否定

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否定
いいえ
否定のベン図
意味
真理値表
論理ゲートANSI.svg ではありません
通常形
選言的
接続詞
ゼガルキン多項式
ポストの格子
0-保存番号
1-保存番号
単調番号
アフィンはい

論理論理補数とも呼ばれる否定は、命題を取る操作です。 別の命題に「ない」"、書いたまた. 直感的に真であると解釈されます。は false であり、次の場合は false本当です。[1] [2]したがって、否定は単項 論理結合です。より一般的には、概念命題真理値、または意味値に対する操作として適用できます。古典論理では、否定は通常、にする(またはその逆)真偽関数と同一視されます。直観主義的論理では、ブラウワー・ヘイティング・コルモゴロフ解釈によれば、命題の否定の反駁を証明とする命題である.

定義

古典的な否定は、1 つの論理値(通常は命題の値) に対する演算であり、オペランドが false の場合はtrueの値を生成し、オペランドが true の場合はfalseの値を生成します。したがって、ステートメントPが真である場合、(「not P」と発音) は false になります。逆に言えば、が false の場合、Pは true になります。

真理値以下のとおりであります:

真実 間違い
間違い 真実

否定は、他の論理演算の観点から定義できます。例えば、次のように定義できます(どこ論理的帰結であり、絶対的な虚偽です)。逆に、定義することができますなので任意の命題Q (ここで論理積)。ここでの考え方は、いかなる矛盾も誤りであるということであり、これらの考え方は古典論理と直観主義論理の両方で機能しますが、矛盾が必ずしも誤りではないパラコンシステント論理では機能しません。古典論理では、さらなる恒等式も得られます。次のように定義できます、 どこ論理和です。

代数的には、古典的否定はブール代数の補数に対応し、直観論的否定はヘイティング代数の疑似補数に対応します。これらの代数は、それぞれ古典論理と直観主義論理 のセマンティクスを提供します。

表記

命題pの否定は、さまざまな議論の文脈や適用分野で、さまざまな方法で表記されます。次の表に、これらのバリアントの一部を示します。

表記 平文 発声
¬p じゃない
~p じゃない
-p じゃない
Np _ えんぴ_
p'
  • pプライム、
  • p補数
̅p
  • pバー、
  • バーp
!p
  • バンp
  • じゃない

N pという表記はŁukasiewicz 表記です。

集合論ではは、「セットにない」ことを示すためにも使用されます。A のメンバーではないUのすべてのメンバーの集合です

それがどのように表記または記号化されているかに関係なく、否定は「それはPではない」、「そのPではない」、または通常はもっと単純に「Pではない」と読むことができます

プロパティ

二重否定

古典論理のシステム内での二重否定、つまり、命題の否定の否定論理的には. 象徴的に表現すると、. 直観主義的論理では、命題はその二重否定を含意しますが、逆は含意しません。これは、古典的否定と直観的否定の重要な違いの 1 つです。代数的に、古典的な否定は周期 2 のインボリューションと呼ばれます。

しかし、直観主義の論理では、より弱い同等性保持します。これは、直観主義の論理では、は単なる省略形です 、そして私たちも持っています. その最後の含意を三重否定で構成することを意味します.

その結果、命題の場合、文の二重否定が直観論的に証明可能である場合、その文は古典的に証明可能です。この結果はグリベンコの定理として知られています。

分配性

ド・モルガンの法則は、論理和と論理よりも否定を分配する方法を提供します

、 と
.

直線性

させて論理xor演算を示します。ブール代数では、線形関数は次のようなものです。

存在する場合、 すべてのために.

これを表現する別の方法は、各変数が演算の真偽値に常に違いをもたらすか、まったく違いをもたらさないということです。否定は線形論理演算子です。

セルフデュアル

ブール代数では、自己双対関数は次のような関数です。

すべてのために . 否定は自己二重論理演算子です。

量指定子の否定

一階論理では、2 つの量指定子があり、1 つは全称量指定子です。(「すべてのために」を意味する) もう 1 つは存在量指定子です。(「存在する」という意味)。一方の量指定子の否定は、もう一方の量指定子 ()。たとえば、x is mortal 」という述語Pと、すべての人間のコレクションとしての x のドメインを使用すると、「すべての人間の中の x 人は死ぬ」または「すべての人間は死ぬ」という意味です。それの否定は、「すべての人間の中に不死ではない人xが存在する」、または「永遠に生きる 人が存在する」という意味です。

推論のルール

否定の規則を定式化する同等の方法が多数あります。自然演繹設定で古典的否定を定式化する通常の方法の 1 つは、原始的な推論規則として否定を導入することです (両方へ、推測する; この規則は、 reductio ad absurdumとも呼ばれます)、否定の削除(から推測する; このルールはex falso quodlibetとも​​呼ばれます)、および二重否定の除去(から推測する)。直観的否定のルールも同じ方法で得られますが、二重否定の排除を除外することによって得られます。

