幾何平均

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幾何平均の例:(赤)はの幾何平均です[1] [2]線分がに垂線として与えられます(各アニメーションの実行の間に10秒の休止に注意してください)

数学では、幾何平均平均または平均であり、値の積を使用して一連の数値の中心傾向または典型的な値を示します(それらの合計を使用する算術平均とは対照的です)。幾何平均は、n個の数のn乗根として定義されます。つまり、一連の数x 1x 2、...、x nの場合、幾何平均は次のように定義されます 。

または、同等に、ログスケールの算術平均として

たとえば、2つの数値、たとえば2と8の幾何平均は、それらの積の平方根にすぎません。別の例として、3つの数値4、1、および1/32の幾何平均は、それらの積(1/8)の立方根であり、1/2、つまり、幾何平均は正の数にのみ適用されます。[3]

幾何平均は、多くの場合、値が一緒に乗算されることを意味するか、または一連の成長数値(人口の値または時間の経過に伴う金融投資の金利)などの指数関数的な数値のセットに使用されます。これはベンチマークにも適用され、スピードアップ率の平均を計算するのに特に役立ちます。0.5x(半分の速度)と2x(2倍の速度)の平均は1(つまり、全体的にスピードアップなし)になるためです。

幾何平均は、幾何学の観点から理解することができます2つの数値の幾何平均、、は、面積が長さの辺を持つ長方形の面積に等しい正方形の1辺の長さです。同様に、3つの数値の幾何平均、、 とは、体積が立方体のそれと同じである立方体の1つのエッジの長さであり、辺の長さは指定された3つの数値に等しくなります。

幾何平均は、算術平均および調和平均とともに、3つの古典的なピタゴラス平均の1つです。等しくない値のペアを少なくとも1つ含むすべての正のデータセットの場合、調和平均は常に3つの平均の中で最小ですが、算術平均は常に3つの平均の中で最大であり、幾何平均は常にその中間です(算術の不等式を参照)。および幾何平均。)

計算

データセットの幾何平均によって与えられます:

[4]

上の図では、大文字の円周率表記を使用して一連の乗算を示しています。等号の各辺は、値のセットが連続して乗算され(値の数は「n」で表されます)、セットの合計積が得られることを示します。次に、合計積のn乗根は次のようになります。元のセットの幾何平均を与えます。たとえば、4つの数字のセットで、の製品、および幾何平均は24の4乗根、つまり〜2.213です。指数左側は、n乗根を取ることに相当します。例えば、

反復とは

データセットのすべてのメンバーが等しくない限り、データセットの幾何平均はデータセットの算術平均よりも小さくなります。等しくない場合、幾何平均と算術平均は等しくなります。これにより、常に間にある2つの交点である 算術幾何平均の定義が可能になります。

幾何平均は 2つのシーケンス) と ()が定義されています:

どこ2つのシーケンスの以前の値の調和平均であり、の幾何平均に収束しますシーケンスは共通の限界に収束し、幾何平均が保持されます。

算術平均と調和平均を、反対の有限指数 の一般化された平均のペアで置き換えると、同じ結果が得られます。

対数との関係

幾何平均は、対数の算術平均の指数として表すこともできます。[5]対数恒等式を使用して式を変換することにより、乗算は合計として、累乗は乗算として表すことができます。

いつ

として:
または、正の実数の基数を使用します。対数と、同じ基数の個々の対数の算術平均の累乗で累乗する数の両方に使用します。

さらに、負の値の場合許可されています、

ここで、mは負の数の数です。

これは、対数平均と呼ばれることもあります(対数平均と混同しないでください)。の対数変換された値の算術平均を計算しているだけです。(つまり、対数スケールの算術平均)次に、べき乗を使用して計算を元のスケールに戻します。つまり、これは一般化されたf-meanであり、たとえば、2と8の幾何平均は、次のように計算できます。ここで、対数の任意の基数です(通常は2または10):

