Les lois de Lanchester

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Les lois de Lanchester sont des formules mathématiques permettant de calculer les forces relatives des armées . Les équations de Lanchester sont des équations différentielles décrivant la dépendance temporelle des forces de deux armées A et B en fonction du temps, la fonction ne dépendant que de A et B. ^{[1] [2]}

En 1915 et 1916, pendant la Première Guerre mondiale , M. Osipov ^{[3] : vii–viii} et Frederick Lanchester ont indépendamment conçu une série d' équations différentielles pour démontrer les relations de puissance entre les forces opposées. ^[4] Parmi celles-ci figurent ce que l'on appelle la loi linéaire de Lanchester (pour le combat antique ) et la loi carrée de Lanchester (pour le combat moderne avec des armes à longue portée telles que les armes à feu).

En 2017, des variantes modifiées des équations de Lanchester continuent de constituer la base d'analyse dans de nombreuses simulations de combat de l'armée américaine, ^[5] et en 2016, un rapport de la RAND Corporation a examiné par ces lois le résultat probable en cas d'invasion russe dans les pays baltes d'Estonie, de Lettonie et de Lituanie. ^[6]

Dans les combats antiques, entre phalanges de soldats armés de lances par exemple, un soldat ne pouvait combattre qu'un seul autre soldat à la fois. Si chaque soldat tue et est tué par un seul autre soldat, alors le nombre de soldats restants à la fin de la bataille est simplement la différence entre la plus grande armée et la plus petite, en supposant que les armes soient identiques.

La loi linéaire s'applique également aux tirs non ciblés dans une zone occupée par l'ennemi. Le taux d'attrition dépend de la densité des cibles disponibles dans la zone cible ainsi que du nombre d'armes tirées. Si deux forces, occupant le même territoire et utilisant les mêmes armes, tirent au hasard dans la même zone cible, elles subiront toutes deux le même taux et le même nombre de pertes, jusqu'à ce que la force la plus petite soit finalement éliminée : la plus grande probabilité qu'un tir touche la force la plus grande est compensée par le plus grand nombre de tirs dirigés sur la force la plus petite.

La loi du carré de Lanchester est également connue sous le nom de loi du N-carré .

Les armes à feu s'engageant directement entre elles par des tirs ciblés à distance, elles peuvent attaquer plusieurs cibles et recevoir des tirs provenant de plusieurs directions. Le taux d'attrition ne dépend désormais que du nombre d'armes qui tirent. Lanchester a déterminé que la puissance d'une telle force est proportionnelle non pas au nombre d' unités qu'elle possède, mais au carré du nombre d'unités. C'est ce qu'on appelle la loi du carré de Lanchester.

Plus précisément, la loi précise les pertes qu'une force de tir infligera sur une période donnée, par rapport à celles infligées par la force adverse. Dans sa forme de base, la loi n'est utile que pour prédire les résultats et les pertes par attrition. Elle ne s'applique pas à des armées entières, où le déploiement tactique signifie que toutes les troupes ne seront pas engagées en permanence. Elle ne fonctionne que lorsque chaque unité (soldat, navire, etc.) ne peut tuer qu'une seule unité équivalente à la fois. Pour cette raison, la loi ne s'applique pas aux mitrailleuses, à l'artillerie à munitions non guidées ou aux armes nucléaires. La loi suppose que les pertes s'accumulent au fil du temps : elle ne fonctionne pas dans les situations où les troupes adverses s'entretuent instantanément, soit en tirant simultanément, soit par l'un des deux camps tirant le premier et infligeant de multiples pertes.

Notez que la loi du carré de Lanchester ne s'applique pas à la force technologique, mais uniquement à la force numérique ; elle nécessite donc une augmentation de la qualité d'un facteur N au carré pour compenser une diminution de la quantité d'un facteur N.

Supposons que deux armées, Rouge et Bleue, s'affrontent dans un combat. Rouge tire un flot continu de balles sur Bleue. Pendant ce temps, Bleue tire un flot continu de balles sur Rouge.

