最高平均方式

ウィキペディアから、無料の百科事典
ナビゲーションにジャンプ 検索にジャンプ

最高平均方式は、除数法とも呼ばれ、政党連邦州などの代理人の間で議会の議席を割り当てるための方法のクラスです除数法は反復法です。各反復で、各当事者の投票数は、その当事者に現在割り当てられているシート数(最初は0)の関数である除数で除算されます。次の席は、結果の比率が最大のパーティに割り当てられます。[1]

定義

除数メソッドへの入力は、 hで示される割り当てられるシートの数と、パーティのエンタイトルメントのベクトルです。ここで、パーティのエンタイトルメントはで示されます(0から1までの数字で、座席の割合を決定します権利があります)。すべての投票がカウントされると仮定すると、単に受け取った投票数です、総投票数で割った値。

手順の定義

除数法は関数によってパラメータ化されます、各整数のマッピング実数(通常は範囲内))。

パーティーに割り当てられた座席数で示されます最初は、すべてのパーティで0に設定されます。次に、各反復で、次のシートが比率を最大化するパーティーに割り当てられます このメソッドは、すべてのシートが割り当てられるまで、 h回の反復で続行されます。

乗数の定義

同等の定義は、次のように除数法の結果を直接与えます。

選挙の場合、が計算されます。通常、総投票数を割り当てられる議席数で割ったものです(ヘアクォータ)。次に、締約国は、投票総数を商で割ることにより、獲得した商の数を決定することにより、議席を割り当てられます。パーティーが商の端数を獲得した場合、これは切り捨てるか、最も近い整数に切り捨てることができます。切り捨てはドント方式を使用するのと同じですが、最も近い整数に丸めるのはサンラグ方式と同じです。切り上げは、Adamsの方法を使用するのと同じです。ただし、四捨五入のため、必ずしも希望の座席数が埋まるとは限りません。その場合、四捨五入後の座席数が希望の座席数になるまで商を上下に調整することができます。

D'HondtまたはSainte-Laguëメソッドで使用されるテーブルは、指定されたシート数に四捨五入するために可能な最高の商を計算するものと見なすことができます。たとえば、ドント方式の計算で最初の議席を獲得する商は、切り捨てられたときに1つの当事者の投票が、1割り当てを超えて、1議席を割り当てることができる最高の商です。第2ラウンドの商は、合計2シートを割り当てることができる最高の除数であり、以下同様です。

正式には、資格のベクトルが与えられますと家のサイズ、除数メソッドは次のように定義できます。

ここで、丸めの方法は除数関数dによって定義されます。

最大最小定義

すべての除数メソッドは、最小-最大不等式を使用して定義できます。aは、除数dを使用した除数メソッドの割り当てです。if -and-only-if [2]:78–81 

範囲内のすべての数値可能な除数です。範囲が空でない場合(つまり、不等式が厳密である場合)、解は一意です。それ以外の場合(不等式は等式です)、複数の解決策があります。[2]:83 

特定の除数メソッド

最も一般的な除数の方法は次のとおりです。

  • アダムスの方法-使用、これは切り上げに対応します。
  • ディーンの方法-使用 、「調和丸め」に対応します。
  • Huntington–Hillメソッド-使用 、「幾何学的な丸め」に対応します。
  • Webster /Sainte-Laguëメソッド-使用 、これは最も近い整数への丸めに対応します。
  • D'Hondt / Jeffersonメソッド-使用、これは切り捨てに対応します。

以下で説明するように、それらは異なるプロパティを持っています。

ドント方式

最も広く使用されている除数シーケンスは、除数関数に対応する1、2、3、4などです。これは、ドント方式と呼ばれます。[3]このシステムは、大規模な政党に有権者の部分よりもわずかに大きな議席を与える傾向があるため、過半数の有権者がいる政党が少なくとも半分の議席を獲得することが保証されます。

Webster /Sainte-Laguëメソッド

Webster /Sainte-Laguë法は、各当事者の投票数を奇数( 1、3、5、7など)、または同等に0.5、1.5、2.5、3.5などで除算します。これは除数関数に対応します。

投票の過半数が議席の半分未満を獲得することにつながる可能性はありますが、総投票数に占める政党の割合と議席割り当てに占める割合の比較では、ドント方式よりも比例していると見なされることがあります。このシステムは、ドント方式よりも小規模なパーティに有利であるため、分割を促進します。

