デカルト積

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デカルト積セットの

数学、具体的に集合論では、A  ×  Bで表される2つの集合ABの直積集合は、 aAにあり、bBにあるすべての順序対abの集合です。[1]集合の内包的記法に関してそれは

[2] [3]

テーブルは、行のセットと列のセットのデカルト積を取ることによって作成できます。直積×を使用する場合、テーブルのセルには、形式(行の値、列の値)の順序対が含まれます。[4]

同様に、nセットのデカルト積を定義できます。これはn倍デカルト積とも呼ばれ、各要素がnタプルであるn次元配列で表すことができます順序対は、2タプルまたはカップルです。さらに一般的には、インデックス付きの集合族のデカルト積を定義できます。

デカルト積は、ルネ・デカルト[5]ちなんで名付けられました。その解析幾何学の定式化により、直接積の観点からさらに一般化された概念が生まれました

トランプのデッキ

標準の52枚のカードデッキ

実例は、標準の52枚のカードデッキです。標準のトランプランク{A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3、2}は13要素のセットを形成します。カードスーツ{♠、、♣}は4要素のセットを形成します。これらのセットのデカルト積は、52の順序対で構成される52要素のセットを返します。これは、52の可能なトランプすべてに対応します。

ランク×スーツは、{(A、♠)、(A、 )、(A、 )、(A、♣)、(K、♠)、…、(3、♣)、(2 、♠)、(2、 )、(2、 )、(2、♣)}。

Suits × Ranksは、{(♠、A)、(♠、K)、(♠、Q)、(♠、J)、(♠、10)、…、(♣、6)、(♣ 、5)、(♣、4)、(♣、3)、(♣、2)}。

これらの2つのセットは別個のものであり、互いに素ですらあります。

二次元座標系

例点のデカルト座標

主な歴史的な例は、解析幾何学のデカルト平面です幾何学的形状を数値で表現し、形状の数値表現から数値情報を抽出するために、ルネデカルトは、平面内の各点に、その座標と呼ばれる実数のペアを割り当てました。通常、このようなペアの1番目と2番目のコンポーネントは、それぞれx座標とy座標と呼ばれます(図を参照)。したがって、そのようなすべてのペアのセット(つまり、デカルト積ℝ×ℝ、ℝは実数を示します)は、平面内のすべての点のセットに割り当てられます。[要出典]

最も一般的な実装(集合論)

集合論的原理からのデカルト積の正式な定義は、順序対の定義に従います。順序対の最も一般的な定義であるクラトフスキの定義は次のとおりです。この定義の下で、の要素です、 とはそのセットのサブセットであり、ここでべき集合演算子を表します。したがって、 ZFC内の任意の2つのセットのデカルト積の存在は、ペアリングユニオンべき集合、および仕様の公理に基づいています関数は通常、関係の特殊なケースとして定義され、関係は通常、直積のサブセットとして定義されるため、2セットの直積の定義は必然的に他のほとんどの定義よりも前になります。

非可換性と非結合性

ABC、およびDを集合とします。

デカルト積A × B可換で はありません。

[4]

次の条件の少なくとも1つが満たされない限り順序対が逆になるためです。 [6]

  • AはBに等しい、または
  • AまたはB空集合です。

例えば:

A = {1,2}; B = {3,4}
A × B = {1,2}×{3,4} = {(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)}
B × A = {3,4}×{1,2} = {(3,1)、(3,2)、(4,1)、(4,2)}
A = B = {1,2}
A × B = B × A = {1,2}×{1,2} = {(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)}
A = {1,2}; B =∅
A × B = {1,2}×∅=∅
B × A =∅×{1,2} =∅

厳密に言えば、デカルト積は結合法則ではありません(関連するセットの1つが空でない限り)。

たとえば、A  = {1}の場合、A × A)× A = {((1、1)、1)}≠ {(1、(1、1))} = A ×(A × A

交差点、結合、およびサブセット

セット例

A  = { y∈ℝ  :  1≤y≤4  }  、 B  = {x∈ℝ  2≤x≤5  }  C = { x∈ℝ  4≤x≤7  } A × B∩C)=( A × B)∩( A × C)、 A ×( B∪C)=( A × B)∪(A × C および



A ×(B  \  C)=(A × B)\(A × C
セット例

A  = { x∈ℝ  :2≤x≤5  }  、 B  = { x∈ℝ  :3≤x≤7  }  、
C  = { y∈ℝ  :1≤y≤3  }、 D  = { y∈ℝ  2 ≤y≤4  }  、

A∩B×(C∩D =(A × C B × D
A∪B )×(C∪D ≠(A × C B × D)は同じ例から見ることができます

デカルト積は、交差点に関して次の特性を満たします(中央の図を参照)。

[7]

ほとんどの場合、交差点を結合に置き換えると、上記のステートメントは当てはまりません(右端の図を参照)。

実際、私たちはそれを持っています:

セットの違いについては、次のIDもあります。

他の演算子との分配性を示すいくつかのルールを次に示します(左端の図を参照):[6]

[7]

どこAの絶対補集合示します。

サブセットに関連するその他のプロパティは次のとおりです。

[8]

カーディナリティ

セットのカーディナリティは、セットの要素の数です。たとえば、A = {a、b}B = {5、6}の2つのセットを定義します。セットAとセットBは、それぞれ2つの要素で構成されています。A × Bとして記述された彼らのデカルト積は、次の要素を持つ新しいセットになります。

