論理和

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論理和
また
論理和のベン図
意味
真理値表
論理ゲートまたはANSI.svg
通常の形式
選言的
接続詞
ゼガルキン多項式
ポストの格子
0-保存はい
1-保存はい
単調はい
アフィンいいえ
のベン図

論理論理は通常表記される論理接続詞ですその意味は、「または」などの自然言語表現の意味を洗練するか、それに対応します。古典論理では、真理関数の セマンティクス与えられます両方がない限り真偽です。このセマンティクスでは、両方の論理和が真の場合に論理和式が真になることができるため、排他的論理和とは対照的に、論理和の包括的解釈になります。古典的な証明論的扱いは、論理和の導入論理和の消去などの規則の観点から与えられることがよくあります 論理和はまた、アリストテレスの海戦の議論ハイゼンベルク不確定性原理、および古典的論理和と自然言語でのそれに最も近い同等物との間の多数の不一致を含む問題によって動機付けられた、多数の非古典的扱いを受けています。[1][2]

表記

論理および関連分野では、論理和は通常、中置演算子で表記されます[1]代替表記には次のものがあります、主に電子機器で使用され、多くのプログラミング言語で英語の単語「or」も時々大文字で使用されます。JanŁukasiewiczの論理の接頭辞表記で、演算子はAであり、ポーランド記法(英語:代替)略です。[3]

古典的論理和

セマンティクス

古典的な論理和は、両方の引数が「false」でない限り、真理値「true」を返す真理関数 演算です。そのセマンティックエントリは、標準的に次のように与えられます。[4]

    もしも         また         または両方

このセマンティクスは、次の真理値表に対応しています。[1]

T T T
T F T
F T T
F F F

他の演算子によって定義された

論理和がプリミティブではないシステムでは、[5]として定義される場合があります。

これは、次の真理値表で確認できます。

T T F T T
T F F T T
F T T T T
F F T F F

プロパティ

次のプロパティが論理和に適用されます。

  • 結合性
  • 可換性
  • 分配法則
  • べき等
  • 単調性
  • 真理値の保持:すべての変数に「真」の真理値が割り当てられる解釈では、論理和の結果として「真」の真理値が生成されます。
  • Falsehood-preserving:すべての変数に「false」の真理値が割り当てられる解釈は、論理和の結果として「false」の真理値を生成します。

コンピュータサイエンスのアプリケーション

論理和に対応する演算子は、ほとんどのプログラミング言語に存在します。

ビット演算

論理和は、ビット単位の演算によく使用されます例:

  • 0または0 = 0
  • 0または1 = 1
  • 1または0 = 1
  • 1または1 = 1
  • 1010または1100 = 1110

or演算子を使用して、関連するビットを1に設定した定数フィールドでフィールドを-ingすることにより、ビットフィールドのビットを1にor設定できます。たとえば、x = x | 0b00000001他のビットを変更せずに、最後のビットを1に強制します。[要出典]

論理演算

多くの言語は、2つの異なる演算子を提供することにより、ビット単位の論理和と論理論理和を区別します。Cに続く言語では、ビット単位の論理和はシングルパイプ演算子(|)で実行され、論理和はダブルパイプ演算子()で実行され||ます。

論理和は通常短絡されています; つまり、最初の(左)オペランドがに評価されるtrue場合、2番目(右)のオペランドは評価されません。したがって、論理和演算子は通常、シーケンスポイントを構成します。

並列(並行)言語では、両側を短絡することができます。それらは並列に評価され、一方が値trueで終了すると、もう一方は中断されます。したがって、この演算子は並列またはと呼ばれます。

論理和式の型はほとんどの言語でブール値ですが(したがって、値trueまたはのみを持つことができますfalse)、一部の言語(PythonJavaScriptなど)では、論理和演算子はそのオペランドの1つを返します。真の値に評価され、それ以外の場合は2番目のオペランドに評価されます。[要出典]

建設的な論理和

カリー・ハワード同盟は構成主義形式の論理和をタグ付き共用体タイプに関連付けます。[要出典]

