数学

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紀元前3世紀のギリシャの数学者ユークリッド（キャリパーを持っている）。ラファエロがアテナイの学堂（1509–1511）からこの詳細で想像したように[a]

数学（ギリシャ語から：μάθημα、máthēma、 '知識、研究、学習'）は、数（算術および数論）、[1]式および関連する構造（代数）などのトピックの研究を含む知識の領域です。 [2]それらが含まれる形状と空間（幾何学）、[1]と量とそれらの変化（微積分と分析）。[3] [4] [5]その正確な範囲または認識論的状態についての一般的なコンセンサスはありません。[6] [7]

数学的活動のほとんどは、抽象オブジェクトのプロパティを（純粋な推論によって）発見して証明することで構成されています。これらのオブジェクトは、自然からの抽象化（自然数や線など）、または（現代の数学では）公理と呼ばれる特定のプロパティが規定されている抽象エンティティのいずれかです。証明は、以前に証明された定理、公理、および（自然からの抽象化の場合）検討中の理論の真の出発点と見なされるいくつかの基本的な特性を含む、既知の結果への演繹規則の一連の適用で構成されます。証明の結果は、定理。

数学は、現象をモデル化するために科学で広く使用されています。これにより、実験法則から定量的な予測を抽出できます。たとえば、惑星の動きは、ニュートンの重力の法則と数学的計算を組み合わせて使用​​することで、高精度で予測できます。実験からの数学的真理の独立性は、そのような予測の精度が現実を記述するためのモデルの妥当性にのみ依存することを意味します。したがって、不正確な予測が発生した場合、それは数学が間違っているということではなく、モデルを改善または変更する必要があることを意味します。たとえば、水星の近点移動は、ニュートンの重力の法則では説明できませんが、正確には次のように説明されます。アインシュタインの一般相対性理論。アインシュタインの理論のこの実験的検証は、ニュートンの重力の法則が単なる近似であることを示しています（これは日常生活ではまだ非常に正確です）。

数学は、自然科学、工学、医学、金融、コンピュータサイエンス、社会科学など、多くの分野で不可欠です。統計やゲーム理論などの数学の一部の分野は、それらのアプリケーションと直接相関して開発されており、多くの場合、応用数学の名前でグループ化されています。他の数学分野は、アプリケーションとは独立して開発されています（したがって、純粋数学と呼ばれます）が、実際のアプリケーションは後で発見されることがよくあります。[8] [9]適切な例は、整数因数分解。これはEuclidに戻りますが、 RSA暗号システムで使用する前は実用的ではありませんでした（コンピューターネットワークのセキュリティのため）。

数学は、書かれた記録が存在する限り、人間の活動でした。ただし、「証明」の概念とそれに関連する「数学的厳密性」は、ギリシャの数学、特にユークリッド原論に最初に登場しました。[10]数学は、代数と微小微積分が数学の主要な領域として算術と幾何学に追加されたルネッサンスまで、比較的遅いペースで発展しました。それ以来、数学的革新と科学的発見の間の相互作用は、数学的発見の割合の急速な増加をもたらしました。19世紀の終わりに、数学の基礎論は、公理法の体系化につながりました。これにより、数学分野の数とその応用分野が劇的に増加しました。これの目撃者は数学科目分類であり、これは数学の60以上の第1レベルの領域をリストしています。

数学の分野

ルネッサンス以前は、数学は2つの主要な領域に分けられていました。数の操作に専念する算術と、形の研究に専念する幾何学です。数秘術や占星術など、数学と明確に区​​別されていない 疑似科学もありました。

ルネッサンス周辺には、2つの新しい主要エリアが登場しました。数学表記の導入は代数につながりました。代数は、大まかに言えば、数式の研究と操作で構成されています。微積分は、微小微積分と積分微積分の省略形であり、変化する量（変数）の変化と関係をモデル化する連続関数の研究です。この4つの主要な領域への分割は、19世紀の終わりまで有効でしたが、天体力学や弾性波などの一部の領域は有効でした。数学と見なされることが多かったが、現在は物理学に属すると見なされています。また、この期間に開発されたいくつかの主題は、確率論や組み合わせ論などの数学（異なるに分割されている）領域よりも前のものであり、後になってようやく独自の自律領域と見なされるようになりました。

19世紀の終わりに、数学の基礎的な危機とその結果としての公理的方法の体系化は、数学の分野の量の爆発をもたらしました。数学科目分類には、60を超える第1レベルの領域が含まれています。これらの領域のいくつかは、4つの主要な領域の古い部門に対応しています。これは、数論（より高い算術の現代的な名前）と幾何学の場合です。ただし、名前に「ジオメトリ」が含まれている、または一般にジオメトリに属する​​と見なされる、他のいくつかの第1レベルの領域があります。代数と微積分第1レベルの領域としては表示されませんが、それぞれがいくつかの第1レベルの領域に分割されます。他の第1レベルの領域は、20世紀以前にはまったく存在していなかったか（たとえば、圏論、相同代数、コンピューターサイエンス）、03：数理論理学と基礎（モデル理論、計算可能性理論を含む）などの数学とは見なされていませんでした。 、集合論、証明理論、および代数論理）。

数論

素数の分布は、数論の研究の中心です。このウラムの螺旋は、それを説明するのに役立ち、特に、素数であることと特定の2次多項式の値であることの間の条件付き独立性を示唆しています。

数論は、数、つまり自然数の操作から始まりました。 その後、整数に拡張されます と有理数 数論は以前は算術と呼ばれていましたが、現在ではこの用語は主に数を使った計算方法に使用されています。

数論の特異性は、非常に基本的に述べることができる多くの問題が非常に困難であり、解決されると、数学のさまざまな部分から来る非常に洗練された方法を必要とする解決策を持っているということです。注目すべき例は、1637年にピエール・ド・フェルマーによって述べられ、1994年にアンドリュー・ワイルズによってのみ証明されたフェルマーの最終定理であり、他のツールの中でも、代数幾何学（より具体的にはスキーム理論）、圏論、ホモロジー代数を使用しています。もう1つの例は、ゴールドバッハの予想です。これは、2より大きいすべての偶数の整数は、2つの素数の合計であると主張しています。。1742年にクリスチャンゴールドバッハによって述べられたが、かなりの努力にもかかわらず、それは証明されていないままである。

研究された問題と解決方法の多様性を考慮して、数論は現在、分析数論、代数数論、数の幾何学（方法指向）、ジオファンチン方程式、超越理論（問題指向）を含むいくつかのサブエリアに分割されています。