上記に関連して、ポイントの特定のサンプルについて、幾何平均はの最小化です

一方、算術平均はの最小化です

したがって、幾何平均は、指数がサンプルの指数と最もよく一致するサンプルの要約を提供します(最小二乗の意味で)。

幾何平均の対数形式は、多くの数値の積を計算すると算術オーバーフローまたは算術アンダーフローが発生する可能性があるため、一般にコンピューター言語での実装に適した代替手段ですこれは、各数値の対数の合計で発生する可能性は低くなります。

算術平均との比較

算術平均と幾何平均の不等式の言葉がないことの証明PR
はOを中心とする円の直径です。その半径AOは、abの算術平均です幾何平均定理を使用すると、三角形PGRの高度GQは幾何平均です。任意の比率abの場合、AO≥GQ。
最大 (ab >二乗平均平方根RMSまたは二乗平均QM >算術平均AM >幾何平均GM >調和平均HM >最小 (ab 2つの正の数ab [6]

空でない(正の)数値のデータセットの幾何平均は、常に最大でも算術平均です。等式は、データセット内のすべての数値が等しい場合にのみ取得されます。それ以外の場合、幾何平均は小さくなります。たとえば、2と3の幾何平均は2.45ですが、算術平均は2.5です。特に、これは、同一でない数値のセットが平均保存スプレッドを受ける場合、つまり、セットの要素が互いに「スプレッド」され、算術平均は変更されない場合、それらの幾何平均が変化することを意味します。減少します。[7]

平均成長率

多くの場合、幾何平均は、ある量の平均成長率を決定するための最良の尺度です。(たとえば、ある年の売上が80%増加し、翌年の売上が25%増加した場合、1.80と1.25の幾何平均は1.50であるため、最終結果は50%の一定の成長率の結果と同じになります。)平均成長率を決定するために、すべてのステップで測定された成長率の積をとる必要はありません。数量をシーケンスとして指定します、 どこ初期状態から最終状態までのステップ数です。連続する測定間の成長率これらの成長率の幾何平均は次のようになります。

正規化された値への適用

他の平均には当てはまらない幾何平均の基本的な特性は、2つのシーケンスの特性です。等しい長さの、

これにより、正規化された結果を平均するときに、幾何平均が唯一の正しい平均になります。つまり、参照値に対する比率として表示される結果です。[8] これは、参照コンピューターに関してコンピューターのパフォーマンスを提示する場合、または複数の異種ソース(平均余命、教育年数、乳児死亡率など)から単一の平均インデックスを計算する場合に当てはまります。このシナリオでは、算術平均または調和平均を使用すると、参照として使用されるものに応じて結果のランク付けが変更されます。たとえば、コンピュータプログラムの実行時間の次の比較を行います。

  コンピューターA コンピューターB コンピューターC
プログラム1 1 10 20
プログラム2 1000 100 20
算術平均 500.5 55 20
幾何平均 31.622。 31.622。 20
調和平均 1.998。 18.182。 20

算術および幾何平均は、コンピューターCが最速であることに「同意する」ことを意味します。ただし、適切に正規化された値を提示、算術平均を使用することにより、他の2台のコンピューターのいずれかが最速であることを示すことができます。Aの結果で正規化すると、算術平均によるとAが最速のコンピューターになります。

  コンピューターA コンピューターB コンピューターC
プログラム1 1 10 20
プログラム2 1 0.1 0.02
算術平均 1 5.05 10.01
幾何平均 1 1 0.632。
調和平均 1 0.198。 0.039。

Bの結果で正規化すると、算術平均ではBが最速のコンピューターになりますが、調和平均ではAが最速になります。

  コンピューターA コンピューターB コンピューターC
プログラム1 0.1 1 2
プログラム2 10 1 0.2
算術平均 5.05 1 1.1
幾何平均 1 1 0.632
調和平均 0.198。 1 0.363。

