場合に限り

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↔⇔≡⟺iffを表す 論理
記号  

論理および数学哲学などの関連分野で、「if and only if」(「iff」と短縮)がステートメント間の双条件 論理接続であり、両方のステートメントが真であるか、両方が偽である場合に限ります。

接続詞は双条件法(物質的等価性のステートメント)であり[1]、その逆(「if」)と組み合わされた標準的な物質的条件付き(「のみ」、「if ... then」に等しい)に例えることができます。したがって、名前。その結果、接続されたステートメントのいずれかの真理は、もう一方の真理を必要とします(つまり、両方のステートメントが真であるか、両方が偽であるか)。ただし、このように定義された結合が英語で適切にレンダリングされるかどうかは議論の余地があります。そしてその場合のみ」—その既存の意味を持つ。たとえば、Qが真であるときはいつでもPが真であることをQが意味する場合に限り、Pは、 PがQも真の場合は真ですが、 Qの場合はPの場合、 Pが真でQが偽 のシナリオが他にもある可能性があります。

書面ではPの代替として一般に使用されるフレーズは次とおりです正確に(または正確に)QPがQの場合に正確に、 PがQの場合に正確に。[2]一部の著者は、「iff」を正式な文章では不適切であると見なしています。[3]他の人はそれを「境界ケース」と見なし、その使用を容認します。[4]

論理式では、次のような論理記号[5]はこれらのフレーズの代わりに使用されます。以下の§表記を参照してください

定義

P真理値 Qは次のとおりです。[6] [7]

真理値表
P Q P Q P Q P  Q
T T T T T
T F F T F
F T T F F
F F T T T

これは、 XNORゲートによって生成されるものと同等であり、 XORゲートによって生成されるものとは逆です。[8]

使用法

表記

対応する論理記号は「↔」、「"、[5]および" "、[9]、場合によっては" iff "。これらは通常同等として扱われます。ただし、数理論理学の一部のテキスト(特に命題論理ではなく一階述語論理のテキスト)は区別されます。これらの間で、最初の↔は論理式の記号として使用され、⇔はそれらの論理式についての推論に使用されます(たとえば、メタ論理)。Łukasiewiczポーランド語表記では、これは接頭辞記号 'Eです。 '。[10]

この論理接続詞の別の用語は、排他的またはです。

TeXでは、「if andonlyif」は長い二重矢印として表示されます。コマンド\ iffを介して。[11]

証明

ほとんどの論理システムは、「if P、thenQ」と「ifQ、then P」、または「if P、thenQ」と「ifnot-P」のいずれかを証明することにより、「PiffQ」の形式のステートメントを証明します、その後ではない-Q」。これらのステートメントのペアを証明すると、双条件法を直接推論する明確な条件がないため、より自然な証明につながる場合があります。別の方法は、論理和「(PとQ)または(not-Pとnot-Q)」を証明することです。これ自体は、その論理和のいずれかから直接推測できます。つまり、「iff」は真理関数であるためです。 PとQの両方が真、または両方が偽であることが示されている場合は、P iff Q "が続きます。

iffの起源と発音

略語「iff」の使用法は、ジョンL.ケリーの1955年の本GeneralTopologyに最初に印刷されました。[12] その発明は、「私が 『同値』のために 『iff』を発明した」と書いたポール・ハルモスの功績によるものですが、私が本当に最初の発明者であるとは信じられませんでした。[13]

「iff」がどのように発音されるのかはやや不明確です。現在の慣習では、単一の「単語」「iff」は、ほとんどの場合、「if andonlyif」の4つの単語として読み取られます。ただし、 General Topologyの序文で、 Kelleyは、別の方法で読む必要があることを示唆していますある離散数学の教科書の著者は次ように示唆してます。 ɪfː]

定義での使用法

技術的には、定義は常に「if andonlyif」ステートメントです。KelleyのGeneralTopologyなどの一部のテキストは、ロジックの厳密な要求に従い、新しい用語の定義で「if andonlyif 」またはiffを使用します。[15]ただし、教科書、研究論文、記事(英語版ウィキペディアの記事を含む)の大部分は、「if」を「if and only」として解釈する特別な規則に従っているため、この論理的に正しい「if andonlyif」の使用は比較的まれです。 if」、数学的な定義が含まれる場合は常に(「すべての開いたカバーに有限のサブカバーがある場合、位相空間はコンパクトです」のように)。[16]

「if」および「onlyif」との区別

  • 「マディソンはリンゴなら果物を食べるでしょう。」( 「マディソンが果物を食べる場合にのみ、それはリンゴになることができます」または「マディソンは果物を食べる果物はリンゴです」と同等です
    これは、マディソンがリンゴである果物を食べることを示しています。ただし、マディソンがバナナや他の種類の果物も食べる可能性を排除するものではありません。確かに知られているのは、彼女が遭遇したすべてのリンゴを食べるということだけです。果物がリンゴであるということは、マディソンが果物を食べるのに十分な条件です。
  • 「マディソンはそれがリンゴである場合にのみ果物を食べるでしょう。」( 「マディソンが果物を食べるなら、それはリンゴです」または「マディソンは果物を食べる果物はリンゴです」と同等です
    これは、マディソンが食べる唯一の果物はリンゴであると述べています。ただし、マディソンが利用可能なリンゴを食べることを要求する(1)とは対照的に、マディソンが利用可能になった場合にリンゴを拒否する可能性を排除するものではありません。この場合、与えられた果物がリンゴであるということは、マディソンがそれを食べるための必要条件です。マディソンは与えられたリンゴを全部食べないかもしれないので、それは十分な状態ではありません。
  • 「マディソンはそれがリンゴである場合にのみ果物を食べるでしょう。」( 「マディソンは果物を食べる果物はリンゴです」に相当
    この声明は、マディソンがリンゴである果物だけをすべて食べることを明確にしています。彼女はリンゴを食べ残さず、他の種類の果物も食べません。与えられた果物がリンゴであるということは、マディソンがその果物を食べるために必要かつ十分な条件です。

