Le paradoxe de Russel

En logique mathématique , le paradoxe de Russell (également connu sous le nom d' antinomie de Russell ) est un paradoxe de la théorie des ensembles publié par le philosophe et mathématicien britannique Bertrand Russell en 1901. [1] [2] Le paradoxe de Russell montre que toute théorie des ensembles contenant un principe de compréhension illimité conduit à des contradictions. [3] Le paradoxe avait déjà été découvert indépendamment en 1899 par le mathématicien allemand Ernst Zermelo . [4] Cependant, Zermelo n'a pas publié l'idée, qui n'est restée connue que de David Hilbert , Edmund Husserl et d'autres universitaires de l' Université de Göttingen . À la fin des années 1890, Georg Cantor – considéré comme le fondateur de la théorie moderne des ensembles – s'était déjà rendu compte que sa théorie conduirait à une contradiction, comme il l'a dit par lettre à Hilbert et Richard Dedekind . [5]

Selon le principe de compréhension sans restriction, pour toute propriété suffisamment bien définie , il y a l' ensemble de tous et seulement les objets qui ont cette propriété. Soit R l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d'eux-mêmes. Si R n'est pas membre de lui-même, alors sa définition implique qu'il est membre de lui-même ; or, s'il est membre de lui-même, alors il n'est pas membre de lui-même, puisqu'il est l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d'eux-mêmes. La contradiction qui en résulte est le paradoxe de Russell. En symboles :

Russell a également montré qu'une version du paradoxe pouvait être dérivée du système axiomatique construit par le philosophe et mathématicien allemand Gottlob Frege , sapant ainsi la tentative de Frege de réduire les mathématiques à la logique et remettant en question le programme logiciste . Deux manières influentes d'éviter le paradoxe ont toutes deux été proposées en 1908 : la propre théorie des types de Russell et la théorie des ensembles de Zermelo . En particulier, les axiomes de Zermelo restreignaient le principe de compréhension illimitée. Avec les contributions supplémentaires d' Abraham Fraenkel , la théorie des ensembles de Zermelo s'est développée pour devenir la théorie des ensembles désormais standard de Zermelo – Fraenkel (communément appelée ZFC lorsqu'elle inclut leaxiome du choix ). La principale différence entre la solution de Russell et celle de Zermelo au paradoxe est que Zermelo a modifié les axiomes de la théorie des ensembles tout en maintenant un langage logique standard, tandis que Russell a modifié le langage logique lui-même. Le langage de ZFC, avec l' aide de Thoralf Skolem , s'est avéré être celui de la logique du premier ordre . [6]

Présentation informelle

La plupart des ensembles couramment rencontrés ne sont pas membres d'eux-mêmes. Par exemple, considérons l'ensemble de tous les carrés d'un plan . Cet ensemble n'est pas lui-même un carré dans le plan, donc il n'est pas membre de lui-même. Appelons un ensemble "normal" s'il n'est pas membre de lui-même, et "anormal" s'il est membre de lui-même. Il est clair que chaque ensemble doit être normal ou anormal. L'ensemble des carrés dans le plan est normal. Au contraire, l'ensemble complémentaire qui contient tout ce qui n'est pas un carré dans le plan n'est pas lui-même un carré dans le plan, donc c'est un de ses propres membres et donc anormal.

Considérons maintenant l'ensemble de tous les ensembles normaux, R , et essayons de déterminer si R est normal ou anormal. Si R était normal, il serait contenu dans l'ensemble de tous les ensembles normaux (lui-même), et donc anormal ; d'autre part si R était anormal, il ne serait pas contenu dans l'ensemble de tous les ensembles normaux (lui-même), et serait donc normal. Cela conduit à la conclusion que R n'est ni normal ni anormal : le paradoxe de Russell.

