古典力学

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軌道速度と求心加速度のアニメーション
地球の周りの衛星の軌道運動の図。古典的な解釈で表された、垂直方向の速度と加速度(力)のベクトルを示しています。

古典力学[注1]であり、物理的理論記述運動巨視的からオブジェクトを、発射の部分に機械、及び天体など、宇宙船惑星、および銀河。古典力学が支配する物体の場合、現在の状態がわかれば、将来どのように動くか(決定論)、過去にどのように動いたか(可逆性)を予測することができます。

古典力学の初期の開発は、しばしばニュートン力学と呼ばれます。これは、アイザックニュートン卿の基礎的な作品に基づく物理的概念と、影響下身体の動きを説明するために17世紀にゴットフリート・ウィルヘルム・ライプニッツジョセフ・ルイ・ラグランジュレオンハルト・オイラーなどの同時代人によって発明された数学的方法で構成されています。力のシステムの。その後、より抽象的な方法が開発され、ラグランジュ力学およびハミルトニアン力学として知られる古典力学の再定式化につながりました。。これらの進歩は、主に18世紀と19世紀に行われ、特に分析力学の使用を通じて、以前の研究を大幅に超えています。それらは、いくつかの変更を加えて、現代物理学のすべての分野でも使用されています。

古典力学は、極端に大きくなく、速度が光速に近づかない大きな物体を研究するときに、非常に正確な結果を提供します検査されているオブジェクトは、原子の直径の大きさについて持っている場合、それは他の主要なサブフィールドを導入することが必要になる力学量子力学を光速に比べて小さくない速度を記述するためには、特殊相対性理論が必要です。オブジェクトが非常に大きくなる場合一般相対性理論が適用可能になります。しかし、現代の情報源の多くには相対論的力学が含まれています 古典物理学では、彼らの見解では、最も発達した正確な形で古典力学を表しています。

理論の説明

放物線状の発射体運動の図
投射物の動きの分析は、古典力学の一部です。

以下に、古典力学の基本概念を紹介します。簡単にするために、実際のオブジェクトを点粒子(無視できるサイズのオブジェクト)としてモデル化することがよくあります。点粒子の運動は、その位置、質量、およびそれに加えられるなど、少数のパラメータによって特徴付けられます。これらの各パラメータについて順番に説明します。

実際には、古典力学が記述できる種類のオブジェクトは、常にゼロ以外のサイズを持っています。(の物理非常など小さな粒子、電子は、より正確で記述される量子力学。)非ゼロのサイズでオブジェクトのための追加の仮想点の粒子、より複雑挙動有する自由度、例えば、野球それが動いている間に回転します。ただし、点粒子の結果は、多数の集合的に作用する点粒子で構成される複合オブジェクトとして扱うことにより、そのようなオブジェクトを研究するために使用できます質量の中心 複合オブジェクトのは、点粒子のように動作します。

古典力学は、物質と力がどのように存在し、相互作用するかについての常識的な概念を使用しています。物質とエネルギーには、空間内の位置や速度など、明確でわかりやすい属性があることを前提としています。非相対論的力学はまた、力が瞬時に作用することを前提としています(遠隔作用も参照)。

位置とその派生物

SIは「機械的」由来
(すなわち、ない電磁または
kgで、mおよび付きユニット
ポジション NS
角度位置/角度 単位なし(ラジアン)
速度 m・s -1
角速度 s -1
加速度 m・s −2
角加速度 s −2
ぴくぴく動く m・s -3
「角ジャーク」 s −3
比エネルギー m 2・s −2
吸収線量率 m 2・s −3
慣性モーメント キロ・メートル2
勢い kg・m・s -1
角運動量 キロ・メートル2・sで-1
kg・m・s −2
トルク キロ・M 2・sで-2
エネルギー キロ・M 2・sで-2
パワー キロ・M 2・sで-3
圧力エネルギー密度 kg・m -1・s -2
表面張力 kg・s -2
バネ定数 kg・s -2
放射照度エネルギーフラックス kg・s -3
動粘度 m 2・s −1
動粘度 kg・m -1・s -1
密度(質量密度) kg・m -3
比重(重量密度) kg・m -2・s -2
数密度 m −3
アクション キロ・メートル2・sで-1

