ローパスフィルタ

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ローパスフィルター選択したカットオフ周波数よりも低い周波数信号通過させ、カットオフ周波数よりも高い周波数の信号減衰させるフィルターです。フィルタの正確な周波数応答は、フィルタの設計によって異なります。このフィルターは、オーディオアプリケーションではハイカットフィルターまたはトレブルカットフィルターと呼ばれることもあります。ローパスフィルターは、ハイパスフィルターを補完するものです

光学では、ハイパスローパスは、光の周波数と波長のどちらを参照しているかによって、これらの変数が反比例するため、異なる意味を持つ場合があります。ハイパス周波数フィルターはローパス波長フィルターとして機能し、その逆も同様です。このため、ハイパス周波数とローパス周波数に対応する混乱を避けるために、波長フィルターをショートパスおよびロングパス呼ぶことをお勧めします。[1]

ローパスフィルターは、オーディオ使用されるヒスフィルターなどの電子回路、アナログからデジタルへの変換前に信号を調整するためのアンチエイリアシングフィルター、データセットを平滑化するためのデジタルフィルター、音響バリア、ブラーなど、さまざまな形式で存在します。画像の、など。金融などの分野で使用される移動平均演算は、特定の種類のローパスフィルターであり、他のローパスフィルターで使用されるのと同じ信号処理技術で分析できます。ローパスフィルターは、より滑らかな形式の信号を提供し、短期的な変動を取り除き、長期的な傾向を残します。

フィルタ設計者は、多くの場合、プロトタイプフィルタとしてローパスフォームを使用しますつまり、帯域幅とインピーダンスが1のフィルターです。必要なフィルターは、必要な帯域幅とインピーダンスに合わせてスケーリングし、目的の帯域形式(ローパス、ハイパス、バンドパス、またはバンドストップ)に変換することによってプロトタイプから取得されます。

ローパスフィルターの例は、音響、光学、電子機器で発生します。

堅い物理的障壁は、より高い音の周波数を反射する傾向があるため、音を伝達するための音響ローパスフィルターとして機能します。別の部屋で音楽を演奏しているときは、低音が聞こえやすく、高音は減衰します。

同じ機能を持つ光学フィルターは、正しくローパスフィルターと呼ぶことができますが、混乱を避けるために、従来はロングパスフィルター(低周波数は長波長)と呼ばれていました。[2]

電圧信号用の電子ローパスRCフィルタでは、入力信号の高周波は減衰しますが、フィルタは、 RC時定数によって決定されるカットオフ周波数より下ではほとんど減衰しません。電流信号の場合、抵抗とコンデンサを並列に使用する同様の回路が同様に機能します。(以下で詳細に説明する分流の法則を参照ください。)

電子ローパスフィルターは、サブウーファーや他のタイプのラウドスピーカーへの入力に使用され、効率的に再現できない高音域をブロックします。無線送信機は、ローパスフィルターを使用して、他の通信に干渉する可能性のある高調波放射をブロックします。多くのエレキギターのトーンノブは、サウンドの高音域の量を減らすために使用されるローパスフィルターです。積分器は、別の定数ローパスフィルターです。[3]

DSLスプリッターを備えた電話回線は、ローパスフィルターとハイパスフィルターを使用して、同じペアのワイヤーを共有するDSL信号とPOTS信号を分離します。[4] [5]

ローパスフィルターは、アナログおよび仮想アナログシンセサイザーによって作成されたサウンドのスカルプティングでも重要な役割を果たします。減算方式シンセシスを参照してください

ローパスフィルターは、サンプリング前のアンチエイリアシングフィルターとして、およびデジタルからアナログへの変換での再構成に使用されます。

理想的で実際のフィルター

sinc関数、理想的なローパスフィルター時間領域インパルス応答。
1次(1極)ローパスフィルターのゲイン振幅周波数応答。パワーゲインはデシベルで表示されます(つまり、3 dBの低下は、追加のハーフパワー減衰を反映します)。角周波数は、ラジアン/秒の単位で対数目盛で表示されます。

理想的なローパスフィルターは、カットオフ周波数より上のすべての周波数を完全に除去し、それより下の周波数は変更せずに通過させます。その周波数応答矩形関数であり、ブリックウォールフィルターです。実際のフィルターに存在する遷移領域は、理想的なフィルターには存在しません。理想的なローパスフィルターは、信号に周波数領域の矩形関数、または同等に、時間領域のインパルス応答であるsinc関数との畳み込みを乗算することにより、数学的に(理論的に)実現できます。

