ジオメトリ

ウィキペディアから、無料の百科事典
ナビゲーションにジャンプ 検索にジャンプ

幾何学古代ギリシャ語から:γεωμετρία ; geo- "earth"、- metron "measurement")は、算術で、数学の最も古い分野の1つですそれは、距離、形、サイズ、および図形の相対的な位置に関連する空間のプロパティに関係しています。[1]幾何学の分野で働く数学者は、幾何学者と呼ばれます。

19世紀まで、幾何学はほとんどユークリッド幾何学専念していました[a]。これには、基本的な概念として、平面距離角度表面、および曲線の概念が含まれます。[2]

19世紀の間に、いくつかの発見が幾何学の範囲を劇的に拡大しました。そのような最も古い発見の1つは、表面のガウス曲率がユークリッド空間への特定の埋め込みから独立していることを大まかに主張するガウス驚異の定理(「注目すべき定理」)です。これは、表面が本質的に、つまり独立した空間として研究でき、多様体リーマン幾何学の理論に拡張されたことを意味します。

19世紀後半には、平行線公準のない幾何学(非ユークリッド幾何学)は、矛盾を導入することなく開発できるように見えました。一般相対性理論の根底にある幾何学は、非ユークリッド幾何学の有名な応用です。

それ以来、幾何学の範囲は大幅に拡大され、フィールドは、基礎となる方法に依存する多くのサブフィールドに分割されました—微分幾何学代数幾何学計算幾何学代数トポロジー離散幾何学(組み合わせ幾何学としても知られています)、など、または無視されるユークリッド空間のプロパティについては、点の位置合わせのみを考慮し、距離と平行度は考慮しない射影幾何学、角度と距離の概念を省略したアフィン幾何学、連続性を省略した有限幾何学など。

もともと物理的な世界をモデル化するために開発された幾何学は、ほとんどすべての科学に適用され、芸術建築、およびグラフィックスに関連するその他の活動にも適用されます。[3]幾何学は、明らかに無関係な数学の分野にも応用されています。たとえば、代数幾何学の方法は、ワイルズによるフェルマーの最後の定理の証明の基本であり、初等算術の観点から述べられた問題であり、数世紀の間未解決のままでした。

歴史

15世紀に幾何学を実践しているヨーロッパ人アラブ人

幾何学の最も初期の記録された始まりは、紀元前2千年紀の古代メソポタミアエジプトにさかのぼることができます。[4] [5]初期の幾何学は、長さ、角度、面積、および体積に関する経験的に発見された原則のコレクションであり、測量建設天文学、およびさまざまな工芸品の実際のニーズを満たすために開発されました。幾何学に関する最も初期の既知のテキストは、エジプトの リンドパピルス(紀元前2000年から1800年)とモスクワパピルス(紀元前1890年頃)、およびプリンプトン322などのバビロニアの粘土板です。(紀元前1900年)。たとえば、モスクワ数学パピルスは、角錐台または錐台の体積を計算するための式を提供します。[6]後の粘土板(紀元前350〜50年)は、バビロニアの天文学者が時間速度空間内で木星の位置と動きを計算するための台形手順を実装したことを示しています。これらの幾何学的手順は、平均速度定理を含むオックスフォード計算者を14世紀までに予測していました。[7]エジプト南部では、古代ヌビア人が初期の太陽時計を含む幾何学体系を確立しました。[8] [9]

紀元前7世紀、ギリシャの数学者タレスオブミレトゥスは幾何学を使用して、ピラミッドの高さや岸からの船の距離の計算などの問題を解決しました。彼は、タレスの定理に4つの結果を導き出すことにより、幾何学に適用された演繹的推論の最初の使用でクレジットされています。[10]ピタゴラスは、ピタゴラス定理最初の証明であるとされているピタゴラス学校を設立しました[11] が、定理の記述には長い歴史があります。[12] [13]エウドクソス(紀元前408年から355年頃)は、取り尽くし法を開発しました。 、曲線図形の面積と体積の計算を可能にし[14] 、また、通約不可能な大きさの問題を回避する比率の理論により、後続の幾何学者は大幅な進歩を遂げることができました。紀元前300年頃、幾何学はユークリッドによって革命を起こしました。ユークリッドの要素は、これまでで最も成功し影響力のある教科書と広く見なされており[15] 、公理的手法を通じて数学の厳密さを導入し、今日でも数学で使用されている形式の最も初期の例です。定義、公理、定理、および証明の。要素の内容のほとんどがすでに知られていましたが、Euclidはそれらを単一の一貫した論理フレームワークに配置しました。[16] Elementsは、20世紀半ばまで西部のすべての教育を受けた人々に知られており、その内容は今日でも幾何学の授業で教えられています[17] シラキュースのアルキメデス(紀元前287年から212年頃)は、尽きる方法を使用して、無限級数合計で放物線の弧の下の面積を計算し、非常に正確な円周率の近似を与えました。[18]彼はまた、彼の名前を冠したスパイラルを研究し、回転面体積

幾何学を教える女性ユークリッド原論の中世の翻訳の冒頭の図解(1310年頃)。

インドの数学者も幾何学において多くの重要な貢献をしました。Satapatha Brahmana(紀元前3世紀)には、SulbaSutrasに似た儀式の幾何学的構造の規則が含まれています。[19]Hayashi 2005p。363 )によると、シュルバ・スートラには「世界で最も初期の現存するピタゴラス定理の表現が含まれていますが、それはすでに旧バクシャーリー写本に知られていました。ピタゴラストリプルのリストが含まれています。 [20]これはディオファントス方程式 の特定のケースです[21]バクシャーリー写本、いくつかの幾何学的問題があります(不規則な固体の体積に関する問題を含む)。バクシャーリー写本はまた、「ゼロをドットで表す小数点以下の桁数のシステムを採用しています」。[22] AryabhataAryabhatiya(499)には、面積と体積の計算が含まれています。 ブラフマグプタは、628年に彼の天文学作品BrāhmaSphuṭaSiddhāntaを書きました。66のサンスクリットの詩を含む第12章は、「基本操作」(立方根、分数、比率と比率、およびバーターを含む)と「実用数学」(混合、数学的シリーズ、平面図、積み重ねレンガ、木材の鋸引き、および穀物の積み重ね)。[23]後者のセクションで、彼は共円四辺形の対角線に関する彼の有名な定理を述べま​​した。第12章には、共円四辺形の面積の公式(ヘロンの公式の一般化)、および有理三角形つまり、有理辺と有理面積を持つ三角形)の完全な説明も含まれています。[23]

中世、中世のイスラム教の数学が幾何学、特に代数幾何学の発展に貢献しました[24] [25] Al-Mahani(b。853)は、立方体を代数の問題に複製するなど、幾何学的な問題を減らすというアイデアを思いついた。[26] ThābitibnQurra (ラテン語でThebitとして知られている)(836–901)は、幾何学的量の比率に適用される算術演算を扱い、解析幾何学の開発に貢献しました[27] OmarKhayyám(1048–1131)は、三次方程式の幾何学的解を見つけました [28]ランバート四辺形サッケリ四辺形を含む四辺形に関するイブン・アル・ハイサム(アルハーゼン)、オマール・カヤム、ナシル・アル・ディン・アル・トゥシ の定理は、双曲幾何学の初期の結果であり、それらの代替の仮定とともに、Playfairの公理として、これらの作品は、 Witelo (c。1230–c。1314)、 Gersonides(1288–1344)、AlfonsoJohn WallisGiovanni Girolamoなど、後のヨーロッパの幾何学における非ユークリッド幾何学の発展に大きな影響を与えましたサッケリ[疑わしい ] [29]