Présentation formelle

Le terme « théorie naïve des ensembles » est utilisé de diverses manières. Dans un usage, la théorie naïve des ensembles est une théorie formelle, qui est formulée dans un langage du premier ordre avec un prédicat binaire non logique , et qui inclut l' axiome d'extensionnalité :

et le schéma axiome de la compréhension sans restriction :

pour toute formule avec la variable x comme variable libre à l'intérieur de . Remplacer pour obtenir

Ensuite par instanciation existentielle (réutilisation du symbole ) et instanciation universelle on a

une contradiction. Par conséquent, cette théorie des ensembles naïve est incohérente . [7]

Implications philosophiques

Avant le paradoxe de Russell (et d'autres paradoxes similaires découverts à l'époque, comme le paradoxe Burali-Forti ), une conception commune de l'idée d'ensemble était le "concept extensionnel d'ensemble", tel que raconté par von Neumann et Morgenstern : [ 8]

Un ensemble est une collection arbitraire d'objets, aucune restriction n'étant imposée sur la nature et le nombre de ces objets, les éléments de l'ensemble en question. Les éléments constituent et déterminent l'ensemble en tant que tel, sans aucun ordre ni relation d'aucune sorte entre eux.

En particulier, il n'y avait pas de distinction entre les ensembles et les classes propres en tant que collections d'objets. De plus, l'existence de chacun des éléments d'une collection était considérée comme suffisante pour l'existence de l'ensemble desdits éléments. Cependant, des paradoxes comme ceux de Russell et de Burali-Forti ont montré l'impossibilité de cette conception d'ensemble, par des exemples de collections d'objets qui ne forment pas d'ensembles, bien que tous lesdits objets soient existants.

Réponses ensemblistes

A partir du principe d'explosion de la logique classique , toute proposition peut être prouvée à partir d'une contradiction . Par conséquent, la présence de contradictions comme le paradoxe de Russell dans une théorie axiomatique des ensembles est désastreuse ; car si une formule peut être prouvée vraie, elle détruit le sens conventionnel de la vérité et de la fausseté. De plus, puisque la théorie des ensembles était considérée comme la base d'un développement axiomatique de toutes les autres branches des mathématiques, le paradoxe de Russell menaçait les fondements des mathématiques dans leur ensemble. Cela a motivé de nombreuses recherches au tournant du XXe siècle pour développer une théorie des ensembles cohérente (sans contradiction).

En 1908, Ernst Zermelo proposa une axiomatisation de la théorie des ensembles qui évitait les paradoxes de la théorie naïve des ensembles en remplaçant la compréhension arbitraire des ensembles par des axiomes d'existence plus faibles, comme son axiome de séparation ( Aussonderung ). (Éviter le paradoxe n'était pas l'intention originale de Zermelo, mais plutôt de documenter les hypothèses qu'il a utilisées pour prouver le théorème de bon ordre . ) dans la théorie axiomatique des ensembles appelée ZFC . Cette théorie est devenue largement acceptée une fois que Zermelol'axiome du choix a cessé d'être controversé et ZFC est resté la théorie axiomatique canonique des ensembles jusqu'à nos jours.

ZFC ne suppose pas que, pour chaque propriété, il existe un ensemble de toutes les choses satisfaisant cette propriété. Au contraire, il affirme que, étant donné tout ensemble X , tout sous-ensemble de X définissable à l'aide de la logique du premier ordre existe. L'objet R discuté ci-dessus ne peut pas être construit comme un sous-ensemble d'un ensemble X , et n'est donc pas un ensemble dans ZFC. Dans certaines extensions de ZFC, notamment dans la théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel , les objets comme R sont appelés classes propres .

ZFC ne dit rien sur les types, bien que la hiérarchie cumulative ait une notion de couches qui ressemblent à des types. Zermelo lui-même n'a jamais accepté la formulation de Skolem de ZFC utilisant le langage de la logique du premier ordre. Comme le note José Ferreirós, Zermelo a plutôt insisté sur le fait que "les fonctions propositionnelles (conditions ou prédicats) utilisées pour séparer les sous-ensembles, ainsi que les fonctions de remplacement, peuvent être" entièrement arbitraires " [ganz beliebig ] ; " l'interprétation moderne donnée à cette affirmation est que Zermelo voulait inclure une quantification d'ordre supérieur afin d'éviter le paradoxe de Skolem . Vers 1930, Zermelo introduit également (apparemment indépendamment de von Neumann), l' axiome de fondation, ainsi - comme l'observe Ferreirós - "en interdisant les ensembles" circulaires "et" non fondés ", il [ZFC] a incorporé l'une des motivations cruciales de TT [théorie des types] - le principe des types d'arguments". Cette ZFC de 2e ordre préférée par Zermelo, incluant l'axiome de fondation, a permis une riche hiérarchie cumulative. Ferreirós écrit que "les" couches "de Zermelo sont essentiellement les mêmes que les types dans les versions contemporaines de la simple TT [théorie des types] proposée par Gödel et Tarski. On peut décrire la hiérarchie cumulative dans laquelle Zermelo a développé ses modèles comme l'univers d'un cumulatif TT dans lequel les types transfinis sont autorisés (une fois que nous avons adopté un point de vue imprédicatif, abandonnant l'idée que les classes sont construites, il n'est pas anormal d'accepter les types transfinis). les simples TT et ZFC pourraient désormais être considérés comme des systèmes qui « parlent » essentiellement des mêmes objets visés. La principale différence est que TT repose sur une forte logique d'ordre supérieur, tandis que Zermelo a utilisé une logique de second ordre, et ZFC peut également recevoir une formulation de premier ordre. La « description » de premier ordre de la hiérarchie cumulative est beaucoup plus faible, comme le montre l'existence de modèles dénombrables (paradoxe de Skolem), mais elle bénéficie d'avantages importants. »[dix]