点粒子位置、原点Oと呼ばれる空間内の任意の固定参照点を中心とする座標系に関連して定義されます。単純な座標系は、位置記述可能性がある粒子Pを用いてベクトル矢印標識によって表記R原点から点そのO点にP。一般に、点粒子はOに対して静止している必要はありませんPOに対して移動している場合rは次の関数として定義されます。 t時間アインシュタイン以前の相対性理論(ガリレイ不変性として知られている)では、時間は絶対値と見なされます。つまり、特定のイベントのペア間で経過することが観察される時間間隔は、すべてのオブザーバーで同じです。[3]絶対時間に依存することに加えて、古典力学は空間の構造にユークリッド幾何学想定しています。[4]

速度と速度

速度、又は変化率の時間変位のは、として定義される誘導体時間に対する位置の:

古典力学では、速度は直接加法混色です。たとえば、ある車が60 km / hで東に移動し、同じ方向に50 km / hで移動する別の車を通過する場合、遅い車は速い車を60 − 50 = 10 km / hで東に移動していると認識しますただし、速い車の観点からは、遅い車は西に10 km / h移動しており、記号が反対方向を意味する場合は-10 km / hと表示されることがよくあります。速度はベクトル量として直接加算されます; それらはベクトル解析を使用して処理する必要があります

数学的には、前の説明の最初のオブジェクトの速度がベクトルu = u dで表され、2番目のオブジェクトの速度がベクトルv = v e表される場合、uは最初のオブジェクトの速度、vは2番目のオブジェクトの速度、およびde、それぞれ各オブジェクトの運動方向の単位ベクトルである場合、2番目のオブジェクトから見た最初のオブジェクトの速度は次のようになります。

同様に、最初のオブジェクトは2番目のオブジェクトの速度を次のように認識します。

両方のオブジェクトが同じ方向に移動している場合、この方程式は次のように簡略化できます。

または、方向を無視することで、速度の点でのみ違いを与えることができます。

加速

加速度、または速度の変化率であり、誘導体時間に対する速度(の二次導関数の時間に対する位置の):

加速度は、時間の経過に伴う速度の変化を表します。速度は、大きさまたは方向、あるいはその両方で変化する可能性があります。時折、速度「v」の大きさの減少は減速と呼ばれますが、一般に、減速を含む時間の経過に伴う速度の変化は、単に加速と呼ばれます。

参照フレーム

粒子の位置、速度、および加速度は、あらゆる運動状態のあらゆる観測者に関して説明できますが、古典力学は、自然の機械的法則が比較的単純な形をとる特別な基準座標系の存在を前提としています。これらの特別な参照フレームは慣性フレームと呼ばれます。慣性フレームは、オブジェクトに作用する外力がない理想的な基準フレームです。それに作用する外力がないため、オブジェクトは一定の速度を持ちます。つまり、静止しているか、直線で均一に移動しています。

慣性フレームの重要な概念は、それらを識別する方法です。実用的な目的では、遠方の星(非常に遠い点)に対して加速しない参照フレームは、慣性フレームの適切な近似と見なされます。非慣性座標系は、既存の慣性座標系に比べて加速します。それらはアインシュタインの相対性理論の基礎を形成します。相対運動のため、非慣性フレーム内の粒子は、参照フレーム内の既存のフィールドからの力では説明できない方法で移動しているように見えます。したがって、相対加速度の結果としてのみ運動方程式に入る他の力があるように見えます。これらの力は、架空の力、慣性力、または疑似と呼ばれます。

2つの参照フレーム SS 'を考えます。参照フレームの各々における観察者のイベントは(の時空間座標を有するXYZTフレーム内)Sおよび(X「Y」Z「T」フレームで)S」を。時間がすべての参照フレームで同じように測定され、t = 0ときにx = x 'が必要な場合、参照フレームS'Sから観測された同じイベントの時空間座標間の関係、の相対速度で移動しているUのx方向です。

この一連の式はガリレイ変換(非公式にはガリレイ変換として知られる群変換を定義します。このグループは、特殊相対性理論で使用されるポアンカレグループの限定的なケースです速度ときに限定場合は適用uはに比べて非常に小さいC光速

変換は次の結果をもたらします。

  • V '= V - U(速度V 'の観点から、粒子のSは、 'によって遅いUその速度よりもVの観点から、S
  • a '= a(粒子の加速度はどの慣性座標系でも同じです)
  • F '= F(粒子にかかる力はどの慣性座標系でも同じです)
  • 光の速度は、古典力学に一定ではなく、また、光の速度に与える特別な位置ない相対論的力学が古典力学に対応しています。