17世紀初頭、幾何学には2つの重要な発展がありました。1つ目は、ルネ・デカルト(1596–1650)とピエール・ド・フェルマー(1601–1665)による解析幾何学、または座標方程式を使用した幾何学の作成でした。[30]これは、微積分の開発と物理学の正確な定量的科学の必要な前兆でした[31]この時期の2番目の幾何学の発展は、ジラール・デザルグ(1591–1661)による射影幾何学の体系的な研究でした。[32]射影幾何学は、下で変化しない形状の特性を研究します特に芸術的な視点に関連する投影セクション[33]

19世紀の幾何学の2つの発展は、それが以前に研究されていた方法を変えました。[34]これらは、ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキー、ヤノス・ボリヤイ、カール・フリードリヒ・ガウスによる非ユークリッド幾何学の発見と、フェリックス・クラインのアーランゲン・プログラム(ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学を一般化した)の中心的な考慮事項としての対称性の定式化でした。 )。当時のマスタージオメトリの2つは、主に数学的分析のツールを使用してリーマン面導入したベルンハルトリーマン(1826〜1866)と、の創設者であるアンリポアンカレでした。代数トポロジー力学系の幾何学理論。幾何学の概念におけるこれらの大きな変化の結果として、「空間」の概念は豊かで多様なものになり、複雑な分析古典力学と同じくらい異なる理論の自然な背景になりました。[35]

主なコンセプト

以下は、ジオメトリの最も重要な概念の一部です。[2] [36] [37]

公理

ユークリッドの平行線公準の図

ユークリッドは、これまでに書かれた中で最も影響力のある本の1つである、彼のElements [38]幾何学に抽象的なアプローチを取りました。[39]ユークリッドは、点、線、および平面の主要なまたは自明の特性を表現する特定の公理、または仮定を導入しました。[40]彼は数学的推論によって他の特性を厳密に推論し始めた。ユークリッドの幾何学へのアプローチの特徴はその厳密さであり、公理的または合成幾何学として知られるようになりました。[41] 19世紀の初めに、非ユークリッド幾何学の発見ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキー(1792–1856)、ヤノス・ボリヤイ(1802–1860)、カール・フリードリヒ・ガウス(1777–1855)など[42]は、この分野への関心の復活につながり、20世紀にはダフィット・ヒルベルト(1862) –1943)幾何学の現代的な基盤を提供するために、公理的推論を採用しました。[43]

オブジェクト

ポイント

ポイントは一般に、ジオメトリを構築するための基本的なオブジェクトと見なされます。それらは、ユークリッドの「部分のないもの」[44]としての定義のように、または合成幾何学のように、thayが持たなければならない特性によって定義される場合があります。現代の数学では、それらは一般に、それ自体が公理的に定義されている空間と呼ばれる集合の要素として定義されます。

これらの最新の定義では、すべての幾何学的形状が一連の点として定義されます。これは、線が通過する点のセットとして表示されない別の基本的なオブジェクトである合成ジオメトリには当てはまりません。

ただし、ポイントがプリミティブオブジェクトではない、またはポイントがない場合でも、最新のジオメトリがあります。[45] [46]そのような最も古い幾何学の1つは、1919年から1920年に アルフレッドノースホワイトヘッドによって策定されたホワイトヘッドのポイントフリー幾何学です。

ユークリッドは、線を「それ自体の点に関して等しくある」「幅のない長さ」と表現しました。[44]現代の数学では、幾何学が多数あることを考えると、線の概念は幾何学の記述方法と密接に関係しています。たとえば、解析幾何学では、平面内の線は、座標が特定の一次方程式満たす点のセットとして定義されることがよくあります[47]が、接続幾何学などのより抽象的な設定では、線は独立したオブジェクトである場合があります、その上にあるポイントのセットとは異なります。[48]微分幾何学では、測地線は線の概念を一般化したものです。湾曲したスペース[49]

プレーンズ

ユークリッド幾何学では、平面は無限に伸びる平らな2次元の表面です。[44]他のタイプの幾何学の定義は、その一般化です。平面は、ジオメトリの多くの領域で使用されます。たとえば、平面は、距離や角度を参照せずにトポロジカルサーフェスとして調べることができます。[50]それはアフィン空間として研究することができます。そこでは、共線性と比率は研究できますが、距離は研究できません。[51]複素解析の手法を使用して、複素平面として研究できます[52]など。

角度

ユークリッドは、平面角度を、平面内で、互いに交わり、互いに真っ直ぐにならない2本の線の互いに対する傾きとして定義します。[44]現代の用語では、角度は、角度の頂点と呼ばれる共通の端点を共有する、角度の側面と呼ばれる2つの光線によって形成される図形です。[53]

鋭角(a)、鈍角(b)、および直線(c)の角度。鋭角と鈍角は、斜角とも呼ばれます。

ユークリッド幾何学では、角度は多角形三角形を研究するために使用されるだけでなく、それ自体で研究対象を形成するためにも使用されます。[44]三角形の角度または単位円内の角度の研究は、三角法の基礎を形成します[54]

微分幾何学微積分学では、平面曲線または空間曲線または表面の間の角度は、導関数を使用して計算できます[55] [56]

カーブ

曲線は、直線(線のように)でもそうでない場合もある1次元のオブジェクトです2次元空間の曲線は平面曲線と呼ばれ、3次元空間の曲線は空間曲線と呼ばれます。[57]

トポロジーでは、曲線は実数の間隔から別の空間への関数によって定義されます。[50]微分幾何学では、同じ定義が使用されますが、定義関数は微分可能である必要があります[58]代数幾何学は、次元1の代数多様体として定義される代数曲線を研究します。[59]

表面

球は、パラメトリックにx = rsinθcosφ y = rsinθsinφ z = rcosθによってまたは暗黙的にx 2 + y 2 + z 2 r 2 =によって定義できる表面です 0。

サーフェスは、球や放物面などの2次元オブジェクトです。[60]微分幾何学[58]トポロジーでは[50]表面は、それぞれ微分同相写像または同相写像によって組み立てられる2次元の「パッチ」(または近傍)によって記述されます。代数幾何学では、表面は多項式で記述されます。[59]

マニホールド

マニホールドは、カーブとサーフェスの概念を一般化したものですトポロジーでは、多様体は、すべての点がユークリッド空間に同相である近傍を持つ位相空間です。[50]微分幾何学では可微分多様体は、各近傍がユークリッド空間と微分同相写像である空間です。[58]

マニホールドは、一般相対性理論弦理論など、物理学で広く使用されています[61]

長さ、面積、体積

長さ面積、および体積は、それぞれ1次元、2次元、および3次元のオブジェクトのサイズまたは範囲を表します。[62]

ユークリッド幾何学解析幾何学では、線分の長さはピタゴラスの定理によって計算できることがよくあります。[63]

面積と体積は、長さとは別の基本量として定義することも、平面または3次元空間の長さで記述および計算することもできます。[62]数学者は、さまざまな幾何学的オブジェクトの面積公式と体積の公式を数多く見つけました。微積分では、面積と体積は、リーマン積分[64]ルベーグ積分などの積分で定義できます[65]