Dans ZFC, étant donné un ensemble A , il est possible de définir un ensemble B qui se compose exactement des ensembles de A qui ne sont pas membres d'eux-mêmes. B ne peut pas être dans A par le même raisonnement dans le paradoxe de Russell. Cette variation du paradoxe de Russell montre qu'aucun ensemble ne contient tout.

Grâce au travail de Zermelo et d'autres, en particulier John von Neumann , la structure de ce que certains considèrent comme les objets "naturels" décrits par ZFC est finalement devenue claire ; ce sont les éléments de l' univers de von Neumann , V , construits à partir de l' ensemble vide en itérant de manière transfinie l' opération d'ensemble de puissance . Il est donc à nouveau possible de raisonner sur les ensembles de façon non axiomatique sans enfreindre le paradoxe de Russell, à savoir en raisonnant sur les éléments de V . La question de savoir s'il est approprié de penser les ensembles de cette manière est un point de discorde entre les points de vue rivaux sur la philosophie des mathématiques .

D'autres solutions au paradoxe de Russell, avec une stratégie sous-jacente plus proche de celle de la théorie des types , incluent les nouvelles fondations de Quine et la théorie des ensembles de Scott-Potter . Une autre approche consiste à définir une relation d'appartenance multiple avec un schéma de compréhension modifié de manière appropriée, comme dans la théorie des ensembles à double extension .

Histoire

Russell a découvert le paradoxe en mai [11] ou juin 1901. [12] Selon son propre récit dans son Introduction à la philosophie mathématique de 1919 , il "a tenté de découvrir une faille dans la preuve de Cantor qu'il n'y a pas de plus grand cardinal". [13] Dans une lettre de 1902, [14] il annonça la découverte à Gottlob Frege du paradoxe dans le Begriffsschrift de Frege de 1879 et posa le problème en termes à la fois de logique et de théorie des ensembles, et en particulier en termes de définition de la fonction par Frege : [ un] [b]

Il y a juste un point où j'ai rencontré une difficulté. Vous déclarez (p. 17 [p. 23 ci-dessus]) qu'une fonction peut aussi agir comme élément indéterminé. C'est ce que je croyais autrefois, mais maintenant cette opinion me semble douteuse à cause de la contradiction suivante. Soit w le prédicat : être un prédicat qui ne peut être prédiqué par lui-même. w peut- il être prédiqué par lui-même ? De chaque réponse découle son contraire. Nous devons donc conclure que w n'est pas un prédicat. De même il n'y a pas de classe (comme totalité) de ces classes qui, prises chacune comme totalité, ne s'appartiennent pas à elles-mêmes. J'en conclus que dans certaines circonstances une collection définissable [Menge] ne forme pas une totalité.

