10進数

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10進法 10進法と呼ばれることもあり、 denary / ˈdiːnəri / [ 1]またはdecanary と呼ばれることもあります整数および非整数を表すための標準的なシステムです。これは、ヒンドゥーアラビア数字システムの非整数の拡張です[2] 10進法で数値を表す方法は、多くの場合、10進表記と呼ばれます。[3]

10進数(多くの場合、 10進数、または正確ではないが10)は、一般に10進数システムでの数値の表記を指します。小数は小数点記号で識別される場合があります(通常、 25.9703または3,1415のように「。」または「」)。[4] 小数は、「 3.14πの2つの小数への近似」のように、小数点記号の後の数字を具体的に指す場合もあります。小数点記号の後のゼロ桁は、値の精度を示す目的で使用されます。

10進法で表すことができる数値は、小数です。つまり、a / 10 nの形式の分数です。ここで、aは整数であり、n非負の整数です。

小数システムは、小数点の後に無限の桁シーケンスを使用することにより、任意の実数を表すために無限小数に拡張されました(小数表現を参照)。このコンテキストでは、小数点記号の後にゼロ以外の桁数が有限である10進数は、終了10進数と呼ばれることがあります。循環小数は、ある場所の後で、同じ桁のシーケンスを無期限に繰り返す無限小数です(たとえば、5.123144144144144。。。= 5.123 144)。[5]無限小数は有理数商を表します 循環小数であるか、ゼロ以外の桁数が有限である場合に限り、2つの整数の。

オリジン

両手に10本の指、10進数のカウントの考えられる起源

古代文明の多くの記数法は、数字を表すために10とその累乗を使用します。これは、おそらく両手に10本の指があり、人々が指を使って数え始めたためです。例としては、最初にエジプト数字、次にブラーフミー数字ギリシャ数字ヘブライ数字ローマ数字、および漢数字があります。これらの古い記数法では非常に大きな数を表現することは困難であり、最高の数学者だけが大きな数を乗算または除算することができました。これらの問題は、整数を表すためのヒンドゥーアラビア数字システムの導入によって完全に解決されました。このシステムは、 10進法を形成するために、 10進分数または10進数と呼ばれるいくつかの非整数を表すように拡張されました

10進表記

数値を書き込む場合、10進法では10進数の10桁小数点、および負の数の場合はマイナス記号「-」を使用します。10進数は0、1、2、3、4、5、6、7、8、9です[6]小数点記号は、多くの国(主に英語を話す)ではドット「 」であり、他の国ではコンマ「」です。[4]

非負数を表す場合、10進数は次のようになります。

  • 数字の(有限の)シーケンス(「2017」など)のいずれかで、シーケンス全体が整数を表します。
  • または、2つの数字のシーケンスを区切る小数点(「20.70828」など)

m > 0場合、つまり最初のシーケンスに少なくとも2桁が含まれている場合、通常、最初の桁amはゼロではないと見なされます。状況によっては、左側に1つ以上の0があると便利な場合があります。これは、小数で表される値を変更しません。たとえば、3.14 = 03.14 = 003.14です。同様に、小数点の右側の最後の桁がゼロの場合、つまりb n = 0の場合、削除される可能性があります。逆に、表現された数値を変更せずに、小数点の後に末尾のゼロを追加することができます。[注1]たとえば、15 = 15.0 = 15.00および5.2 = 5.20 = 5.200

負の数を表すために、マイナス記号がmの前に配置されます。

数字数を表します

10進数の整数部分または整数部分は、小数点の左側に書き込まれる整数です(切り捨ても参照)。負でない10進数の場合、これは10進数以下の最大の整数です。小数点から右側の部分は小数部分であり、数値とその整数部分の差に等しくなります。

数値の整数部分がゼロの場合、通常はコンピューティングで、整数部分が書き込まれないことがあります(たとえば、 0.1234ではなく.1234)。通常の書き込みでは、小数点と他の句読点が混同されるリスクがあるため、これは通常回避されます。