ジオメトリ

幾何学は、算術では、数学の最も古い分野の1つです。それは、主に測量と建築の必要性のために開発された、線、角度、円などの形状に関する経験的なレシピから始まりました。

基本的な革新は、古代ギリシャ人による証明の精緻化でした。たとえば、2つの長さが等しいことを測定によって検証するだけでは不十分です。このような特性は、以前に証明された結果（定理）と基本的な特性（証明の対象となるには基本的すぎるため（仮定））からの抽象的な推論によって証明する必要があります。すべての数学の基礎となるこの原理は、幾何学のために作成され、紀元前300年頃にユークリッドによって彼の著書Elementsで体系化されました。

結果として得られるユークリッド幾何学は、ユークリッド平面（平面幾何学）と（3次元）ユークリッド空間の線、平面、円から構築された形状とその配置の研究です。[b]

ユークリッド幾何学は、ルネデカルトが現在デカルト座標と呼ばれるものを導入した17世紀まで、方法や範囲を変更することなく開発されました。これはパラダイムの大きな変化でした。実数を線分の長さとして定義する代わりに（数直線を参照）、数（それらの座標）を使用して点を表現できるようになり、代数以降を使用して解くための計算が可能になったためです。幾何学的問題。この分割された幾何学は、それらの方法、純粋に幾何学的な方法を使用する合成幾何学、および分析幾何学によってのみ異なる2つの部分に分かれています、座標を体系的に使用します。

解析幾何学により、新しい形状、特に円や線に関連しない曲線の研究が可能になります。これらの曲線は、関数のグラフ（その研究が微分幾何学につながった）、または暗黙の方程式、多くの場合代数方程式（代数幾何学を生み出した）のいずれかによって定義されます。解析幾何学により、物理空間のモデルではなくなった3つを超える空間の次元を考慮することができます（3つを超える座標を考慮するだけで十分です）。

幾何学は19世紀に急速に拡大しました。主要な出来事は、平行線公準が放棄された幾何学である非ユークリッド幾何学の発見（19世紀の後半）でした。これは、ラッセルのパラドックスに加えて、前述の仮説の真理に疑問を投げかけることによる、数学の基礎的危機の出発点の1つです。危機のこの側面は、公理的方法を体系化することによって解決されました、そして選択された公理の真実は数学の問題ではないことを採用する。次に、公理的方法は、公理を変更することによって、または空間の特定の変換の下で不変である特性を考慮することによって得られるさまざまな幾何学の研究を可能にします。これにより、次のような多くのサブエリアとジオメトリの一般化が行われます。

ジオメトリで遭遇する形状の例

代数

代数は、方程式や数式を操作する技術と見なすことができます。Diophantus（3世紀）とAl-Khwarizmi（9世紀）は、代数の2つの主要な前兆でした。最初のものは、解を得るまで新しい関係を推論することによって、未知の自然数（つまり方程式）間のいくつかの関係を解決しました。2つ目は、方程式を変換するための体系的な方法を導入しました（方程式の一方の側からもう一方の側に項を移動するなど）。代数という用語は、彼が主な論文のタイトルでこれらの方法の1つに名前を付けるために使用したアラビア語に由来しています。

二次方程式は、すべての二次方程式の解を簡潔に表現します。

代数は、未知または不特定の数を表すために文字（変数）の使用を導入したFrançoisViète（1540–1603）によってのみ特定の領域になり始めました。これにより、変数で表される数値に対して実行する必要 のある操作を簡潔に説明できます。

19世紀まで、代数は主に、現在の線形代数と呼ばれる線形方程式と、代数方程式と呼ばれる単一の未知数の多項式の研究で構成されていました（あいまいかもしれませんが、まだ使用されている用語）。19世紀になると、変数は数値以外のもの（行列、モジュラー整数、幾何学的変換など）を表し始めました。これらの演算は、算術演算の一般化であることがよくあります。これに対処するために、代数的構造の概念要素が指定されていないセット、セットの要素に作用する操作、およびこれらの操作が従う必要のあるルールで構成されるが導入されました。したがって、代数の範囲は、本質的に代数的構造の研究になるために進化しました。この代数のオブジェクトは、現代代数または抽象代数と呼ばれ、後者の用語は、主に教育の文脈で、式を操作する古い方法に関係する 初等代数とは対照的に、今でも使用されています。

ルービックキューブ：その可能な動きの研究は群論の具体的な応用です

いくつかのタイプの代数的構造は、数学の多くの分野で有用であり、多くの場合基本的な特性を持っています。彼らの研究は、今日では代数の自律的な部分であり、次のものが含まれます。

数学的対象としての型代数的構造の研究は、普遍代数と圏論の対象です。後者はすべての数学的構造（代数構造だけでなく）に適用されます。その起源では、位相空間などの非代数オブジェクトの代数研究を可能にするホモロジー代数とともに導入されました。この特定のアプリケーション領域は、代数トポロジーと呼ばれます。

微積分と分析

以前は微小微積分と呼ばれていた微積分は、17世紀にニュートンとライプニッツによって独立して同時に導入されました。これは基本的に、一方が他方に依存するように、変数と呼ばれる2つの変化する量の関係の研究です。微積分は、18世紀にオイラーによって大幅に拡張され、関数の概念が導入され、他にも多くの結果が得られました。現在、「結石」は主にこの理論の基本的な部分を指し、「分析」は一般的に高度な部分に使用されます。

分析はさらに、変数が実数を表す実数分析と、変数が複素数を表す複素数分析に細分されます。現在、分析には多くのサブエリアがあり、一部は数学の他のエリアと共有されています。それらが含まれます：

離散数学

数理論理学と集合論

これらの科目は19世紀の終わりから数学に属しています。この期間以前は、集合は数学的対象とは見なされず、論理は数学的証明に使用されていましたが、哲学に属し、数学者によって具体的に研究されていませんでした。

ゲオルク・カントールによる無限集合の研究の前は、数学者は実際には無限であるコレクションを検討することを躊躇し、無限の列挙の結果として無限と見なされていました。Cantorの研究は、実際に無限集合を考慮するだけでなく、これがさまざまなサイズの無限大（Cantorの対角論を参照）と、計算できず、明示的に記述すらできない数学的対象の存在を意味することを示すことによって、多くの数学者を怒らせました（たとえば、有理数に対する実数のハメル基底）。これはにつながったCantorの集合論をめぐる論争。