Russell continuerait à le couvrir longuement dans son 1903 The Principles of Mathematics , où il a répété sa première rencontre avec le paradoxe : [15]

Avant de quitter les questions fondamentales, il est nécessaire d'examiner plus en détail la contradiction singulière, déjà mentionnée, à propos des prédicats non prédicables par eux-mêmes. ... Je peux mentionner que j'y ai été amené dans l'effort de concilier la preuve de Cantor ... "

Russell a écrit à Frege au sujet du paradoxe juste au moment où Frege préparait le deuxième volume de son Grundgesetze der Arithmetik . [16] Frege a répondu à Russell très rapidement; sa lettre datée du 22 juin 1902 parut, avec le commentaire de van Heijenoort dans Heijenoort 1967 : 126–127. Frege a alors écrit un appendice admettant le paradoxe, [17] et a proposé une solution que Russell approuverait dans ses Principes de Mathématiques , [18] mais a été plus tard considérée par certains comme insatisfaisante. [19] De son côté, Russell avait son travail chez les imprimeurs et il y ajouta un appendice sur la doctrine des types . [20]

Ernst Zermelo dans son (1908) Une nouvelle preuve de la possibilité d'un bon ordonnancement (publié en même temps qu'il publiait "la première théorie axiomatique des ensembles") [21] revendiquait la découverte préalable de l' antinomie dans la théorie naïve des ensembles de Cantor . Il déclare : « Et pourtant, même la forme élémentaire que Russell 9 a donnée aux antinomies de la théorie des ensembles aurait pu les persuader [J. König, Jourdain, F. Bernstein] que la solution de ces difficultés n'est pas à chercher dans la reddition de bien ordonner mais seulement dans une restriction appropriée de la notion d'ensemble ». [22] La note de bas de page 9 est l'endroit où il revendique sa revendication :

9 1903 , p. 366–368. J'avais cependant découvert cette antinomie moi-même, indépendamment de Russell, et l'avais communiquée avant 1903 au professeur Hilbert entre autres . [23]

Frege a envoyé une copie de son Grundgesetze der Arithmetik à Hilbert; comme indiqué ci-dessus, le dernier volume de Frege mentionnait le paradoxe que Russell avait communiqué à Frege. Après avoir reçu le dernier volume de Frege, le 7 novembre 1903, Hilbert écrivit une lettre à Frege dans laquelle il dit, se référant au paradoxe de Russell, "Je crois que le Dr Zermelo l'a découvert il y a trois ou quatre ans". Un compte rendu écrit de l'argument réel de Zermelo a été découvert dans le Nachlass d' Edmund Husserl . [24]

En 1923, Ludwig Wittgenstein proposa de « disposer » du paradoxe de Russell comme suit :

La raison pour laquelle une fonction ne peut pas être son propre argument est que le signe d'une fonction contient déjà le prototype de son argument et qu'il ne peut pas se contenir lui-même. Car supposons que la fonction F(fx) puisse être son propre argument : dans ce cas il y aurait une proposition F(F(fx)) , dans laquelle la fonction externe F et la fonction interne F doivent avoir des significations différentes, puisque l'intérieur a la forme O(fx) et l'extérieur a la forme Y(O(fx)) . Seule la lettre « F » est commune aux deux fonctions, mais la lettre en elle-même ne signifie rien. Cela devient immédiatement clair si au lieu de F(Fu) on écrit (do) : F(Ou) . Ou = Fu. Cela élimine le paradoxe de Russell. ( Tractatus Logico-Philosophicus , 3.333)

Russell et Alfred North Whitehead ont écrit leurs Principia Mathematica en trois volumes dans l'espoir de réaliser ce que Frege avait été incapable de faire. Ils ont cherché à bannir les paradoxes de la théorie naïve des ensembles en employant une théorie des types qu'ils ont conçue à cette fin. S'ils ont réussi à fonder l'arithmétique d'une certaine façon, il n'est pas du tout évident qu'ils l'aient fait par des moyens purement logiques. Alors que les Principia Mathematica évitaient les paradoxes connus et permettaient la dérivation d'une grande partie des mathématiques, son système soulevait de nouveaux problèmes.

Quoi qu'il en soit, Kurt Gödel en 1930-1931 a prouvé que si la logique d'une grande partie des Principia Mathematica , maintenant connue sous le nom de logique du premier ordre , est complète , l'arithmétique de Peano est nécessairement incomplète si elle est cohérente . Ceci est très largement - bien que pas universellement - considéré comme ayant montré que le programme logiciste de Frege était impossible à mener à bien.

En 2001, une conférence internationale du centenaire célébrant les cent premières années du paradoxe de Russell s'est tenue à Munich et ses actes ont été publiés. [12]

Versions appliquées

Certaines versions de ce paradoxe sont plus proches des situations de la vie réelle et peuvent être plus faciles à comprendre pour les non-logiciens. Par exemple, le paradoxe du barbier suppose un barbier qui rase tous les hommes qui ne se rasent pas et uniquement les hommes qui ne se rasent pas. Quand on se demande si le barbier doit se raser ou non, le paradoxe commence à émerger.

