クリスタルシステム

ウィキペディアから、無料の百科事典
ナビゲーションにジャンプ 検索にジャンプ
ダイヤモンドの結晶構造が面心に属する立方格子繰り返さ2原子のパターンで、。

結晶、用語結晶系結晶ファミリー、及び格子システムはそれぞれのいくつかのクラスのいずれかを参照して空間群格子点群、または結晶非公式には、2つの結晶は、対称性が類似している場合、同じ結晶系にありますが、これには多くの例外があります。

結晶系、結晶系、格子系は似ていますがわずかに異なり、それらの間には広範囲にわたる混乱があります。特に、三角結晶系はしばしば菱面体晶格子系と混同され、「結晶系」という用語は時々意味するために使用されます「格子系」または「結晶系」。

空間群と結晶は、点群に応じて7つの結晶系に、ブラベ格子に応じて7つの格子系に分けられます。結晶系の5つは、格子系の5つと本質的に同じですが、六角形および三角形の結晶系は、六角形および菱面体晶の格子系とは異なります。6つの結晶系は、この混乱を排除するために、六角形と三方晶系を1つの六角形の結晶系に組み合わせることによって形成されます。

概要

六角形のハンクス石結晶、3回のc軸対称性

格子システムは、格子の同じセットを持つ格子のクラスである点グループのサブグループであり、算術結晶クラス。 14個のBravais格子は、三斜晶、単斜晶、斜方晶、正方晶、菱面体晶、六方晶、立方晶の7つの格子系にグループ化されています。

結晶系、点群とそれらの対応する空間群のセットは、格子システムに割り当てられています。 3次元に存在する32の点群のうち、ほとんどは1つの格子系にのみ割り当てられます。この場合、結晶系と格子系の両方に同じ名前が付けられます。ただし、菱面体晶と六角形の2つの格子系には、両方とも3回の回転対称性を示すため、5つの点群が割り当てられます。これらの点群は、三方晶系に割り当てられます。合計で7つの結晶系があります:三斜晶、単斜晶、斜方晶、正方晶、三斜晶、六方晶、および立方晶。

結晶家族は格子と点群によって決定されます。これは、共通の格子系に割り当てられた空間群を持つ結晶系を組み合わせることによって形成されます。三次元では、結晶系と結晶系は同一ですが、六方晶系と三方晶系が1つの六方晶系に結合されている点が異なります。合計で6つの結晶系があります:三斜晶、単斜晶、斜方晶、正方晶、六方晶、および立方晶。

3次元未満のスペースには、同じ数の結晶系、結晶系、および格子系があります。一次元空間には、1つの結晶系があります。2D空間には、斜め、長方形、正方形、六角形の4つの結晶系があります。

次の表に、3次元結晶系、結晶系、格子系の関係を示します。

クリスタルファミリー クリスタルシステム 点群に必要な対称性 ポイントグループ 空間群 ブラベ格子 格子系
三斜晶 三斜晶 なし 2 2 1 三斜晶
単斜晶 単斜晶 1つの2つの回転軸または1つのミラー平面 3 13 2 単斜晶
斜方晶 斜方晶 3つの2つの回転軸または1つの2つの回転軸と2つのミラー平面 3 59 4 斜方晶
正方晶 正方晶 1つの4倍の回転軸 7 68 2 正方晶
六角 三方晶 1つの3つの回転軸 5 7 1 菱面体晶
18 1 六角
六角 16倍の回転軸 7 27
キュービック キュービック 4つの3つの回転軸 5 36 3 キュービック
6 7 合計 32 230 14 7
注:「三方晶」格子系はありません。用語の混乱を避けるために、「三角格子」という用語は使用されていません。