Cの結果で正規化すると、算術平均ではCが最速のコンピューターになりますが、調和平均ではAが最速になります。

  コンピューターA コンピューターB コンピューターC
プログラム1 0.05 0.5 1
プログラム2 50 5 1
算術平均 25.025 2.75 1
幾何平均 1.581。 1.581。 1
調和平均 0.099。 0.909。 1

すべての場合において、幾何平均によって与えられるランキングは、正規化されていない値で得られたものと同じままです。

しかし、この推論は疑問視されています。[9] 一貫した結果を出すことは、常に正しい結果を与えることと同じではありません。一般に、各プログラムに重みを割り当て、(算術平均を使用して)平均重み付き実行時間を計算し、その結果をコンピューターの1つに正規化する方が厳密です。上記の3つの表は、各プログラムに異なる重みを与え、算術平均と調和平均の一貫性のない結果を説明しています(最初の表は両方のプログラムに等しい重みを与え、2番目の表は2番目のプログラムに1/1000の重みを与えます。 3つ目は、2番目のプログラムに1/100、最初のプログラムに1/10の重みを与えます。算術平均のように時間を加算するのとは対照的に、実行時間の乗算には物理的な意味がないため、パフォーマンス数値を集計するための幾何平均の使用は、可能であれば避ける必要があります。IPC)は、調和平均を使用して平均化する必要があります。

幾何平均は、その限界として一般化された平均から次のように導出できます。ゼロになります。同様に、これは加重幾何平均に対しても可能です。

連続関数の幾何平均

もしもは連続実数値関数であり、この区間での幾何平均は次のようになります。

たとえば、恒等関数を取る 単位区間で、0と1の間の正の数の幾何平均が次のように等しいことを示します。

アプリケーション

比例成長

幾何平均は、指数関数的成長(一定の比例成長)と変動する成長の両方の比例成長を記述するための算術平均よりも適切です。ビジネスでは、成長率の幾何平均は複合年間成長率(CAGR)として知られています。期間にわたる成長の幾何平均は、同じ最終量をもたらす同等の一定の成長率をもたらします。

オレンジの木が1年に100個のオレンジを生産し、次の年に180、210、300個のオレンジを生産するとします。したがって、成長はそれぞれ毎年80%、16.6666%、42.8571%になります。算術平均を使用すると、46.5079%(80%+ 16.6666%+ 42.8571%、その合計を3で割った値)の(線形)平均成長率が計算されます。ただし、100個のオレンジから始めて、毎年46.5079%成長させると、結果は300個ではなく314個のオレンジになるため、線形平均前年比の成長を示しています。

代わりに、幾何平均を使用できます。80%で成長することは、1.80を掛けることに対応するため、1.80、1.166666、および1.428571の幾何平均を取ります。; したがって、年間の「平均」成長率は44.2249%です。100個のオレンジから始めて、毎年44.2249%ずつ数を増やすと、結果は300個のオレンジになります。

財務

幾何平均は、財務指標の計算に時々使用されてきました(平均化は指標の構成要素に対して行われます)。たとえば、過去にはFT30インデックスは幾何平均を使用していました。[10]これは、英国および欧州連合で 最近導入された「RPIJ 」インフレ指標でも使用されています。

これは、算術平均を使用する場合と比較して、インデックスの動きを過小評価する効果があります。[10]

社会科学における応用

社会統計の計算では幾何平均は比較的まれですが、2010年以降、国連人間開発指数は、編集および比較される統計の代替不可能な性質をより適切に反映しているという理由で、この計算モードに切り替えました。

幾何平均は、[比較される]次元間の代替可能性のレベルを低下させ、同時に、出生時の平均余命の1%の低下が、教育または収入の1%の低下と同じ影響をHDIに与えることを保証します。したがって、成果の比較の基礎として、この方法は、単純な平均よりも、ディメンション間の本質的な違いを尊重します。[11]

HDI(人間開発指数)の計算に使用されるすべての値が正規化されているわけではありません。それらのいくつかは代わりに形をしていますこれにより、上記の「プロパティ」セクションから予想されるよりも幾何平均の選択がわかりにくくなります。