Webster /Sainte-Laguëの方法は、最初の除数を1からたとえば1.4に増やすことで変更されることがあり、非常に小規模なパーティーが「安すぎる」最初の席を獲得するのを思いとどまらせます。

インペリアーリ

もう1つの最高平均方式は、Imperialiと呼ばれます(最大剰余方式であるImperialiクォータと混同しないでください)。除数は1、1.5、2、2.5、3、3.5など、または同等に2、3、4、5などで、除数関数に対応します。これは、「カットオフ」に似た最小の政党を嫌うように設計されており、ベルギーの地方選挙でのみ使用されます。この方法は(他のリストされている方法とは異なり)厳密に比例しているわけではありません。完全に比例した割り当てが存在する場合、それを見つけることは保証されません。

ハンティントンヒル法

Huntington–Hill法では、除数関数は次のようになります。、これは、すべての政党が少なくとも1議席を保証されている場合にのみ意味があります。この効果は、指定された票数より少ない票を受け取った政党を失格にすることによって達成できますこの方法は、州間で 米国下院の議席を割り当てるために使用されます。

デンマークの方法

デンマークの方法は、デンマークの選挙で、選挙区レベルでの各政党の代償議席(または平準化議席)を個々の複数メンバーの選挙区に割り当てるために使用されます。これは、複数メンバーの構成員の当事者が受け取った投票数を、3に等しい約数(1、4、7、10など)で除数で除算します。または、投票数を0.33、1.33、2.33、3.33などで割ると同じ結果になります。除数関数はこのシステムは、意図的に座席を均等に割り当てるのではなく、均等に割り当てようとします。[4]

アダムスの方法

アダムズの方法は、ジョン・クインシー・アダムズが下院の議席を州に配分するために考案したものです。[5]彼は、より小さな州に割り当てる議席が少なすぎるというジェファーソンの方法を認識した。これは、ジェファーソンの方法の逆として説明できます。シートが追加される前に、シートあたりの投票数が最も多いパーティにシートが付与されます。除数関数は[6]

Huntington-Hill法と同様に、これにより、各党の最初の議席の値が0になり、平均が∞になります。割り当ての低いルールにのみ違反する可能性があります。[7]これは以下の例で発生します。

しきい値がない場合、少なくとも1票を獲得したすべての政党も議席を獲得します。ただし、議席よりも政党が多い場合は例外です。このプロパティは、たとえば選挙区に議席を割り当てる場合に望ましい場合があります。少なくとも地区と同じ数の議席がある限り、すべての地区が代表されます。政党名簿比例代表選挙では、非常に小さな政党が議席を獲得する可能性があります。さらに、純粋なAdamsの方法でのクォータルール違反は非常に一般的です。[8]これらの問題は、選挙のしきい値 を導入することで解決できる可能性があります[6]

比較例

次の例では、総投票数は100,000です。10席あります。「ピンク」の表の各セルの数字は、投票数を対応する除数で割ったものです。たとえば、D'Hondtの方法の場合、行、数字は単に当事者の投票です()。行で、数字は投票数を2で割ったものです。サンラグ方式の場合、行、数字は投票を3で割ったもの(除数のシーケンスの2番目の要素)などです。

ドント方式 サンラグエ法

(変更なし:シーケンス1、3、5、7 ...)

サンラグエ法

(変更:シーケンス1.4、3、5、7 ...)

