Nécessité et suffisance

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En logique et en mathématiques , la nécessité et la suffisance sont des termes utilisés pour décrire une relation conditionnelle ou implicite entre deux énoncés . Par exemple, dans l'énoncé conditionnel : « Si P alors Q », Q est nécessaire pour P, car la vérité de Q est garantie par la vérité de P (de manière équivalente, il est impossible d'avoir P sans Q ). [1] De même, P est suffisantpour Q, parce que P étant vrai implique toujours que Q est vrai, mais P n'étant pas vrai n'implique pas toujours que Q n'est pas vrai. [2]

En général, une condition nécessaire est celle qui doit être présente pour qu'une autre condition se produise, tandis qu'une condition suffisante est celle qui produit ladite condition. [3] L'affirmation selon laquelle une déclaration est une condition "nécessaire et suffisante" d'une autre signifie que la première déclaration est vraie si et seulement si la seconde est vraie. Autrement dit, les deux déclarations doivent être soit simultanément vraies, soit simultanément fausses. [4] [5] [6]

En anglais ordinaire (également en langage naturel ), "nécessaire" et "suffisant" indiquent des relations entre des conditions ou des états de choses, et non des déclarations. Par exemple, être un homme est une condition nécessaire pour être frère, mais ce n'est pas suffisant, alors qu'être un frère de sexe masculin est une condition nécessaire et suffisante pour être frère. Toute instruction conditionnelle est constituée d'au moins une condition suffisante et d'au moins une condition nécessaire.

Définitions

Dans l'énoncé conditionnel "si S , alors N ", l'expression représentée par S est appelée l' antécédent et l'expression représentée par N est appelée le conséquent . Cette instruction conditionnelle peut s'écrire de plusieurs manières équivalentes, telles que " N si S ", " S seulement si N ", " S implique N ", " N est impliqué par S ", SN , SN et "". [7]

Dans la situation ci-dessus, on dit que N est une condition nécessaire pour S . Dans le langage courant, cela équivaut à dire que si l'énoncé conditionnel est un énoncé vrai, alors le N conséquent doit être vrai - si S doit être vrai (voir la troisième colonne de la " table de vérité " immédiatement ci-dessous). En d'autres termes, l'antécédent S ne peut pas être vrai sans que N soit vrai. Par exemple, pour que quelqu'un s'appelle Socrate , il faut que ce quelqu'un soit nommé . De même, pour que les êtres humains vivent, il faut qu'ils aient de l'air. [8]

Dans la situation ci-dessus, on peut également dire que S est une condition suffisante pour N (reportez-vous à nouveau à la troisième colonne de la table de vérité ci-dessous). Si l'énoncé conditionnel est vrai, alors si S est vrai, N doit être vrai ; alors que si l'énoncé conditionnel est vrai et que N est vrai, alors S peut être vrai ou être faux. En termes courants, « la vérité de S garantit la vérité de N ». [8] Par exemple, en reprenant l'exemple précédent, on peut dire qu'il suffit de savoir que quelqu'un s'appelle Socrate pour savoir que quelqu'un a un Nom .

Une condition nécessaire et suffisante exige que les deux implicationset(ce dernier pouvant également s'écrire) tenir. La première implication suggère que S est une condition suffisante pour N , tandis que la seconde implication suggère que S est une condition nécessaire pour N . Cela s'exprime par " S est nécessaire et suffisant pour N ", " S si et seulement si N ", ou.

Table de vérité
S N
J J J J J
J F F J F
F J J F F
F F J J J

Nécessité

Le soleil étant au-dessus de l'horizon est une condition nécessaire pour la lumière directe du soleil; mais ce n'est pas une condition suffisante, car quelque chose d'autre peut projeter une ombre, par exemple, la lune dans le cas d'une éclipse .

L'assertion selon laquelle Q est nécessaire pour P est familièrement équivalente à " P ne peut être vrai que si Q est vrai " ou " si Q est faux, alors P est faux ". [8] [1] Par contraposition , c'est la même chose que "chaque fois que P est vrai, Q l'est aussi ".

La relation logique entre P et Q est exprimée par "si P , alors Q " et notée " PQ " ( P implique Q ). Il peut également être exprimé comme l'un des " P uniquement si Q ", " Q , si P ", " Q chaque fois que P " et " Q quand P ". On trouve souvent, dans la prose mathématique par exemple, plusieurs conditions nécessaires qui, prises ensemble, constituent une condition suffisante (c'est-à-dire individuellement nécessaire et conjointement suffisante [8]), comme le montre l'exemple 5.