不公平回避パラメータが1.0のアトキンソン指数に関連する均等に分配された福祉等価所得は、単に所得の幾何平均です。1以外の値の場合、同等の値はLpノルムを要素数で割ったものであり、pは1から不公平回避パラメーターを引いたものに等しくなります。

ジオメトリ

直角から斜辺までの直角三角形の高度は、斜辺が分割されるセグメントの長さの幾何平均です。辺の3つの三角形p  +  qrs  )rph  )およびshq  )ピタゴラスの定理を使用します。

直角三角形の場合、その高度は斜辺からその90°の頂点まで垂直に伸びる線の長さです。この線が斜辺を2つのセグメントに分割することを想像すると、これらのセグメントの長さの幾何平均は高度の長さです。このプロパティは、幾何平均定理として知られています。

楕円では、短半径は焦点からの楕円の最大距離と最小距離の幾何平均です。これは、半主軸半緯度直腸の幾何平均でもあります。楕円の半主軸は、中心からいずれかの焦点までの距離と、中心からいずれかのdirectrixまでの距離の幾何平均です。

それについて考える別の方法は次のとおりです。

半径のある円を考えてみましょう次に、円の正反対の2つの点を取り、両端から圧力を加えて、長さが半長軸と半短軸の楕円に変形します。

円と楕円の面積は同じままなので、次のようになります。

円の半径は、円を変形することによって形成される楕円の半長軸と半短軸の幾何平均です。

球の地平線までの距離は球の最も近い点までの距離と、球の最も近い点までの距離が小さい場合の球の最も遠い点までの距離の幾何平均にほぼ等しくなります。

SAラマヌジャン(1914)による円積の近似と、 「TP Stowellによって送信され、Leybourn'sMath。Repository、1818にクレジットされいる」による十七角形の構築の両方で、幾何平均が使用されます。

アスペクト比

SMPTE 16:9標準を導出するためにKernsPowersが使用するアスペクト比の等面積比較。[12]   テレビ4:3 / 1.33赤、  オレンジ色の1.66、  16:9 / 1.7 7青色  黄色の1.85、  藤色のパナビジョン/2.2と  紫のCinemaScope / 2.35。

幾何平均は、フィルムとビデオの妥協アスペクト比の選択に使用されています。2つのアスペクト比が与えられると、それらの幾何平均は、ある意味で両方を等しく歪めたりトリミングしたりして、それらの間の妥協を提供します。具体的には、アスペクト比の異なる2つの等面積の長方形(中心と平行な辺が同じ)が、アスペクト比が幾何平均である長方形で交差し、それらの船体(両方を含む最小の長方形)も同様に、それらのアスペクト比を持ちます。幾何平均。

SMPTEによる16:9のアスペクト比の選択で、2.35と4:3のバランスを取り、幾何平均は次のようになります。、 したがって... 選ばれた。これは、カーンズパワーズによって経験的に発見されました。カーンズパワーズは、等しい面積の長方形を切り取り、一般的なアスペクト比のそれぞれに一致するように形を整えました。中心点を揃えて重ねると、アスペクト比1.77:1の外側の長方形内にすべてのアスペクト比の長方形が収まり、同じアスペクト比1.77:1の小さな共通の内側の長方形もすべて覆われていることがわかりました。[12] Powersによって検出された値は、極端なアスペクト比4:3 (1.33:1)とCinemaScope (2.35:1)の幾何平均であり、偶然にもに近い値です。(()。中間の比率は結果に影響を与えず、2つの極端な比率のみに影響します。

同じ幾何平均手法を16:9と4:3に適用すると、およそ14:9...)アスペクト比。これらの比率間の妥協点として同様に使用されます。[13]この場合、14:9は正確に次の算術平均です。、14は16と12の平均であるため、正確な幾何平均ただし、算術と幾何学の2つの異なる平均は、両方の数値が互いに十分に近いため(2%未満の差)、ほぼ等しくなります。

