アローの不可能性定理

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社会選択理論アローの不可能性定理、一般的な可能性定理またはアローのパラドックスは、有権者が3つ以上の異なる選択肢(オプション)を持っている場合、ランク付けされた投票選挙制度は個人のランク付けされた選好をコミュニティに変換できないことを示す不可能性定理です-広い(完全で一時的な)ランキングと同時に、指定された一連の基準を満たします:無制限のドメイン非独裁パレート効率、および無関係な選択肢の独立性 この定理は、ギバード・サタースウェイトの定理によってさらに解釈されるため、投票理論の議論でしばしば引用されます。この定理は、経済学者でノーベル賞受賞者のケネス・アローにちなんで名付けられました。彼は博士論文で定理を示し、1951年の著書「社会的選択と個人的価値」でそれを普及させました。原著は「社会福祉の概念の難しさ」と題された。[1]

要するに、定理は、これらの3つの「公平性」基準を常に満たすランク順の選挙制度を設計することはできないと述べています。

  • すべての有権者が代替Yよりも代替Xを好む場合、グループはYよりもXを好む。
  • XとYの間のすべての投票者の好みが変わらない場合、XとYの間のグループの好みも変わりません(XとZ、YとZ、またはZとWのような他のペアの間の投票者の好みが変わっても)。
  • 「独裁者」は存在しません。グループの選好を常に決定する力を持っている有権者は一人もいません。

基数投票の選挙制度は、ランク順よりも多くの情報を伝達するため、定理の対象にはなりません。[2] [3]しかし、ギバードの定理は、戦略的投票が依然として問題であることを示しています。

Arrowが採用した公理的アプローチは、1つの統一されたフレームワーク内で考えられるすべてのルール(設定に基づく)を処理できます。その意味で、ルールをひとつひとつ検討していた投票理論のアプローチとは質的に違う。したがって、社会選択理論の現代のパラダイムは、この定理から始まったと言えます。[4]

この定理の実際的な結果については議論の余地があります。Arrowは、「ほとんどのシステムは常にうまく機能しないとは限りません。私が証明したのは、すべてが時々うまく機能しないことだけです」と述べています。[5]

ステートメント

選好を集約する必要性は、多くの分野で発生します。厚生経済学では、許容可能で安定した経済的結果を見つけようとします。決定理論は、人はいくつかの基準に基づいて合理的な選択をしなければなりません。そして最も自然なのは選挙制度であり、これは多数の有権者の選好からガバナンス関連の決定を引き出すためのメカニズムです。

アローの定理のフレームワークは、特定のオプションのセット(結果)で優先順位を抽出する必要があることを前提としています。社会の各個人(または同等に、各決定基準)は、一連の結果に対して特定の優先順位を与えます。社会福祉機能選好集計ルール)と呼ばれる選好投票選挙制度を探しています。これは、選好のセット(プロファイル)を変換します。選好の)単一のグローバルな社会的選好順序に。アローの定理によれば、意思決定機関に少なくとも2人のメンバーがいて、その中から少なくとも3つの選択肢がある場合、これらすべての条件を満たす社会福祉機能を設計することは不可能です(公正な選挙の合理的な要件であると想定されます)。システム)一度に:

非独裁
社会福祉機能は、複数の有権者の希望を説明する必要があります。単一の有権者の好みを単純に模倣することはできません。
無制限のドメイン、または普遍性
個々の有権者の選好のセットについて、社会福祉機能は、社会的選択のユニークで完全なランキングを生み出す必要があります。したがって:
  • それは、社会の選好の完全なランク付けをもたらす方法でそうしなければなりません。
  • 有権者の好みが同じように提示されるたびに、決定論的に同じランキングを提供する必要があります。
無関係な選択肢の独立(IIA)
xとyの間の社会的選好は、xとyの間の個人の選好にのみ依存する必要があります(ペアごとに独立)。より一般的には、無関係な選択肢(特定のサブセットの外側にあるもの)の個人のランキングの変更は、サブセットの社会的ランキングに影響を与えないはずです。たとえば、候補xが候補yの前に社会的にランク付けされている場合、3番目の候補zが参加から削除されてもxyの前に社会的にランク付けされる必要があります。(下記の備考を参照してください。)
単調性、または社会的価値と個人的価値の正の関連
個人が特定のオプションを宣伝することによって自分の優先順位を変更する場合、社会的優先順位は、同じオプションを宣伝するか変更しないことによってのみ応答する必要があり、以前よりも低くすることはありません。個人はそれをより高くランク付けすることによってオプションを傷つけることができないはずです
非賦課、または市民主権
考えられるすべての社会的選好順序は、いくつかの個別の選好順序のセットによって達成可能である必要があります。これは、社会福祉機能が全射であることを意味します:それは無制限のターゲットスペースを持っています。