簡単に言うと、数値の値に対する各桁の寄与は、数値内のその位置によって異なります。つまり、10進法は位取り記数法です

小数部

10進数の分数(特に明示的な分数を含むコンテキストでは、 10進数と呼ばれることもあります)は、分母が10の累乗である分数として表現できる有理数です。[8]たとえば、小数 分数を表す 8/101489/10024/100000+1618/1000+314159/100000、したがって10進数です。

より一般的には、区切り文字の後にn桁の小数があり、分母が10 nの分数を表します。分子は、区切り記号を削除して得られた整数です。

したがって、数値は、有限の小数表現を持っている 場合に限り、小数になります。

完全に既約分数表される10進数は、分母が2の累乗と5の累乗の積であるものです。したがって、10進数の最小の分母は次のようになります。

実数近似

10進数では、すべての実数、たとえば実数πを正確に表すことはできません。それにもかかわらず、それらはすべての実数を任意の精度で近似することを可能にします。たとえば、小数3.14159は実数πを近似し、 10-5未満です。そのため、小数は科学工学、日常生活 で広く使用されています。

より正確には、すべての実数xとすべての正の整数nに対して、小数点以下2桁のLuあり、L≤x≤uおよびuL)= 10 −nなる小数点後に最大n桁があります。

数値は、測定の結果として非常に頻繁に取得されます。測定は既知の上限を持つ測定の不確かさの影響を受けるため、絶対測定誤差が上から10 nに制限されるとすぐに、測定結果は小数点以下n桁の小数でよく表されます。実際には、測定結果は小数点以下の特定の桁数で示されることが多く、これは誤差範囲を示します。たとえば、0.080と0.08は同じ数値を示しますが、10進数の0.080は、0.001未満の誤差のある測定値を示し、数値0.08は、0.01で囲まれた絶対誤差を示します。どちらの場合も、測定量の真の値は、たとえば、0.0803または0.0796になります(有効数字も参照)。

無限小数展開

実数 xおよび整数n≥0の場合[ x ] nは、小数点以下n桁のx以下の最大数の(有限の)10進展開を示します。diが[ x ] iの最後の桁を表すとます[ x ] n −1の右側にdnを追加することで、 [ x ] nが得られることを理解するのは簡単です。このように人は持っています

[ x ] n = [ x ] 0d 1 d 2 ... d n -1 d n

[ x ] n -1[ x ] nの差は次のようになります。

これは、d n = 0の場合は0であるか、 nが無限大になる傾向があるため任意に小さくなります。極限の定義によればxは、nが無限大になる傾向があるときの[ x ] nの極限です。これは次のように書かれていますまた

x = [ x ] 0d 1 d 2 ... d n ...

これは、xの無限小数展開と呼ばれます。

逆に、任意の整数[ x ] 0および任意の数字シーケンスの場合(無限の)式[ x ] 0d 1 d 2 ... d n ...、実数xの無限小数展開です。この展開は、 nが十分に大きい場合(すべてのnが自然数Nより大きい場合)、すべてのd nが9に等しくなく、すべてのd nが0に等しくない場合に一意です

n > Nすべてのdnが9に等しく、[ x ] n = [ x ] 0の場合d 1 d 2 ... d n、数列の極限は、9ではない最後の桁を置き換えて得られる小数部です。つまりd NをdN + 1に置き換え、後続のすべての9を0に置き換えます(0.999 ...を参照)。

このような小数部、つまりn > N場合 dn = 0は、 dNをdN − 1に置き換え、後続のすべての0を9に置き換えることにより、同等の無限小数展開に変換できます( 0.999 ...を参照)。