指標と測定

紀元前500〜200年の周髀算のように、(3、4、5)三角形のピタゴラス定理を視覚的に確認します。ピタゴラスの定理は、ユークリッド距離の結果です。

長さまたは距離の概念を一般化して、メトリックの概念に導くことができます。[66]たとえば、ユークリッドメトリックはユークリッド平面内のポイント間の距離を測定し、双曲メトリックは双曲平面内の距離を測定します。メトリックの他の重要な例には、特殊相対性理論のローレンツメトリック一般相対性理論のセミリーマンメトリックが含まれます。[67]

別の方向では、長さ、面積、体積の概念は、測度論によって拡張されます。測度論は、サイズまたは測度集合に割り当てる方法を研究します。測度は、古典的な面積と体積の規則と同様の規則に従います。[68]

合同と類似性

合同類似性は、2つの形状が類似した特性を持つ場合を説明する概念です。[69]ユークリッド幾何学では、類似性は同じ形状のオブジェクトを表すために使用され、合同はサイズと形状の両方で同じオブジェクトを表すために使用されます。[70] ヒルベルトは、幾何学のためのより厳密な基盤を作成することに関する彼の研究において、合同を、その特性が公理によって定義される未定義の用語として扱った

合同と類似性は、さまざまな種類の変換によって保持される幾何学的オブジェクトのプロパティを研究する変換ジオメトリで一般化されます。[71]

コンパスと直定規の構造

古典的な幾何学者は、他の方法で記述された幾何学的オブジェクトの構築に特別な注意を払いました。古典的に、ほとんどの幾何学的構造で使用される唯一の楽器は、コンパス直定規です。[b]また、すべての建設は有限のステップ数で完了する必要がありました。しかし、これらの手段だけでは解決が困難または不可能な問題がいくつかあり、ネウシス作図、放物線などの曲線、または機械装置を使用した独創的な構造が見つかりました。

寸法

コッホスノーフレークフラクタル次元= log4 / log3およびトポロジー次元= 1

従来の幾何学では次元1()、2(平面)、3( 3次元空間として考えられている周囲の世界)が許可されていましたが、数学者や物理学者は2世紀近くにわたってより高い次元を使用してきました。[72]より高い次元の数学的な使用の一例は、システムの自由度に等しい次元を持つ物理システムの構成空間です。たとえば、ネジの構成は5つの座標で表すことができます。[73]

一般的なトポロジーでは、次元の概念は自然数から無限次元(ヒルベルト空間など)および正の実数フラクタル幾何学)に拡張されています。[74]代数幾何学では、代数多様体次元は、最も一般的な場合にすべて同等である、明らかに異なる多くの定義を受けています。[75]

対称

幾何学の対称性のテーマは、幾何学自体の科学とほぼ同じくらい古いものです。[76]正多角形、正多面体などの対称形状は、多くの古代哲学者にとって深い意味を持っており[77]、ユークリッドの時代以前に詳細に調査されていました。[40]対称的なパターンは自然界に存在し、レオナルド・ダ・ヴィンチMCエッシャーなどのグラフィックを含む、さまざまな形で芸術的に表現されました[78] 19世紀の後半には、対称性と幾何学の関係が厳しく監視されました。フェリックス・クラインエアランゲンプログラムは、非常に正確な意味で、変換グループの概念を介して表現される対称性が、どのジオメトリであるかを決定すると宣言しました。[79]古典的なユークリッド幾何学の対称性は、合同と剛体運動によって表されますが、射影幾何学では、直線を直線に変換する幾何学的変換であるコリネーションが同様の役割を果たします。[80]しかし、それは、BolyaiとLobachevsky、Riemann、CliffordとKlein、およびSophusLieの新しい幾何学にありました。「対称群を介して幾何学を定義する」というクラインのアイデアは、そのインスピレーションを見つけました。[81]離散対称性と連続対称性の両方が幾何学で重要な役割を果たし、前者はトポロジー幾何学的群論で、[82] [83]後者はリー理論リーマン幾何学で重要な役割を果たします。[84] [85]

別のタイプの対称性は、他の分野の中でも射影幾何学における双対の原理です。このメタ現象は、大まかに次のように説明できます。どの定理でも、平面の交換meetとの結合containsとの関係、および結果は同様に真の定理です。[86]ベクトル空間とその双対空間の間には、類似した密接に関連した双対の形式が存在します[87]

現代の幾何学

ユークリッド幾何学

ユークリッド幾何学は、古典的な意味での幾何学です。[88]物理世界の空間をモデル化するため、力学天文学結晶学などの多くの科学分野[89]や、工学[90] 建築[91] 測地学などの多くの技術分野で使用されます。[92] 空気力学[93]およびナビゲーション[94]大多数の国の必須の教育カリキュラムには、点などのユークリッド概念の研究が含まれています平面角度三角形合同類似性実線の図形、および解析幾何学[36]

微分幾何学

微分幾何学は、微積分のツールを使用して、曲率に関連する問題を研究します。

微分幾何学は、微積分線形代数の手法を使用して、幾何学の問題を研究します。[95]物理学[96] 計量経済学[97]およびバイオインフォマティクス[98]などに応用されています

特に、微分幾何学は、宇宙湾曲しているというアルバート・アインシュタイン一般相対性理論の仮定のために、数理物理学にとって重要です。[99]微分幾何学は、内因性(つまり、考慮される空間が滑らかな多様体であり、その幾何学的構造が各点の近くで距離を測定する方法を決定するリーマン多様体によって支配されることを意味します)または外因性(調査中のオブジェクトが一部である場合)のいずれかです。いくつかの周囲の平らなユークリッド空間の)。[100]

非ユークリッド幾何学

ユークリッド幾何学は、研究された幾何学の唯一の歴史的な形式ではありませんでした。球面幾何学は、天文学者、占星術師、およびナビゲーターによって長い間使用されてきました。[101]

イマヌエル・カントは、内なる心の学部によって先験的に真であることが知られている絶対幾何学は1つだけであると主張しました。ユークリッド幾何学は、先験的に合成されたものでした。[102]この見解は、最初はサッケリ などの思想家によって幾分挑戦され、その後、ボリヤイ、ロバチェフスキー、ガウス(彼の理論を発表したことはない)の作品における非ユークリッド幾何学の革命的な発見によって最終的に覆された。[103]彼らは、通常のユークリッド空間が幾何学の発展のための唯一の可能性であることを示した。その後、幾何学の主題の広いビジョンがリーマンによって表現されました彼の1867年の就任講演で、ÜberdieHypothesen、welche der Geometrie zu Grunde liegen幾何学の基礎となる仮説について[104]は、彼の死後にのみ発表されました。リーマンの新しい空間観は、アルバート・アインシュタイン一般相対性理論において決定的に重要であることが証明されました。長さの概念が定義されている非常に一般的な空間を考慮するリーマン幾何学は、現代の幾何学の主力です。[81]

トポロジー

トポロジーは、連続マッピングの特性に関係する分野であり[ 105]、ユークリッド幾何学の一般化と見なすことができます。[106]実際には、トポロジーとは、接続性やコンパクト性など、空間の大規模なプロパティを処理することを意味することがよくあります[50]