ハンティントンヒル法[a] 純粋なアダムスの方法 アダムスの方法

しきい値= 1

パーティ 青い ピンク 青い ピンク 青い ピンク 青い ピンク 青い ピンク 青い ピンク
投票 47,000 16,000 15,900 12,000 6,000 3,100 47,000 16,000 15,900 12,000 6,000 3,100 47,000 16,000 15,900 12,000 6,000 3,100 47,000 16,000 15,900 12,000 6,000 3,100 47,000 16,000 15,900 12,000 6,000 3,100 47,000 16,000 15,900 12,000 6,000 3,100
座席 5 2 2 1 0 0 4 2 2 1 1 0 5 2 2 1 0 0 5 2 2 1 0 0 3 2 2 1 1 1 4 2 2 2 0 0
投票/座席 9,400 8,000 7,950 12,000 11,750 8,000 7,950 12,000 6,000 9,400 8,000 7,950 12,000 9,400 8,000 7,950 12,000 15,667 8,000 7,950 12,000 6,000 3,100 11,750 8,000 7,950 6,000
0 47,000 16,000 15,900 12,000 6,000 3,100 47,000 16,000 15,900 12,000 6,000 3,100 33,571 11,429 11,357 8,571 4,286 2,214 除外 除外
1 23,500 8,000 7,950 6,000 3,000 1,550 15,667 5,333 5,300 4,000 2,000 1,033 15,667 5,333 5,300 4,000 2,000 1,033 33,234 11,314 11,243 8,485 47,000 16,000 15,900 12,000 6,000 3,100 47,000 16,000 15,900 12,000
2 15,667 5,333 5,300 4,000 2,000 1,033 9,400 3,200 3,180 2,400 1,200 620 9,400 3,200 3,180 2,400 1,200 620 19,187 6,531 6,491 4,898 23,500 8,000 7,950 6,000 3,000 1,550 23,500 8,000 7,950 6,000
3 11,750 4,000 3,975 3,000 1,500 775 6,714 2,857 2,271 1,714 875 443 6,714 2,857 2,271 1,714 875 443 13,567 4,618 4,589 3,464 15,667 5,333 5,300 4,000 2,000 1,033 15,667 5,333 5,300 4,000
4 9,400 3,200 3,180 2,400 1,200 620 5,222 1,778 1,767 1,333 667 333 5,222 1,778 1,767 1,333 667 333 10,509 3,577 3,555 2,683 11,750 4,000 3,975 3,000 1,500 775 11,750 4,000 3,975 3,000
5 7,833 2,667 2,650 2,000 1,000 517 4,273 1,454 1,445 1,091 545 282 4,273 1,454 1,445 1,091 545 282 8,580 2,921 2,902 2,190 9,400 3,200 3,180 2,400 1,200 620 9,400 3,200 3,180 2,400
シート 座席割り当て
1 47,000 47,000 33,571 除外 除外
2 23,500 16,000 15,667
3 16,000 15,900 11,429
4 15,900 15,667 11,357
5 15,667 12,000 9,400 33,234 47,000
6 12,000 9,400 8,571 19,187 23,500
7 11,750 6,714 6,714 13,567 47,000 16,000
8 9,400 6,000 5,333 11,314 23,500 15,900
9 8,000 5,333 5,300 11,243 16,000 15,667
10 7,950 5,300 5,222 10,509 15,900 12,000

例に見られるように、D'Hondt、Sainte-Laguë、およびHuntington-Hillは、座席の割り当てを最大化しようとしている当事者によるさまざまな戦略を可能にします。D'HondtとHuntington–Hillはパーティの統合を支持できますが、Sainte-Laguëは分割パーティを優先できます(変更されたSaint-Laguëは分割の利点を減らします)。

これらの例では、D'HondtとHuntington–Hillの下で、YellowsとGreensを組み合わせると追加のシートが得られますが、Sainte-Laguëの下では、それぞれ約7,833票の6つのリストに分割するとYellowsが得られます。

プロパティ

すべての除数メソッドは、匿名性、バランス、一致、正確性、および完全性の基本的な特性を満たします。

すべての除数法は、家の単調性を満たします。これは、議会の議席数が増えても、どの州も議席を失うことはないということを意味します。[9] :Cor.4.3.1 これは、メソッドの反復的な説明から明らかです。シートが追加されても、最初のプロセスは同じままで、追加の反復に進むだけです。言い換えれば、除数法はアラバマのパラドックスを回避します。

さらに、すべての除数法は、ペアワイズ母集団単調性を満たします。つまり、ある政党の票数が他の政党の票数よりも速い割合で増加した場合、最初の政党が議席を失い、2番目の政党が議席を獲得することは起こりません。さらに、除数法は、この形式の単調性を満たす唯一の方法であることが証明されています。[9] :Thm.4.3  言い換えると、除数法は、母集団のパラドックスを回避する唯一の方法です。

マイナス面として、除数メソッドはクォータルールに違反する可能性があります。一部のエージェントには、下限クォータよりも小さい(クォータが切り捨てられる)か、上限クォータよりも多くなる(クォータが切り上げられる)可能性があります。これは、クォータキャップされた除数メソッドを使用して修正できます(以下を参照)。