Exemple 1
Pour qu'il soit vrai que "Jean est célibataire", il faut qu'il soit aussi vrai qu'il est
  1. célibataire,
  2. Masculin,
  3. adulte,
puisque déclarer "John est célibataire" implique que John a chacun de ces trois prédicats supplémentaires .
Exemple 2
Pour les nombres entiers supérieurs à deux, être impair est nécessaire pour être premier, puisque deux est le seul nombre entier qui est à la fois pair et premier.
Exemple 3
Considérez le tonnerre, le son causé par la foudre. On dit que le tonnerre est nécessaire à la foudre, puisque la foudre ne se produit jamais sans tonnerre. Chaque fois qu'il y a des éclairs, il y a du tonnerre. Le tonnerre ne cause pas la foudre (puisque la foudre cause le tonnerre), mais parce que la foudre vient toujours avec le tonnerre, on dit que le tonnerre est nécessaire à la foudre. (Autrement dit, dans son sens formel, la nécessité n'implique pas la causalité.)
Exemple 4
Avoir au moins 30 ans est nécessaire pour servir au Sénat américain. Si vous avez moins de 30 ans, il vous est impossible d'être sénateur. Autrement dit, si vous êtes sénateur, il s'ensuit que vous devez avoir au moins 30 ans.
Exemple 5
En algèbre , pour un ensemble S avec une opération pour former un groupe , il faut queêtre associatif . Il faut aussi que S inclue un élément spécial e tel que pour tout x dans S , c'est le cas que e x et x e tous deux égaux x . Il faut aussi que pour tout x dans S il existe un élément correspondant x″ , tel que les deux x x″ et x″ x est égal à l'élément spécial e . Aucune de ces trois conditions nécessaires n'est suffisante à elle seule, mais la conjonction des trois l'est.

Suffisance

Qu'un train circule à l'heure peut être une condition suffisante pour arriver à l'heure (si l'on monte à bord du train et qu'il part à l'heure, alors on arrivera à l'heure); mais ce n'est pas toujours une condition nécessaire, car il existe d'autres moyens de voyager (si le train ne circule pas à l'heure, on peut toujours arriver à l'heure par d'autres moyens de transport).

Si P est suffisant pour Q , alors savoir que P est vrai est une raison suffisante pour conclure que Q est vrai ; cependant, savoir que P est faux ne répond pas à un besoin minimal pour conclure que Q est faux.

La relation logique est, comme précédemment, exprimée par "si P , alors Q " ou " PQ ". Cela peut également être exprimé par " P uniquement si Q ", " P implique Q " ou plusieurs autres variantes. Il se peut que plusieurs conditions suffisantes, prises ensemble, constituent une seule condition nécessaire (c'est-à-dire suffisante individuellement et nécessaire conjointement), comme illustré dans l'exemple 5.

Exemple 1
"John est un roi" implique que John est un homme. Donc, savoir que Jean est un roi suffit pour savoir qu'il est un homme.
Exemple 2
Le fait qu'un nombre soit divisible par 4 est suffisant (mais pas nécessaire) pour qu'il soit pair, mais qu'il soit divisible par 2 est à la fois suffisant et nécessaire pour qu'il soit pair.
Exemple 3
La survenue d'un tonnerre est une condition suffisante pour la survenue d'un éclair dans le sens où entendre le tonnerre, et le reconnaître sans ambiguïté comme tel, justifie de conclure qu'il y a eu un éclair.
Exemple 4
Si le Congrès américain adopte un projet de loi, la signature du projet de loi par le président suffit à en faire une loi. Notez que le cas où le président n'a pas signé le projet de loi, par exemple en exerçant un veto présidentiel , ne signifie pas que le projet de loi n'est pas devenu une loi (par exemple, il aurait pu encore devenir une loi par une dérogation du Congrès ).
Exemple 5
Que le centre d'une carte à jouer soit marqué d'un seul grand pique (♠) suffit pour que la carte soit un as. Trois autres conditions suffisantes sont que le centre de la carte soit marqué d'un seul diamant (♦), d'un cœur (♥) ou d'un trèfle (♣). Aucune de ces conditions n'est nécessaire pour que la carte soit un as, mais leur disjonction l'est, puisqu'aucune carte ne peut être un as sans remplir au moins (en fait, exactement) l'une de ces conditions.

Relation entre nécessité et suffisance

Être dans la région violette est suffisant pour être en A, mais pas nécessaire. Être en A est nécessaire pour être dans la région violette, mais pas suffisant. Être en A et être en B est nécessaire et suffisant pour être dans la région violette.

Une condition peut être nécessaire ou suffisante sans être l'autre. Par exemple, être un mammifère ( N ) est nécessaire mais pas suffisant pour être humain ( S ), et qu'un certain nombre est rationnel ( S ) est suffisant mais pas nécessaire pour étant un nombre réel ( N ) (puisqu'il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels).

Une condition peut être à la fois nécessaire et suffisante. Par exemple, à l'heure actuelle, « aujourd'hui, c'est le 4 juillet » est une condition nécessaire et suffisante pour « aujourd'hui, c'est le Jour de l' Indépendance aux États-Unis ». De même, une condition nécessaire et suffisante pour l' inversibilité d'une matrice M est que M ait un déterminant non nul .