いくつかの問題については、回転座標(参照フレーム)を使用すると便利です。これにより、便利な慣性系へのマッピングを維持するか、架空の遠心力コリオリの力を追加で導入することができます

力とニュートンの第2法則

物理学における力とは、オブジェクトの速度を変化させるアクションです。つまり、加速することです。内からの力の発信元フィールド(静電荷によって引き起こされる)、このような静電フィールドとして、(電荷を移動させることによって引き起こされる)電磁場、またはとりわけ(質量によって引き起こされる)重力場、。

ニュートンは、運動量の関係を数学的に表現した最初の人物です。ニュートンの第2運動法則を力と質量の定義として解釈する物理学者もいれば、それを基本的な仮定である自然の法則と見なす物理学者もいます。[5]どちらの解釈も、歴史的に「ニュートンの第2法則」として知られている、同じ数学的結果をもたらします。

数量MとVは(と呼ばれるカノニカル勢いしたがって、粒子にかかる正味の力は、粒子の運動量の時間変化率に等しくなります。加速度の定義はa = d v / d tであるため、2番目の法則は単純化されたより馴染みのある形式で記述できます。

粒子に作用する力がわかっている限り、粒子の運動を説明するにはニュートンの第2法則で十分です。粒子に作用する各力の独立した関係が利用可能になると、それらをニュートンの第2法則に代入して、運動方程式と呼ばれる常微分方程式を得ることができます

例として、摩擦が粒子に作用する唯一の力であり、粒子の速度の関数としてモデル化できると仮定します。たとえば、次のようになります。

ここで、λは正の定数であり、負の符号は力が速度の意味と反対であることを示します。すると、運動方程式は次のようになります。

これを統合して取得 できます

どこV 0は初期速度です。これは、この粒子の速度が時間の経過とともに指数関数的にゼロに減衰することを意味します。この場合、等価視点は、粒子の運動エネルギーは、(に応じて熱エネルギーに変換する摩擦によって吸収されることでエネルギーの節約)、及び粒子が減速されます。この式をさらに統合して、時間の関数として粒子の位置rを取得できます

重要な力には、重力電磁気学のローレンツ力が含まます。また、ニュートンの第3法則は、時々 、粒子に作用する力を推定するために使用することができる:粒子ことが分かっている場合、Aは力発揮Fを別の粒子にB、その次のBは等しくかつ反対発揮しなければならない反力を、 - FA上。ニュートンの第3法則の強力な形式では、F-FがABを結ぶ線に沿って作用する必要があります。、弱い形式はしませんが。ニュートンの第3法則の弱い形式の図解は、磁力についてよく見られます。[説明が必要]

仕事とエネルギー

一定の力あればFは、変位Δとなる粒子に適用されるRは[注2]仕事力によっては、次のように定義されるスカラー積力の変位ベクトル:

力からの粒子の移動に伴って位置の関数として変化する場合は、より一般的に、R 1R 2の経路に沿ってC、粒子上で行われる作業は、次式で与えられる線積分

粒子を移動させることで行われた作業場合、R 1R 2が取られているものと同じパスない物質であり、力があると言われている保守的重力は、フックの法則によって与えられるように、理想化されたばねによる力と同様に、保存力です。摩擦による力は保存的ではありません。

運動エネルギー EのK質量の粒子のm個の速度で走行Vはによって与えられます。

多くの粒子で構成される拡張オブジェクトの場合、複合体の運動エネルギーは粒子の運動エネルギーの合計です。

ワークエネルギー定理状態一定質量の粒子についてことM、総ワークWが位置から移動する粒子で行わR 1R 2は、変化に等しい運動エネルギー EのK粒子の:

保存力は位置エネルギーとして知られ、E p:で表されるスカラー関数の勾配として表すことができます

粒子に作用するすべての力が保存的であり、E pが、各力に対応するポテンシャルエネルギーを合計することによって得られる、総ポテンシャルエネルギー(物体の相互位置を再配置するための関与する力の仕事として定義される)である場合

