案の独立性、およびコンドルセ敗者基準を満たします。

Markus Schulzeは、上記の基準のいくつかを満たすようにミニマックスを変更しました。スミス/ミニマックスと比較して、ニコラウス・タイドマンのランクペアは、無関係な選択肢のクローン独立性と局所独立性をさらに満たします。

コンドルセの勝者の例

テネシー州とその4つの主要都市:南西部のメンフィス。 中央がナッシュビル、南がチャタヌーガ、東がノックスビル

テネシー州が首都の場所で選挙を行っていると想像してみてくださいテネシー州の人口は、州全体に広がる4つの主要都市に集中しています。この例では、有権者全員がこれら4つの都市に住んでいて、誰もができるだけ首都の近くに住みたいと考えているとします。

首都の候補者は次のとおりです。

有権者の選好は次のように分けられます。

有権者の42%
(メンフィスに近い)
有権者の26%
(ナッシュビルに近い)
有権者の15%
(チャタヌーガに近い)
有権者の17%
(ノックスビルに近い)
  1. メンフィス
  2. ナッシュビル
  3. チャタヌーガ
  4. ノックスビル
  1. ナッシュビル
  2. チャタヌーガ
  3. ノックスビル
  4. メンフィス
  1. チャタヌーガ
  2. ノックスビル
  3. ナッシュビル
  4. メンフィス
  1. ノックスビル
  2. チャタヌーガ
  3. ナッシュビル
  4. メンフィス

ペアワイズスコアの結果は次のように表にされます。

ペアワイズ選挙結果
バツ
メンフィス ナッシュビル チャタヌーガ ノックスビル
Y メンフィス [X] 58%
[Y] 42%
[X] 58%
[Y] 42%
[X] 58%
[Y] 42%
ナッシュビル [X] 42%
[Y] 58%
[X] 32%
[Y] 68%
[X] 32%
[Y] 68%
チャタヌーガ [X] 42%
[Y] 58%
[X] 68%
[Y] 32%
[X] 17%
[Y] 83%
ノックスビル [X] 42%
[Y] 58%
[X] 68%
[Y] 32%
[X] 83%
[Y] 17%
ペアワイズ選挙結果(勝ち負け): 0-0-3 3-0-0 2-0-1 1-0-2
最悪のペアワイズ敗北(勝利票): 58% 0% 68% 83%
最悪のペアワイズ敗北(マージン): 16% −16% 36% 66%
最悪のペアワイズ反対: 58% 42% 68% 83%
  • [X]は、行のキャプションにリストされている候補よりも列のキャプションにリストされている候補を好んだ有権者を示します
  • [Y]は、列のキャプションにリストされている候補よりも行のキャプションにリストされている候補を好んだ有権者を示します

結果: 3つの選択肢すべてにおいて、ナッシュビルの価値が最も低く、勝者に選ばれます。

勝者に選出されていないコンドルセ勝者の例(ペアワイズ反対の場合)

3人の候補者A、B、Cと、次の選好を持つ有権者を想定します。

有権者の4% 有権者の47% 有権者の43% 有権者の6%
1.AとC 1. A 1. C 1. B
2. C 2. B 2.AおよびC
3. B 3. B 3. A

結果は次のように表にされます。

ペアワイズ選挙結果
バツ
A B C
Y A [X] 49%
[Y] 51%
[X] 43%
[Y] 47%
B [X] 51%
[Y] 49%
[X] 94%
[Y] 6%
C [X] 47%
[Y] 43%
[X] 6%
[Y] 94%
ペアワイズ選挙結果(勝ち負け): 2-0-0 0-0-2 1-0-1
最悪のペアワイズ敗北(勝利票): 0% 94% 47%
最悪のペアワイズ敗北(マージン): −2% 88% 4%
最悪のペアワイズ反対: 49% 94% 47%
  • [X]は、行のキャプションにリストされている候補よりも列のキャプションにリストされている候補を好んだ有権者を示します
  • [Y]は、列のキャプションにリストされている候補よりも行のキャプションにリストされている候補を好んだ有権者を示します

結果:選択肢が投票とマージンを獲得すると、コンドルセットの勝者Aがミニマックスの勝者として宣言されます。ただし、ペアワイズ反対の選択肢を使用すると、AがBに対して最悪のペアワイズスコアで反対するよりも、Aに対する彼の最悪のペアワイズスコアで強く反対する有権者が少ないため 、 Cが勝者と宣言されます。

コンドルセットの勝者がいない例

4人の候補者A、B、C、およびDを想定します。投票者は一部の候補者を考慮しないことが許可されているため(表ではn / aを示します)、その候補者のペアワイズスコアには投票が考慮されません。

30人の有権者 15人の有権者 14人の有権者 6人の有権者 4人の有権者 16人の有権者 14人の有権者 3人の有権者
1. A 1. D 1. D 1. B 1. D 1. C 1. B 1. C
2. C 2. B 2. B 2. C 2. C 2.AとB 2. C 2. A
3. B 3. A 3. C 3. A 3.AとB
4. D 4. C 4. A 4. D
該当なしD 該当なしAおよびD 該当なしBおよびD

結果は次のように表にされます。

ペアワイズ選挙結果
バツ
A B C D
Y A [X] 35
[Y] 30
[X] 43
[Y] 45
[X] 33
[Y] 36
B [X] 30
[Y] 35
[X] 50
[Y] 49
[X] 33
[Y] 36
C [X] 45
[Y] 43
[X] 49
[Y] 50
[X] 33
[Y] 36
D [X] 36
[Y] 33
[X] 36
[Y] 33
[X] 36
[Y] 33
ペアワイズ選挙結果(勝ち負け): 2-0-1 2-0-1 2-0-1 0-0-3
最悪のペアワイズ敗北(勝利票): 35 50 45 36
最悪のペアワイズ敗北(マージン): 5 1 2 3
最悪のペアワイズ反対: 43 50 49 36
  • [X]は、行のキャプションにリストされている候補よりも列のキャプションにリストされている候補を好んだ有権者を示します
  • [Y]は、列のキャプションにリストされている候補よりも行のキャプションにリストされている候補を好んだ有権者を示します

結果:3つの選択肢のそれぞれが別の勝者を与えます:

  • 勝者の選択肢は、 Aを勝者として選択します。これは、Aが最大の敗北で勝者に対して35票という最低値を持っているためです。
  • マージンの選択肢は、彼の最大の敗北で投票の差が最も小さいため、勝者としてBを選択します。
  • ペアワイズの反対者は、コンドルセの敗者Dを勝者として選択します。これは、コンドルセの敗者Dが、すべてのペアワイズスコアの中で最大の対戦相手の投票数が最も少ないためです。

も参照してください

参照

  • レビン、ジョナサン、バリーネイルバフ。1995年。「開票スキームの紹介」。Journal of Economic Perspectives、9(1):3–26。

外部リンク