20世紀に大規模な発展を遂げたトポロジーの分野は、技術的な意味で、変換が同相写像である一種の変換幾何学です。[107]これは、「トポロジーはゴムシートの幾何学である」ということわざの形で表現されることがよくあります。トポロジーのサブフィールドには、幾何学的トポロジー微分トポロジー代数トポロジー、および一般トポロジーが含まれます。[108]

代数幾何学

クインティックカラビ・ヤウ3倍

座標のデカルト幾何学から開発された代数幾何学の分野[109]射影幾何学双有理幾何学代数多様体可換環論などの作成と研究を伴う、周期的な成長期間を経た[110] 1950年代後半から1970年代半ばにかけて、主にジャン=ピエール・セールアレクサンドル・グロタンディークの業績により、主要な基礎的開発が行われた。[110]これはスキームの導入につながりましたさまざまなコホモロジー理論を含む位相幾何学的手法にさらに重点を置いています。ミレニアム懸賞の7つの問題の1つであるホッジ予想は、代数幾何学の問題です。[111]ワイルズによるフェルマーの最後の定理の証明は、数論の長年の問題を解決するために代数幾何学の高度な方法を使用しています。

一般に、代数幾何学は、多変量多項式などの可換環論の概念を使用して幾何学を研究します。[112]暗号化[113]弦理論など、多くの分野で応用されています[114]

複雑な形状

複素幾何学は、複素平面をモデルにした、または複素平面から生じる幾何学構造の性質を研究します。[115] [116] [117]複素幾何学は、微分幾何学、代数幾何学、およびいくつかの複雑な変数の分析の交差点にあり、弦理論ミラー対称性への応用が見出されています[118]

複雑な幾何学は、リーマン面の研究におけるベルンハルト・リーマンの研究において、明確な研究分野として最初に登場しました。[119] [120] [121]リーマンの精神に基づく研究は、1900年代初頭にイタリアの代数幾何学の学校によって行われた。複素幾何学の現代的な扱いは、主題に層の概念を導入し、複素幾何学と代数幾何学の関係を明らかにしたジャンピエールセールの仕事から始まりました。[122] [123] 複素幾何学の主な研究対象は、複素多様体複素代数の多様体です。、および複素解析空間、および正則ベクトル束これらの空間上の連接層。複素幾何学で研究された空間の特別な例には、リーマン面やカラビ・ヤウ多様体が含まれ、これらの空間は弦理論での用途があります。特に、ストリングの世界面はリーマン面によってモデル化され、超弦理論は、10次元時空の余分な6次元がカラビ-ヤウ多様体によってモデル化される可能性があると予測しています。

離散幾何学

離散幾何学には、さまざまな球充填の研究が含まれます。

離散幾何学は、凸幾何学と密接な関係がある主題です[124] [125] [126]これは主に、点、線、円などの単純な幾何学的オブジェクトの相対位置の問題に関係しています。例としては、球充填三角測量、クネーザー-ポールセン予想などの研究があります。 [127] [128]これは、組み合わせ論と多くの方法と原理を共有しています

計算幾何学

計算幾何学は、幾何学的オブジェクトを操作するためのアルゴリズムとその実装を扱います。歴史的に重要な問題には、巡回セールスマン問題最小全域木隠線除去線形計画法が含まれていました。[129]

幾何学の若い分野ですが、コンピュータビジョン画像処理コンピュータ支援設計医用画像などで多くの用途があります。 [130]

幾何学的群論

2つのジェネレータabの自由群のケイリーグラフ

幾何学的群論は、大規模な幾何学的手法を使用して、有限生成群を研究します。[131]これは、ミレニアム懸賞問題であるポアンカレ予想の証明を含む、グリゴリー・ペレルマンの幾何化予想の証明のように、低次元トポロジーと密接に関連しています。[132]

幾何学的群論は、群の幾何学的表現であるケイリーグラフを中心に展開することがよくあります。その他の重要なトピックには、擬等長写像Gromov双曲群直角アルティン群などがあります。[131] [133]

凸幾何学

凸幾何学は、ユークリッド空間とそのより抽象的な類似物の形状を調査します。多くの場合、実解析離散数学の手法を使用します。[134]凸解析最適化関数解析、および数論における重要なアプリケーションと密接な関係があります

凸幾何学は古代にまでさかのぼります。[134] アルキメデスは、凸面の最初の既知の正確な定義を与えました。凸幾何学で繰り返される概念である等周定理問題は、ゼノドルスを含むギリシャ人によっても研究されましたアルキメデス、プラトンユークリッド、そして後にケプラーコクセターはすべて凸ポリトープとその特性を研究しました。19世紀以降、数学者は、高次元のポリトープ、凸体の体積と表面積、ガウス曲率アルゴリズムタイリングなど、凸数学の他の領域を研究してきました。格子

アプリケーション

ジオメトリは多くの分野でアプリケーションを見つけており、その一部を以下に説明します。

美術

ブーイナニアマドラサ、フェズ、モロッコ、精巧な幾何学的テッセレーションを形成する化粧レンガモザイクタイル

数学と芸術はさまざまな方法で関連しています。たとえば、遠近法の理論は、図形のメトリックプロパティだけでなく、幾何学にも多くのことがあることを示しました。遠近法は射影幾何学の起源です[135]

アーティストは長い間、デザインにおいてプロポーションの概念を使用してきました。ウィトルウィウスは、人間の姿の理想的な比率の複雑な理論を開発しました。[136]これらの概念は、ミケランジェロから現代の漫画家までの芸術家によって使用され、適応されてきました。[137]

黄金比は、芸術において物議を醸す役割を果たしてきた特定の比率ですしばしば最も美的に心地よい長さの比率であると主張され、有名な芸術作品に組み込まれているとよく言われますが、最も信頼性が高く明確な例は、この伝説を知っている芸術家によって意図的に作成されました。[138]

タイリング、またはテッセレーションは、歴史を通じて芸術で使用されてきました。イスラム美術は、 MCエッシャーの芸術と同様に、テッセレーションを頻繁に使用します[139]エッシャーの研究も双曲幾何学を利用した。

セザンヌは、すべての画像が円錐円柱から構築できるという理論を発展させました形の正確なリストは作者によって異なりますが、これは今日でも芸術理論で使用されています。[140] [141]

建築

幾何学は建築において多くの用途があります。実際、幾何学は建築設計の中核にあると言われています。[142] [143]建築への幾何学の適用には、強制遠近法を作成するための射影幾何学の使用、[144]ドームおよび同様のオブジェクトの構築における円錐曲線の使用、 [ 91]テッセレーションの使用[91]および対称性の使用。[91]

物理

天文学の分野は、特に天球上惑星の位置をマッピングし、天体の動きの関係を説明することに関連しているため、歴史を通じて幾何学的問題の重要な原因となっています。[145]

一般相対性理論では、リーマン幾何学擬リーマン多様体幾何学が使用されます。[146]弦理論は、量子情報理論と同様に、幾何学のいくつかの変形を利用します[147][148]

数学の他の分野

ピタゴラス教徒は、三角形の辺が通約不可能な長さになる可能性があることを発見しました

微積分は幾何学の影響を強く受けました。[30]たとえば、平面曲線などの幾何学図形を関数や方程式の形で分析的に表すことができるようになったため、ルネ・デカルトによる座標の導入と代数の同時開発は、幾何学の新しい段階を示しました。これは、17世紀の微小微積分の出現に重要な役割を果たしました。解析幾何学は、微積分前および微積分カリキュラムの主力であり続けています。[149] [150]