要約すると、小数ではないすべての実数には、一意の無限小数展開があります。各小数部分には、正確に2つの無限小数展開があります。1つは上記の[ x ] nの定義によって得られる、ある場所の後に0のみを含み、もう1つは、 [ x ] nを定義することによって得られるある場所の後に9のみを含みます。 x未満最大数として、小数点の後に正確にn桁あります。

有理数

筆算により、有理数の無限小数展開を計算できます。有理数が小数の場合、除算は最終的に停止し、10進数が生成されます。これは、無限に多くのゼロを追加することにより、無限に拡張される可能性があります。有理数が小数でない場合、除算は無期限に続行される可能性があります。ただし、連続するすべての剰余は除数よりも小さいため、可能な剰余の数は有限であり、ある場所の後、同じ桁のシーケンスを商で無期限に繰り返す必要があります。つまり、循環小数があります。例えば、

1/81= 0. 012345679 012 ...(グループ012345679が無期限に繰り返されます)。

逆もまた真です。数値の10進表現のある時点で、同じ数字の文字列が無期限に繰り返され始める場合、その数値は有理数です。

たとえば、x       0.4156156156..。
次に10,000x    4156.156156156..。
そして10x       4.156156156..。
したがって、10,000 x − 10 x、つまり9,990 xは、    4152.000000000..。
x_    4152/9990

または、分子と分母の両方を6で除算します。692/1665

10進計算

戦国時代からの世界で最も初期の既知の九九(西暦 前305年頃)の図

最近のほとんどのコンピューターハードウェアおよびソフトウェアシステムは、通常、内部で2進表現を使用します(ただし、 ENIACIBM 650などの初期のコンピューターの多くは、内部で10進表現を使用していました)。[9] コンピューターの専門家が外部で使用する場合、この2進表現は、関連する8進法または16進法で表示されることがあります。

ただし、ほとんどの場合、バイナリ値は、人間への表示または人間からの入力のために、同等の10進値に変換されます。コンピュータプログラムは、デフォルトでリテラルを10進数で表現します。(たとえば、123.1は、多くのコンピューター言語がその数値を正確にエンコードできない場合でも、コンピュータープログラムでそのように記述されます。)

コンピュータのハードウェアとソフトウェアはどちらも、10進数値を格納し、算術演算を行うために事実上10進数である内部表現を使用します。多くの場合、この算術演算は、特にデータベースの実装では、バイナリコード化された10進数のバリアントを使用してエンコードされたデータに対して行われます[ 10 ] [11]が、他の10進数表現が使用されています(新しいリビジョンなどの10進数浮動小数点を含む)浮動小数点演算のIEEE754標準)。[12]

コンピューターでは小数演算が使用されるため、小数部の長さが固定された値を加算(または減算)した小数の小数の結果は、常に同じ長さの精度で計算されます。これは、財務計算では特に重要です。たとえば、簿記の目的で、結果に最小通貨単位の整数倍を要求します。の負の累乗のため、これはバイナリでは不可能です。有限の2進分数表現はありません。そして、一般的に乗算(または除算)は不可能です。[13] [14]正確な計算については、任意精度演算を参照してください

歴史

世界で最も初期の10進数の九九は、中国の戦国時代に紀元前305年にさかのぼる竹簡から作成されました。

多くの古代文化は10に基づく数字で計算され、人間の手は通常10本の指/指を持っているために議論されることがあります。[15]インダス文明(西暦前3300年から1300年頃)で使用された標準化された重みは、1 / 20、1 / 10、1 /  5、1 / 2、1、2、5、10、20の比率に基づいていました、50、100、200、および500であり、標準化された定規であるモヘンジョダロ定規は10の等しい部分に分割されました。[16] [17] [18]エジプトの象形文字は、紀元前3000年頃からの証拠として、純粋な10進法を使用しており[19] 、ミノア文明のクレタ聖刻文字( 紀元前1625-1500年頃)も同様でした その数字はエジプトのモデルに密接に基づいています。[20] [21] 10進法は、線形A(紀元前18世紀頃から紀元前1450年頃)と線文字B(紀元前1375年から1200年頃)を含む、ギリシャの青銅器時代の連続した文化に受け継がれました。古典的なギリシャも10の累乗を使用しました。これには、ローマ数字 5の中間基数が含まれます[22]そして後にドイツの数学者を率いたカール・フリードリヒ・ガウスは、アルキメデスが彼の独創的な発見の可能性を完全に理解していたら、科学が彼の時代にすでに到達していたであろう高さを嘆きます。[23] ヒッタイトの象形文字(紀元前15世紀以降)も厳密に10進数でした。[24]