アローの定理のその後の(1963)[6]バージョンは、単調性と非面付けの基準を次のように置き換えました。

パレート効率、または全会一致
すべての個人が別のオプションよりも特定のオプションを好む場合、結果として生じる社会的優先順位もそうしなければなりません。これもまた、社会福祉機能が選好プロファイルに最小限に敏感であるという要求です。

この新しいバージョンはより一般的で、条件が弱くなります。単調性、非面付け、およびIIAの公理は、パレート効率を意味しますが、パレート効率(それ自体は非面付けを意味します)とIIAは、単調性を意味しません。

無関係な選択肢の独立(IIA)

IIA状態には、次の3つの目的(または効果)があります。[7]

規範的
無関係な選択肢は重要ではありません。
実用的
最小限の情報の使用。
戦略的
個人の好みの真実の啓示のための適切なインセンティブを提供します。戦略的特性はIIAとは概念的に異なりますが、密接に関連しています。

Arrowの候補者の死の例(1963年、26ページ)[6]は、議題(実行可能な代替案のセット)が、たとえばX = {a、b、c}からS = {a、bに縮小することを示唆しています。 }候補者の死亡のためc。この例は、IIAが2つのアジェンダと1つのプロファイルを含む状態であるという印象を読者に与える可能性があるため、誤解を招く可能性があります。事実、IIAには1つのアジェンダム(ペアごとに独立の場合は{x、y})が含まれますが、 2つしか含まれません。プロファイル。条件がこの紛らわしい例に適用される場合、これが必要です。プロファイルが(cab、cba)によって与えられる場合、つまり、個人1がcを優先する場合、IIAを満たす集計ルールが議事日{a、b}からbを選択するとします。 aからb、2はaよりcよりbを優先します。次に、プロファイルが次のようになっている場合は、{a、b}からbを選択する必要があります。(abc、bac); (acb、bca); (acb、cba); または(abc、cba)。

言い換えれば、ArrowはIIAを、選択肢xとyの間の社会的選好は、xとyの間の個々の選好にのみ依存する(他の候補者が関与するものには依存しない)と定義しています。

定理の正式な声明

Aを一連の結果Nを多数有権者または決定基準とします。Aのすべての完全な線形順序のセットL(A)で表します。

(厳格な)社会福祉機能選好集計ルール)は機能です

これは、投票者の選好をAの単一の選好順序に集約します。[8]

投票者の選好Nタプル R 1、…、R N)∈L(A)N、選好プロファイルと呼ばれます。アローの不可能性定理は、その最も強力で最も単純な形式で、可能な選択肢のセットAに2つ以上の要素がある場合は常に、次の3つの条件が互換性が なくなると述べています。

全会一致、または弱いパレート効率
代替案であるaが、すべての順序R 1、…、R Nbよりも厳密に高くランク付けされている場合、 aはF(R 1R 2、…、R Nによってbよりも厳密に高くランク付けされます。(全会一致は非強制を意味します。)
非独裁
個人は存在しません。は常に厳格な好みが優先されます。つまり、すべてのR 1、…、R N)∈L(A)NについてR iによってbよりも厳密に上位にランク付けされた場合は、より厳密に上位にランク付けされたことを意味するようなi∈ {1、…、N }はありません。 b by F(R 1R 2、…、R N、すべてのaおよびbに対して
無関係な選択肢の独立性
2つの選好プロファイルR 1、…、R NおよびS 1、…、S Nの場合、すべての個人iについて、選択肢aおよびbの順序はS iの場合同じであり、選択肢aおよびb F(R 1、…、R Nの順序はF S 1、…、S Nと同じです。

非公式の証明

経済理論に登場する2つの証明に基づいています。[9] [10] わかりやすくするために、すべてのランキングを同点が不可能であるかのように示しています。可能な関係を考慮に入れた完全な証明は、場合によっては「下」の代わりに「上ではない」または「上」の代わりに「下ではない」と言うべきであることを除いて、ここで与えられたものと本質的に異なりません。詳細は元の記事に記載されています。