位置エネルギーの減少は、運動エネルギーの増加に等しい

この結果はエネルギー保存として知られており、総エネルギーは

時間は一定です。多くの一般的に遭遇する力は保守的であるため、それはしばしば有用です。

ニュートンの法則を超えて

古典力学はまた、拡張された非点状のオブジェクトのより複雑な動きを説明します。オイラーの法則は、この分野におけるニュートンの法則の拡張を提供します。角運動量の概念は、1次元の運動を記述するために使用されるのと同じ微積分に依存しています。ロケット方程式は、オブジェクト「質量を失う」の効果を含めるために、オブジェクトの運動量の変化率の概念を拡張します。 (これらの一般化/拡張は、たとえば、固体を点の集合に分解することによって、ニュートンの法則から導き出されます。)

古典力学には、ラグランジュ力学ハミルトニアン力学の2つの重要な代替定式化があります。これらおよび他の最新の定式化は、通常、「力」の概念をバイパスし、代わりに、一般化座標で機械システムを記述するために、エネルギー、速度、運動量などの他の物理量を参照します。これらは基本的にニュートンの法則を数学的に書き直したものですが、複雑な機械的問題はこれらの形式ではるかに簡単に解決できます。また、量子力学との類似性は、ハミルトニアン形式でより明確になります。

運動量と運動エネルギーに関する上記の式は、重要な電磁的寄与がない場合にのみ有効です。電磁気学では、ポインティングベクトルc 2割ったもので表されるシステムの運動量への電磁界の寄与を含めない限り、電流が流れるワイヤーに関するニュートンの第2法則は破綻します。ここで、c自由空間での光速です。

有効性の限界

速度によるサイズの2x2の力学チャート
古典力学の妥当性の領域

古典力学の多くの分野は、より正確な形式の単純化または近似です。最も正確な2つは、一般相対性理論と相対論的統計力学です。幾何光学は、量子論の近似であり、優れた「古典的な」形式を持っていません。

自由度の高い量子レベルなど、量子力学と古典力学の両方が適用できない場合は、場の量子論(QFT)が役立ちます。 QFTは、相互作用全体で粒子数が変化する可能性だけでなく、多くの自由度を持つ小さな距離と大きな速度を扱います。巨視的なレベルで大きな自由度を扱う場合、統計力学が役立ちます。統計力学は、巨視的なレベルで、多数の(しかし数えられる)粒子の振る舞いとそれらの相互作用を全体として説明します。統計力学は主に、古典的な熱力学の仮定の範囲外にあるシステムの熱力学使用されます。高い場合光速に近づく速度オブジェクト、古典力学は特殊相対性理論によって強化されています。オブジェクトが非常に重くなる場合(つまり、特定のアプリケーションでシュワルツシルト半径が無視できないほど小さくない場合)、ニュートン力学からの逸脱が明らかになり、パラメーター化されたポストニュートン形式を使用して定量化できます。その場合、一般相対性理論(GR)が適用されます。しかし、これまで、物体が極端に小さく重くなったときに使用できるという意味で、GRとQFTを統合する量子重力理論はありません[4] [5]

特殊相対性理論のニュートン近似

特殊相対性理論では、粒子の運動量は次の式で与えられます。

ここで、mは粒子の静止質量であり、Vの速度、Vは弾性率であり、V、及びCは光の速度です。

vcと比較して非常に小さい場合v 2 / c 2はほぼゼロであるため、

したがって、ニュートン方程式p = m vは、光速と比較して低速で移動する物体の相対論的方程式の近似値です。

たとえば、サイクロトロンジャイロトロン、または高電圧マグネトロンの相対論的サイクロトロン周波数は、次の式で与えられます。

ここで、f cは、運動エネルギーTおよび(残りの)質量m 0が磁場内を周回する電子(または他の荷電粒子)の古典的な周波数です電子の(残りの)質量は511keVです。したがって、5.11 kVの直流加速電圧を備えた磁気真空管の周波数補正は1%です。

量子力学の古典的近似

古典力学の光線近似は、ドブロイ波長がシステムの他の次元よりもそれほど小さくない場合に崩壊します。非相対論的粒子の場合、この波長は

ここで、hプランク定数pは運動量です。

繰り返しますが、これは重い粒子で起こる前に電子で起こります。例えば、で使用される電子クリントン・デイヴィソンレスター・ジャーマー1927年には、54 Vで加速、単一発揮するのに十分な長さであった0.167ナノメートルの波長を有した回折 サイドローブをニッケルの面から反射したときに結晶の原子間隔とを0.215nmの。より大きな真空チャンバーを使用すると、角度分解能をラジアン付近からミリラジアンに増加させ、集積回路コンピュータメモリの周期的パターンからの量子回折を確認するのは比較的簡単に思えます。