紀元前1700年から900年にまでさかのぼるヴェーダなどの非数学的な古代のテキストは、小数と数学的な小数を利用しています。[25]

エジプトの階層数字、ギリシャのアルファベット数字、ヘブライのアルファベット数字、ローマ数字、中国の数字、初期のインドのブラーフミー数字はすべて非位置10進法であり、多数の記号が必要でした。たとえば、エジプトの数字は、10、20から90、100、200から900、1000、2000、3000、4000、10,000に異なる記号を使用していました。[26] 世界で最も初期の位置10進法は、中国の籌算でした。[27]

世界最古の位置10進法
上段縦型
下段横型

小数の履歴

算木小数部1/7

10進数の分数は、紀元前4世紀の終わりに中国人によって最初に開発され、使用され[28]、その後中東に広がり、そこからヨーロッパに広がりました。[27] [29]書かれた中国語の小数は、位取りされていませんでした。[29]しかし、算木分数は定位置でした。[27]

秦九陀は、彼の著書 『数書九章』(1247 [30])で、0.96644を次のように示しています。

算木0.png 算木h9num.png 算木v6.png 算木h6.png 算木v4.png 算木h4.png、 意味
096644

J. Lennart Berggrenは、10世紀に書かれたアラブの数学者Abu'l-Hasan al-Uqlidisiの本に、位の小数部が初めて登場したと述べています。[31]ユダヤ人の数学者イマニュエル・ボンフィルスは、シモン・ステヴィンを予想して、1350年頃に小数を使用しましたが、それらを表す表記法を開発しませんでした。[32]ペルシャの数学者Jamshīdal-Kāshīは、15世紀に自分で小数を発見したと主張した。[31] アルクワリズミー9世紀初頭にイスラム諸国に分数を導入しました。中国の作家は、彼の分数の提示は孫子算経の伝統的な中国の数学的分数の正確なコピーであったと主張しています。[27]上部に分子があり、下部に分母があり、水平バーがないこの形式の分数は、アル・ウッリディシとアル・カーシーが彼の作品「算術キー」でも使用しました。[27] [33]

Stevin-10進表記.svg

現代ヨーロッパの10進表記の先駆者は、16世紀にSimonStevinによって導入されました。[34]

自然言語

インドでは、10個の記号のセットを使用してすべての可能な自然数を表現する方法が登場しました。いくつかのインドの言語は、単純な10進法を示しています。多くのインド・アーリア語ドラヴィダ語には、10に加えて規則的なパターンで表現された10から20までの数字があります。[35]

ハンガリー語も単純な10進法を使用しています10から20までのすべての数字は、20から100までの数字(23は「huszonhárom」=「3対20」)と同様に、定期的に形成されます(たとえば、11は「tizenegy」として文字通り「1対10」で表されます)。

各順序(10、100、1000、10,000)の単語を含む単純な10進ランクシステムで、11は10-1、23は2-10-3として表され、89,345は8として表されます。 (万)9(千)3(百)4(数十)5は中国語ベトナム語でいくつかの不規則性があります。 日本語韓国語タイ語中国の10進法をインポートしました。10進法を使用する他の多くの言語には、10〜20、および数十年の数字に対応する特別な単語があります。たとえば、英語では11は「ten-one」や「one-teen」ではなく「11」です。