同じ時期に、数学のさまざまな分野で、基本的な数学的対象の以前の直感的な定義は、数学的厳密性を保証するには不十分であることが明らかになりました。このような直感的な定義の例としては、「セットはオブジェクトのコレクション」、「自然数はカウントに使用されるもの」、「ポイントはすべての方向に長さがゼロの形状」、「曲線はによって残されたトレース」などがあります。移動点」など。

これが数学の基礎論の起源です。[11]それは、形式化された集合論の中で公理的方法を体系化することによって、数学の主流で最終的に解決されました。大まかに言えば、各数学的オブジェクトは、すべての類似したオブジェクトのセットと、これらのオブジェクトが持つ必要のあるプロパティによって定義されます。たとえば、ペアノ算術では、自然数「ゼロは数値である」、「各数値は一意の後続として」、「ゼロ以外の各数値には一意の先行があります」、およびいくつかの推論規則によって定義されます。このように定義されたオブジェクトの「性質」は、多くの数学者がこの性質について意見を持っていても、数学者が哲学者に任せる哲学的問題であり、彼らの意見（「直感」と呼ばれることもあります）を使用して、研究と証明の発見を導きます。

このアプローチにより、「論理」（つまり、許可された推論ルールのセット）、定理、証明などを数学的対象と見なし、それらに関する定理を証明することができます。たとえば、ゲーデルの不完全性定理は、大まかに言えば、自然数を含むすべての理論には、真である（より大きな理論で証明できる）が、理論内では証明できない定理があると主張しています。

数学の基礎のこのアプローチは、20世紀の前半に、排中律を排除する直観主義論理を推進し​​たLEJBrouwerが率いる数学者によって挑戦されました。

これらの問題と議論は、モデル理論（他の理論の中にいくつかの論理理論をモデル化する）、証明理論、型理論、計算可能性理論、計算複雑性理論などのサブエリアで、数理論理学の幅広い拡大につながりました。数理論理学のこれらの側面は、コンピューターが登場する前に導入されましたが、コンパイラー設計、プログラム認証、証明アシスタント、およびコンピューターサイエンスの他の側面での使用は、これらの論理理論の拡大に貢献しました。[12]

応用数学

応用数学は、科学、工学、ビジネス、および産業で一般的に使用される数学的方法に関係しています。したがって、「応用数学」は専門知識を持った数理科学です。応用数学という用語は、数学者が実際の問題に取り組む専門分野も表します。応用数学は、実践的な問題に焦点を当てた職業として、科学、工学、およびその他の数学の実践分野における「数理モデルの定式化、研究、および使用」に焦点を当てています。

過去において、実用化は数学的理論の開発を動機付け、それはその後、数学が主にそれ自身のために開発される純粋数学の研究の主題となった。このように、応用数学の活動は純粋数学の研究と非常に密接に関連しています。

統計およびその他の決定科学

応用数学は、その理論が数学的に定式化されている統計学の分野、特に確率論とかなり重複しています。統計学者（研究プロジェクトの一部として働いている）は、ランダムサンプリングとランダム化実験で「意味のあるデータを作成」します。[13]統計サンプルまたは実験の設計は、データの分析を指定します（データが利用可能になる前）。実験やサンプルからのデータを再検討するとき、または観察研究からのデータを分析するとき、統計家はモデリングの技術と推論の理論を使用して「データを理解する」-モデル選択と推定; 推定されたモデルと結果として生じる予測は、新しいデータでテストする必要があります。[c]

統計理論は、たとえば、パラメーター推定、仮説検定、および最良のものの選択などの手順を使用するなど、統計アクションのリスク（期待損失）を最小化するなどの決定問題を研究します。数理統計のこれらの従来の領域では、統計的決定問題は、特定の制約の下で、期待損失やコストなどの目的関数を最小化することによって定式化されます。たとえば、調査の設計には、特定の人口平均を推定するコストを最小化することが含まれることがよくあります。自信のレベル。[14]最適化を使用しているため、統計の数学的理論は、オペレーションズリサーチ、制御理論、数理経済学などの他の意思決定科学と懸念を共有しています。[15]

計算数学

計算数学は、人間の数値能力には通常大きすぎる数学的問題を解決するための方法を提案し、研究します。数値解析は、関数解析と近似理論を使用した解析の問題の方法を研究します。数値解析には、丸め誤差に特に焦点を当てた近似と離散化の研究が広く含まれています。数値解析、より広くは科学計算も、数学科学の非分析トピック、特にアルゴリズム-行列-およびグラフ理論を研究します。計算数学の他の分野には、数式処理と記号計算が含まれます。

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ゲーム理論 流体力学 数字的分析 最適化 確率論 統計学 暗号化
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数理ファイナンス 数理物理学 数理化学 数理生物学 数理経済学 制御理論

歴史

数学の歴史は、増え続ける一連の抽象化として見ることができます。進化論的に言えば、これまでに起こった最初の抽象化は、多くの動物によって共有されており[16]、おそらく数の抽象化でした。たとえば、2つのリンゴのコレクションと2つのオレンジのコレクションには共通点があるという認識です。つまり、メンバーの数です。骨に見られる集計によって証明されるように、先史時代の人々は、物理的なオブジェクトを数える方法を認識することに加えて、時間（日、季節、または年）などの抽象的な量を数える方法も認識した可能性があります。[17] [18]

紀元前1800年のバビロニアの数学タブレットPlimpton322。

より複雑な数学の証拠は、バビロニア人とエジプト人が課税やその他の財務計算、建築と建設、天文学に算術、代数、幾何学を使い始めた紀元前3000年頃まで現れません 。[19]メソポタミアとエジプトからの最も古い数学のテキストは、紀元前2000年から1800年までのものです。多くの初期のテキストはピタゴラスのトリプルに言及しているので、推論によれば、ピタゴラスの定理は、基本的な算術と幾何学に次ぐ最も古く、広く普及している数学的概念のようです。にあります初等算術（足し算、引き算、掛け算、割り算）が最初に考古学記録に登場するバビロニア数学。バビロニア人はまた、場所の価値体系を持っていて、角度と時間を測定するために今日でも使用されている六十進法の数字体系を使用していました。[20]