クリスタルクラス

次の表に示すように、7つの結晶系は32の結晶クラス(32の結晶点群に対応)で構成されています。

クリスタルファミリー クリスタルシステム ポイントグループ/クリスタルクラス シェーンフリース ヘルマン・モーガン オービフォールド コクセター 点対称 注文 抽象グループ
三斜晶 小児 C 1 1 11 [] + エナンチオモルフィック 極性 1 些細なこと
ピナコイダル C i(S 2 1 1倍 [2,1 + ] 中心対称 2 サイクリック
単斜晶 蝶形骨 C 2 2 22 [2,2] + エナンチオモルフィック 極性 2 サイクリック
ドマティック C s(C 1h NS * 11 [] 極地 2 サイクリック
プリズム C 2h 2 / m 2 * [2,2 + ] 中心対称 4 クラインの四元群
斜方晶 菱形-くさび形 D 2(V) 222 222 [2,2] + エナンチオモルフィック 4 クラインの四元群
菱形ピラミッド C 2v mm2 * 22 [2] 極地 4 クラインの四元群
菱形-角錐 D 2h(V h うーん * 222 [2,2] 中心対称 8
正方晶 正方晶-ピラミッド C 4 4 44 [4] + エナンチオモルフィック 極性 4 サイクリック
正方晶-くさび形 S 4 4 2倍 [2 +、2] 非中心対称 4 サイクリック
正方晶-双角錐 C 4h 4 / m 4 * [2,4 + ] 中心対称 8
正方晶-ねじれ双角錐 D 4 422 422 [2,4] + エナンチオモルフィック 8 二面角
二正方晶-ピラミッド C 4v 4mm * 44 [4] 極地 8 二面角
正方晶-スケールノヘドラル D 2d(V d 4 2メートルまたは4 m2の 2 * 2 [2 +、4] 非中心対称 8 二面角
双角錐-双角錐 D4時間 4 / mmm * 422 [2,4] 中心対称 16
六角 三方晶 三角錐-ピラミッド C 3 3 33 [3] + エナンチオモルフィック 極性 3 サイクリック
菱面体晶 C 3i(S 6 3 3倍 [2 +、3 + ] 中心対称 6 サイクリック
三角錐-ねじれ双角錐 D 3 32または321または312 322 [3,2] + エナンチオモルフィック 6 二面角
ditrigonal-pyramidal C 3v 3mまたは3m1または31m * 33 [3] 極地 6 二面角
ditrigonal-scalenohedral D 3d 3 Mまたは3 M1または3 1メートル 2 * 3 [2 +、6] 中心対称 12 二面角
六角 六角錐-ピラミッド C 6 6 66 [6] + エナンチオモルフィック 極性 6 サイクリック
三角錐-双角錐 C 3h 6 3 * [2,3 + ] 非中心対称 6 サイクリック
六角形-双角錐 C 6h 6 / m 6 * [2,6 + ] 中心対称 12
六角形-ねじれ双角錐 D 6 622 622 [2,6] + エナンチオモルフィック 12 二面角
ジヘキサゴナル-ピラミッド C 6v 6mm * 66 [6] 極地 12 二面角
双角錐-双角錐 D3時間 6 m2のか、6 2メートル * 322 [2,3] 非中心対称 12 二面角
ジヘキサゴナル-双角錐 D 6h 6 / mmm * 622 [2,6] 中心対称 24
キュービック tetartoidal NS 23 332 [3,3] + エナンチオモルフィック 12 交互
二倍体 T h m 3 3 * 2 [3 +、4] 中心対称 24
ジャイロイダル O 432 432 [4,3] + エナンチオモルフィック 24 対称
六四面体 T d 4 3m * 332 [3,3] 非中心対称 24 対称
六八面体 Oの時間 m 3 m * 432 [4,3] 中心対称 48

構造の点対称性は、次のようにさらに説明できます。 (その結果、構造を構成する、すべての単一の点を介してそれらを反映した点を考慮して、XYZは、( - )となるX、 - Y - 、 - Z)。これが「反転構造」です。元の構造と反転した構造が同一である場合、構造は中心対称です。それ以外の場合は、中心対称ではありません。それでも、中心対称でない場合でも、反転した構造を回転させて元の構造に合わせることができる場合があります。これは非中心対称のアキラルです構造。反転した構造を回転させて元の構造と整列させることができない場合、その構造はキラルまたはエナンチオモルフィックであり、その対称群はエナンチオモルフィックです。[1]

方向(矢印のない線を意味する)は、その2方向の感覚が幾何学的または物理的に異なる場合、と呼ばれます。極性のある結晶の対称方向は、極軸と呼ばれます[2]極軸を含む基が呼び出される極性。極性結晶は固有の極性軸を持っています(より正確には、すべての極性軸は平行です)。この軸の両端では、幾何学的または物理的特性が異なります。たとえば、焦電結晶のように誘電分極が発生する場合があります。極軸は、非中心対称構造でのみ発生します。軸の2つの方向が同等になるため、極軸に垂直なミラー平面または2つの軸は存在できません。

キラル生体分子結晶構造タンパク質構造など)は、65のエナンチオモルフィック空間群でのみ発生します(生体分子は通常キラルです)。

ブラベ格子

結晶系には7種類あり、それぞれの結晶系には4種類のセンタリング(プリミティブ、ベース中心、ボディ中心、フェース中心)があります。ただし、すべての組み合わせが一意であるとは限りません。一部の組み合わせは同等ですが、対称性の理由により他の組み合わせは不可能です。これにより、一意の格子の数が14個のBravais格子に減ります。