Une réfutation facile des "versions profanes" telles que le paradoxe du barbier semble être qu'un tel barbier n'existe pas, ou que le barbier souffre d'alopécie , ou est une femme, et dans les deux derniers cas, le barbier ne se rase pas, et donc peut exister sans paradoxe. Tout l'intérêt du paradoxe de Russell est que la réponse "un tel ensemble n'existe pas" signifie que la définition de la notion d'ensemble dans une théorie donnée n'est pas satisfaisante. Notez la différence entre les déclarations "un tel ensemble n'existe pas" et "c'est un ensemble vide ". C'est comme la différence entre dire "Il n'y a pas de seau" et dire "Le seau est vide".

Une exception notable à ce qui précède peut être le paradoxe Grelling-Nelson , dans lequel les mots et le sens sont les éléments du scénario plutôt que les personnes et la coupe de cheveux. Bien qu'il soit facile de réfuter le paradoxe du barbier en disant qu'un tel barbier n'existe pas (et ne peut pas ) exister, il est impossible de dire quelque chose de similaire à propos d'un mot défini de manière significative.

Une façon dont le paradoxe a été dramatisé est la suivante : Supposons que chaque bibliothèque publique doive compiler un catalogue de tous ses livres. Étant donné que le catalogue est lui-même l'un des livres de la bibliothèque, certains bibliothécaires l'incluent dans le catalogue pour être complet; tandis que d'autres l'omettent car c'est l'un des livres de la bibliothèque qui va de soi. Imaginez maintenant que tous ces catalogues soient envoyés à la bibliothèque nationale. Certains d'entre eux s'incluent dans leurs listes, d'autres non. Le bibliothécaire national compile deux catalogues maîtres - un de tous les catalogues qui se répertorient, et un de tous ceux qui ne le font pas.

La question est : ces catalogues maîtres doivent-ils se répertorier eux-mêmes ? Le 'Catalogue de tous les catalogues qui se répertorient' n'est pas un problème. Si le bibliothécaire ne l'inclut pas dans sa propre liste, il reste un véritable catalogue de ces catalogues qui s'incluent eux-mêmes. S'il l'inclut, il reste un véritable catalogue de ceux qui s'énumèrent. Cependant, tout comme le bibliothécaire ne peut pas se tromper avec le premier catalogue principal, il est voué à l'échec avec le second. Lorsqu'il s'agit du « Catalogue de tous les catalogues qui ne se répertorient pas », le bibliothécaire ne peut pas l'inclure dans sa propre liste, car alors il s'inclurait lui-même, et appartiendrait ainsi à l'autre catalogue, celui des catalogues qui ne s'incluent pas eux-mêmes. . Cependant, si le bibliothécaire l'omet, le catalogue est incomplet. Dans les deux cas,

Applications et sujets connexes

Paradoxes à la Russell

Comme illustré ci-dessus pour le paradoxe du barbier, le paradoxe de Russell n'est pas difficile à étendre. Prendre:

Formez la phrase :

Le ⟨V⟩ er que ⟨V⟩ est tous (et seulement ceux) qui ne ⟨V⟩ eux-mêmes,

Parfois, le "tout" est remplacé par "tous les ⟨V⟩ ers".

Un exemple serait "peinture":

Le peintre qui peint est tous (et seulement ceux) qui ne se peignent pas .

ou "élire"

Les élus ou ( représentants ), qui élisent , c'est tout ce qui ne s'élit pas .

Dans l' épisode de la saison 8 de The Big Bang Theory , « The Skywalker Intrusion », Sheldon Cooper analyse la chanson « Play That Funky Music », concluant que les paroles présentent un exemple musical du paradoxe de Russell. [25]

Les paradoxes qui relèvent de ce schéma incluent :