工学規模での古典力学の故障のより実用的な例としては、によって導通されている量子トンネルにおけるトンネルダイオードと非常に狭いトランジスタの ゲートにおける集積回路

古典力学同じ極端な高周波近似として幾何光学静止質量を持つ粒子と物体を記述するため、より正確であることがよくあります。これらは、同じ運動エネルギーを持つ光などの質量のない粒子よりも運動量が大きいため、ドブロイ波長が短くなります。

歴史

物体の運動の研究は古代のものであり、古典力学を科学工学、および技術の最も古くて最大の主題の1つにしています

いくつかのギリシャの哲学者それらの間の古代の、アリストテレス、の創設者アリストテレスの物理学では、「すべてが理由で起こる」との理論的な原則は、自然界の理解を助けることができるという考えを維持するために最初にあったかもしれません。現代の読者にとって、これらの保存されたアイデアの多くは非常に合理的なものとして出てきますが、私たちが知っているように、数学的理論と制御された実験の両方が著しく不足しています。これらは後に現代科学を形成する決定的な要因となり、それらの初期の応用は古典力学として知られるようになりました。彼のエレメンタスーパーデモンストレーションポンデラムでは、中世の数学者ヨルダヌスデネモア「位置の概念を導入し、重力」とコンポーネントの使用の力を

惑星の運動について最初に発表された因果関係の説明は、1609年発表されたヨハネスケプラーの新天文学でした。彼は、火星の軌道に関するTycho Braheの観測に基づいて、惑星の軌道は楕円であると結論付けました古代の思想とのこの断絶はガリレオが物体の動きについて抽象的な数学的法則を提案していたのとほぼ同時に起こっていました。彼は、ピサの斜塔から重量の異なる2つの砲弾を落とすという有名な実験を行った可能性があります(または行わなかった可能性があります)。、両方が同時に地面にぶつかったことを示しています。その特定の実験の現実は論争されていますが、彼は傾斜面でボールを転がすことによって定量的な実験を行いました彼の加速運動の理論は、そのような実験の結果から導き出され、古典力学の基礎を形成しています。

左を向いている長い髪のアイザックニュートンの肖像画
アイザックニュートン(1643–1727)は、物理学の歴史において影響力のある人物であり、その3つの運動の法則が古典力学の基礎を形成しています。

ニュートンは、3つの提案された運動の法則に基づいて自然哲学の原則を確立しました。慣性法則、2番目の加速の法則(上記)、および作用と反作用の法則です。したがって、古典力学の基礎を築きました。ニュートンの第2法則と第3法則はどちらも、ニュートンのPhilosophiæNaturalisPrincipiaMathematicaで適切な科学的および数学的処理が施されていますここでは、それらは、不完全であるか、正しくないか、またはほとんど正確な数式が与えられていない、同様の現象を説明する以前の試みとは区別されます。ニュートンはまた、運動量角運動保存の原則を発表しました。力学では、ニュートンもの最初の正しい科学的および数学的定式化を提供した最初の重力万有引力。ニュートンの運動と重力の法則の組み合わせは、古典力学の最も完全で最も正確な記述を提供します。彼は、これらの法則が天体だけでなく日常の物体にも適用されることを示しました。特に、彼はケプラーの惑星の運動の法則の理論的説明を得ました

ニュートンは以前に数学微積分を発明し、それを使用して数学計算を実行していました。受容性のために、彼の本、プリンシピアは、彼の微積分によってすぐに隠された、老舗の幾何学的方法の観点から完全に定式化されました。しかし、今日微分積分の優先[6]の表記法を開発したのライプニッツでした。ニュートンと彼の同時代人のほとんどは、ホイヘンスを除いて、古典力学が幾何光学の形でを含むすべての現象を説明できるだろうという仮定に取り組みましたいわゆるニュートン環波動干渉現象)を発見したときでさえ、彼は彼自身の光の粒子説を維持しました

ジョセフ=ルイ・ラグランジュの絵画
ラグランジュの貢献は、現在ラグランジュ力学と呼ばれている現代数学の言語でニュートンのアイデアを実現することでした。

ニュートンの後、古典力学は数学と物理学の主要な研究分野になりました。数学的定式化により、はるかに多くの問題の解決策を見つけることが次第に可能になりました。最初の注目すべき数学的治療は、1788年にジョセフ・ルイ・ラグランジュによって行われましたラグランジュ力学は、1833年にウィリアムローワンハミルトンによって再定式化されました