ただし、理想的なフィルターは、時間の無限の範囲の信号がないと実現できません。したがって、sinc関数のサポート領域は過去と未来のすべての時間に及ぶため、通常、実際の進行中の信号について近似する必要があります。したがって、畳み込みを実行するには、フィルターに無限の遅延、または無限の未来と過去の知識が必要になります。これは、過去と未来へのゼロの拡張を想定することによって、またはより一般的には信号を繰り返してフーリエ解析を使用することによって、事前に録音されたデジタル信号に対して効果的に実現できます。

リアルタイムアプリケーション用の実際のフィルターは無限インパルス応答を切り捨ててウィンドウ処理し、有限インパルス応答を作成することにより、理想的なフィルターを近似します。そのフィルターを適用するには、信号を適度な時間遅延させる必要があります。これにより、計算で将来を少し「見る」ことができます。この遅延は、位相シフトとして現れます。近似の精度が高いほど、遅延が長くなります。

理想的なローパスフィルターは、ギブズ現象を介してリンギングアーティファクトをもたらします。これらは、ウィンドウ関数を選択することで軽減または悪化させることができます。実際のフィルターの設計と選択には、これらのアーティファクトの理解と最小化が含まれます。たとえば、信号の再構築では、「[sincの]単純な切り捨てにより、深刻なリンギングアーティファクトが発生します」。これらのアーティファクトを減らすために、「エッジでよりスムーズにドロップする」ウィンドウ関数を使用します。[6]

Whittaker-Shannon補間式、完全なローパスフィルターを使用して、サンプリングされたデジタル信号から連続信号を再構築する方法を説明しています。実際のデジタル-アナログコンバーターは、実際のフィルター近似を使用します。

時間応答

ローパスフィルターの時間応答は、単純なローパスRCフィルターへの応答を解くことによって求められます。

シンプルなローパスRCフィルター

キルヒホッフの法則を使用して、微分方程式[7]に到達します。

ステップ入力応答例

させたら大きさの階段関数であるその場合、微分方程式は解を持ちます[8]

どこはフィルターのカットオフ周波数です。

周波数応答

回路の周波数応答を特徴付ける最も一般的な方法は、そのラプラス変換[7]伝達関数を見つけることです。微分方程式のラプラス変換を取り、我々が得る

離散時間サンプリングによる差分方程式

離散差分方程式は、上記のステップ入力応答を次の一定の間隔でサンプリングすることによって簡単に取得できます。どこサンプル間の時間です。私たちが持っている2つの連続したサンプルの違いを取る

解決する我々が得る

どこ

表記を使用する、およびサンプル値を代入して、、差分方程式を取得します

エラー分析

差分方程式から再構成された出力信号を比較すると、、ステップ入力応答に対して、、正確な再構成があることがわかります(0%エラー)。これは、時不変入力に対して再構築された出力です。ただし、入力が時変である場合、、このモデルは、入力信号を持続時間のある一連のステップ関数として近似します再構成された出力信号にエラーが発生します。時変入力から生成されるエラーは、[要出典]を定量化するのは困難ですが、次のように減少します。

離散時間の実現

多くのデジタルフィルターは、ローパス特性を与えるように設計されています。無限インパルス応答有限インパルス応答の両方のローパスフィルター、およびフーリエ変換を使用するフィルターが広く使用されています。

単純な無限インパルス応答フィルター

無限インパルス応答ローパスフィルターの効果は、時間領域でのRCフィルターの動作を分析し、モデル を離散化することにより、コンピューター上でシミュレートできます。

シンプルなローパスRCフィルター

キルヒホッフの法則と静電容量の定義によると、右の回路図から

 

 

 

 

V

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

どこは時間tでコンデンサに蓄積された電荷 です。Qを式Iに代入すると、次のようになります。、これは式Vに代入できるため、

この方程式は離散化できます。簡単にするために、入力と出力のサンプルは、次の間隔で等間隔​​の時点で取得されると仮定します。時間。のサンプルをしましょうシーケンスで表されます、そしてシーケンスで表されます、同じ時点に対応します。これらの置換を行うと、