アプリケーションのもう1つの重要な領域は、数論です。[151]古代ギリシャでは、ピタゴラス教徒幾何学における数の役割を考慮していました。しかし、通約不可能な長さの発見は、彼らの哲学的見解と矛盾していました。[152] 19世紀以来、幾何学は数論の問題を解決するために使用されてきました。たとえば、数の幾何学、または最近では、ワイルズのフェルマーの最後の定理の証明で使用される概型理論です。[153]

も参照してください

リスト

関連トピック

その他のフィールド

ノート

  1. ^ 19世紀まで、幾何学はすべての幾何学的構造がユークリッドであるという仮定によって支配されていました。19世紀以降、これはロバチェフスキーによる双曲幾何学の開発や、ガウスなどによる他の非ユークリッド幾何学によって挑戦されました。その後、17世紀のDesarguesの研究を含め、地球の測地学を理解し、古代から海をナビゲートするために球面幾何学を暗黙的に使用するまで、歴史を通して暗黙的に非ユークリッド幾何学が出現した
  2. ^ 古代ギリシャ人は、他の楽器を使用していくつかの構造を持っていました。
  1. ^ Vincenzo De Risi(2015)。数学空間:古代から近世までの幾何学の対象ビルクホイザー。pp。1–。ISBN 978-3-319-12102-4
  2. ^ a b Tabak、ジョン(2014)。幾何学:空間と形式の言語インフォベース出版。p。xiv。ISBN 978-0-8160-4953-0
  3. ^ Walter A. Meyer(2006)。ジオメトリとそのアプリケーションエルゼビア。ISBN 978-0-08-047803-6
  4. ^ J. Friberg、「バビロニア数学の方法と伝統。プリンプトン322、ピタゴラストリプル、およびバビロニア三角形パラメーター方程式」、 Historia Mathematica、8、1981、pp。277–318。
  5. ^ ノイゲバウアー、オットー(1969)[1957]。「第4章エジプト数学と天文学」。古代の精密科学(2版)。ドーバー出版pp。71–96。ISBN 978-0-486-22332-2
  6. ^ Boyer 1991、 "Egypt"p。19)
  7. ^ Ossendrijver、Mathieu(2016年1月29日)。「古代バビロニアの天文学者は、時間速度グラフの下の領域から木星の位置を計算しました」。科学351(6272):482–484。Bibcode2016Sci ... 351..482O土井10.1126 /science.aad8085PMID26823423_ S2CID206644971_  
  8. ^ Depuydt、レオ(1998年1月1日)。「メロエのグノモンと初期三角法」。エジプト考古学ジャーナル84:171–180。土井10.2307 / 3822211JSTOR3822211_ 
  9. ^ スレイマン、アンドリュー(1998年5月27日)。「新石器時代のスカイウォッチャー」考古学マガジンアーカイブ2011年6月5日にオリジナルからアーカイブされました2011年4月17日取得
  10. ^ Boyer 1991、 "Ionia and the Pythagoreans"p。43)
  11. ^ Eves、Howard、 An Introduction to the History of Mathematics、Saunders、1990ISBN0-03-029558-0 
  12. ^ カート・フォン・フリッツ(1945)。「メタポンタムのヒッパソスによる不整合の発見」。数学の年報
  13. ^ James R. Choike(1980)。「五芒星と無理数の発見」。2年制大学数学ジャーナル
  14. ^ Boyer 1991、「プラトンとアリストテレスの時代」p。92)
  15. ^ Boyer 1991、 "Euclid of Alexandria"p。119)
  16. ^ Boyer 1991、 "Euclid of Alexandria"p。104)
  17. ^ ハワード・イヴス、数学の歴史の紹介、サンダース、1990年、 ISBN 0-03-029558-0p141:「聖書以外の仕事はもっと広く使われていません。...」 
  18. ^ オコナー、JJ; ロバートソン、EF(1996年2月)。「微積分学の歴史」セントアンドリュース大学2007年7月15日にオリジナルからアーカイブされました2007年8月7日取得
  19. ^ スタール、フリッツ(1999)。「ギリシャとヴェーダの幾何学」。インド哲学ジャーナル27(1–2):105–127。土井10.1023 / A:1004364417713S2CID170894641_ 
  20. ^ ピタゴラストリプルは整数のトリプルですプロパティ付き:したがって、
  21. ^ Cooke 2005、p。198): "シュルヴァ・スートラの算術的内容は、 (3、4、5)、( 5、12、13 )、(8、15、17 )などのピタゴラストリプルを見つけるための規則で構成されています。 、および(12、35、37)。これらの算術規則が実際にどのように使用されたかは定かではありません。最も良い推測は、それらが宗教的儀式の一部であったということです。ヒンズー教の家は、3つの異なる祭壇で3つの火を燃やす必要がありました。 3つの祭壇は異なる形であるが、3つすべてが同じ面積を持つことになっていた。これらの条件は、特定の「ディオファンチン」問題を引き起こし、その特定のケースは、ピタゴラストリプルの生成であり、1つの正方形の整数を他の2つの合計。」
  22. ^ 林2005、p.371)
  23. ^ a b Hayashi 2003、pp。121–122)
  24. ^ R. Rashed(1994)、アラビア数学の展開:算術と代数の間、p。35ロンドン
  25. ^ Boyer 1991、 "The Arabic Hegemony" pp。241–242) "テントメーカー"であるOmarKhayyam(c。1050–1123)は代数を書いたそれはアルクワリズミーのそれを超えて、3次の方程式を含んでいました。彼のアラブの前任者のように、オマール・ハイヤームは算術と幾何学的解の両方の二次方程式を提供しました。一般的な三次方程式の場合、彼は(誤って、16世紀が後で示したように)、算術解は不可能であると信じていました。したがって、彼は幾何学的解のみを与えました。交差する円錐曲線を使用して三次方程式を解くスキームは、以前はメナイクモス、アルキメデス、およびアルハザンによって使用されていましたが、オマールハイヤームは、すべての3次方程式(正の根を持つ)をカバーする方法を一般化するという称賛に値するステップを踏みました。.. 3次以上の方程式の場合、Omar Khayyamは明らかに同様の幾何学的手法を想定していませんでした。これは、空間に3次元以上が含まれていないためです。.. アラビア語の折衷主義の最も実りある貢献の1つは、数値代数と幾何代数の間のギャップを埋める傾向でした。この方向への決定的な一歩はデカルトによってかなり後になりましたが、オマール・ハイヤームは次のように書いたときにこの方向に進んでいました。と幾何学は外観が異なります。代数は証明された幾何学的事実です。 ""。代数と幾何学の外観が異なるという事実に注意を払うべきではありません。代数は証明された幾何学的事実です。 ""。代数と幾何学の外観が異なるという事実に注意を払うべきではありません。代数は証明された幾何学的事実です。 ""。
  26. ^ オコナー、ジョンJ。; ロバートソン、エドマンドF. 「アルマハニ」マックチューター数学史アーカイブセントアンドリュース大学
  27. ^ オコナー、ジョンJ。; ロバートソン、エドマンドF. 「アルサビサビットイブンクラーアルハラニ」マックチューター数学史アーカイブセントアンドリュース大学
  28. ^ オコナー、ジョンJ。; ロバートソン、エドマンドF. 「オマールハイヤーム」マックチューター数学史アーカイブセントアンドリュース大学
  29. ^ Boris A. Rosenfeld and Adolf P. Youschkevitch(1996)、 "Geometry"、in Roshdi Rashed、ed。、 Encyclopedia of the History of Arabic Sc​​ience 、Vol。2、pp。447–494 [470]、ラウトレッジ、ロンドンおよびニューヨーク:

