論理積

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論理積
論理積のベン図
意味
真理値表
論理ゲートおよびANSI.svg
通常の形式
選言的
接続詞
ゼガルキン多項式
ポストの格子
0-保存はい
1-保存はい
単調いいえ
アフィンいいえ
のベン図

では、論理数学言語学、そして()は論理積真理関数演算子です; 一連のオペランドandは、そのすべてオペランドが真である場合にのみ真になります。論理演算この演算子を表し、典型的に書かれていますまたは[1] [2] [3]

真であるのは、 真実であり、 本当です。

接続詞のオペランドは接続詞です。

論理を超えて、「接続詞」という用語は、他の分野の同様の概念も指します。

表記

そして、通常、中置演算子で表されます。数学と論理では、次のように表されます。[1] [3] または× ; エレクトロニクスでは、 ; そして、プログラミング言語で、&&&、またはand月Łukasiewicz接頭表記ロジックため、オペレータは、Kはポーランドのために、koniunkcja[4]

定義

論理積である操作2つのに論理値二つの典型的価値命題の値を生成し、真の 場合に限り、そのオペランドの両方に該当します。[2] [3]

接続詞のアイデンティティはtrueです。つまり、式をtrueとAND演算しても、式の値は変更されません。空虚な真の概念に従い、接続詞が任意のアリティの演算子または関数として定義されている場合、空の接続詞(空のオペランドのセットに対するAND演算)は、結果が真であると定義されることがよくあります。

真理値表

左側の引数の接続詞—真の ビットシェルピンスキーの三角形を形成します

真理値表[2] [3]

NS NS NS
NS NS NS
NS NS NS
NS NS NS

他の演算子によって定義されています

論理積がプリミティブではないシステムでは、[5]として定義される場合があります

また

導入と排除のルール

推論規則として、論理積の導入は、古典的に有効な単純な引数形式です。引数形式には、ABの2つの前提があります。直感的に、それはそれらの接続詞の推論を可能にします。

A
B
したがって、AおよびB

または論理演算子表記:

これは、フォーム論理積の導入に適合する引数の例です

ボブはリンゴが好きです。
ボブはオレンジが好きです。
したがって、ボブはリンゴが好きで、ボブはオレンジが好きです。

論理積の消去は、もう1つの古典的に有効な、単純な引数形式です。直感的には、その接続詞のいずれかの要素の任意の接続詞からの推論を可能にします。

AB
したがって、A

...または代わりに

AB
したがって、B

論理演算子表記:

...または代わりに

否定

定義

接続詞 いずれかを確立することにより、誤りであることが証明されます また オブジェクト言語に関しては、これは次のようになります。

この式は、の特殊なケースと見なすことができます。

いつ 誤った提案です。

その他の証明戦略

もしも 示す 、次に両方 と同様 接続詞が間違っていることを証明します。

言い換えれば、接続詞は、その接続詞の関係を知るだけで実際に偽であると証明でき、それらの真理値については必要ありません。

この式は、の特殊なケースと見なすことができます。

いつ 誤った提案です。

上記のいずれも、矛盾による建設的に有効な証明です。

プロパティ

可換性:はい

        
Venn0001.svg          Venn0001.svg

結合性:はい

        
ヴェン01010101.svg Venn 0000 0011.svg          Venn 0000 0001.svg          Venn 0001 0001.svg Venn 0000 1111.svg

分配法則さまざまな操作、特にまたは

        
ヴェン01010101.svg Venn 0011 1111.svg          Venn 0001 0101.svg          Venn 0001 0001.svg Venn 0000 0101.svg

べき等:はい

        
Venn01.svg Venn01.svg          Venn01.svg

単調性:はい

        
ヴェン10111011.svg          ヴェン11111011.svg          Venn 0000 0101.svg Venn 0000 0011.svg

真実の保持:はい
すべての入力が真の場合、出力は真です。

        
Venn0001.svg          Venn0001.svg
(テスト予定)

falsehood-preserving:yes
すべての入力がfalseの場合、出力はfalseです。

        
Venn0001.svg          Venn0111.svg
(テスト予定)

ウォルシュスペクトル:(1、-1、-1,1)

直線性:1(関数である曲がりました

true(1)とfalse(0)にバイナリ値を使用する場合論理積は通常の算術乗算とまったく同じように機能します。

コンピュータ工学におけるアプリケーション

高レベルのコンピュータプログラミングやデジタル電子機器では、論理積は通常、中置演算子で表されます。通常は、「AND」、代数乗算、またはアンパサンド記号&(のように2倍になることもあり&&ます)などのキーワードとして表されます。多くの言語は、論理積に対応する短絡制御構造も提供します

論理積は、ビット単位の演算によく使用されます。ここで0、falseと1trueに対応します。

  • 0 AND 0  =  0
  • 0 AND 1  =  0
  • 1 AND 0  =  0
  • 1 AND 1  =  1

この演算は、対応する位置にあるビットの各ペアのビット単位のANDをとることにより、同じ長さのビット文字列として表示される2つのバイナリワードにも適用できます。例えば:

  • 11000110 AND 10100011  =  10000010

これは、ビットマスクを使用してビット文字列の一部を選択するために使用できますたとえば、  =  は8ビットビット文字列の5番目のビットを抽出します。 10011101 AND 0000100000001000

コンピュータネットワーク、ビットマスクは、ネットワークアドレス導出するために使用されるサブネットを与えから既存のネットワーク内でIPアドレス、IPアドレスと論理積をとることにより、サブネットマスク

論理積 " AND"は、データベースクエリを形成するためのSQL操作でも使用されます

カリー=ハワード同型対応は論理接続詞関連製品の種類を

集合理論的対応

要素のメンバーシップ交差セットセット理論は:論理積で定義されるXAB場合にのみ(XA)∧(XB)。この対応を通じて、集合理論的共通部分は、結合性可換性べき等性など、論理積を持ついくつかのプロパティを共有します

自然言語

他の概念と同様に、数学的なロジックで論理積を正式にに関連している、しかし、同じではない文法連動 し、自然言語インチ

英語の「and」には、論理積によってキャプチャされないプロパティがあります。たとえば、「and」は「then」の意味を持つ順序を意味する場合があります。たとえば、一般的な言説で「彼らは結婚して子供をもうけた」とは、結婚が子供の前に行われたことを意味します。

「and」という単語は、「アメリカの国旗は赤、白、青です」のように、物をパーツに分割することを意味する場合もあります。ここでは、旗が同時に赤、白、青であるという意味ではなく、それぞれの色の一部を持っているという意味です。

も参照してください

参考文献

  1. ^ B 「論理記号の包括的なリスト」数学ボールト2020-04-06 20209月2取得
  2. ^ a b c 「論理積、否定、および論理和」哲学.lander.edu 20209月2取得
  3. ^ a b c d "2.2:接続詞と論理和"数学LibreTexts2019-08-13 20209月2取得
  4. ^ ヨゼフ・マリア・ボッケンスキー(1959)、数理論理のA PRECISフランス語、ドイツ語版、ドルドレヒト、南ホラント州からオットー・バードによって翻訳、:D. Reidel、ここかしこ。
  5. ^ スミス、ピーター。「証明システムの種類」(PDF)NS。4.4。

外部リンク