項を並べ替えると、漸化式が得られます

つまり、単純なRCローパスフィルターのこの離散時間実装は、指数関数的に重み付けされた移動平均です。

定義上、平滑化係数 αの式 は、サンプリング周期に関して 同等の時定数 RCを生成します。および平滑化係数 α

それを思い出して

それで

αとに注意 してくださいによって関連している、

α = 0.5の場合 、 RC時定数はサンプリング周期に等しくなります。もしも、その場合、RC はサンプリング間隔よりも大幅に大きくなります。

フィルタの漸化式は、入力サンプルと先行する出力の観点から出力サンプルを決定する方法を提供します。次の擬似コードアルゴリズムは、一連のデジタルサンプルに対するローパスフィルターの効果をシミュレートします。

//入力サンプルを指定して、RCローパスフィルターの出力サンプルを返します。
//時間間隔dt、および時定数RC
関数lowpass(real [0..n] x、real dt、real RC)
     var real  [ 0..n] yvarrealα= dt /(RC + dt) 
    y [0]:=α* x [0]
    1からnまでiの場合
        y [i]:=α* x [i] +(1-α)* y [i-1]
    yを
返す

n個の出力のそれぞれを計算するループは、同等のもの にリファクタリングできます。

    1からnまでiの場合
        y [i]:= y [i-1] +α*(x [i] -y [i-1])

つまり、あるフィルター出力から次のフィルター出力への変化は、前の出力と次の入力の差に比例します。この指数平滑化プロパティは、連続時間システムで見られる指数関数的減衰と一致します。予想どおり、時定数 RC が増加すると、離散時間平滑化パラメーター減少し、出力サンプル入力サンプルの変化への応答が遅くなります; システムの慣性が大きくなります。このフィルターは、無限インパルス応答(IIR)単極ローパスフィルターです。

有限インパルス応答

理想的なシャープカットオフローパスフィルターのsinc関数の時間領域応答に近似する有限インパルス応答フィルターを構築できます。歪みを最小限に抑えるために、有限インパルス応答フィルターには、無制限の信号で動作する無制限の数の係数があります。実際には、時間領域の応答は時間の切り捨てが必要であり、多くの場合、単純化された形になっています。最も単純なケースでは、移動平均を使用して、2乗の時間応答を得ることができます。[9]

フーリエ変換

非リアルタイムフィルタリングの場合、ローパスフィルタを実現するために、通常、信号全体がループ信号として取得され、フーリエ変換が取得され、周波​​数領域でフィルタリングされた後、逆フーリエ変換が行われます。時間領域フィルタリングアルゴリズムの O(n 2 )と比較して、O(n log(n))操作のみが必要です。

これは、リアルタイムで実行することもできます。この場合、信号は、より短く重なり合うブロックでフーリエ変換を実行するのに十分な時間遅延します。

連続時間実現

カットオフ周波数を使用した、1次から5次のバターワースローパスフィルターのゲインのプロット 傾きは20n dB / decadeであることに注意してくださいここで、nはフィルター次数です。

フィルタ回路にはさまざまな種類があり、周波数の変化に対する応答も異なります。フィルタの周波数応答は、一般にボード線図を使用して表され、フィルタは、そのカットオフ周波数と周波数ロールオフの速度によって特徴付けられます。いずれの場合も、カットオフ周波数で、フィルターは入力電力を半分または3dB減衰させます。したがって、フィルターの次数によって、カットオフ周波数よりも高い周波数の追加の減衰量が決まります。

  • たとえば、 1次フィルタは、周波数が2倍になる(1オクターブ上がる)たびに、信号の振幅を半分に減らします(つまり、電力は4分の1、つまり6 dB減少します)。より正確には、パワーロールオフは高周波の限界で10年ごとに20dBに近づきます。1次フィルターのマグニチュードボード線図は、カットオフ周波数より下の水平線と、カットオフ周波数より上の対角線のように見えます。また、2つの境界には「ニーカーブ」があり、2つの直線領域間をスムーズに移行します。1次ローパスフィルター伝達関数にゼロ極がある場合、ボード線図は、高周波の最大減衰で再び平坦になります。このような影響は、たとえば、単極フィルターの周囲にわずかな入力が漏れることによって引き起こされます。この1極1ゼロのフィルターは、依然として1次ローパスです。極-零点プロットRC回路を参照してください
  • 2次フィルターは、高周波をより急激に減衰させます。このタイプのフィルターのボード線図は、より速く減衰することを除いて、1次フィルターのボード線図に似ています。たとえば、2次バターワースフィルターは、周波数が2倍になるたびに信号振幅を元のレベルの4分の1に減らします(したがって、電力は1オクターブあたり12 dB、または10年ごとに40 dB減少します)。他の全極2次フィルターは、最初はQファクターに応じて異なるレートでロールオフする可能性がありますが、オクターブあたり12dBの同じ最終レートに近づきます。1次フィルターと同様に、伝達関数のゼロは高周波漸近線を変更する可能性があります。RLC回路を参照してください
  • 3次以上のフィルターも同様に定義されます。一般に、次数nの全極フィルターの最終的なパワーロールオフ率は、オクターブあたり6 n dB(10年あたり20 n dB)です。