    平行線の理論に関する彼らの研究によって、アラブの数学者は彼らのヨーロッパの数学者の関連する調査に直接影響を与えました。イブン・アル・ハイサムのBook of Optics Kitab al-Manazir)—間違いなくアラビア語の情報源によって促されました。14世紀にフランス南部に住んでいたユダヤ人学者のレヴィ・ベン・ガーソンと、前述のスペイン出身のアルフォンソがイブン・アル・ハイサムのデモに直接接して提示した証拠。上記で、疑似トゥシのユークリッドの解説が、J。ウォリスとG.サッケリの平行線理論の研究の両方を刺激したことを示しました。」

  30. ^ a b カールB.ボイヤー(2012)。解析幾何学の歴史クーリエ株式会社。ISBN 978-0-486-15451-0
  31. ^ CHエドワーズジュニア(2012)。微積分の歴史的発展シュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。p。95. ISBN 978-1-4612-6230-5
  32. ^ ジュディスV.フィールド; ジェレミー・グレイ(2012)。ジラールデザルグの幾何学的な仕事シュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。p。43. ISBN 978-1-4613-8692-6
  33. ^ CRワイリー(2011)。射影幾何学入門クーリエ株式会社。ISBN 978-0-486-14170-1
  34. ^ ジェレミーグレイ(2011)。何もない世界:19世紀の幾何学の歴史のコースシュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。ISBN 978-0-85729-060-1
  35. ^ Eduardo Bayro-Corrochano(2018)。幾何代​​数アプリケーションVol。I:コンピュータビジョン、グラフィックス、ニューロコンピューティングスプリンガー。p。4. ISBN 978-3-319-74830-6
  36. ^ a b Schmidt、W.、Houang、R。、およびCogan、L。(2002)。「一貫したカリキュラム」。American Educator、26(2)、1–18。
  37. ^ モリスクライン(1990)。古代から現代までの数学的思想:第3巻米国:オックスフォード大学出版局。pp。1010–。ISBN 978-0-19-506137-6
  38. ^ ビクターJ.カッツ(2000)。歴史を使って数学を教える:国際的な展望ケンブリッジ大学出版局。pp。45–。ISBN 978-0-88385-163-0
  39. ^ デビッド・バーリンスキー(2014)。無限の宇宙の王:ユークリッドと彼の要素ベーシックブックス。ISBN 978-0-465-03863-3
  40. ^ a b ロビン・ハーツホーン(2013)。幾何学:ユークリッドとその先シュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。pp。29–。ISBN 978-0-387-22676-7
  41. ^ パット・ハーブスト; 藤田太郎; Stefan Halverscheid; マイケルワイス(2017)。中等学校における幾何学の学習と教育:モデリングの視点テイラーアンドフランシス。pp。20–。ISBN 978-1-351-97353-3
  42. ^ IM Yaglom(2012)。単純な非ユークリッド幾何学とその物理的基礎:ガリレイ幾何学の初歩的な説明とガリレイ相対性原理シュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。pp。6–。ISBN 978-1-4612-6135-3
  43. ^ アウドゥン・ホルム(2010)。幾何学:私たちの文化遺産シュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。pp。254–。ISBN 978-3-642-14441-7
  44. ^ a b c d e ユークリッド原論– 13冊すべての1冊ヒースの翻訳に基づく、Green Lion Press ISBN1-888009-18-7 
  45. ^ Gerla、G。(1995)。「無意味な幾何学」(PDF)ブエケンハウトでは、F。; Kantor、W。(編)。接続幾何学のハンドブック:建物と基礎北ホラント。pp。1015–1031。2011年7月17日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。
  46. ^ クラーク、ボウマンL.(1985年1月)。「個人とポイント」ノートルダムジャーナルオブフォーマルロジック26(1):61–75。土井10.1305 / ndjfl / 1093870761
  47. ^ ジョンケーシー(1885)。点、線、円、および円錐曲線の解析幾何学
  48. ^ Buekenhout、Francis(1995)、 Handbook of Incidence Geometry:Buildings and Foundations、Elsevier BV
  49. ^ 「測地線–オックスフォード辞書からの英語での測地線の定義」OxfordDictionaries.com2016年7月15日にオリジナルからアーカイブされました2016年1月20日取得
  50. ^ a b c d e Munkres、JamesR。トポロジ。2.アッパーサドルリバー:プレンティスホール、2000年。
  51. ^ Szmielew、ワンダ。アフィンからユークリッド幾何学へ:公理的アプローチ。スプリンガー、1983年。
  52. ^ Ahlfors、Lars V.複雑な分析:1つの複雑な変数の分析関数の理論の紹介。ニューヨーク; ロンドン(1953年)。
  53. ^ Sidorov、LA(2001)[1994]。「角度」数学百科事典EMSプレス
  54. ^ Gelʹfand、IzrailʹMoiseevič、およびMarkSaul。「三角法」三角法BirkhäuserBoston、2001年。1–20。
  55. ^ スチュワート、ジェームズ(2012)。微積分:初期の超越、第7版、ブルックスコールセンゲージラーニング。ISBN 978-0-538-49790-9 
  56. ^ Jost、Jürgen(2002)。リーマン幾何学と幾何学解析ベルリン:Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-42627-1
  57. ^ ベイカー、ヘンリーフレデリック。幾何学の原則。2. CUPアーカイブ、1954年。
  58. ^ a b c Do Carmo、Manfredo Perdigao、およびManfredo Perdigao DoCarmo。曲線と表面の微分幾何学。2. Englewood Cliffs:Prentice-hall、1976年。
  59. ^ a b Mumford、David(1999)。品種とスキームのレッドブックには、曲線とそのジャコビアンに関するミシガン講義が含まれています(第2版)。Springer-VerlagISBN 978-3-540-63293-1Zbl0945.14001 _
  60. ^ Briggs、William L.、およびLyle CochranCalculus。「初期の超越」。ISBN978-0-321-57056-7 _ 
  61. ^ Yau、Shing-Tung; ナディス、スティーブ(2010)。内部空間の形:弦理論と宇宙の隠された次元の幾何学ベーシックブックス。ISBN978-0-465-02023-2 _ 
  62. ^ a b Steven A. Treese(2018)。基本単位と派生単位の履歴と測定スプリンガーインターナショナルパブリッシング。pp。101–。ISBN 978-3-319-77577-7
  63. ^ ジェームズ・W・キャノン(2017)。長さ、面積、および体積のジオメトリアメリカ数学会。p。11. ISBN 978-1-4704-3714-5
  64. ^ ギルバート・ストラング(1991)。微積分SIAM。ISBN 978-0-9614088-2-4
  65. ^ HSベア(2002)。ルベーグ積分の入門書アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-083971-1
  66. ^ Dmitri Burago、 Yu D Burago、Sergei Ivanov、 A Course in Metric Geometry、American Mathematical Society、2001ISBN0-8218-2129-6 
  67. ^ Wald、Robert M.(1984)。一般相対性理論シカゴ大学出版局。ISBN 978-0-226-87033-5
  68. ^ テレンス・タオ(2011)。測度論入門アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-6919-2
  69. ^ Shlomo Libeskind(2008)。ユークリッド幾何学と幾何学:演繹的探究ジョーンズ&バートレットラーニング。p。255. ISBN 978-0-7637-4366-6
  70. ^ Mark A. Freitag(2013)。小学校教師のための数学:プロセスアプローチセンゲージラーニング。p。614. ISBN 978-0-618-61008-2
  71. ^ ジョージE.マーティン(2012)。変換ジオメトリ:対称性の概要シュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。ISBN 978-1-4612-5680-9
  72. ^ マークブラックロック(2018)。4次元の出現:世紀末におけるより高い空間的思考オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-875548-7
  73. ^ チャールズジャスパージョリー(1895)。論文アカデミー。pp。62–。
  74. ^ Roger Temam(2013)。力学および物理学における無限次元動的システムシュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。p。367. ISBN 978-1-4612-0645-3
  75. ^ ビルジェイコブ; Tsit-Yuen Lam(1994)。実代数幾何学と二次形式の最近の進歩:RAGSQUAD年の議事録、バークレー、1990–1991アメリカ数学会。p。111. ISBN 978-0-8218-5154-8