否定導入は、不条理が結論として導き出せる場合、それからそうであってはなりません (つまり、(古典的に)偽であるか、(直感的に)反駁可能であるかなど)。否定の排除は、すべてが不条理から生じると述べています。原始的な不条理記号を使って否定の消去を定式化することがある. この場合、ルールは次のように述べています。不条理に従います。二重否定の排除と一緒に、最初に定式化されたルール、つまり、不条理からは何でも来るというルールを推測することができます。

通常は直観主義的否定と定義されている. その場合、否定の導入と削除は、含意の導入 (条件付き証明) と削除 ( modus ponens ) の特殊なケースにすぎません。この場合、原始規則としてex falso quodlibetも追加する必要があります。

プログラミング言語と常用言語

数学と同様に、コンピューター サイエンスでも論理ステートメントを作成するため に否定が使用されます。

もし( ! ( r == t ))   
{
    /*...r が t と等しくない場合に実行されるステートメント...*/
}

感嘆符" " は、 BC 、およびC++JavaJavaScriptPerl、およびPHPなどの C にヒントを得た構文を持つ言語での論理!否定を意味します" " は、 ALGOL 60BASIC 、およびPascalAdaEiffelSeed7などの ALGOL または BASIC にヒントを得た構文を持つ言語で使用される演算子です一部の言語 (C++、Perl など) は、否定のために複数の演算子を提供します。PL/IRatforなどのいくつかの言語が使用されますNOT¬否定のために。最近のほとんどの言語では、上記のステートメントを から に短縮if (!(r == t))するif (r != t)ことができます。これにより、コンパイラ/インタープリターが最適化できない場合でも、より高速なプログラムが可能になります。

コンピューター サイエンスには、ビットごとの否定もあります。これは、指定された値を取り、すべてのバイナリ1 を 0 に、0 を 1 に切り替えます。ビット演算を参照してくださいこれは、基本反対(負の値に相当する値) または値の数学的補数 (両方の値が一緒に加算されて全体が作成される場合)。 ~-

与えられた整数の絶対 (正の同等の) 値を取得するには、" -" がそれを負から正に変更するので、次のように機能します (" x < 0" が true を返すため、これは負です)。

unsigned int abs ( int x )   
{
    もし( x < 0 )   
        リターン- x ; 
    そうしないと
        xを返します。 
}

論理否定を示すには:

unsigned int abs ( int x )   
{
    もし( ! ( x < 0 ))   
        xを返します。 
    そうしないと
        リターン- x ; 
}

条件を反転し、結果を反転すると、元のコードと論理的に同等のコードが生成されます。つまり、どの入力に対しても同じ結果が得られます (使用するコンパイラによっては、コンピューターによって実行される実際の命令が異なる場合があることに注意してください)。

この慣例は、コンピューター関連の俗語として、通常の書き言葉で時折表面化しますたとえば、このフレーズ!votingは「投票しない」という意味です。もう 1 つの例は、!clue「無知」または「無知」の同義語として使用されるフレーズです。[3] [4]

Kripke セマンティクス

数式の意味値が可能な世界の集合であるクリプキ意味論では、否定は集合論的補完を意味すると見なすことができます[要出典] (詳細については、可能な世界の意味論も参照してください)。

も参照

参考文献

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Negation" . mathworld.wolfram.com . 2020年9月2日閲覧
  2. ^ "論理および数学ステートメント - 実例" . www.math.toronto.edu . 2020年9月2日閲覧
  3. ^ レイモンド、エリック、スティール、ガイ. The New Hacker's Dictionary、p. 18 (MIT プレス 1996)。
  4. ^ ムナト、ジュディス. 語彙の創造性、テキストとコンテキスト、p。148 (ジョン・ベンジャミンズ・パブリッシング、2007 年)。

さらに読む

  • Gabbay, Dovおよび Wansing, Heinrich, eds., 1999.否定とは何か? クルワー
  • ホーン、L.、2001年。否定の自然史シカゴ大学出版局
  • GH フォン ライト、1953 ~ 59 年、「否定の論理について」、解説 Physico-Mathematicae 22
  • Wansing, Heinrich, 2001, "Negation", in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic , Blackwell .
  • テッタマンティ、マルコ。マネンティ、ローザ。Della Rosa、Pasquale A.; ファリーニ、アンドレア。ペラニ、ダニエラ。カッパ、ステファノ F.; モロ、アンドレア (2008)。「脳内の否定:行動表象の変調」. ニューロイメージ. 43 (2): 358–367. doi : 10.1016/j.neuroimage.2008.08.004 . PMID  18771737S2CID  17658822 .

外部リンク

複合節の真理値表