無制限のドメイン、全会一致、無関係な選択肢(IIA)の独立性を尊重する社会的選択システムは、独裁政権であることを証明します。重要なアイデアは、投票用紙が社会的成果を左右する重要な有権者を特定することです。次に、この有権者が部分的な独裁者であることを証明します(特定の技術的な意味で、以下で説明します)。最後に、部分的な独裁者のすべてが同じ人物であることを示すことによって結論を下します。したがって、この有権者は独裁者です。

パート1:AよりもBの「極めて重要な」有権者がいます

パート1:投票用紙の下部から上部にBを連続して移動します。変更によりBがAよりもランク付けされる投票者は、 BAよりも重要な投票者です

社会には3つの選択肢があるとしましょう。それらをABCと呼びます。最初に、誰もがオプションBを最も好まないとします。誰もが AよりBを好み、誰もがCからBを好みます。全会一致により、社会はまた、BよりもAとCの両方を好む必要ありますこのシチュエーションプロファイルを0と呼びます。

一方、誰もが他のすべてよりもBを好む場合、社会は全会一致によって他のすべてよりもBを好む必要があります。ここで、すべての有権者を任意の固定された順序で配置します。各iについてプロファイルiをプロファイル0と同じにしますが、 Bを有権者1からiの投票用紙の一番上に移動します。したがって、プロファイル1では、投票者1の投票用紙の上部に Bがありますが、他の投票者にはありません。プロファイル2では、投票者1と2の上部に Bがありますが、他の投票者はありません。

Bは最終的に社会的選好の最上位に移動するためBが社会的ランクでAより上に移動するプロファイル番号kが存在する必要があります。投票用紙の変更によりこれが発生する有権者を、AよりもBの中心的な有権者と呼びます。B over Aの重要な投票者は、先験的に、 A overBの重要な投票者と同じではないことに注意してください証明のパート3では、これらが同じであることが判明することを示します。

また、IIAでは、プロファイル0がすべての投票者によってAがBより上にランク付けされているプロファイルであり、 AよりもBの中心的な投票者が投票者kである場合、同じ議論が適用されることに注意してください。この観察結果を以下で使用します。

パート2:B overAの中心的な有権者はBoverCの独裁者です

議論のこの部分では、単純化のために、AよりもBの中心的な有権者である有権者kを重要な有権者と呼びます。極めて重要な有権者が、CよりもBに対する社会の決定を決定することを示します。つまり、他の社会がどのように投票しても、Pivo​​talVoterCよりもBにランク付けされている場合、それが社会の結果であることを示します。B over Cの独裁者は、 C overBの独裁者と先験的に同じではないことに再度注意してください証明のパート3では、これらも同じであることがわかります。

パート2:投票者kの投票用紙でABを切り替えると、議論のパート1によって、社会的結果に同じ切り替えが発生します。示された投票用紙のいずれかまたはすべてを他の投票用紙に切り替えても、結果には影響しません。

以下では、投票者1からk − 1セグメント1と呼び、投票者k +1からNセグメント2と呼びます。まず、投票用紙が次のようになっていると仮定します。

  • セグメント1のすべての有権者は、BCより上にランク付けし、 CをAより上にランク付けします
  • 重要な有権者は、 ABより上にランク付けし、 BをCより上にランク付けします。
  • セグメント2のすべての有権者は、AがBより上にランク付けされBがCより上にランク付けされます

次に、パート1(およびそのパートの最後の観察)の議論によって、社会的結果はAをBより上にランク付けする必要があります。これは、Cの再配置を除いて、このプロファイルがパート1のプロファイルk −1と同じであるためです。さらに、全会一致により、社会的結果はBをCより上にランク付けする必要があります。したがって、この場合の結果は完全にわかっています。

ここで、重要な有権者がBをAの上に移動し、 Cを同じ位置に保ち、他の有権者の任意の数(またはすべて!)がAの位置を変更せずにBをCの下に移動するように投票用紙を変更するとします。次に、 Cの再配置を除けば、これはパート1のプロファイルkと同じであるため、社会的結果はAよりもBにランク付けますさらに、IIAによって、社会的結果は、前の場合のように、CよりもAをランク付けする必要があります。特に、社会的成果はBをCより上にランク付けします、たとえPivotalVoterがBをCより上にランク付けした唯一の有権者であったとしても。 IIAによると、この結論はAが投票用紙にどのように配置されているかに関係なく成り立つため極めて重要な有権者はCよりもBの独裁者です。