アルキメデスは、ここに示されている取り尽くし法を使用して、円周率の値を概算しました。

紀元前6世紀にピタゴラス教徒とともに始まり、ギリシャの数学とともに、古代ギリシャ人はそれ自体が主題として数学の体系的な研究を開始しました。[21]紀元前300年頃、ユークリッドは、定義、公理、定理、および証明からなる、今日でも数学で使用されている公理的方法を導入しました。彼の著書、Elementsは、これまでで最も成功し、影響力のある教科書と広く見なされています。[22]古代の最も偉大な数学者は、しばしばシラキュースのアルキメデス（紀元前287年から212年頃）であると考えられています。[23]彼は、回転体の表面積と体積を計算するための式を開発し、消耗法を使用して、現代の微積分とあまり異ならない方法で、無限級数の合計で放物線の弧の下の面積を計算しました。[24]ギリシャ数学の他の注目すべき成果は、円錐曲線（ペルガのアポロニウス、紀元前3世紀）、[25]三角法（ニカエアのヒッパルコス、紀元前2世紀）、[26]および代数の始まり（ディオファントス、紀元前3世紀）です。 ）。[27]

紀元前2世紀から紀元前2世紀までのバクシャーリー写本で使用されている数字。

今日世界中で使用されているヒンドゥーアラビア数字システムとその操作の使用規則は、インドの最初の千年紀の過程で進化し、イスラム数学を介して西側世界に伝達されました。インドの数学の他の注目すべき発展には、正弦と余弦の現代的な定義と近似、および無限級数の初期の形式が含まれます。

al-Khwārizmīの代数からのページ
インドの数学者によって1世紀から4世紀にかけて発明されたヒンドゥー・アラビア数字体系を西洋に紹介したイタリアの数学者、レオナルド・フィボナッチ。

イスラーム黄金時代、特に9世紀から10世紀にかけて、数学はギリシャの数学に基づいて多くの重要な革新を遂げました。イスラム数学の最も注目すべき成果は、代数の開発でした。イスラム時代の他の成果には、球面三角法の進歩とアラビア数字システムへの小数点の追加が含まれます。[28]この時代の多くの著名な数学者は、アル・クワリスミ、オマール・ハイヤーム、シャラフ・アル・ディン・アル・Ṭūsīなどのペルシア人でした。

近世の間に、数学は西ヨーロッパで加速するペースで発展し始めました。17世紀のアイザックニュートンとゴットフリートライプニッツによる微積分の開発は、数学に革命をもたらしました。レオンハルトオイラーは18世紀で最も著名な数学者であり、数多くの定理と発見に貢献しました。おそらく19世紀の第一人者の数学者は、代数、分析、微分幾何学、行列理論などの分野に多くの貢献をしたドイツの数学者カール・ガウスでした。数論、および統計。20世紀初頭、クルトゲーデルは不完全性定理を発表することで数学を変革しました。これは、一貫した公理システムが、算術を記述するのに十分強力である場合、証明できない真の命題を含むことを部分的に示しています。

それ以来、数学は大幅に拡張され、数学と科学の両方の利益のために、数学と科学の間に実りある相互作用がありました。数学的発見は今日まで続けられています。Mikhail B. Sevryukによると、アメリカ数学会紀要の2006年1月号で、「1940年（MRの運用の最初の年）以降にMathematicalReviewsデータベースに含まれる論文と本の数は現在1.9を超えています。毎年、100万、75,000を超えるアイテムがデータベースに追加されています。この海の作品の圧倒的多数には、新しい数学的理論とその証明が含まれています。」[29]

語源

数学という言葉は古代ギリシャ語の máthēma（μάθημα）に由来し、「学んだこと」[30]「何を知るか」、つまり「研究」と「科学」を意味します。「数学」という言葉は、古典時代でも「数学の研究」というより狭く、より技術的な意味を持つようになりました。[31]その形容詞はmathēmatikós（μαθηματικός）であり、「学習に関連する」または「スタジオ」を意味し、同様にさらに「数学」を意味するようになりました。特に、mathēmatikḗtékhnē（μαθηματικὴτέχνη ;ラテン語：）は「数学の芸術」を意味しました。

同様に、ピタゴラス教の2つの主要な考え方の1つは、 mathēmatikoi （μαθηματικοί）として知られていました。これは、当時、現代的な意味での「数学者」ではなく「学習者」を意味していました。

ラテン語、および1700年頃までの英語では、数学という用語は、より一般的には「数学」ではなく「占星術」（または「天文学」）を意味していました。意味は1500年から1800年頃に徐々に現在の意味に変わりました。これはいくつかの誤訳をもたらしました。たとえば、キリスト教徒は占星術師を意味する数学に注意する必要があるという聖アウグスティヌスの警告は、数学者の非難と誤解されることがあります。[32]

英語の見かけの複数形は、フランス語の複数形lesmathématiques（およびあまり一般的に使用されていない単数形の派生物 lamathématique ）のように、ギリシャ語の複数形tamathēmatiká（τὰμαθηματικά）に基づいて、ラテン語の中性複数形数学（Cicero ）に戻ります。Aristotle （紀元前384〜322年）によって使用され、大まかに「すべてのものは数学」を意味しますが、英語は、物理学と形而上学のパターンの後に、形容詞の数学（al）のみを借用し、新たに名詞の数学を形成したと考えられます。、ギリシャ語から継承されました。[33]英語では、名詞の数学は単数の動詞を取ります。多くの場合、数学、または北米では数学に短縮されます。[34]

数学の哲学

数学の正確な定義や認識論的状態についての一般的なコンセンサスはありません。[6] [7] アリストテレスは数学を「量の科学」と定義し、この定義は18世紀まで普及していました。ただし、アリストテレスは、量だけに焦点を当てても、数学と物理学などの科学を区別できない可能性があることにも言及しました。彼の見解では、実例から「思考で分離可能な」特性としての抽象化と研究量は、数学を際立たせています。[35]

19世紀になると、数学の研究が厳しくなり、量や測定と明確な関係がない群論や射影幾何学などの抽象的なトピックに取り組み始めたとき、数学者や哲学者はさまざまな新しい定義を提案し始めました。 。[36]

非常に多くのプロの数学者は、数学の定義に興味を持っていないか、それを定義できないと考えています。[6]数学が芸術であるか科学であるかについてのコンセンサスさえありません。[7]「数学は数学者がすることです」と言う人もいます。[6]

3つの主要なタイプ

今日の数学の3つの主要なタイプの定義は、論理主義者、直観主義者、および形式主義者と呼ばれ、それぞれが異なる哲学的思考の学校を反映しています。[37]すべてに重大な欠陥があり、広く受け入れられているものはなく、和解は不可能のようです。[37]

論理主義者の定義

論理学の観点からの数学の初期の定義は、ベンジャミン・パース（1870）の定義でした：「必要な結論を引き出す科学」。[38] Principia Mathematicaで、バートランドラッセルとアルフレッドノースホワイトヘッドは論理主義として知られる哲学プログラムを進歩させ、すべての数理概念、ステートメント、および原則が完全に記号論理の観点から定義および証明できることを証明しようとしました。数学の論理学者の定義の例は、ラッセル（1903）の「すべての数学は記号論理学です」です。[39]