シミュレーション実験[10]は、除数の方法が異なれば、割り当てに違反する確率も大きく異なることを示しています(指数分布によって投票数が選択された場合)。

  • AdamsとD'Hondtの確率は98%です。
  • 最小要件が1のD'Hondtの確率は78%です。
  • ディーンの確率は約9%、ハンティントンヒルの確率は約4%です。
  • Websterの確率は最小で、わずか0.16%です。

除数が次の形式の場合、除数メソッドは定常[11] :68 と呼ばれます。実数の場合Adams、Webster、およびDHondtのメソッドは固定されていますが、DeanおよびHuntington-Hillのメソッドは固定されていません。

クォータキャップ除数法

クォータ上限除数方式は、次のシートが一連の適格なパーティのパーティにのみ割り当てられる配分方式です適格な当事者は、次の2つの条件を満たす必要があります。

  • 現在の割り当ては、上限クォータよりも小さくなっています(クォータは、次のシートを含むシートの総数に基づいて計算されます)。
  • 彼らに追加​​の議席を与えても、他の州から彼らのより低い割り当てを奪うことはありません。

正式には、各反復で(の割り当てに対応-番目のシート)、次のセットが計算されます(定義と表記法については 、配分の数学を参照してください)。

  • は、上限割り当てに違反することなく追加のシートを取得できる一連のパーティです。つまり、
  • は、将来の反復でシート数が下限クォータを下回る可能性があるパーティのセットです。 最小の整数の場合そのためにそのようなものがない場合それからすべての状態が含まれます。

-パーティーに席が与えられますその比率最大です。

Balinsky - Youngクォータ方式[12]は、D'Hondt方式(別名:Quota - Jefferson)のクォータ上限付きバリアントです。同様に、Quota-Webster、Quota-Adamsなどを定義できます。[13]

すべてのクォータキャップ除数法は、ハウスの単調性を満たします。適格性が上記のクォータに基づいている場合、クォータ上限除数法は定義上、上限クォータを満たし、下限クォータも満たすことが証明できます。[14] :Thm.7.1 

ただし、クォータ上限除数法は、人口単調性の特性に違反する可能性があります。一部のパーティiがより多くの票を獲得し、他のすべてのパーティが同じ票数を獲得する可能性がありますが、パーティiは議席を失います。[14] :Tbl.A7.2  [15]これは、パーティiがより多くの票を獲得したために、他のパーティjの上限割り当てが減少した場合に発生する可能性があります。したがって、パーティjは現在のイテレーションのシートに適格ではなく、一部のサードパーティが次のシートを受け取ります。しかし、次の反復で、パーティjは再びシートの資格があり、パーティiを打ち負かします。すべてのクォータ上限除数メソッドに同様の例があります。

ランクインデックスメソッド

ランクインデックス法[16] :Sec.8 除数法の一般化です別の用語はハンティントン法であり[17] 、エドワード・ベルミリエ・ハンティントンによるアイデアを一般化したものです。

入出力

すべての配分方法と同様に、ランクインデックス方法の入力は次のとおりです。

  • 正の整数割り当てるアイテムの総数を表します。多くの場合、割り当てるアイテムは衆議院の議席であるため、これは家のサイズとも呼ばれます。
  • 正の整数アイテムを割り当てる必要があるエージェントの数を表します。たとえば、これらは連邦州または政党である可能性があります。
  • 分数のベクトル、資格を表す-エージェントの資格を表します、つまり、対象となるアイテムの割合権利があります(の合計のうち)。

その出力は整数のベクトルです、の配分呼ばれる、 どこエージェントiに割り当てられたアイテムの数です

反復手順

すべてのランクインデックスメソッドは、ランクインデックス関数によってパラメーター化されます 、資格が増えています現在の割り当てが減少しています配分は、次のように繰り返し計算されます。

  • 最初に設定しますすべてのパーティで0になります。
  • 各反復で、エージェントに1つのアイテムを割り当てます。最大です(任意にタイを解除します)。
  • 後で停止します反復。

除数メソッドは、ランクインデックスメソッドの特殊なケースです。除数関数を使用した除数メソッドです。ランクインデックス関数を使用したランクインデックスメソッドと同等です

最小-最大定式化

すべてのランクインデックスメソッドは、最小-最大不等式を使用して定義できます。aは、関数rを使用したランクインデックスメソッドの割り当てです。if -and-only-if:[16] :Thm.8.1 

プロパティ

すべてのランクインデックスメソッドはhouse-monotoneです。これは、増加すると、各エージェントの割り当てはわずかに増加します。これは、反復手順の直後に続きます。