パート3:独裁者が存在する

パート3:有権者kB over Cの独裁者であるため、 B overCの中心的な有権者は最初のk人の有権者の中に現れる必要がありますつまり、セグメント2の外側です。同様に、C over Bの中心的な有権者は、 kからNまでの有権者の中に現れる必要があります。つまり、セグメント1の外側です。

議論のこの部分では、投票者の元の順序を参照し、さまざまな重要な投票者の位置を比較します(パート1と2を他の候補者のペアに適用することで識別されます)。まず、 B over Cの中心的な有権者は、B over Cの独裁者よりも前に(または同じ位置に)表示される必要があります。パート1の議論をBCに適用すると、 Bを連続して上に移動します。有権者の投票用紙の中で、社会がBをCより上にランク付けするピボットポイントは、CよりもBの独裁者に到達する前に到達する必要があります。同様に、BCの役割を逆にすると、 C over Bの中心的な有権者は、B overCの独裁者よりも列に並んでいる必要があります要するに、k X / YYに対するXの重要な有権者の位置を示す場合(任意の2つの候補XおよびYの場合)、次のようになります。

kB / C≤kB / A≤kC / B。_

BCを切り替え て上記の議論全体を繰り返すと、次のようになります。

kC / B≤kB / C。_

したがって、

k B / C = k B / A = k C / B

そして、他のペアについての同じ議論は、すべての重要な有権者(したがってすべての独裁者)が有権者のリストの同じ位置にいることを示しています。この有権者は選挙全体の独裁者です。

解釈

アローの定理は数学的な結果ですが、多くの場合、投票方法が公正ではない、ランク付けされたすべての投票方法に欠陥がある、または欠陥のない唯一の投票方法が独裁であるなどのステートメントで非数学的な方法で表現されます。[11]これらのステートメントは、Arrowの結果を単純化したものであり、普遍的に真実であるとは見なされていません。アローの定理が述べているのは、決定論的な優先投票メカニズム、つまり、優先順位が投票の唯一の情報であり、可能な投票のセットが一意の結果をもたらすメカニズムは、上記のすべての条件に同時に準拠することはできないということです。 。

さまざまな理論家が、パラドックスから抜け出す方法としてIIA基準を弱めることを提案しています。選好投票法の支持者は、IIAが不当に強力な基準であると主張しています。これは、最も有用な選挙制度で違反されたものです。この立場の支持者は、標準IIA基準の失敗は、周期的な好みの可能性によって自明に暗示されていると指摘しています。有権者が次のように投票した場合:

  • A> B> Cに1票
  • B> C> Aに1票
  • C> A> Bに1票

その場合、グループのペアワイズマジョリティ選好は、AがBに勝ち、BがCに勝ち、CがAに勝つということです。これらは、ペアワイズ比較のためのじゃんけん選好をもたらします。この状況では、投票の過半数を獲得する候補者が選挙に勝たなければならないという非常に基本的な多数派の要件を満たす集計ルールは、社会的選好が推移的(または非周期的)である必要がある場合、IIA基準に失敗しますこれを確認するために、そのようなルールがIIAを満たしていると仮定します。多数決が尊重されるため、社会はAからB(A> Bに2票、B> Aに1票)、BからC、CからAを優先します。したがって、社会的選好が推移的。

したがって、アローの定理が実際に示しているのは、多数決の選挙制度は自明ではないゲームであり、ほとんどの投票メカニズムの結果を予測するためにゲーム理論を使用する必要があるということです。[12]ゲームは効率的な平衡を必要としないため、これは落胆する結果と見なされる可能性があります。たとえば、投票用紙は、そもそも誰も本当に望んでいない代替案をもたらす可能性がありますが、誰もが投票しました。

備考:属性のベクトルとIIAプロパティからのスカラーランキング

スカラー選好ランキングは、属性のベクトルの重み付け(通常は明示的ではない)から効果的に導出されるため、現実的な複雑さの人間の意思決定ではIIAプロパティが満たされない可能性があります(アローの定理を扱った1冊の本は読者にトラックとフィールドの十種競技のスカラーメジャーを作成する関連の問題イベント-たとえば、円盤投げイベントで600ポイントを「通約可能」にし、1500 mレースで600ポイントを獲得するにはどうすればよいですか)。このスカラーランキングは、さまざまな属性の重み付けに敏感に依存し、暗黙の重み付け自体はコンテキストの影響を受けます。明らかに「無関係な」選択によって作成されたコントラスト。エドワード・マクニールは、彼の著書「 MathSemantics:数字を意味のあるものにする」 (1994年) の「調査」の章で、「最も住みやすい都市」のランキングに関してこの感度の問題について説明しています。