どのバターワースフィルターでも、水平線を右に、対角線を左上(関数の漸近線)に延長すると、それらは正確にカットオフ周波数で交差します一次フィルタのカットオフ周波数での周波数応答は、水平線より3dB低くなっています。さまざまなタイプのフィルター(バターワースフィルターチェビシェフフィルターベッセルフィルターなど)はすべて、見た目の異なる膝曲線を持っています。多くの2次フィルターには、周波数応答をのカットオフ周波数に置く「ピーキング」または共振があります。水平線。さらに、Cartwright [10] et al。によって示されているように、このピーキングが発生する実際の頻度は微積分なしで予測できます。3次フィルターの場合、Cartwright [11] et al。 によって示されているように、微積分なしでピーキングとその発生頻度を予測することもできます。他のタイプについては、電子フィルターを参照してください。

「低」と「高」の意味、つまりカットオフ周波数は、フィルターの特性によって異なります。「ローパスフィルター」という用語は、単にフィルターの応答の形状を指します。どのローパスフィルターよりも低い周波数でカットオフするハイパスフィルターを構築することができます。それらを際立たせるのはそれらの応答です。電子回路は、マイクロ波周波数(1 GHz以上)以上の任意の周波数範囲に合わせて考案できます。

ラプラス表記

連続時間フィルターはインパルス応答のラプラス変換の観点から説明することもできます。これにより、複素平面でのラプラス変換の極と零点のパターンを考慮することで、フィルターのすべての特性を簡単に分析できます。(離散時間では、同様にインパルス応答 のZ変換を考慮することができます。)

たとえば、1次ローパスフィルターは、ラプラス表記で次のように記述できます。

ここで、sはラプラス変換変数、τはフィルター時定数K通過帯域内のフィルターのゲインです。

電子ローパスフィルター

一次

RCフィルター

パッシブ、1次ローパスRCフィルター

1つの単純なローパスフィルタ回路は、負荷と直列の抵抗と、負荷と並列コンデンサで構成されています。コンデンサはリアクタンスを示し、低周波信号をブロックして、代わりに負荷を通過させます。より高い周波数では、リアクタンスが低下し、コンデンサは効果的に短絡として機能します。抵抗と静電容量の組み合わせにより、フィルターの時定数が得られます(ギリシャ文字のタウで表されます)。ターンオーバー周波数、コーナー周波数、またはカットオフ周波数(ヘルツ単位)とも呼ばれるブレーク周波数は、時定数によって決定されます。

または同等に(ラジアン/秒):

この回路は、コンデンサが抵抗を介して充電または放電するのに必要な時間を考慮することで理解できます。

  • 低周波数では、コンデンサが入力電圧と実質的に同じ電圧まで充電されるのに十分な時間があります。
  • 高周波では、入力が方向を切り替える前に、コンデンサは少量を充電する時間しかありません。出力は、入力が上下する量のごく一部だけ上下します。周波数が2倍になると、半分の量を充電する時間しかありません。

この回路を理解する別の方法は、特定の周波数で のリアクタンスの概念によるものです。

  • 直流(DC)はコンデンサを流れることができないため、DC入力はマークされたパスから流れ出る必要があります(コンデンサの取り外しに類似)。
  • 交流(AC)はコンデンサーを非常によく流れ、単線を流れるのとほぼ同じであるため、AC入力はコンデンサーを介して流出し、効果的にアースに短絡します(コンデンサーをワイヤーだけに置き換えるのと同じです)。

コンデンサは「オン/オフ」オブジェクトではありません(上記のブロックまたはパスの流体の説明のように)。コンデンサは、これら2つの極値の間で可変的に動作します。この変動性を示す のはボード線図周波数応答です。

RLフィルター

抵抗-インダクタ回路またはRLフィルタは、電圧または電流源によって駆動される抵抗インダクタで構成される電気回路です。一次RL回路は、1つの抵抗と1つのインダクタで構成され、最も単純なタイプのRL回路です。