A × B = {(a、5)、(a、6)、(b、5)、(b、6)}。

ここで、Aの各要素はBの各要素とペアになっており、各ペアは出力セットの1つの要素を構成しています。結果のセットの各要素の値の数は、デカルト積が取得されているセットの数と同じです。この場合は2。出力セットのカーディナリティは、すべての入力セットのカーディナリティの積に等しくなります。あれは、

| A × B | = | A | ・| B |。[4]

この場合、| A × B | = 4

同様に

| A × B × C | = | A | ・| B | ・| C |

等々。

AまたはBのいずれかが無限であり、他のセットが空のセットでない場合、セットA × B無限です。[9]

いくつかのセットのデカルト積

n- aryデカルト積

デカルト積は、 nセットX 1、...、Xnをセットとして n- aryデカルト積一般化できます。

nタプルタプルがネストされた順序対として定義されている場合、 X1 ×⋯×Xn -1 × Xn識別できますタプルが{1、2、…、n }の関数として定義され、iでの値がタプルのi番目の要素になる場合、デカルト積X1 × ⋯×Xn関数のセットです。

n- aryデカルトパワー

セットXデカルト二乗は、デカルト積X 2 = X × Xです。例は、2次元平面R 2 = R × Rです。ここで、R実数のセットです。[1] R 2は、すべての点xyのセットです。ここで、xyは実数です(デカルト座標を参照)。座標系)。

セットXn- aryデカルトパワー 、次のように定義できます

この例は、R 3 = R × R × Rであり、Rも実数のセット[1]であり、より一般的にはRnです

集合Xn -aryデカルト累乗は、 xに設定されたn要素からの関数空間同型です。特別な場合として、 Xの0-aryデカルト累乗は、終域Xを持つ空関数に対応する単集合であると見なすことができます

無限デカルト積

任意の(場合によっては無限の)インデックス付き集合族のデカルト積を定義することができます。Iインデックスセットの場合は、 Iによってインデックス付けされた集合族であり、次に、の集合のデカルト積です。と定義されています

つまり、特定のインデックスiでの関数の値がX iの要素になるように、インデックスセットで定義されたすべての関数のセットですX iのそれぞれが空でない場合でも、選択公理(そのようなすべての積が空でないというステートメントと同等)が想定されていない 場合、デカルト積は空になる可能性があります。

Iのjごと、関数

によって定義されますj番目の投影マップと呼ばれます

デカルトパワーは、すべての因子Xiが同じ集合Xあるデカルト積です。この場合、

はIからXまでのすべての関数のセットであり、しばしばXI表されます。このケースは、基数のべき乗の研究で重要です。重要な特殊なケースは、インデックスセットが自然数:この直積は、対応するセットXiにi番目の項があるすべての無限シーケンスのセットですたとえば、の各要素

可算無限の実数成分を持つベクトルとして視覚化できます。このセットは頻繁に示されます、 また

その他のフォーム

省略形

複数のセットが乗算されている場合(たとえば、X 1X 2X 3、…)、一部の作成者[10]、デカルト積を単純に× Xiと略記することを選択します

関数のデカルト積

fXからAへの関数であり、gYからBへの関数である場合、それらのデカルト積f × gX × YからA × Bへ の関数です。

これは、タプルと関数の無限のコレクションに拡張できます。これは、セットと見なされる関数の標準デカルト積とは異なります。

シリンダー

させてセットになり、次に、シリンダーに関してデカルト積です

通常は、コンテキストの宇宙と見なされ、取り残されます。たとえば、自然数のサブセットです、次にのシリンダー

集合論以外の定義

圏論

デカルト積は伝統的に集合に適用されますが、圏論は数学的構造ののより一般的な解釈を提供します。これは、圏論におけるデカルト二乗の概念とは異なりますが、これは繊維積の一般化です。

べき乗デカルト積の正しい随伴です。したがって、デカルト積(および最終オブジェクト)を持つすべてのカテゴリは、デカルト閉圏です。

グラフ理論

グラフ理論では、2つのグラフGとHの直積G × H表されるグラフであり、その頂点セットは(通常の)直積VG)× VHであり、2つの頂点(uv)と(u '、v ')は、 u = u 'であり、vがv 'と隣接している場合に限り、G × Hで隣接しています。Hまたは v = v 'であり、uはGのu 'に隣接しています。グラフの直積は、圏論の意味での積ではありません。代わりに、カテゴリ積はグラフのテンソル積として知られています。

も参照してください

参考文献

  1. ^ a b c ワイスタイン、エリックW. 「デカルト積」mathworld.wolfram.com 2020年9月5日取得
  2. ^ Warner、S。(1990)。現代代数ドーバー出版p。6.6。
  3. ^ Nykamp、Duane。「デカルト積の定義」数学の洞察2020年9月5日取得
  4. ^ a bc 「デカルト積」web.mnstate.edu 2020年9月5日取得
  5. ^ 「デカルト」Merriam-Webster.com2009 2009年12月1日取得
  6. ^ a b Singh、S。(2009年8月27日)。デカルト積Connexions Webサイトから取得:http://cnx.org/content/m15207/1.5/
  7. ^ a b "直積集合"PlanetMath
  8. ^ サブセットのデカルト積。(2011年2月15日)。ProofWiki2011年8月1日05:06からhttps://proofwiki.org/w/index.php?title=Cartesian_Product_of_Subsets&oldid=45868から取得
  9. ^ ピーターS.(1998)。無限集合の数学のクラッシュコース。セントジョンズレビュー、44(2)、35–59。2011年8月1日、 http://www.mathpath.org/concepts/infinity.htmから取得
  10. ^ Osborne、M。、およびRubinstein、A.、1994年。ゲーム理論のコースMITプレス。

外部リンク