選好プロファイルの機能に基づく代替案

アローの定理の否定的な結論から逃れるために、社会選択理論家はさまざまな可能性を調査しました(「ウェイアウト」)。このセクションには、対処するアプローチが含まれています

  • 集計ルール(各プリファレンスプロファイルをソーシャルプリファレンスにマップする関数)、および
  • 各設定プロファイルを代替にマップする関数など、他の関数。

これらの2つのアプローチはしばしば重複するため、同時に説明します。これらのアプローチの特徴は、Arrowが課した1つ以上の条件(基準)を削除、弱体化、または置換することにより、さまざまな可能性を調査することです。

無限に多くの個人

いくつかの理論家(例えば、Fishburn [13]およびKirmanand Sondermann [14])は、個人が有限であるという仮定を外すと、Arrowの他のすべての条件を満たす集計ルールを見つけることができると指摘しています。

ただし、このような集計ルールは、非常に非構成的な数学的オブジェクトであるウルトラフィルターに基づいているため、実際にはあまり関心がありません。特に、カーマンとソンダーマンは、そのような規則の背後に「目に見えない独裁者」がいると主張している。[14] Mihara [15] [16]は、そのようなルールがアルゴリズムの計算可能性に違反していることを示しています。[17]これらの結果は、アローの定理のロバストネスを確立するために見ることができます。[18]

一方、限外フィルター(実際、無限モデルでそれらを構築することは、選択公理に依存します)は、有限モデルにも固有です(選択公理は必要ありません)。それらは決定的な階層として解釈できますが、階層の最上位レベルであるArrowの独裁者は常に有限モデルに存在しますが、無限の階層では到達できない(=欠落している)可能性があるという唯一の違いがあります。後者の場合、「見えない独裁者」は、無限の決定的な階層そのものに他なりません。必要に応じて、限界点で補完することができ、それが「目に見える独裁者」になります。独裁者は決定的な階層から切り離せないので、独裁の禁止は自動的に決定的な階層を禁止します、[19] [20] [21] 「独裁禁止の緩和」の段落も参照してください。

選択肢の数を制限する

選択できる選択肢が2つしかない場合、メイの定理は、単純な多数決のみが特定の基準を満たしていることを示しています(たとえば、個人と選択肢の平等な扱い。勝った選択肢のサポートを増やしても、負けた選択肢にはならない)。 。一方、少なくとも3つの選択肢がある場合、アローの定理は集合的な意思決定の難しさを指摘しています。3つ未満の選択肢の場合と少なくとも3つの選択肢の場合の間に、なぜこのような急激な違いがあるのでしょうか。

中村の定理(単純なゲームのコアについて)は、より一般的に答えを与えます。選択肢の数が中村ナンバーと呼ばれる特定の整数より少ない場合、それは確立します、次に、問題のルールは問題なく「最良の」代替案を特定します。選択肢の数が中村の数以上の場合、一部のプロファイルでは投票の逆理(選択肢Aが選択肢Bよりも社会的に優先され、BからC、CからAなどのサイクル)があるため、ルールが常に機能するとは限りません。 )が発生します。中村多数決の数は3であるため(4人の場合を除く)、中村の定理から、多数決は最大2つの選択肢を合理的に処理できると結論付けることができます。一部の超多数決ルール(投票の2/3を必要とするルールなど)では、中村ナンバーが3を超える場合がありますが、そのようなルールは、Arrowによって指定された他の条件に違反します。[22]

ペアワイズ投票

アローのパラドックスを「回避する」一般的な方法は、代替セットを2つの代替に制限することです。したがって、3つ以上の選択肢をテストする必要がある場合は常に、それらをペアにしてペアで投票するメカニズムを使用することは非常に魅力的です。このメカニズムは一見魅力的ですが、一般的にパレート効率さえ満たすにはほど遠いです。、IIAは言うまでもありません。ペアが決定される特定の順序は、結果に大きく影響します。これは必ずしもメカニズムの悪い機能ではありません。多くのスポーツでは、トーナメントメカニズム(基本的にはペアリングメカニズム)を使用して勝者を選択します。これにより、弱いチームが勝つためのかなりの機会が与えられ、トーナメント全体に関心と緊張が加わります。これは、選択肢がペアになる順序を制御する人(アジェンダメーカー)が結果を大幅に制御できることを意味します。いずれにせよ、投票プロセス全体を1つのゲームとして表示する場合でも、アローの定理が適用されます。