一次RL回路は、最も単純なアナログ 無限インパルス応答 電子フィルターの1つです。これは、電圧源によって直列に駆動される、電流源によって並列に駆動される、抵抗インダクタで構成されます。

二次

RLCフィルター

ローパスフィルタとしてのRLC回路

RLC回路 文字R、L、Cは異なる順序にすることができます)は、直列または並列に接続された抵抗インダクタ、およびコンデンサで構成される電気回路です。名前のRLC部分は、これらの文字がそれぞれ抵抗インダクタンス、および静電容量の通常の電気記号であるためです。この回路は電流の調和振動子を形成し、 LC回路と同じように共振します意思。抵抗器の存在がもたらす主な違いは、回路に誘導された発振は、ソースによって継続されない場合、時間の経過とともに消滅することです。この抵抗の効果はダンピングと呼ばれます。抵抗が存在すると、ピーク共振周波数もいくらか低下します。抵抗器が特に部品として含まれていなくても、実際の回路ではある程度の抵抗が避けられません。理想的な純粋なLC回路は、理論上の抽象化です。

この回路には多くの用途があります。それらは多くの異なるタイプの発振回路で使用されます。もう1つの重要なアプリケーションは、ラジオ受信機テレビなどのチューニングで、周囲の電波から狭い範囲の周波数を選択するために使用されます。この役割では、回路はしばしば同調回路と呼ばれます。RLC回路は、バンドパスフィルターバンドストップフィルター、ローパスフィルター、ハイパスフィルターとして使用できますRLCフィルターは2次回路として記述されます。つまり、回路内の任意の電圧または電流を2次回路で記述できます。回路解析における 微分方程式。

高次パッシブフィルター

高次のパッシブフィルターを構築することもできます(3次の例については図を参照してください)。

3次ローパスフィルター(Cauerトポロジー)。このフィルターは、 (たとえば)C 2 = 4/3ファラッド、R 4 = 1オーム、L 1 = 3/2ヘンリー、L 3 = 1/2ヘンリーの場合、カットオフ周波数ωc = 1のバターワースフィルターになります

アクティブな電子的実現

アクティブローパスフィルター

別のタイプの電気回路は、アクティブローパスフィルターです。

図に示すオペアンプ回路では、カットオフ周波数(ヘルツ単位は次のように定義されます。

または同等に(ラジアン/秒):

通過帯域のゲインは-R2 / R 1あり阻止帯域は1次フィルターであるためオクターブあたり-6 dB(つまり、ディケードあたり-20 dB)で低下します。

も参照してください

参考文献

  1. ^ ロングパスフィルターとショートパスフィルターの情報、2017年10月4日取得
  2. ^ ロングパスフィルターとショートパスフィルターの情報、2017年10月4日取得
  3. ^ セドラ、アデル; スミス、ケネスC.(1991)。マイクロエレクトロニクス回路、3版サンダースカレッジパブリッシング。p。 60ISBN 0-03-051648-X
  4. ^ 「ADSLフィルターの説明」Epanorama.net 2013年9月24日取得
  5. ^ 「ホームネットワーク–ローカルエリアネットワーク」Pcweenie.com。2009年4月12日。2013年9月27日にオリジナルからアーカイブされまし2013年9月24日取得
  6. ^ Windowsの習得:再構築の改善
  7. ^ a b Hayt、William H.、Jr。およびKemmerly、Jack E.(1978)。エンジニアリング回路分析ニューヨーク:McGRAW-HILLBOOKCOMPANY。pp。211–224、684–729。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  8. ^ ボイス、ウィリアムとディプリマ、リチャード(1965)。基本微分方程式と境界値問題ニューヨーク:JOHN WILEY&SONS。pp。11–24。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  9. ^ Whilmshurst、TH(1990)電子機器のノイズからの信号回復。 ISBN 9780750300582 
  10. ^ KV Cartwright、P。Russell、およびEJ Kaminsky、「微積分なしの2次フィルターの最大マグニチュード応答(ゲイン)を見つける」、Lat。午前。J.Phys。教育。6、No。4、pp。559–565、2012。
  11. ^ Cartwright、KV; P.ラッセル; EJカミンスキー(2013)。「微積分なしの3次フィルターの最大および最小の大きさの応答(ゲイン)を見つける」(PDF)緯度 午前。J.Phys。Educ7(4):582–587。

外部リンク