14個のBravais格子の格子系と結晶系への分布を次の表に示します。

クリスタルファミリー 格子系 点群
シェーンフリース表記
14ブラベ格子
プリミティブ(P) ベース中心(S) 体心(I) 顔中心(F)
三斜晶系(a) C i 三斜晶

aP

単斜晶(m) C 2h 単斜晶系、シンプル

mP

単斜晶系、中心

MS

斜方晶(o) D 2h 斜方晶系、シンプル

oP

斜方晶系、塩基中心

OS

斜方晶系、体心

oI

斜方晶系、顔中心

正方晶(t) D4時間 正方晶、シンプル

tP

正方晶、体心

tI

六角形(h) 菱面体晶 D 3d 菱面体晶

hR

六角 D 6h 六角

hP

キュービック(c) Oの時間 キュービック、シンプル

cP

キュービック、体心

cI

キュービック、顔中心

cF

幾何学結晶ブラベ格子の範疇である平行移動 対称群(としても知られている格子三の方向に)。

このような対称群は、次の形式のベクトルによる平行移動で構成されます。

R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3

ここで、n 1n 2、およびn 3整数であり、a 1a 2、およびa 3は、プリミティブベクトルと呼ばれる3つの非同一平面上のベクトルです。

これらのラティスは、ポイントのコレクションとして表示される、ラティス自体の空間群によって分類され ます。3次元には14個のBravais格子があります。それぞれが1つの格子系にのみ属します。それら[必要な説明]は、与えられた並進対称性を持つ構造が持つことができる最大の対称性を表します。

すべての結晶性材料(準結晶を含まない)は、定義上、これらの配置の1つに適合しなければなりません。

便宜上、Bravais格子は、プリミティブセルよりも1、2、3、または4倍大きいユニットセルで表されます。結晶または他のパターンの対称性に応じて、基本領域は再び小さくなり、最大で48倍になります。

ブラベ格子は1842年にモリッツルートヴィヒフランケンハイムによって研究され、15のブラベ格子があることがわかりました。これは1848年にA.ブラヴェによって14に修正されました

4次元空間で

‌4次元ユニットセルは、4つのエッジ長(abcd)と6つの軸間角度(αβγδεζによって定義されます。格子定数の次の条件は、23の結晶族を定義します

4D空間の結晶ファミリー
いいえ。 家族 エッジの長さ 軸間角度
1 ヘキサクリニック abcd αβγδεζ ≠90°
2 三斜晶 abcd αβγ ≠90°
δ = ε = ζ = 90°
3 ディクリニック abcd α ≠90°
β = γ = δ = ε = 90°
ζ ≠90°
4 単斜晶 abcd α ≠90°
β = γ = δ = ε = ζ = 90°
5 直交 abcd α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
6 正方晶単斜晶 ab = cd α ≠90°
β = γ = δ = ε = ζ = 90°
7 六角形の単斜晶 ab = cd α ≠90°
β = γ = δ = ε = 90°
ζ = 120°
8 二正方晶 a = db = c α = ζ = 90°
β = ε ≠90°
γ ≠90°
δ = 180° −γ
9 二三角(二六方)二クリニック a = db = c α = ζ = 120°
β = ε ≠90°
γδ ≠90°
COS δ = COS β - COS γ
10 正方晶 ab = cd α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
11 六角形の直交 ab = cd α = β = γ = δ = ε = 90°、ζ = 120°
12 二方斜晶単斜晶 a = db = c α = γ = δ = ζ = 90°
β = ε ≠90°
13 二三角(二六方)単斜晶 a = db = c α = ζ = 120°
β = ε ≠90°
γ = δ ≠90°
COS γ = -1/2COS β
14 二正方直交 a = db = c α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
15 六角形の正方晶 a = db = c α = β = γ = δ = ε = 90°
ζ = 120°
16 二六方直交 a = db = c α = ζ = 120°
β = γ = δ = ε = 90°
17 キュービック直交 a = b = cd α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
18 八角形 a = b = c = d α = γ = ζ ≠90°
β = ε = 90°
δ = 180° −α
19 十角形 a = b = c = d α = γ = ζβ = δ = ε
のcos β = -1/2- COS α
20 十二角 a = b = c = d α = ζ = 90°
β = ε = 120°
γ = δ ≠90°
21 二等六方直交 a = b = c = d α = ζ = 120°
β = γ = δ = ε = 90°
22 二十面体(二十面体) a = b = c = d α = β = γ = δ = ε = ζ
のcos α = -1/4
23 超立方体 a = b = c = d α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°

ここでの名前はWhittakerによるものです。[3]彼らはブラウンとほぼ同じである[4]結晶家族9名の例外、13と、ブラウンによるとこれら三つの家族のための22名らは括弧内に与えられています。