ドメイン制限

もう1つのアプローチは、普遍性の条件を緩和することです。これは、集約ルールのドメインを制限することを意味します。この線に沿った最もよく知られている結果は、「シングルピーク」プリファレンスを想定しています。

Duncan Blackは、すべての個人が「単一ピーク」の優先順位を持つ次元が1つしかない場合、Arrowのすべての条件が多数決によって満たされることを示しました。代替セットのいくつかの事前定義された線形順序があると仮定します。個人の好みは単一ピークですこの順序に関して、彼がその線に沿って最も好きな特別な場所を持っていて、代替案がその場所から離れるにつれて、代替案に対する嫌悪感が大きくなる場合(つまり、彼の効用関数のグラフは、次の場合に単一のピークを持ちます)代替案は、横軸の線形順序に従って配置されます)。たとえば、有権者が音楽の音量を設定する場所に投票する場合、各有権者には独自の理想的な音量の好みがあり、音量が次第に大きくなりすぎたり、小さくなりすぎたりすると、不満が高まると考えるのが妥当です。ドメインが、すべての個人が線形順序に関して単一のピーク優先度を持つプロファイルに制限されている場合、単純です[23]多数決を含む集約ルールには、非巡回(以下に定義)の社会的選好があるため、「最良の」代替手段です。[24]特に、個人の数が奇数の場合、社会的選好は推移的になり、社会的に「最良の」代替案は、個人のすべてのピークの中央値に等しくなります(ブラックの中央値投票者定理[25])。単一ピークの選好の下では、多数決はいくつかの点で最も自然な投票メカニズムです。

選択肢のより高次元のセットで「単一ピーク」の好みの概念を定義することができます。ただし、例外的な場合にのみ、ピークの「中央値」を特定できます。代わりに、通常、マッケルビーのカオス定理によって示唆される破壊的な状況があります:[26]任意xyについて、 xx 1過半数、x1でx2まで、次のような一連の選択肢を見つけることができます。x k byy_

推移性を緩和する

社会的選好の推移性を緩和することにより、Arrowの他の条件を満たす集計ルールを見つけることができます。しかし、そのようなルールに中立性(代替案の平等な扱い)を課すと、「拒否権」を持つ個人が存在します。したがって、このアプローチによって提供される可能性も非常に限られています。

まず、社会的選好が(推移的ではなく)準推移的であると仮定します。これは、厳密な優先順位を意味します(「より良い」)は推移的です:if、 それから次に、アローの条件を満たす非独裁的な集約ルールが存在しますが、そのようなルールは寡頭的です。[27]これは、Lが決定的であり(Lのすべてのメンバーがxよりyを好む場合、社会はxよりyを好む)、Lの各メンバーが拒否権を持っている(彼女がxを好む場合)連立Lが存在することを意味します。yの場合、社会はxよりyを優先することはできません)。

次に、社会的選好が(推移的ではなく)非循環的であると仮定します。代替案は存在しません。サイクルを形成する)。次に、少なくとも個人と同じ数の選択肢がある場合、Arrowの他の条件を満たす集計ルールは合同です。[28]これは、すべての決定的な連立の交差点(「コレギウム」)に属する個人がいることを意味します。拒否権を持っている人がいる場合、その人は大学に所属しています。ルールが中立であると想定される場合、拒否権を持つ人がいます。

最後に、ブラウンの定理は、選択肢の数が個人の数よりも少ない非周期的な社会的選好の場合を開いたままにしました。その場合、中村ナンバーを使って明確な答えを出すことができます。選択肢の数を制限するを参照してください

緩和仮定IIA

IIAを除いて、Arrowの条件を満たす集計ルールの例は多数あります。ボルダルールはその1つです。ただし、これらのルールは、個人による戦略的操作の影響を受けやすくなっています。[29]