  • Le barbier avec "rasage" .
  • Le paradoxe original de Russell avec "contenir": Le conteneur (Set) qui contient tous (les conteneurs) qui ne se contiennent pas eux-mêmes.
  • Le paradoxe de Grelling-Nelson avec "descripteur": Le descripteur (mot) qui décrit tous les mots, qui ne se décrivent pas.
  • Paradoxe de Richard avec "dénoter": Le dénotateur (nombre) qui dénote tous les dénotateurs (nombres) qui ne se dénotent pas eux-mêmes. (Dans ce paradoxe, toutes les descriptions de nombres reçoivent un numéro attribué. Le terme "qui désigne tous les dénotateurs (nombres) qui ne se désignent pas eux-mêmes" est ici appelé richardien .)
  • "Je mens.", à savoir le paradoxe du menteur et le paradoxe d'Epiménide , dont les origines sont anciennes
  • Paradoxe Russell-Myhill

Paradoxes associés

Voir également

Remarques

  1. Dans la suite, p. 17 fait référence à une page dans le Begriffsschrift original , et la page 23 fait référence à la même page dans van Heijenoort 1967
  2. ^ Remarquablement, cette lettre n'a pas été publiée jusqu'à van Heijenoort 1967 - elle apparaît avec le commentaire de van Heijenoort à van Heijenoort 1967 : 124-125.