次の表に、4次元結晶系、結晶系、格子系の関係を示します。[3] [4]エナンチオモルフィックシステムにはアスタリスクが付いています。エナンチオモルフィックペアの数は括弧内に示されています。ここで、「エナンチオモルフィック」という用語は、3次元結晶クラスの表とは異なる意味を持っています。後者は、エナンチオモルフィック点群がキラル(エナンチオモルフィック)構造を表すことを意味します。 (幾何学的オブジェクトとしてみなさ)グループ自体は、三次元空間群P3の鏡像対のような、鏡像であることが、現在のテーブルに、「鏡像」手段1およびP3 2、P4 1 22およびP4 322. 4次元空間から始めて、点群もこの意味でエナンチオモルフィックである可能性があります。

4D空間の結晶系
番号
結晶ファミリー
クリスタルファミリー クリスタルシステム 米国特許第
結晶系
ポイントグループ 空間群 ブラベ格子 格子系
NS ヘキサクリニック 1 2 2 1 ヘキサクリニックP
II 三斜晶 2 3 13 2 三斜晶系P、S
III ディクリニック 3 2 12 3 ディクリニックP、S、D
IV 単斜晶 4 4 207 6 単斜晶系P、S、S、I、D、F
V 直交 非軸直交 5 2 2 1 直交KU
112 8 直交P、S、I、Z、D、F、G、U
軸直交 6 3 887
VI 正方晶単斜晶 7 7 88 2 正方晶単斜晶P、I
VII 六角形の単斜晶 三角単斜晶 8 5 9 1 六角形の単斜晶系R
15 1 六角形の単斜晶系P
六角形の単斜晶 9 7 25
VIII 二方晶ジクリニック* 10 1(+1) 1(+1) 1(+1) 二方晶ジクリニックP *
IX Ditrigonal diclinic * 11 2(+2) 2(+2) 1(+1) Ditrigonal diclinic P *
NS 正方晶 逆正方晶 12 5 7 1 正方晶直交KG
351 5 正方晶P、S、I、Z、G
適切な正方晶 13 10 1312
XI 六角形の直交 三角直交 14 10 81 2 六角直交R、RS
150 2 六角形の直交P、S
六角形の直交 15 12 240
XII 二方斜晶系単斜晶系* 16 1(+1) 6(+6) 3(+3) 二方斜晶単斜晶P *、S *、D *
XIII 二三角単斜晶* 17 2(+2) 5(+5) 2(+2) 二方単斜晶系P *、RR *
XIV 二正方直交 暗号-二正方直交 18 5 10 1 二正直交D
165(+2) 2 二正直交直交P、Z
二正方直交 19 6 127
XV 六角形の正方晶 20 22 108 1 六角形の正方晶P
XVI 二六方直交 暗号-二三角直交* 21 4(+4) 5(+5) 1(+1) 二六方直交G *
5(+5) 1 二六方直交P
二六方直交 23 11 20
二三角直交 22 11 41
16 1 二六方直交RR
XVII キュービック直交 単純な立方直交 24 5 9 1 キュービック直交KU
96 5 キュービック直交P、I、Z、F、U
複素3次直交 25 11 366
XVIII 八角形* 26 2(+2) 3(+3) 1(+1) 八角形P *
XIX 十角形 27 4 5 1 十角形P
XX 十二角* 28 2(+2) 2(+2) 1(+1) 十二角P *
XXI 二等六方直交 単純なジアイソヘキサゴナル直交 29 9(+2) 19(+5) 1 二等六方直交RR
19(+3) 1 二等六方直交P
複雑なジイソヘキサゴナル直交 30 13(+8) 15(+9)
XXII 二十角形 31 7 20 2 二十角形P、SN
XXIII 超立方体 八角形の超立方体 32 21(+8) 73(+15) 1 超立方体P
107(+28) 1 超立方体Z
十二角超立方体 33 16(+12) 25(+20)
合計 23(+6) 33(+7) 227(+44) 4783(+111) 64(+10) 33(+7)

も参照してください

参考文献

  1. ^ Flack、Howard D.(2003)。「キラルおよびアキラル結晶構造」。Helvetica ChimicaActa86(4):905–921。CiteSeerX  10.1.1.537.266doi10.1002 / hlca.200390109Wiley OnlineLibrary経由
  2. ^ ハーン2002、p。804。
  3. ^ a b Whittaker、EJW(1985)。4次元結晶クラスのハイパーステレオグラムのアトラスオックスフォードクラレンドンプレスISBN 978-0-19-854432-6OCLC  638900498
  4. ^ a b ブラウン、H。; Bülow、R。; Neubüser、J。; Wondratschek、H。; Zassenhaus、H。(1978)。4次元空間の結晶学的グループニューヨークワイリーISBN 978-0-471-03095-9OCLC  939898594

引用された作品

外部リンク