ケチュア語アイマラ語などのインカ語は、ほぼ単純な10進法で、11は110、23は3で2-10として表されます。

一部の心理学者は、英語の数字の名前の不規則性が子供の数え方を妨げる可能性があると示唆しています。[36]

その他の拠点

一部の文化では、他の基数を使用しているか、使用していました。

  • マヤのようなコロンブス以前のメソアメリカ文化は基数20のシステムを使用していました(おそらく20本の指との指すべてを使用することに基づいています)。
  • カリフォルニアユキ語とメキシコのパメア語[37]、話者が指自体ではなく指の間のスペースを使用してカウントするため、8進数(8進数)システムを使用しています[38]
  • ゲルマン語の初期の痕跡に非10進数の基数が存在することは、カウントが10進数であることを意味する単語と光沢の存在によって証明されます(「テンカウント」または「テンカウント」を意味します)。通常のカウントが10進数でない場合はこれが予想され、10進数の場合は異常です。[39] [40] このカウントシステムが知られている場合、それは「長い百」= 120、および1200の「長い千」に基づいています。「長い」のような説明は、100の「小さな百」の後にのみ表示されます。クリスチャンと一緒に登場しました。ゴードンの古ノルド語入門p。 293、このシステムに属する番号名を与えます。 「180」に同族の表現は200に変換され、「200」に同族の表現は240に変換されます。Goodare中世のスコットランドでのロングハンドレッドの使用について詳しく説明し、キャリーがi C(つまり100)を120として意味する計算などの例を示します。一般の人々がそのような数に遭遇することを警戒していなかったことは、十分に一般的な使用を示唆しています。 。ポンドの長いカウントではなく、石やポンドなどの中間単位を使用することで、百のような数を回避することもできます。Goodareは、viiスコアのような数値の例を示しています。ここでは、拡張スコアを使用して100を回避しています。WHStevensonによる「LongHundredand its use inEngland」に関する論文もあります。[41] [42]
  • チュマシュ語族の多くまたはすべては、もともと4を基数として数えるシステムを使用していました。このシステムでは、数字の名前は4と16の倍数に従って構成されていました[43]
  • GumatjNunggubuyu[45] Kuurn Kopan Noot [46]Saravecaなど、多くの言語[44]は5進数(基数5)の数体系を使用しています。これらのうち、Gumatjは既知の唯一の真の5–25言語であり、25は5の上位グループです。
  • 一部のナイジェリア人は十二進法を使用しています。[47] 言語で示されているように、インドとネパールのいくつかの小さなコミュニティもそうだった。[48]
  • パプアニューギニアフリ語15を基数とする数であると報告されています。[49] Nguiは15を意味し、nguikiは15×2 = 30を意味し、nguinguiは15×15 = 225を意味します。
  • Kakoliとしても知られているUmbu -Unguは、 24を基数とする番号を持っていると報告されています。[50] トカプは24を意味し、トカプタルは24×2 = 48を意味し、トカプトカプは24×24 = 576を意味します。
  • Ngitiは、基数4サイクルの基数32の記数法を持っていると報告されています。[44]
  • パプアニューギニアンドム語6進法の数字であると報告されています。[51] Merは6を意味し、mer anthefは6×2 = 12を意味し、nifは36を意味し、nifthefは36×2 = 72を意味します。

も参照してください

メモ

  1. ^ 測定の精度を示すために、余分なゼロが使用されることがありたとえば、「15.00 m」は、測定誤差が1センチメートル(0.01 m)未満であることを示し、「15 m」は、長さが約15メートルであり、誤差が10センチメートルを超える可能性があることを示します。

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  5. ^ 5.123 144括線(オーバーライン)は、「144」シーケンスが無期限に繰り返されることを示しています。5.123 144 144 144 144 ...。 _
  6. ^ アラブ語を話す国など、一部の国では、数字に他のグリフが使用されています
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