直観主義者の定義

数学者LEJBrouwerの哲学から発展した直観主義者の定義は、特定の精神的現象を伴う数学を識別します。直観主義者の定義の例は、「数学は、構成を次々に実行することからなる精神的活動です」です。[37]直観主義の特徴は、他の定義によれば有効と見なされるいくつかの数学的アイデアを拒否することです。特に、他の数学の哲学では、構築できないものでも存在を証明できるオブジェクトが許可されていますが、直観主義では、実際に構築できる数学的オブジェクトのみが許可されています。直観主義者はまた、排中律の法則を拒否します（すなわち、）。このスタンスは、実行可能な証明方法として矛盾によって証明の1つの一般的なバージョンを拒否することを強制しますが、つまり、から、彼らはまだ推測することができますから。彼らのために、は厳密に弱いステートメントです。[40]

フォーマリストの定義

フォーマリストの定義は、その記号とそれらを操作するための規則で数学を識別します。Haskell Curryは、数学を単に「形式体系の科学」と定義しました。[41]正式なシステムとは、一連の記号またはトークンと、トークンを数式に組み合わせる方法に関するいくつかの規則です。フォーマルシステムでは、公理という言葉は「自明の真実」の通常の意味とは異なる特別な意味を持ち、特定のフォーマルシステムに含まれるトークンの組み合わせを指すために使用されます。システムのルール。

科学としての数学

数学者の王子として知られるカール・フリードリヒ・ガウス

ドイツの数学者カールフリードリヒガウスは、数学を「科学の女王」と呼んでいました。[42]最近では、マーカス・デュ・ソートイは数学を「科学の女王...科学的発見の背後にある主要な原動力」と呼んでいます。[43]哲学者カール・ポパーは、「ほとんどの数学理論は、物理学や生物学の理論と同様に、仮説演繹法である。したがって、純粋数学は、最近でも見られたよりも、推測である自然科学にはるかに近いことがわかった。 「」[44]ポッパーはまた、「経験によってテストできる場合にのみ、システムを経験的または科学的であると認める」と述べた。[45]

数学は、物理科学の多くの分野、特に仮定の論理的帰結の探求と多くの共通点を持っています。直観と実験は、数学と（他の）科学の両方で推測を定式化する上でも役割を果たします。実験数学は数学の中で重要性を増し続けており、計算とシミュレーションは科学と数学の両方でますます重要な役割を果たしています。

数人の著者は、数学は経験的証拠に依存していないため、科学ではないと考えています。[46] [47] [48] [49] この問題に関する数学者の意見はさまざまです。多くの数学者[50]は、自分たちの領域を科学と呼ぶことは、その美的側面の重要性と、伝統的な7つの教養におけるその歴史を軽視することであると感じています。科学とのつながりを無視することは、数学とその科学および工学への応用との間のインターフェースが数学の多くの発展を推進しているという事実に目をつぶることであると考える人もいます。[51]この視点の違いが現れる1つの方法は、数学が（芸術のように）作成されたのか（科学のように）発見されたのかに関する哲学的議論にあります。実際には、数学者は通常、グロスレベルでは科学者とグループ化されますが、より細かいレベルでは分離されます。これは、数学の哲学で考慮されている多くの問題の1つです。[52]

インスピレーション、純粋な応用数学、そして美学

アイザック・ニュートン
ゴットフリート・ヴィルヘルム・フォン・ライプニッツ
アイザックニュートン（左）とゴットフリートウィルヘルムライプニッツは、微小微積分を開発しました。

数学はさまざまな種類の問題から生じます。最初、これらは商業、土地測定、建築、そして後に天文学で発見されました。今日、すべての科学は数学者によって研究された問題を提起し、多くの問題が数学自体の中で発生します。たとえば、物理学者の リチャードファインマンは、数学的推論と物理的洞察の組み合わせを使用して量子力学の経路積分定式化を発明しました。今日の弦理論は、自然の4つの基本的な力を統合しようとする、まだ発展途上の科学理論であり、刺激を与え続けています。新しい数学。[53]

いくつかの数学は、それを刺激した領域にのみ関連し、その領域のさらなる問題を解決するために適用されます。しかし、多くの場合、1つの領域に触発された数学は、多くの領域で有用であることが証明され、数学の概念の一般的なストックに加わります。多くの場合、純粋数学と応用数学は区別されます。ただし、純粋数学のトピックには、暗号化の数論などのアプリケーションがあることがよくあります。

「最も純粋な」数学でさえ実用的であることがしばしば判明するというこの注目すべき事実は、物理学者のユージン・ウィグナーが「数学の不合理な有効性」と名付けたものです。[9]数学の哲学者 マーク・シュタイナーはこの問題について広範囲にわたって執筆しており、数学の適用可能性が「自然主義への挑戦」を構成することを認めています。[54]数学の哲学者メアリー・レンにとって、物理的な世界が宇宙の向こうに存在する非因果的な数学の実体の指示に従って行動するという事実は「幸せな偶然の一致」です。[55]一方、 、数学的なものの間で獲得される接続は、宇宙のオブジェクト間で獲得される接続を反映しているだけなので、「幸せな偶然の一致」はありません。[55]

ほとんどの研究分野と同様に、科学の時代における知識の爆発的増加は専門化につながりました。現在、数学には何百もの専門分野があり、最新の数学科目分類は46ページに及びます。[56]応用数学のいくつかの分野は、数学以外の関連する伝統と融合し、統計学、オペレーションズリサーチ、コンピューターサイエンスなど、それ自体が分野となっています。

数学に傾倒している人にとって、数学の多くには明確な美的側面があることがよくあります。多くの数学者は、数学の優雅さ、その本質的な美学、そして内面の美しさについて話します。シンプルさと一般性が評価されます。素数が無限にあるというユークリッドの証明のようなシンプルでエレガントな証明と、高速フーリエ変換のような計算を高速化するエレガントな数値法には美しさがあります。ある数学者の謝罪のGHハーディこれらの美的考察は、それ自体で純粋数学の研究を正当化するのに十分であるという信念を表明した。彼は、数学的美学に寄与する要因として、重要性、予期せぬこと、必然性、経済性などの基準を特定しました。[57]数学的研究は、しばしば数学的対象の重要な特徴を探求します。これらの特徴によってオブジェクトの特性として表現される定理が賞です。特に簡潔で啓示的な数学的議論の例は、 THEBOOKのProofsに掲載されています。