Mathématiquement parlant, la nécessité et la suffisance sont duales l'une de l'autre. Pour toutes les déclarations S et N , l'assertion que " N est nécessaire pour S " est équivalente à l'assertion que " S est suffisant pour N ". Une autre facette de cette dualité est que, comme illustré ci-dessus, les conjonctions (utilisant "et") de conditions nécessaires peuvent atteindre la suffisance, tandis que les disjonctions (utilisant "ou") de conditions suffisantes peuvent atteindre la nécessité. Pour une troisième facette, identifiez chaque prédicat mathématique N avec l'ensemble T ( N ) d'objets, d'événements ou d'énoncés pour lesquels Nqui est vrai; alors affirmer la nécessité de N pour S équivaut à affirmer que T ( N ) est un sur- ensemble de T ( S ), tandis qu'affirmer la suffisance de S pour N équivaut à affirmer que T ( S ) est un sous- ensemble de T ( N ).

Nécessité et suffisance simultanées

Dire que P est nécessaire et suffisant pour Q revient à dire deux choses :

  1. que P est nécessaire pour Q , , et que P est suffisant pour Q ,.
  2. de manière équivalente, on peut comprendre que P et Q sont nécessaires à l'autre,, qui peut également être énoncé comme chacun est suffisant pour ou implique l'autre.

On peut résumer chacun de ces cas, et donc tous, par l'énoncé « P si et seulement si Q », qui est noté, alors que les cas nous disent queest identique à.

Par exemple, en théorie des graphes, un graphe G est dit biparti s'il est possible d'attribuer à chacun de ses sommets la couleur noire ou blanche de telle sorte que chaque arête de G ait une extrémité de chaque couleur. Et pour qu'un graphe soit biparti, il est nécessaire et suffisant qu'il ne contienne pas de cycles de longueur impaire . Ainsi, découvrir si un graphe a des cycles impairs indique s'il est biparti et inversement. Un philosophe [9] pourrait caractériser ainsi cet état de fait : « Bien que les concepts de biparti et d'absence de cycles impairs diffèrent en intension , ils ont desrallonge . [dix]

En mathématiques, les théorèmes sont souvent énoncés sous la forme " P est vrai si et seulement si Q est vrai".

Parce que, comme expliqué dans la section précédente, la nécessité de l'un pour l'autre équivaut à la suffisance de l'autre pour le premier, par exempleest équivalent à , si P est nécessaire et suffisant pour Q , alors Q est nécessaire et suffisant pour P . Nous pouvons écrireet disons que les énoncés " P est vrai si et seulement si Q , est vrai" et " Q est vrai si et seulement si P est vrai" sont équivalents.

Voir aussi

Références

  1. ^ un b "[M06] Nécessité et suffisance" . philosophie.hku.hk . Récupéré le 02/12/2019 .
  2. ^ Bloch, Ethan D. (2011). Preuves et fondements : un premier cours de mathématiques abstraites . Springer. p. 8–9. ISBN 978-1-4419-7126-5.
  3. ^ Confusion-de-nécessaire (2019-05-15). "Confusion du nécessaire avec une condition suffisante" . www.txstate.edu . Récupéré le 02/12/2019 .
  4. ^ Betz, Frédéric (2011). Gérer la science : méthodologie et organisation de la recherche . New York : Springer. p. 247. ISBN 978-1-4419-7487-7.
  5. ^ Manktelow, KI (1999). Raisonnement et Pensée . East Sussex, Royaume-Uni : Psychology Press. ISBN 0-86377-708-2.
  6. ^ Asnina, Erika; Osis, Janis & Jansone, Asnate (2013). "Spécification formelle des relations topologiques". Bases de données et systèmes d'information VII . 249 (Bases de données et systèmes d'information VII) : 175. doi : 10.3233/978-1-61499-161-8-175 .
  7. ^ Devlin, Keith (2004), Ensembles, fonctions et logique / Une introduction aux mathématiques abstraites (3e éd.), Chapman & Hall, pp. 22–23, ISBN 978-1-58488-449-1
  8. ^ un bcd "Le Concept de Conditions Nécessaires et de Conditions Suffisantes" . www.sfu.ca . Récupéré le 02/12/2019 .
  9. ^ Abécédaire de l'Université de Stanford, 2006 .
  10. ^ "Les significations, dans ce sens, sont souvent appelées intensions , et les choses désignées, extensions . Les contextes dans lesquels l'extension est tout ce qui compte sont, naturellement, appelés extensionnels , tandis que les contextes dans lesquels l'extension ne suffit pas sont intensionnels . Les mathématiques sont généralement extensionnelles tout au long de ." Abécédaire de l'Université de Stanford, 2006 .

Liens externes