Les références

  1. ^ Russell, Bertrand, "Correspondance with Frege}. In Gottlob Frege Philosophical and Mathematical Correspondence . Traduit par Hans Kaal., University of Chicago Press, Chicago, 1980.
  2. ^ Russel, Bertrand. Les principes des mathématiques . 2d. éd. Réimpression, New York : WW Norton & Company, 1996. (Première publication en 1903.)
  3. ^ Irvine, AD, H. Deutsch (2021). "Le paradoxe de Russell". Encyclopédie de philosophie de Stanford (édition printemps 2021), EN Zalta (éd.), URL=<https://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox/>
  4. ^ Bernhard Rang, Wolfgang Thomas: La découverte par Zermelo du "paradoxe de Russell", Historia Mathematica 8.
  5. ^ Walter Purkert, Hans J. Ilgauds: Vita Mathematica - Georg Cantor , Birkhäuser, 1985, ISBN  3-764-31770-1
  6. ^ AA Fraenkel; Y. Bar- Hillel ; A. Levy (1973). Fondements de la théorie des ensembles . Elsevier. p. 156–157. ISBN 978-0-08-088705-0.
  7. ^ Irvine, Andrew David; Deutsch, Harry (2014). "Le paradoxe de Russell". À Zalta, Edward N. (éd.). L'Encyclopédie de Philosophie de Stanford .
  8. ^ R. Bunn, Ensembles et nombres infinis (1967), pp.176--178. Thèse de doctorat, Université de la Colombie-Britannique
  9. ^ P. Maddy, "Croire aux Axiomes I" (1988). Association pour la logique symbolique.
  10. ^ José Ferreiros (2008). Labyrinthe de la pensée: une histoire de la théorie des ensembles et de son rôle dans les mathématiques modernes (2e éd.). Springer. § Hiérarchie cumulative de Zermelo pp. 374-378. ISBN 978-3-7643-8350-3.
  11. L'Autobiographie de Bertrand Russell , George Allen et Unwin Ltd., 1971, page 147 : "A la fin du Carême [1901], je suis retourné à Fernhurst, où je me suis mis au travail pour écrire la déduction logique des mathématiques qui devinrent par la suite Principia Mathematica . Je pensais que le travail était presque terminé mais au mois de mai[c'est nous qui soulignons] J'ai eu un recul intellectuel […]. Cantor avait une preuve qu'il n'y a pas de plus grand nombre, et il me semblait que le nombre de toutes les choses du monde devait être le plus grand possible. En conséquence, j'ai examiné sa preuve avec quelque minutie, et j'ai essayé de l'appliquer à la classe de toutes les choses qui existent. Cela m'a conduit à considérer les classes qui ne sont pas membres d'elles-mêmes, et à demander si la classe de ces classes est ou n'est pas membre d'elle-même. J'ai trouvé que l'une ou l'autre réponse implique son contradictoire".
  12. ^ ab Godehard Link (2004), Cent ans du paradoxe de Russell, p. 350, ISBN 978-3-11-017438-0, récupéré le 22/02/2016
  13. ^ Russell 1920: 136
  14. ^ Gottlob Frege, Michael Beaney (1997), Le lecteur Frege, p. 253, ISBN 978-0-631-19445-3, récupéré le 22/02/2016. Aussi van Heijenoort 1967 : 124-125
  15. ^ Russell 1903: 101
  16. ^ cf le commentaire de van Heijenoort avant la Lettre de Frege à Russell dans van Heijenoort 1964:126.
  17. ^ commentaire de van Heijenoort, cf van Heijenoort 1967:126 ; Frege commence son analyse par ce commentaire d'une honnêteté exceptionnelle : « Il ne peut guère arriver quelque chose de plus malheureux à un écrivain scientifique que d'avoir l'un des fondements de son édifice ébranlé après l'achèvement des travaux. C'est dans cette position que j'ai été placé par une lettre de M. Bertrand Russell, juste au moment où l'impression de ce volume touchait à sa fin" (Annexe de Grundgesetze der Arithmetik, vol. II , dans The Frege Reader , p.279, traduction de Michael Beaney
  18. ^ cf le commentaire de van Heijenoort, cf van Heijenoort 1967:126. Le texte ajouté se lit comme suit : " Note . trouvé en niant que deux fonctions propositionnelles qui déterminent des classes égales doivent être équivalentes. Comme il semble très probable que ce soit la vraie solution, il est fortement recommandé au lecteur d'examiner l'argument de Frege sur ce point » (Russell 1903 : 522) ; L'abréviation Gg. signifie Grundgezetze der Arithmetik de Frege . Begriffsschriftlich abgeleitet. Vol. I. Iéna, 1893. Vol. II. 1903.
  19. ^ Livio déclare que "Bien que Frege ait fait quelques tentatives désespérées pour remédier à son système d'axiome, il n'a pas réussi. La conclusion a semblé être désastreuse ...." Livio 2009: 188. Mais van Heijenoort dans son commentaire avant la lettre de Frege (1902) à Russelldécrit en détail la "sortie" proposée par Frege - la question a à voir avec la "transformation de la généralisation d'une égalité en une égalité de cours de valeurs. Pour Frege, une fonction est quelque chose d'incomplet, d'"insaturé"" ; cela semble contredire la notion contemporaine de « fonction en extension » ; voir la formulation de Frege à la page 128 : "Incidemment, il me semble que l'expression 'un prédicat est prédiqué de lui-même' n'est pas exacte. ... Par conséquent, je préférerais dire que 'un concept est prédiqué de sa propre extension' [ etc]". Mais il tergiverse à la fin de sa suggestion selon laquelle une fonction-comme-concept-en-extension peut être écrite comme prédiqué de sa fonction. van Heijenoort cite Quine : "Pour une étude tardive et approfondie de la" sortie "de Frege, 145–159 ; réimprimé dans Quine 1955b : Appendice. Complétude de la théorie de la quantification. Théorème de Loewenheim , joint en pamphlet avec une partie de la troisième impression (1955) de Quine 1950 et incorporé dans l'édition révisée (1959), 253—260" (cf REFERENCES in van Heijenoort 1967:649)
  20. ^ Russell mentionne ce fait à Frege, cf le commentaire de van Heijenoort avant la lettre de Frege (1902) à Russell dans van Heijenoort 1967: 126
  21. ^ Commentaire de van Heijenoort avant Zermelo (1908a) Enquêtes sur les fondements de la théorie des ensembles I dans van Heijenoort 1967: 199
  22. ^ van Heijenoort 1967 : 190-191. Dans la section précédente, il s'oppose énergiquement à la notion d' imprédicativité telle que définie par Poincaré (et bientôt reprise par Russell également dans sa logique mathématique de 1908 basée sur la théorie des types cf van Heijenoort 1967 : 150-182).
  23. ^ Ernst Zermelo (1908) Une nouvelle preuve de la possibilité d'un bon ordre dans van Heijenoort 1967 : 183-198. Livio 2009: 191 rapporte que Zermelo "a découvert le paradoxe de Russell indépendamment dès 1900"; Livio cite à son tour Ewald 1996 et van Heijenoort 1967 (cf Livio 2009 : 268).
  24. ^ B. Rang et W. Thomas, "La découverte par Zermelo du 'Russell Paradox'", Historia Mathematica , v. 8 n. 1, 1981, p. 15–22. doi :10.1016/0315-0860(81)90002-1
  25. ^ "" Play That Funky Music Was No. 1 40 Years Ago ". Radio publique du Minnesota . 27 septembre 2016 . Récupéré le 30 janvier 2022 .

Sources

Liens externes