レクリエーション数学の人気は、数学の問題を解くことで多くの人が見つける喜びのもう1つの兆候です。他の社会的極端では、哲学者は、数学の証明の性質など、数学の哲学に問題を見つけ続けています。[58]

表記法、言語、および厳密さ

レオンハルトオイラーは、今日使用されている数学表記の多くを作成して普及させました。

現在使用されている数学表記のほとんどは、15世紀以降に発明されました。[59]それ以前は、数学は言葉で書かれており、数学的な発見を制限していた。[60] オイラー（1707–1783）は、これらの表記法の多くに責任がありました。現代の記法は数学を専門家にとって効率的にしますが、初心者はしばしばそれを気が遠くなるように感じます。

数学的言語は、日常のスピーチよりも、またはなどの通常の単語に対してより正確な意味を提供します。オープンやフィールドなどの他の用語は、同時に正確であり、数学にのみ存在する特定の概念も指します。数学言語には、同相写像や積分可能など、数学以外では意味のない多くの専門用語も含まれています。さらに、 「if andonlyif」のiffなどの省略句は数学用語に属します。この特別な表記法と技術用語は正確かつ簡潔であり、非常に複雑なアイデアに取り組むことができます。数学者は、この言語と論理の精度を「厳密」と呼んでいます。

数学的証明の有効性は基本的に厳密さの問題です。数学者は、体系的な推論によって公理から定理に従うことを望んでいます。これは、数学の歴史の中で何度も生じてきた、誤った直感に基づく誤った「定理」を回避するためです。[d]数学に期待される厳密さは時間とともに変化しました。ギリシャ人は詳細な議論を期待していましたが、 アイザックニュートンの全盛期には、採用された方法はそれほど厳密ではありませんでした。ニュートンによって使用された定義に固有​​の問題は、19世紀に注意深い分析と形式的な証明の復活につながりました。厳密さの誤解は、数学の一般的な誤解のいくつかの注目すべき原因です。

数学の簡潔さにもかかわらず、多くの証明は表現するのに何百ページも必要とします。コンピュータ支援証明の出現により、証明の長さはさらに拡大しました。証明ソフトウェアに欠陥があり、それらが長く、チェックが難しい場合、支援された証明は誤っている可能性があります。[e] [61]一方、証明アシスタントは、手書きの証明では提供できない詳細の検証を可能にし、255ページのFeit-Thompsonのような長い証明の正確さの確実性を提供します。定理。[f]

伝統的に、公理は「自明の真実」と考えられていました。[62]しかし、正式なレベルでは、公理は単なる記号の文字列であり、公理システムの導出可能な公式の文脈でのみ本質的な意味を持ちます。ヒルベルトのプログラムは、数学を確固たる公理に基づいて配置しようとしましたが、ゲーデルの不完全性定理はそれを覆し、すべての（十分に強力な）公理システムが決定不可能な公式を持っていることを示しています。したがって、数学の公理化は不可能です。それにもかかわらず、数学は（その正式な内容に関しては）集合論に過ぎないと想像されることがよくあります。いくつかの公理化では、すべての数学的ステートメントまたは証明を集合論内の公式にキャストできるという意味で。[63]

賞

フィールズ賞の表側

おそらく数学で最も権威のある賞はフィールズ賞であり[64] [65]、1936年に設立され、4年ごと（第二次世界大戦前後を除く）に4人もの個人に授与されます。フィールズ賞はしばしば[誰によって？]数学的にはノーベル賞に相当します。

1978年に創設されたウルフ賞数学部門[66] は、生涯にわたる功績を称え[要出典]、もう1つの主要な国際賞であるアーベル賞は2002年に創設され[67]、2003年に最初に授与されました。[68]チャーン賞生涯[要出典]の達成を認めるために2010年に導入されました。[69]これらの称賛は、革新的であるか、確立された分野の未解決の問題に対する解決策を提供する可能性のある特定の一連の作業を評価して授与されます。

「ヒルベルトの問題」と呼ばれる23の未解決の問題の有名なリストは、1900年にドイツの数学者DavidHilbertによって編集されました。[70]このリストは、数学者の間で有名人を獲得し[要出典]、少なくとも13の問題が解決されました。[70] 「ミレニアム賞問題」と題された7つの重要な問題の新しいリストが2000年に発表された。そのうちの1つ、リーマン予想だけがヒルベルトの問題の1つを複製している。これらの問題のいずれかに対する解決策には、100万ドルの見返りがあります。[71]現在、これらの問題の1つ、ポアンカレ予想は解決されました。[72]

も参照してください

ノート

  1. ^ ユークリッドの生涯の間に作られた容貌の類似性や説明は、古代を生き延びたものではありません。したがって、芸術作品におけるユークリッドの描写は、芸術家の想像力に依存します（ユークリッドを参照）。
  2. ^ これには、円柱と平面の交点である円錐曲線が含まれます。
  3. ^ 物理学やコンピュータサイエンスなどの他の数理科学と同様に、統計は応用数学の分野ではなく、自律的な分野です。研究物理学者やコンピューター科学者のように、研究統計学者は数学科学者です。多くの統計家は数学の学位を持っており、一部の統計家も数学者です。
  4. ^ 非公式の証明で何がうまくいかないかの簡単な例については、偽の証明を参照
  5. ^ 証明で発生する大規模な計算を信頼できると見なすには、通常、独立したソフトウェアを使用して2回の計算が必要です。
  6. ^ 完全な証明を含む本は1,000ページ以上あります。