左を向いているウィリアム・ローワン・ハミルトンの写真
ハミルトンの最大の貢献は、おそらくラグランジュ力学の再定式化であり、現在はハミルトニアン力学と呼ばれ、多くの著名な数理物理学の定式化によって好ましい選択を形成しています。

19世紀後半にいくつかの困難が発見されましたが、それはより現代的な物理学によってのみ解決することができました。これらの問題のいくつかは、電磁気理論との互換性、および有名なマイケルソン-モーリー実験に関連しています。これらの問題の解決は、しばしば古典力学の一部と見なされる特殊相対性理論つながりました

2番目の一連の問題は熱力学に関連していました。組み合わせた場合に熱力学に、古典力学リードギブスパラドックス古典の統計力学ここで、エントロピーは明確に定義された量ではありません。黒体放射は、量子の導入なしには説明されませんでした。実験は、原子レベルに達しているように、古典力学では、さえおよそ、このような基本的な事柄を説明するために失敗したエネルギーレベルとの大きさの原子光電効果を。これらの問題を解決するための努力は、量子力学の開発につながりました

20世紀の終わり以来、物理学の古典力学はもはや独立した理論ではありませんでした。代わりに、古典力学は現在、より一般的な量子力学の近似理論と見なされています。重点は、標準モデルのように自然の基本的な力を理解することに移り、すべての統一された理論へのより現代的な拡​​張です。[7]古典力学は、弱い重力場における非量子力学的、低エネルギー粒子の運動の研究に役立つ理論です。また、複雑な古典力学が量子力学と非常によく似た振る舞いを示す複雑な領域に拡張されました[8]

ブランチ

古典力学は伝統的に3つの主要な枝に分けられていました:

別の区分は、数学的形式の選択に基づいています。

または、アプリケーションの地域ごとに分割することもできます。

も参照してください

注意事項

  1. ^ 「古典力学」の「古典」は、たとえば古典建築のように、古典古代を指していません。確かに、古典力学の(ヨーロッパの)発展は、物理学の方法と哲学実質的な変化を伴いました [1]代わりに、修飾子は、古典力学を20世紀初頭革命後に開発された物理学と区別しようとします。これにより、古典力学の有効性限界が明らかになりました [2]
  2. ^ 変位Δのrは粒子の最初と最後の位置の差である: Δ R = R最終- rを初期

参考文献

  1. ^ ベン・チャイム、マイケル(2004)、実験哲学と経験的科学の誕生:ボイル、ロック、ニュートン、アルダーショット:アッシュゲート、ISBN 0-7546-4091-4OCLC  53887772
  2. ^ Agar、Jon(2012)、Science in the 20 Century and Beyond、Cambridge:Polity Press、ISBN 978-0-7456-3469-2
  3. ^ Knudsen、Jens M。; Hjorth、Poul(2012)。ニュートン力学の要素(図解版)。シュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。NS。30. ISBN 978-3-642-97599-8 30ページの抜粋
  4. ^ MIT physics 8.01講義ノート(12ページ) 米国議会図書館のWebアーカイブ(PDF)20137月9日にアーカイブ
  5. ^ ソーントン、スティーブンT。; マリオン、ジェリーB.(2004)。粒子とシステムの古典的なダイナミクス(5. ed。)カリフォルニア州ベルモント:ブルックス/コール。頁。  50ISBN 978-0-534-40896-1
  6. ^ Jesseph、Douglas M.(1998)。微積分の基礎に関するライプニッツ:微小な大きさの現実の問題」。科学の展望。6.1&2:6–40。2011年12月31日取得。
  7. ^ ファインマン物理学講義の2-10ページには、「すでに古典力学では、実用的な観点からは不確定性があった」と書かています。ここでの過去形は、古典物理学が普遍的に有効ではないことを意味します。古典力学の後に物理学があります。
  8. ^ 複雑な楕円振り子、カールM.ベンダー、ダニエルW.フック、ダイナミクス、幾何学、偏微分方程式の漸近解析におけるKarta Kooner ; 一般化ボレル総和vol。

さらに読む

外部リンク