上記の定理の解釈も参照してください

パレート基準の緩和

Wilson(1972)[30]は、集約ルールが課されておらず、nullでない場合、パレート以外のArrowの条件も満たされていれば、独裁者または逆独裁者のいずれかが存在することを示しています。ここで、逆独裁者は個人iであり、 iがyよりもx好むときはいつでも、社会はxよりもyを 好む

アマルティアセンは、推移性の緩和とパレートの法則の除去の両方を提供しました。[31]彼は、「パレート自由主義者の不可能性」として知られる別の興味深い不可能性の結果を示した(詳細については、自由主義のパラドックスを参照)。センはさらに、これは投票メカニズムに関連してパレート最適性を要求することの無益さを示していると主張しました。

独裁禁止の緩和

Andranik Tangian(2010)は、独裁者の「代表性」の尺度を導入しました。たとえば、「人気指数」は、ペアごとの選好が独裁者によって共有される(=表される)社会集団の平均サイズとして定義され、選択肢のすべてのペアで平均されます。すべての設定プロファイル。平均して過半数を占める「良い」アローの独裁者が常に存在することが示された。[32] 民主的に選出された大統領のように、彼らはむしろ社会の代表であるため、彼らを禁止する自明の理由はありません。独裁者の概念を「悪い」もの、つまり平均して少数派を代表する人々だけに制限すると、アローの公理は一貫していることが証明されました。[20] [21]

社会的選好の代わりに社会的選択

社会的意思決定では、すべての選択肢をランク付けすることは通常の目標ではありません。多くの場合、いくつかの代替案を見つけるだけで十分です。代替案の選択に焦点を当てたアプローチでは、社会的選択関数(各選好プロファイルを代替案にマップする関数)または社会的選択ルール(各選好プロファイルを代替案のサブセットにマップする関数)のいずれかを調査します。

社会的選択関数に関しては、ギバード・サタースウェイトの定理がよく知られています。これは、範囲に少なくとも3つの選択肢が含まれる社会的選択関数が戦略的証拠である場合、それは独裁的であると述べています。

社会的選択規則に関しては、その背後に社会的選好があると仮定する必要があります。つまり、ルールは、何らかの社会的選好の最大要素(「最良の」代替案)を選択するものと見なす必要があります。社会的嗜好の最大要素のセットはコアと呼ばれます。コアに代替が存在するための条件は、2つのアプローチで調査されています。最初のアプローチは、プリファレンスが少なくとも非周期的であることを前提としています(これは、プリファレンスが有限サブセットで最大要素を持つために必要かつ十分です)。このため、推移性の緩和と密接に関連しています。2番目のアプローチは、非周期的な優先順位の仮定を削除します。熊部と三原[33]このアプローチを採用します。彼らは、個人の選好が最大の要素を持っているというより直接的な仮定を立て、社会の選好が最大の要素を持っているための条件を調べます。これら2つのアプローチの詳細については、 中村ナンバーを参照してください。

その他の選択肢

アローは当初、社会福祉を表現するための有意義なツールとしての基数的効用を拒否し[34]、そのため彼の定理を選好ランキングに焦点を合わせたが、後に3つまたは4つのクラスの基数的スコアシステムが「おそらく最高」であると述べた。[2]

Arrowのフレームワークは、個人および社会の好みが一連の選択肢の「順序付け」(つまり、完全性と推移性を満たす)であることを前提としています。これは、選好が効用関数で表される場合、その値は、値が大きいほどより良い代替案を示す限り、意味があるという意味で通常の効用であることを意味しますたとえば、選択肢a、b、c、dに対してそれぞれ4、3、2、1の序数ユーティリティを持つことは、1000、100.01、100、0を持つことと同じであり、99、98を持つことと同じです。 、1、.997。これらはすべて、bからc、dよりもaが優先される順序を表しています。対人比較を妨げる通常の好み仮定効用のは、アローの定理の不可欠な部分です。

さまざまな理由から、基数的効用に基づくアプローチは、効用が単に選択肢のランク付けを与える以上の意味を持つ場合、現代の経済学では一般的ではありません。ただし、そのアプローチを採用すると、好みの強さを考慮に入れるか、(i)効用の増減または(ii)効用のレベルをさまざまな個人間で比較できます。特に、Harsanyi(1955)[35]は、ジェレミ・ベンサムに由来する功利主義(個々の効用の合計の観点から代替案を評価する)の正当化を示していますハモンド(1976)[36]は、マキシミン原理の正当化を示しています(これは、最悪の個人の効用の観点から代替案を評価します)、ジョン・ロールズに由来します。