参考文献

  1. ^ a b "数学、n。 "。オックスフォード英語辞典。オックスフォード大学出版局。2012年。 2019年11月16日のオリジナルからアーカイブ。2012年6月16日取得。空間、数、量、配置の科学。その方法には論理的推論と通常は記号表記の使用が含まれ、幾何学、算術、代数、分析が含まれます。
  2. ^ ニーボーン、GT（1963）。数理論理学と数学の基礎：入門調査。ドーバー。p。4. ISBN 978-0-486-41712-7。数学...は、単に抽象的な構造、または接続性の形式的なパターンの研究です。
  3. ^ LaTorre、Donald R。; ケネリー、ジョンW。; Biggers、Sherry S。; カーペンター、ローレルR。; リード、アイリスB。; ハリス、シンシアR.（2011）。微積分の概念：変化の数学への非公式なアプローチ。センゲージラーニング。p。2. ISBN 978-1-4390-4957-0。微積分は変化の研究です—物事がどのように変化するか、そしてそれらがどれほど速く変化するか。
  4. ^ ラマナ（2007）。応用数学。タタマグロウヒルエデュケーション。p。2.10。ISBN 978-0-07-066753-2。変化、運動、成長または崩壊の数学的研究は微積分です。
  5. ^ Ziegler、GünterM。（2011）。「数学とは？」。数学への招待：競技会から研究まで。スプリンガー。p。vii。ISBN 978-3-642-19532-7。
  6. ^ a b c d Mura、Roberta（1993年12月）。「数理科学の大学教師によって開催された数学の画像」。数学の教育研究。25（4）：375–85。土井：10.1007 / BF01273907。JSTOR3482762。_ S2CID122351146。_  
  7. ^ a b c Tobies、Renate＆Helmut Neunzert（2012）。アイリス・ルンゲ：数学、科学、産業の交差点での生活。スプリンガー。p。9. ISBN 978-3-0348-0229-1。[私]最初に、数学一般が何を意味するのかを尋ねる必要があります。著名な学者たちは、顔が青くなるまでこの問題について議論してきましたが、数学が自然科学なのか、人文科学の一分野なのか、芸術形式なのかについては、コンセンサスが得られていません。
  8. ^ Peterson 2001、p。12.12。
  9. ^ a b ウィグナー、ユージン（1960）。「自然科学における数学の不当な有効性」。純粋数学と応用数学に関するコミュニケーション。13（1）：1–14。Bibcode：1960CPAM ... 13 .... 1W。土井：10.1002 /cpa.3160130102。2011年2月28日にオリジナルからアーカイブされました。
  10. ^ ワイズ、デビッド。「エウドクソスのユークリッド原論への影響と、取り尽くし法の詳細」。jwilson.coe.uga.edu。2019年6月1日にオリジナルからアーカイブされました。2019年10月26日取得。
  11. ^ ルーク・ハワード・ホジキン＆ルーク・ホジキン、数学史、オックスフォード大学出版局、2005年。
  12. ^ ハルパーン、ジョセフ; ハーパー、ロバート; イマーマン、ニール; 大腸炎、フォーキオン; ヴァルディ、モシェ; ヴィアーヌ、ビクター（2001）。「コンピュータサイエンスにおける論理の異常な有効性について」（PDF）。2021年1月15日取得。
  13. ^ Rao、CR（1997） Statistics and Truth：Putting Chance to Work、WorldScientific。ISBN 978-981-02-3111-8 
  14. ^ ラオ、CR（1981）。"序文"。アーサナリでは、TS; ドッジ、ヤドラ（編）。統計学における数理計画法。確率と数理統計学のWileyシリーズ。ニューヨーク：ワイリー。pp。vii–viii。ISBN 978-0-471-08073-2。MR0607328 。_
  15. ^ Whittle（1994、pp。10–11、14–18）： Whittle、Peter（1994）。「ほぼ家」。ケリーでは、FP（編）。確率、統計、および最適化：Peter Whittleへのトリビュート（以前は「実現されたパス：1993年までのケンブリッジ統計研究所（2002年改訂）」編）。チチェスター：ジョン・ワイリー。pp。1–28。ISBN 978-0-471-94829-2。2013年12月19日にオリジナルからアーカイブされました。
  16. ^ デハーネ、スタニスラス; デハーネ-ランベルツ、ジスレーヌ; コーエン、ローラン（1998年8月）。「動物と人間の脳の数の抽象的な表現」。神経科学の動向。21（8）：355–61。土井：10.1016 / S0166-2236（98）01263-6。PMID9720604。_ S2CID17414557。_  
  17. ^ たとえば、 Raymond L. Wilder、 Evolution of MathematicalConceptsを参照してください。小学校の研究、 passim
  18. ^ Zaslavsky、クローディア。（1999）。アフリカの数：アフリカ文化の数とパターン。シカゴレビュープレス。ISBN 978-1-61374-115-3。OCLC843204342 。_ 2021年3月31日にオリジナルからアーカイブされました。2020年5月29日取得。
  19. ^ Kline 1990、第1章。
  20. ^ Boyer 1991、「メソポタミア」pp。24–27。
  21. ^ ヒース、トーマス・リトル（1981）[1921]。ギリシャ数学の歴史：タレスからユークリッドまで。ニューヨーク：ドーバー出版。p。1.ISBN _ 978-0-486-24073-2。
  22. ^ Boyer 1991、「アレクサンドリアのユークリッド」p。119。
  23. ^ Boyer 1991、「シラキュースのアルキメデス」p。120。
  24. ^ Boyer 1991、「シラキュースのアルキメデス」p。130。
  25. ^ Boyer 1991、「ペルガのアポロニウス」p。145。
  26. ^ Boyer 1991、「ギリシャの三角法と測定」p。162。
  27. ^ Boyer 1991、「ギリシャ数学の復活と衰退」p。180。
  28. ^ サリバ、ジョージ。（1994）。アラビアの天文学の歴史：イスラムの黄金時代の惑星理論。ニューヨーク大学出版局。ISBN 978-0-8147-7962-0。OCLC28723059 。_ 2021年3月31日にオリジナルからアーカイブされました。2020年5月29日取得。
  29. ^ Sevryuk 2006、pp。101–09。
  30. ^ 「数学（n。）」。オンライン語源辞書。2013年3月7日にオリジナルからアーカイブされました。
  31. ^ 両方の意味は、2021年2月24日にアーカイブされた共和国510cのより狭いプラトンのウェイバックマシンで見つけることができますが、プラトンは数学の言葉を使用しませんでしたアリストテレスはそれについてコメントしました。μαθηματική。リデル、ヘンリー・ジョージ; スコット、ロバート; ペルセウス電子図書館でのギリシャ語-英語レキシコン。OED Online、「数学」。
  32. ^ Boas、Ralph（1995）[1991]。「オーガスティンが数学者について言わなかったこと」。ライオンハンティングとその他の数学的追求：ラルフP.ボアスジュニア後期による数学、詩、物語のコレクション。ケンブリッジ大学出版局。p。257. ISBN 978-0-88385-323-8。2020年5月20日にオリジナルからアーカイブされました。2018年1月17日取得。
  33. ^ オックスフォード英語語源辞典、オックスフォード英語辞典、サブ「数学」、「数学」、「数学」