すべてのランクインデックスメソッドは均一です。これは、エージェントのサブセットを取得することを意味します、およびそれらの組み合わせた割り当てに同じ方法を適用します、結果は正確にベクトルです言い換えれば、公平な配分のすべての部分も公平です。これは、最小-最大不等式の直後に続きます。

さらに:

  • 均一対称的バランスの取れたすべての配分方法は、ランクインデックス方法である必要があります。[16] :Thm.8.3 
  • 均一で、ハウスモノトーンで、バランスの取れたすべての配分方法は、ランクインデックス方法である必要があります。[17]

メモ

  1. ^ 除外されたパーティは、使用されている基本クォータに関係なく、 Hareであっても変更されません。 ドループ 、またはImperiali

参考文献

  1. ^ ノリス、ピッパ(2004)。選挙工学:投票規則と政治的行動ケンブリッジ大学出版局。p。 51ISBN 0-521-82977-1
  2. ^ a b Pukelsheim、Friedrich(2017)、Pukelsheim、Friedrich(ed。)、"Divisor Methods of Apportionation:Divide and Round"Proportional Representation:Apportionation Methods and their Applications、Cham:Springer International Publishing、pp。71–93、土井10.1007 / 978-3-319-64707-4_4ISBN 978-3-319-64707-42021-09-01を取得
  3. ^ Gallagher、Michael(1991)。「比例、不均衡および選挙制度」(PDF)選挙研究10(1):33–51。土井10.1016 / 0261-3794(91)90004-C2016年3月4日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました2016年1月30日取得
  4. ^ 「デンマークの議会選挙制度」
  5. ^ 「米国議会の議員の配分-アダムズの配分方法|アメリカ数学協会」www.maa.org 2020年11月11日取得
  6. ^ a b Gallagher、Michael(1992)。「比例代表選挙制度の比較:割当、閾値、パラドックスおよび多数派」(PDF)ブリティッシュジャーナルオブポリティカルサイエンス22(4):469–496。土井10.1017 / S0007123400006499ISSN0007-1234_  
  7. ^ Iian、Smythe(2015年7月10日)。「MATH1340—数学と政治」(PDF)2020年11月11日取得
  8. ^ 一森哲夫(2010)。「新しい配分方法とその割り当てプロパティ」JSIAMレター2:33–36。土井10.14495 /jsiaml.2.33ISSN1883-0617_ 
  9. ^ a b Balinski、Michel L。; ヤング、H。ペイトン(1982)。公正な表現:1人の男性、1票の理想を満たすニューヘブン:エール大学プレス。ISBN 0-300-02724-9
  10. ^ 「RangeVoting.org-配分方法」rangevoting.org 2021年8月6日取得
  11. ^ Pukelsheim、Friedrich(2017)、Pukelsheim、Friedrich(ed。)、"From Reals to Integers:Rounding Functions and Rounding Rules"Proportional Representation:Apportionation Methods and their Applications、Cham:Springer International Publishing、pp。59–70、土井10.1007 / 978-3-319-64707-4_3ISBN 978-3-319-64707-42021-09-01を取得
  12. ^ Balinski、ML; ヤング、HP(1975-08-01)。「配分の割り当て方法」アメリカンマスマティカルマンスリー82(7):701–730。土井10.1080 /00029890.1975.11993911ISSN0002-9890_ 
  13. ^ それでも、ジョナサンW.(1979-10-01)。「議会の配分のための新しい方法のクラス」応用数学に関するSIAMジャーナル37(2):401–418。土井10.1137 / 0137031ISSN0036-1399_ 
  14. ^ a b Balinski、Michel L。; ヤング、H。ペイトン(1982)。公正な表現:1人の男性、1票の理想を満たすニューヘブン:エール大学プレス。ISBN 0-300-02724-9
  15. ^ 「RangeVoting.org-配分および丸めスキーム」rangevoting.org 2021年8月6日取得
  16. ^ a b c Balinski、Michel L。; ヤング、H。ペイトン(1982)。公正な表現:1人の男性、1票の理想を満たすニューヘブン:エール大学プレス。ISBN 0-300-02724-9
  17. ^ a b Balinski、ML; ヤング、HP(1977-12-01)。「ハンティントンの配分方法について」応用数学に関するSIAMジャーナル33(4):607–618。土井10.1137 / 0133043ISSN0036-1399_