その他のアプリケーション

  • スペクトルの平坦度信号処理では、スペクトルの平坦度は、スペクトルの平坦度またはスパイクの程度の尺度であり、算術平均に対するパワースペクトルの幾何平均の比率として定義されます。
  • 反射防止コーティング:屈折率n0n2の2の媒体間で反射を最小限に抑える必要がある光学コーティングでは、反射防止コーティング最適な屈折率n1幾何平均で与えられます
  • 減法混色:(着色強度、不透明度希釈度が等しい)塗料混合物のスペクトル反射率曲線は、スペクトルの各波長で計算された塗料の個々の反射率曲線の幾何平均とほぼ同じです。[14]
  • 画像処理幾何平均フィルターは、画像処理のノイズフィルターとして使用されます

も参照してください

脚注と参考文献

  1. ^ Matt Friehauf、Mikaela Hertel、Juan Liu、およびStacey Luong「コンパスと直定規の構造について:手段」 (PDF)ワシントン大学、数学科。2013 2018年6月14日取得
  2. ^ 「Euclid、Book VI、Proposition13」デビッドE.ジョイス、クラーク大学。2013 2019年7月19日取得
  3. ^ 幾何平均は、虚数になる負の積の根を避けるため、および平均に関する特定の特性を満たすために、同じ符号の数にのみ適用されます。これについては、この記事の後半で説明します。0(0の幾何平均を生成する)を許可する場合、定義は明確ですが、(乗算と加算の間で変換するために)幾何平均の対数を取りたいことが多く、の対数をとることができないため、除外できます。 0。
  4. ^ 「2.5:幾何平均」統計LibreTexts2019-04-20 2021年8月16日取得
  5. ^ Crawley、Michael J.(2005)。統計:Rを使用した概要John Wiley&Sons Ltd. ISBN 9780470022986
  6. ^ AC = aおよびBC = bの場合。OC = abのAMおよび半径r = QO = OG。ピタゴラスの定理を使用すると、QC²=QO²+OC²∴QC= √QO²+OC² = QMピタゴラスの定理を使用すると、OC²=OG²+GC²∴GC= √OC²−OG² = GM同様の三角形を使用し


    HC/GC=GC/OC∴HC=GC²/OC= HM
  7. ^ Mitchell、Douglas W.(2004)。「スプレッドと非算術平均の詳細」。マセマティカルガゼット88:142–144。土井10.1017 / S0025557200174534S2CID168239991_ 
  8. ^ フレミング、フィリップJ。; ウォレス、ジョンJ.(1986)。「統計に嘘をつかない方法:ベンチマーク結果を要約する正しい方法」。ACMの通信29(3):218–221。土井10.1145 /5666.5673S2CID1047380_ 
  9. ^ Smith、James E.(1988)。「単一の数値でコンピュータのパフォーマンスを特徴づける」。ACMの通信31(10):1202–1206。土井10.1145 /63039.63043S2CID10805363_ 
  10. ^ a b Rowley、Eric E.(1987)。今日の金融システムマンチェスター大学出版局。ISBN 0719014875
  11. ^ 「よくある質問-人間開発報告書」hdr.undp.org2011年3月2日にオリジナルからアーカイブされました。
  12. ^ a b 「テクニカルブリテン:アスペクト比の理解」(PDF)CinemaSourceプレス。2001年。 2009年9月9日のオリジナルからアーカイブ(PDF)2009年10月24日取得 {{cite journal}}Cite journal requires |journal= (help)
  13. ^ US 5956091、「4:3ディスプレイに16:9の写真を表示する方法」、1999年9月21日発行 
  14. ^ MacEvoy、ブルース。「カラーメイキング属性:光と色の測定」handprint.com/LS/CVS/color.html測色。2019-07-14にオリジナルからアーカイブされました2020-01-02を取得

外部リンク