  34. ^ "maths、n。 "および"math、n.3 " 2020年4月4日、 WaybackMachineでアーカイブされました。オックスフォード英語辞典、オンライン版（2012）。
  35. ^ フランクリン、ジェームズ（2009年7月8日）。数学の哲学。pp。104–106。ISBN 978-0-08-093058-9。2015年9月6日にオリジナルからアーカイブされました。2020年7月1日取得。
  36. ^ カジョリ、フロリアン（1893）。数学の歴史。アメリカ数学会（1991年再版）。pp。285–86。  _ ISBN 978-0-8218-2102-2。
  37. ^ a b c スナッパー、エルンスト（1979年9月）。「数学における3つの危機：論理主義、直観主義、形式主義」。数学雑誌。52（4）：207–16。土井：10.2307 / 2689412。JSTOR2689412。_ 
  38. ^ パース、ベンジャミン（1882）。線形結合多元環。ヴァンノストランド。p。 1。
  39. ^ ラッセル、バートランド（1903）。数学の原則。p。 5 。2015年6月20日取得。
  40. ^ Iemhoff、Rosalie（2020年3月4日）。ザルタ、エドワードN.（編）。数学の哲学における直観主義。スタンフォード大学形而上学研究所。2021年3月31日にオリジナルからアーカイブされました。2021年3月4日、スタンフォード哲学百科事典を介して取得。
  41. ^ Haskell Brooks Curry（1951）。数学の形式主義哲学の概要。エルゼビア。p。56. ISBN 978-0-444-53368-5。 56ページの抜粋
  42. ^ Waltershausen 1965、p。79。
  43. ^ du Sautoy、マーカス（2010年6月25日）。「ニコラ・ブルバキ」。数学の簡単な歴史。イベントは分に発生します。12:50。BBCラジオ4。2016年12月16日のオリジナルからアーカイブ。2017年10月26日取得。
  44. ^ Popper 1995、p。56。
  45. ^ ポパー、カール（2002）[ 1959 ]。科学的発見の論理。アビンドンオンテムズ：ラウトレッジ。p。[18]。ISBN 978-0-415-27843-0。 {{cite book}}：（ヘルプ）の外部リンク|orig-year=
  46. ^ 司教、アラン（1991）。「環境活動と数学的文化」。数学的教育：数学教育に関する文化的展望。マサチューセッツ州ノーウェル：Kluwer Academic Publishers pp。20–59。ISBN 978-0-792-31270-3。2020年12月25日にオリジナルからアーカイブされました。2020年4月5日取得。
  47. ^ シャシャ、デニスエリオット; Lazere、Cathy A.（1998）。彼らの心から：15人の偉大なコンピューター科学者の生活と発見。スプリンガー。p。228。
  48. ^ Nickles、Thomas（2013）。「境界の問題」。疑似科学の哲学：境界問題の再考。シカゴ：シカゴ大学出版局。p。104。
  49. ^ ピグリウッチ、マッシモ（2014）。「 『他の』知る方法はありますか？」。今の哲学。2020年5月13日にオリジナルからアーカイブされました。2020年4月6日取得。
  50. ^ たとえば、バートランドラッセルの「数学は、正しく見れば、真実だけでなく、最高の美しさも持っている...」という彼の西洋哲学の歴史の記述を参照してください。
  51. ^ 「適用される科学チェックリスト：数学」。undsci.berkeley.edu。2019年10月27日にオリジナルからアーカイブされました。2019年10月27日取得。
  52. ^ ボレル、アルマン（2017年3月）。「数学：芸術と科学」。EMSニュースレター。3（103）：37–45。土井：10.4171 / news / 103/8。ISSN1027-488X。_ 
  53. ^ Meinhard E. Mayer（2001）。「ファインマン積分とファインマンの演算子法」。今日の物理学。54（8）：48。Bibcode：2001PhT .... 54h..48J。土井：10.1063 /1.1404851。
  54. ^ シュタイナー、マーク（1998）。哲学的問題としての数学の適用可能性。マサチューセッツ州ケンブリッジ：ハーバード大学出版局。p。176. ISBN 0674043987。
  55. ^ a b Leng、Mary（2010）。数学と現実。オックスフォード大学出版局。p。239. ISBN 978-0199280797。
  56. ^ 「数学科目分類2010」（PDF）。2011年5月14日のオリジナルからアーカイブ（PDF）。2010年11月9日取得。
  57. ^ ハーディ、GH（1940）。数学者の謝罪。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-42706-7。
  58. ^ ゴールド、ボニー; シモンズ、ロジャースA.（2008）。証明とその他のジレンマ：数学と哲学。MAA。
  59. ^ 「さまざまな数学記号の初期の使用」。2016年2月20日にオリジナルからアーカイブされました。2014年9月14日取得。
  60. ^ Kline 1990、p。140、ディオファンタスについて; p。261、 Vietaで。
  61. ^ Ivars Peterson、 The Mathematical Tourist 、 Freeman、1988、 ISBN978-0-7167-1953-3。p。4「コンピュータプログラムが正しく検証できないと不満を言う人もいます」（四色定理のHaken-Apple証明を参照）。 
  62. ^ 「私たちが望むものを「仮定する」方法には多くの利点があります。それらは、正直な労苦に対する盗難の利点と同じです。」バートランドラッセル（1919）、数学的哲学入門、ニューヨークとロンドン、 p。71. 2015年6月20日、 WaybackMachineでアーカイブ
  63. ^ Patrick Suppes、 Axiomatic Set Theory、Dover、1972、 ISBN978-0-486-61630-8。p。1、「現代の数学の集合論の多くの分野の中で、ユニークな場所を占めています。いくつかのまれな例外を除いて、数学で研究および分析されるエンティティは、特定のセットまたはオブジェクトのクラスと見なされる場合があります。」 
  64. ^ Monastyrsky 2001、p。1：「フィールズ賞は今や数学で最も有名で最も影響力のある賞です。」
  65. ^ Riehm 2002、pp。778–82。
  66. ^ 「ウルフ賞」。ウルフ財団。2020年1月12日にオリジナルからアーカイブされました。2022年1月23日取得。
  67. ^ 「アーベル賞について|アーベル賞」。abelprize.no 。2022年1月23日取得。
  68. ^ 「アーベル賞|数学賞|ブリタニカ」。www.britannica.com 。2022年1月23日取得。
  69. ^ 「チャーン賞|国際数学連合（IMU）」。www.mathunion.org 。2022年1月23日取得。
  70. ^ a b 「ヒルベルトの問題：23と数学」。サイモンズ財団。2020年5月6日。2022年1月23日取得。
  71. ^ 「ミレニアム賞の問題|クレイ数学研究所」。www.claymath.org 。2022年1月23日取得。
  72. ^ 「ミレニアム問題|クレイ数学研究所」。www.claymath.org 。2022年1月23日取得。

参考文献

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