十分性は必要性の逆です。つまり、PQが与えられた場合(つまり、Pの場合はQ)、PはQにとって十分な条件であり、QはPにとって必要な条件ですまた、PQが与えられると、 ¬Q¬P(ここで、¬は否定演算子、つまり「not」)であることは事実です。これは、 PQによって確立されたPQの関係が、次のすべての同等の方法で表現できることを意味します。

QにはPで十分です
PにはQが必要です
¬Pには¬Qで十分です
¬Qには¬Pが必要です

例として、 PQを示す上記の最初の例を取り上げます。ここで、Pは「問題の果物はリンゴです」、Qは「マディソンは問題の果物を食べます」です。以下は、まさにこの関係を表現する4つの同等の方法です。

問題の果物がリンゴの場合、マディソンはそれを食べます。
マディソンが問題の果物を食べる場合にのみ、それはリンゴです。
マディソンが問題の果物を食べないのであれば、それはリンゴではありません。
問題の果物がリンゴでない場合にのみ、マディソンはそれを食べません。

ここで、2番目の例は、 if ... thenの形式で言い換えることができます。 「マディソンが問題の果物を食べる場合、それはリンゴです」。これを最初の例と組み合わせると、3番目の例は「問題の果物がリンゴの場合はマディソンがそれを食べ、マディソンが果物を食べる場合はリンゴです」と表現できることがわかります

オイラー図に関して

オイラー図は、イベントやプロパティなどの間の論理的な関係を示しています。「Ponlyif Q」、「if P then Q」、および「P→Q」はすべて、PがQのサブセット(適切または不適切)であることを意味します。「Pif Q」、「if Q then P」、およびQ→Pはすべて、QがPの適切または不適切なサブセットであることを意味します。「Qの場合にのみP」および「Pの場合にのみQ」は、セットPとQが互いに同一であることを意味します。

より一般的な使用法

Iffは、ロジックの分野以外でも使用されます。論理が適用される場合、特に数学的な議論では、それは上記と同じ意味を持ちます。それは、ifとifの省略形であり、一方のステートメントがもう一方のステートメントに必要かつ十分であることを示します。これは数学的専門用語の例です(ただし、上記のように、定義のステートメントで iffよりも頻繁に使用される場合)。

Xの要素すべてであり、 Yの要素のみが意味します。「論議領界内の任意のzについて、 zYにある場合に限り、zXあります。」

も参照してください

参考文献

  1. ^ コピ、IM; コーエン、C。; 旗、DE(2006)。Essentials of Logic(Second ed。)ニュージャージー州アッパーサドルリバー:ピアソンエデュケーション。p。197. ISBN 978-0-13-238034-8
  2. ^ ワイスタイン、エリックW.「イフ」MathWorldから--WolframWebリソース。http://mathworld.wolfram.com/Iff.html
  3. ^ 例: Daepp、Ulrich; Gorkin、Pamela(2011)、Reading、Writing、and Proving:A Closer Look at MathematicsUndergraduate Texts in Mathematics、Springer、p。52、ISBN 9781441994790それはリアルタイムの節約になる可能性がありますが、正式な書面でそれをお勧めしません。
  4. ^ ロスウェル、エドワードJ。; Cloud、Michael J.(2014)、Engineering Writing by Design:Creating Formal Documents of Lasting Value、CRC Press、p。98、ISBN 9781482234312数学の書き方では一般的です
  5. ^ a b ペール、ティモシー。「条件と双条件」web.mnstate.edu 2020年9月4日取得
  6. ^ p <=> qWolfram | Alpha
  7. ^ 場合に限り、UHM数学科、「P if andonlyQ」の形式を持つ定理は数学で非常に高く評価されています。それらは、いわゆる「必要十分」条件を与え、まったく同じことを言うための完全に同等で、うまくいけば興味深い新しい方法を与えます。
  8. ^ 「XOR / XNOR /奇数パリティ/偶数パリティゲート」www.cburch.com 2019年10月22日取得
  9. ^ ワイスタイン、エリックW. 「同等」mathworld.wolfram.com 2020年9月4日取得
  10. ^ 「JanŁukasiewicz>Łukasiewiczの括弧-無料またはポーランド記法(スタンフォード哲学百科事典)」plato.stanford.edu 2019年10月22日取得
  11. ^ 「LaTeX:Symbol」問題解決の芸術2019年10月22日取得
  12. ^ 一般的なトポロジ、ISBN978-0-387-90125-1を再発行 
  13. ^ ニコラスJ.ハイアム(1998)。数学のための執筆ハンドブック(第2版)。SIAM。p。24. ISBN 978-0-89871-420-3
  14. ^ Maurer、Stephen B。; ラルストン、アンソニー(2005)。離散アルゴリズム数学(第3版)。フロリダ州ボカラトン:CRC Press p。60. ISBN 1568811667
  15. ^ たとえば、 General Topology、p。25:「集合は、有限または可算無限であれば可算です。」[元の太字]
  16. ^ Krantz、Steven G.(1996)、A Primer of Mathematical Writing、American Mathematical Society、p。 71ISBN 978-0-8218-0635-7

外部リンク