  76. ^ イアンスチュワート(2008)。なぜ美は真実であるか:対称性の歴史ベーシックブックス。p。14. ISBN 978-0-465-08237-7
  77. ^ Stakhov Alexey(2009)。調和の数学:ユークリッドから現代の数学とコンピュータサイエンスまで世界科学。p。144. ISBN 978-981-4472-57-9
  78. ^ Werner Hahn(1998)。自然と芸術の発達原理としての対称性世界科学。ISBN 978-981-02-2363-2
  79. ^ ブライアンJ.カントウェル(2002)。対称性分析の概要ケンブリッジ大学出版局。p。34. ISBN 978-1-139-43171-2
  80. ^ B。ローゼンフェルド; ビルウィーベ(2013)。リー群の幾何学シュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。pp。158ff。ISBN 978-1-4757-5325-7
  81. ^ a b Peter Pesic(2007)。幾何学を超えて:リーマンからアインシュタインまでの古典的な論文クーリエ株式会社。ISBN 978-0-486-45350-7
  82. ^ ミチオカク(2012)。文字列、コンフォーマルフィールド、およびトポロジ:はじめに。シュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。p。151. ISBN 978-1-4684-0397-8
  83. ^ Mladen Bestvina; ミーチャー・サゲーフ; カレン・フォートマン(2014)。幾何学的群論アメリカ数学会。p。132. ISBN 978-1-4704-1227-2
  84. ^ WH。スティーブ(1996)。連続対称性、リー代数、微分方程式、数式処理世界科学出版社。ISBN 978-981-310-503-4
  85. ^ チャールズW.マイスナー(2005)。一般相対性理論の方向性:第1巻:1993年国際シンポジウムの議事録、メリーランド:チャールズ・マイスナーに敬意を表しての論文ケンブリッジ大学出版局。p。272. ISBN 978-0-521-02139-5
  86. ^ リンネウェイランドダウリング(1917年)。射影幾何学McGraw-Hill book Company、Incorporated。p。 10
  87. ^ G. Gierz(2006)。トポロジカルベクトル空間のバンドルとその双対性スプリンガー。p。252. ISBN 978-3-540-39437-2
  88. ^ ロバートE.バッツ; JRブラウン(2012)。構成主義と科学:最近のドイツ哲学のエッセイシュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。pp。127–。ISBN 978-94-009-0959-5
  89. ^ 科学モーゼスキング。1886. pp。181–。
  90. ^ W.アボット(2013)。実用的な幾何学と工学グラフィックス:工学と他の学生のための教科書シュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。pp。6–。ISBN 978-94-017-2742-6
  91. ^ a b c d ジョージ・L・ハーシー(2001)。バロック時代の建築と幾何学シカゴ大学出版局。ISBN 978-0-226-32783-9
  92. ^ P.Vanícek; EJ Krakiwsky(2015)。測地学:概念エルゼビア。p。23. ISBN 978-1-4832-9079-9
  93. ^ ラッセルM.カミングス; スコットA.モートン; ウィリアムH.メイソン; デビッドR.マクダニエル(2015)。応用計算空気力学ケンブリッジ大学出版局。p。449. ISBN 978-1-107-05374-8
  94. ^ ロイウィリアムズ(1998)。ナビゲーションのジオメトリホーウッドパブ。ISBN 978-1-898563-46-4
  95. ^ Gerard Walschap(2015)。多変数微積分と微分幾何学DeGruyter。ISBN 978-3-11-036954-0
  96. ^ ハーレーフランダース(2012)。物理科学への応用を伴う微分​​形式クーリエ株式会社。ISBN 978-0-486-13961-6
  97. ^ ポールマリオット; マークサーモン(2000)。微分幾何学の計量経済学への応用ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-65116-5
  98. ^ マシュー彼; セルゲイ・ペトウホフ(2011)。バイオインフォマティクスの数学:理論、方法、応用ジョン・ワイリー&サンズ。p。106. ISBN 978-1-118-09952-0
  99. ^ PAMディラック(2016)。一般相対性理論プリンストン大学出版局。ISBN 978-1-4008-8419-3
  100. ^ ニハトアイ; ユルゲン・ヨスト; HôngVânLê; LorenzSchwachhöfer(2017)。情報幾何学スプリンガー。p。185. ISBN 978-3-319-56478-4
  101. ^ ボリスA.ローゼンフェルド(2012)。非ユークリッド幾何学の歴史:幾何学的空間の概念の進化シュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。ISBN 978-1-4419-8680-1
  102. ^ Kline(1972)「古代から現代までの数学的思考」、オックスフォード大学出版局、p。1032.カントは、非ユークリッド幾何学の論理的(分析的先験的)可能性を拒否しませんでした。ジェレミー・グレイ、「宇宙ユークリッド、非ユークリッド、および相対論的のアイデア」、オックスフォード、1989を参照してください。p。85.これに照らして、カントは実際に非ユークリッド幾何学の発展を予測したと示唆する人もいます。レオナルト・ネルソン、「哲学と公理学」、ソクラテス法と批判的哲学、ドーバー、1965年、p。164。
  103. ^ Duncan M'Laren Young Sommerville(1919)。非ユークリッド幾何学の要素...オープンコート。pp。15ff。
  104. ^ "Ueber die Hypothesen、welche der Geometrie zu Grundeliegen"2016年3月18日にオリジナルからアーカイブされました。
  105. ^ マーティンD.クロスリー(2011)。エッセンシャルトポロジシュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。ISBN 978-1-85233-782-7
  106. ^ チャールズナッシュ; シッダールタセン(1988)。物理学者のためのトポロジーと幾何学エルゼビア。p。1.ISBN _ 978-0-08-057085-3
  107. ^ ジョージE.マーティン(1996)。変換ジオメトリ:対称性の概要シュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。ISBN 978-0-387-90636-2
  108. ^ JP May(1999)。代数トポロジーの簡潔なコースシカゴ大学出版局。ISBN 978-0-226-51183-2
  109. ^ 百科事典アメリカーナ:世界の芸術と科学、文学、歴史、伝記、地理、商業などを含むユニバーサルリファレンスライブラリ科学アメリカのコンパイル部門。1905. pp。489–。
  110. ^ a b Suzanne C. Dieudonne(1985)。歴史代数幾何学CRCプレス。ISBN 978-0-412-99371-8
  111. ^ ジェームズカールソン; ジェームスA.カールソン; アーサージャッフェ; アンドリューワイルズ(2006)。ミレニアム懸賞の問題アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-3679-8
  112. ^ ロビン・ハーツホーン(2013)。代数幾何学シュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。ISBN 978-1-4757-3849-0
  113. ^ Everett W. Howe; Kristin E. Lauter; Judy L. Walker (2017). Algebraic Geometry for Coding Theory and Cryptography: IPAM, Los Angeles, CA, February 2016. Springer. ISBN 978-3-319-63931-4.
  114. ^ Marcos Marino; Michael Thaddeus; Ravi Vakil (2008). Enumerative Invariants in Algebraic Geometry and String Theory: Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, Italy, June 6–11, 2005. Springer. ISBN 978-3-540-79814-9.
  115. ^ Huybrechts, D. (2006). Complex geometry: an introduction. Springer Science & Business Media.
  116. ^ Griffiths, P., & Harris, J. (2014). Principles of algebraic geometry. John Wiley & Sons.
  117. ^ Wells, R. O. N., & García-Prada, O. (1980). Differential analysis on complex manifolds (Vol. 21980). New York: Springer.
  118. ^ Hori, K., Thomas, R., Katz, S., Vafa, C., Pandharipande, R., Klemm, A., ... & Zaslow, E. (2003). Mirror symmetry (Vol. 1). American Mathematical Soc.
  119. ^ Forster, O. (2012). Lectures on Riemann surfaces (Vol. 81). Springer Science & Business Media.
