アイデンティティ要素

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数学では、集合を操作する二項演算単位元または中立要素は、演算が適用されたときに集合のすべての要素を変更しないままにする集合の要素です。[1] [2]この概念は、環やなどの代数的構造で使用されます。単位元という用語は、しばしば(加法単位元や乗法単位元の場合のように)単位元に短縮されます[3]。混乱の可能性はないが、IDは、関連付けられている2項演算に暗黙的に依存している場合。

定義

S 、∗)を二項演算∗を備えた集合 Sとします。次に、 Sの要素 eは、  Sのすべてのaに対して ea = aの場合は単位元と呼ばれ、すべて aに対してae = aの場合単位元と呼ばれ ます。[4] eが左単位元と右単位元の両方である場合、それは両面単位元、または単にアイデンティティ[5] [6] [7] [8] [9]

加算に関する単位元は加法単位元(多くの場合0として示される)と呼ばれ、乗算に関する単位元は乗法単位元(多くの場合1として示される)と呼ばれます。[3]基礎となる演算はかなり恣意的である可能性があるため、これらは通常の加算および乗算である必要はありません。たとえば、グループの場合、単位元は単に記号で示されることがあります加法と乗法のIDの区別は、整域、体などの2項演算の両方をサポートするセットで最もよく使用されます後者の文脈では、乗法的アイデンティティはしばしば単位性と呼ばれます(単位性環)。[10] [11] [12]これは、環論の単位と混同しないでください。これは、乗法逆元を持つ要素です。それ自体の定義によれば、団結自体は必然的に単位です。[13] [14]

セットする 手術 身元
実数 +(加算 0
実数 ・(掛け算 1
複素数 +(追加) 0
複素数 ・(掛け算) 1
正の整数 最小公倍数 1
非負の整数 最大公約数 0(GCDのほとんどの定義の下で)
m行n の行列 行列の加法 ゼロ行列
n行n列の正方行列 行列の乗算 I n単位行列
m行n列の行列 ○(アダマール積 J m、  n 1の行列
セット Mからそれ自体までのすべての関数 ∘(関数合成 恒等関数
グループ上のすべての分布、  G ∗(畳み込み δディラックのデルタ
拡大実数 最小/下限 +∞
拡大実数 最大/上限 −∞
セット Mのサブセット ∩(交差点 M
セット ∪(ユニオン ∅(空集合
文字列リスト 連結 空の文字列、空のリスト
ブール代数 ∧(論理および ⊤(真実)
ブール代数 ↔(論理双条件 ⊤(真実)
ブール代数 ∨(論理または ⊥(偽り)
ブール代数 ⊕(排他的論理和または ⊥(偽り)
結び目 結び目合計 結び目を解く
コンパクトな表面 #(連結和 S 2
グループ 直接積 自明群
2つの要素{ e、  f } 
∗ ee = fe = eおよびff = ef = fで定義
efはどちらも左のアイデンティティ
ですが、右のアイデンティティ
も両面のアイデンティティもありません
集合X上の自己関係 相対的な製品 アイデンティティ関係

プロパティ

与えられた等式を持つS = { e、f }の例では、 S半群です。これは、 (S、∗)がいくつかの左のアイデンティティを持つ可能性を示しています。実際、すべての要素は左のアイデンティティである可能性があります。同様の方法で、いくつかの正しいアイデンティティが存在する可能性があります。ただし、右のIDと左のIDの両方が存在する場合、それらは等しくなければならず、結果として単一の両面IDになります。

これを確認するには、 lが左の単位元で、rが右の単位元である場合、l = lr = rであることに注意してください。特に、2つの両面単位元が存在することはありません。たとえばefが2つある場合、efはefの両方に等しくなければなりません

S、∗)が単位元を持たない可能性もあります[15]。たとえば、乗算演算で整数が偶数の場合などです。[3]別の一般的な例は、ベクトルの外積です。ここで、単位元がないことは、ゼロ以外の外積の方向が、乗算された要素に常に直交するという事実に関連しています。つまり、元のベクトルと同じ方向にゼロ以外のベクトルを取得することはできません。単位元のない構造のさらに別の例には正の付加的な半群が含まれます 自然数

も参照してください

脚注と参考文献

  1. ^ ワイスタイン、エリックW. 「単位元」mathworld.wolfram.com 2019年12月1日取得
  2. ^ 「IDENTITYELEMENTの定義」www.merriam-webster.com 2019年12月1日取得
  3. ^ a bc 「単位」 。www.encyclopedia.com 2019年12月1日取得
  4. ^ フレイリー(1976年、21ページ)
  5. ^ Beauregard&Fraleigh(1973、p。96)
  6. ^ フレイリー(1976年、18ページ)
  7. ^ ヘルシュタイン(1964年、26ページ)
  8. ^ マッコイ(1973年、17ページ)
  9. ^ 「単位元| Brilliant Math&ScienceWiki」brilliant.org 2019年12月1日取得
  10. ^ Beauregard&Fraleigh(1973、p。135)
  11. ^ フレイリー(1976年、198ページ)
  12. ^ マッコイ(1973年、22ページ)
  13. ^ フレイリー(1976年、198ページ、266ページ)
  14. ^ ヘルシュタイン(1964年、106ページ)
  15. ^ マッコイ(1973年、22ページ)

参考文献

さらに読む

  • M. Kilp、U。Knauer、AV Mikhalev、Monoids 、Acts and Categorys with Applications to Wreath Products and Graphs、De Gruyter Expositions in Mathematicsvol。29、Walter de Gruyter、2000、ISBN 3-11-015248-7、p。14〜15