すべての投票方法が、すべての候補者の順序のみを入力として使用するわけではありません。[37]しばしば「格付け」または「枢機卿」(「ランク付け」、「序数」、または「優先」ではなく)選挙制度と呼ばれない方法は、基数的効用のみが伝達できる情報を使用していると見なすことができます。 。その場合、それらのいくつかが再定式化されたアローの条件のすべてを満たしていても驚くことではありません。[38] 採点投票はそのような方法です。[5] [39] そのような主張が正しいかどうかは、各条件がどのように再定式化されるかに依存します。[40] Arrowの特定の一般化に合格する他の評価された選挙制度アローの定理は、このような単一の勝者の方法には適用されないことに注意してください。ただし、ギバードの定理は適用されます。欠陥のない選挙制度は完全に戦略がないわけではないため、「完璧な選挙制度はない」という非公式の口述には、依然として数学があります。基本。[41]

最後に、ある種の規則を調査するアプローチではありませんが、James M. BuchananCharlesPlottなどによる批判があります。個人の好みに類似した社会的好みがあるかもしれないと考えるのはばかげていると主張している[42] Arrow(1963、Chapter 8)[43]は、初期に見られたこの種の批判に答えています。これは、少なくとも部分的には誤解によるものです。

も参照してください

参考文献

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  24. ^ 確かに、多くの異なる社会福祉機能は、ドメインのそのような制限の下でアローの条件を満たすことができます。ただし、そのような制限の下で、アローの基準に準拠する社会福祉機能が存在する場合、多数決はアローの基準に準拠することが証明されています。キャンベル、DEを参照してくださいケリー、JS(2000)。「多数決の簡単な特徴づけ」。経済理論15(3):689–700。土井10.1007 / s001990050318JSTOR25055296_ S2CID122290254_  
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  34. ^ 「現代の経済理論は、効用の序数の概念を主張してきました。つまり、順序付けのみを観察できるため、これらの順序付けから独立した効用の測定は重要ではありません。消費者の需要理論の分野では、順序論者の立場は次のようになりました。問題は発生しません。枢機卿の効用には、序数を超えた説明力がありませんでした。ライプニッツの識別不能のアイデンティティの原則は、私たちの思考パターンからの枢機卿の効用の削除を要求しました。」矢印(1967)、 p。33 Racnchetti、Fabio(2002)、「効用のない選択?標準的な消費者理論の緩い基礎に関するいくつかの考察」、Bianchi、Marina(ed。)、The Active Consumer:、政治経済学のラウトレッジフロンティア、vol。20、ラウトレッジ、21〜45ページ
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  37. ^ そのような方法は、普遍性の基準を簡単に失敗する可能性があると主張されることがありただし、優先順位が一意に投票用紙に変換できない場合は、そのようなメソッドがArrowの集計ルールの定義(またはドメインが優先プロファイルで構成される関数の定義)に失敗することを考慮する方が適切です。
  38. ^ ただし、アローの定理の修正版は、そのような方法にも適用される可能性があります(たとえば、 Brams; Fishburn(2002)。 "Chapter 4" 。InArrow 、Kenneth J .; Sen、Amartya K .; Suzumura、Kōtarō(eds。) 。社会的選択と福祉のハンドブック。第1巻。オランダ、アムステルダム:エルゼビア。定理4.2フレームワーク。ISBN 978-0-444-82914-6
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  42. ^ フェルドマン、アランM。; セラーノ、ロベルト(2006)。厚生経済学と社会選択理論シュプリンガーサイエンス&ビジネスメディア。ISBN 9780387293684そもそも、個人の好みに類似した社会的な好みがあるかもしれないと考えるのはかなりばかげています。社会自体は個人の集まりに過ぎず、それぞれが自分の興味を持っているので、社会の好みについて話すのはナンセンスです。...アローの定理に対するこの最初の反応は論理的に魅力的ですが、それは私たちを含む一部の人々にとって魅力のないさまざまなニヒリズムにつながる可能性があります。
  43. ^ アロー、ケネス・ジョセフ(1963)。「第VIII章社会選択理論に関する注記、セクションIII。社会選択の問題は何ですか?」社会的選択と個人の価値観エール大学プレス。pp。103–109。ISBN 978-0300013641これらの批判は私の立場の誤解に基づいています

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