集合論

集合論で集合された和集合の要素メンバーシップは、論理和の観点から定義されます。場合に限りこのため、論理的分離は、結合法則、可換性分布性、ド・モルガンの法則など、集合論的結合と同じアイデンティティの多くを満たし、集合交差との論理積、集合補数との論理否定識別します。[要出典]

自然言語

の古典的な意味英語などの自然言語での論理和ステートメントの表示と正確に一致しません特に、古典的な論理和は包括的ですが、自然言語の論理和はしばしば排他的に理解されます。[1]

1.メアリーは愛国的または奇抜です。
メアリーは愛国的でも奇抜でもありません。

この推論は、たとえばアルフレッド・タルスキによって、自然言語の論理和が古典的解釈と非古典的解釈の間で曖昧であると示唆した含意として理解されることがあります。語用論におけるより最近の研究は、この推論が古典的に振る舞う意味論的意味論に基づいて会話の含意として導き出されることができることを示しました。ただし、ハンガリー語のvagy ... vagyfrenchsoit ... soitを含む選言的構文は、本質的に排他的であり、非文法性を与えると主張されてきました。 そうでなければ包括的読書が強制される状況で。[1]

古典論理からの同様の逸脱は、特定の様相作用素が論理和の接続詞のような解釈をトリガーする、自由選択論理和論理和先行の単純化などの場合に注目されています。排他性と同様に、これらの推論は、含意として、および論理和の非古典的な解釈から生じる含意として分析されています。[1]

2.リンゴまたはナシを食べることができます。
あなたはリンゴを持つことができ、あなたは梨を持つことができます(しかしあなたは両方を持つことはできません)

多くの言語では、論理和表現が質問の形成に役割を果たします。たとえば、次の英語の例は、メアリーが哲学者であるか言語学者であるかを尋ねる極地の質問として解釈できますが、2つの職業のどちらが彼女のものであるかを尋ねる別の質問として解釈することもできます。これらの場合の論理和の役割は、代替セマンティクス探究セマンティクスなどの非古典論理を使用して分析されています。これらの論理は、自由な選択と単純化の推論を説明するためにも採用されています。[1]

3.メアリーは哲学者ですか、それとも言語学者ですか?

英語では、他の多くの言語と同様に、論理和は調整接続詞によって表されます。他の言語は、論理和自体が言語学的普遍性であるかどうかは不明ですが、さまざまな方法で論理和の意味を表現しますジルバル語やマリコパ語などの多くの言語では、論理和は動詞の接尾辞を使用してマークされます。たとえば、以下のMaricopaの例では、論理和は接尾辞šaaでマークされています。[1]

4.4。

ジョンシュ

ジョン-NOM

ビルズ

ビル-NOM

vʔaawuumšaa

3 -come- PL --FUT --INFER _ _

Johnš Billš vʔaawuumšaa

John-NOM Bill-NOM 3-come-PL-FUT-INFER

「ジョンかビルが来るでしょう。」

も参照してください

メモ

  • ジョージ・ブールは、通常の数学との類似性に厳密に従って、「x + y」の定義の必要条件として、xとyが相互に排他的であることを前提としていました。ジェボンズ、そして彼の後の事実上すべての数学論理学者は、さまざまな理由で、相互排他性を必要としない形での「論理的加算」の定義を提唱しました。

参考文献

  1. ^ a b c d e f g h Aloni、Maria(2016)、Zalta、Edward N.(ed。)、"Disjunction"The Stanford Encyclopedia of Philosophy(Winter 2016 ed。)、Metaphysics Research Lab、Stanford University 、retrieve 2020-09-03
  2. ^ 「論理和|ロジック」ブリタニカ百科事典2020年9月3日取得
  3. ^ JózefMariaBocheński(1959)、数学論理のプレシス、フランス語版とドイツ語版からOtto Birdが翻訳、北ホラント州ドルドレヒト:D。Reidel、passim。
  4. ^ 古典的なシステム全体の一般性のために、このエントリは評価のパラメータを抑制します。ダブルターンスタイルのシンボル ここでは、「意味的に伴う」という意味を意図しています。
  5. ^ Walicki、Michał(2016)。数理論理学入門世界科学。p。150. ISBN 9814343870

外部リンク