  120. ^ Miranda, R. (1995). Algebraic curves and Riemann surfaces (Vol. 5). American Mathematical Soc.
  121. ^ Donaldson, S. (2011). Riemann surfaces. Oxford University Press.
  122. ^ Serre, J. P. (1955). Faisceaux algébriques cohérents. Annals of Mathematics, 197–278.
  123. ^ Serre, J. P. (1956). Géométrie algébrique et géométrie analytique. In Annales de l'Institut Fourier (vol. 6, pp. 1–42).
  124. ^ Jiří Matoušek (2013). Lectures on Discrete Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4613-0039-7.
  125. ^ Chuanming Zong (2006). The Cube – A Window to Convex and Discrete Geometry. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85535-8.
  126. ^ Peter M. Gruber (2007). Convex and Discrete Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-71133-9.
  127. ^ Satyan L. Devadoss; Joseph O'Rourke (2011). Discrete and Computational Geometry. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3898-1.
  128. ^ Károly Bezdek (2010). Classical Topics in Discrete Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-0600-7.
  129. ^ Franco P. Preparata; Michael I. Shamos (2012). Computational Geometry: An Introduction. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1098-6.
  130. ^ Xianfeng David Gu; Shing-Tung Yau (2008). Computational Conformal Geometry. International Press. ISBN 978-1-57146-171-1.
  131. ^ a b Clara Löh (2017). Geometric Group Theory: An Introduction. Springer. ISBN 978-3-319-72254-2.
  132. ^ John Morgan; Gang Tian (2014). The Geometrization Conjecture. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-5201-9.
  133. ^ Daniel T. Wise (2012). From Riches to Raags: 3-Manifolds, Right-Angled Artin Groups, and Cubical Geometry: 3-manifolds, Right-angled Artin Groups, and Cubical Geometry. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-8800-1.
  134. ^ a b Gerard Meurant (2014). Handbook of Convex Geometry. Elsevier Science. ISBN 978-0-08-093439-6.
  135. ^ Jürgen Richter-Gebert (2011). Perspectives on Projective Geometry: A Guided Tour Through Real and Complex Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-17286-1.
  136. ^ Kimberly Elam (2001). Geometry of Design: Studies in Proportion and Composition. Princeton Architectural Press. ISBN 978-1-56898-249-6.
  137. ^ Brad J. Guigar (2004). The Everything Cartooning Book: Create Unique And Inspired Cartoons For Fun And Profit. Adams Media. pp. 82–. ISBN 978-1-4405-2305-2.
  138. ^ Mario Livio (2008). The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number. Crown/Archetype. p. 166. ISBN 978-0-307-48552-6.
  139. ^ Michele Emmer; Doris Schattschneider (2007). M. C. Escher's Legacy: A Centennial Celebration. Springer. p. 107. ISBN 978-3-540-28849-7.
  140. ^ Robert Capitolo; Ken Schwab (2004). Drawing Course 101. Sterling Publishing Company, Inc. p. 22. ISBN 978-1-4027-0383-6.
  141. ^ Phyllis Gelineau (2011). Integrating the Arts Across the Elementary School Curriculum. Cengage Learning. p. 55. ISBN 978-1-111-30126-2.
  142. ^ Cristiano Ceccato; Lars Hesselgren; Mark Pauly; Helmut Pottmann, Johannes Wallner (2016). Advances in Architectural Geometry 2010. Birkhäuser. p. 6. ISBN 978-3-99043-371-3.
  143. ^ Helmut Pottmann (2007). Architectural geometry. Bentley Institute Press. ISBN 978-1-934493-04-5.
  144. ^ Marian Moffett; Michael W. Fazio; Lawrence Wodehouse (2003). A World History of Architecture. Laurence King Publishing. p. 371. ISBN 978-1-85669-371-4.
  145. ^ Robin M. Green; Robin Michael Green (1985). Spherical Astronomy. Cambridge University Press. p. 1. ISBN 978-0-521-31779-5.
  146. ^ Dmitriĭ Vladimirovich Alekseevskiĭ (2008). Recent Developments in Pseudo-Riemannian Geometry. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-051-7.
  147. ^ Shing-Tung Yau; Steve Nadis (2010). The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions. Basic Books. ISBN 978-0-465-02266-3.
  148. ^ Bengtsson, Ingemar; Życzkowski, Karol (2017). Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02625-4. OCLC 1004572791.
  149. ^ Harley Flanders; Justin J. Price (2014). Calculus with Analytic Geometry. Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-6240-6.
  150. ^ Jon Rogawski; Colin Adams (2015). Calculus. W. H. Freeman. ISBN 978-1-4641-7499-5.
  151. ^ Álvaro Lozano-Robledo (2019). Number Theory and Geometry: An Introduction to Arithmetic Geometry. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-5016-8.
  152. ^ Arturo Sangalli (2009). Pythagoras' Revenge: A Mathematical Mystery. Princeton University Press. p. 57. ISBN 978-0-691-04955-7.
  153. ^ Gary Cornell; Joseph H. Silverman; Glenn Stevens (2013). Modular Forms and Fermat's Last Theorem. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1974-3.

Sources

Further reading

External links

"Geometry" . Encyclopædia Britannica. Vol. 11 (11th ed.). 1911. pp. 675–736.