Soit le symbole A représentant le nombre de soldats de la force rouge. Chacun d'eux a une puissance de feu offensive α , qui est le nombre de soldats ennemis qu'il peut neutraliser (par exemple, tuer ou blesser) par unité de temps. De même, Bleu a B soldats, chacun avec une puissance de feu offensive β .

La loi du carré de Lanchester calcule le nombre de soldats perdus de chaque côté en utilisant la paire d'équations suivante. ^[7] Ici, dA/dt représente le taux de variation du nombre de soldats rouges à un instant donné. Une valeur négative indique la perte de soldats. De même, dB/dt représente le taux de variation du nombre de soldats bleus.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=-\beta B}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} t}}=-\alpha A}$

La solution de ces équations montre que :

• Si α = β , c'est-à-dire que les deux camps ont une puissance de feu égale, le camp avec le plus de soldats au début de la bataille gagnera ;
• Si A = B , c'est-à-dire que les deux camps ont un nombre égal de soldats, le camp avec la plus grande puissance de feu gagnera ;
• Si A > B et α > β , alors Rouge gagnera, tandis que si A < B et α < β , Bleu gagnera ;
• Si A > B mais α < β , ou A < B mais α > β , le camp vainqueur dépendra de la question de savoir si le rapport β / α est supérieur ou inférieur au carré du rapport A / B . Ainsi, si le nombre et la puissance de feu sont inégaux dans des directions opposées, une supériorité de la puissance de feu égale au carré de l'infériorité numérique est nécessaire pour la victoire ; ou, pour le dire autrement, l'efficacité de l'armée augmente proportionnellement au carré du nombre de personnes qui la composent, mais seulement linéairement avec leur capacité de combat.

Les trois premières conclusions sont évidentes. La dernière est à l'origine du nom de « loi du carré ».

Les équations de Lanchester sont liées aux équations plus récentes du modèle de combat par salve , avec deux différences principales.

Premièrement, les équations originales de Lanchester forment un modèle à temps continu, tandis que les équations de salve de base forment un modèle à temps discret. Dans une fusillade, les balles ou les obus sont généralement tirés en grande quantité. Chaque balle a une chance relativement faible d'atteindre sa cible et cause une quantité relativement faible de dégâts. Par conséquent, les équations de Lanchester modélisent les tirs comme un flux de puissance de feu qui affaiblit continuellement la force ennemie au fil du temps.

En comparaison, les missiles de croisière sont généralement tirés en quantités relativement faibles. Chacun d'entre eux a une forte probabilité d'atteindre sa cible et est doté d'une charge militaire relativement puissante. Il est donc plus logique de les modéliser comme une impulsion discrète (ou salve) de puissance de feu dans un modèle à temps discret.

Deuxièmement, les équations de Lanchester ne prennent en compte que la puissance de feu offensive, alors que les équations de salve prennent également en compte la puissance de feu défensive. Étant donné leur petite taille et leur grand nombre, il n'est pas pratique d'intercepter des balles et des obus lors d'une bataille armée. En comparaison, les missiles de croisière peuvent être interceptés (abattus) par des missiles sol-air et des canons antiaériens. Il est donc important d'inclure de telles défenses actives dans un modèle de combat de missiles.

Les lois de Lanchester ont été utilisées pour modéliser des batailles historiques à des fins de recherche. Parmi les exemples, citons la charge de Pickett de l'infanterie confédérée contre l'infanterie de l'Union lors de la bataille de Gettysburg en 1863 , ^{[8] la} bataille d'Angleterre de 1940 entre les forces aériennes britanniques et allemandes, ^[9] et la bataille de Koursk . ^[10]

Dans la guerre moderne, pour tenir compte du fait que dans une certaine mesure, les lois linéaires et carrées s'appliquent souvent, un exposant de 1,5 est utilisé. ^{[11] [12] [3] : 7-5–7-8} Les lois de Lanchester ont également été utilisées pour modéliser la guérilla . ^[13] . Les lois ont également été appliquées à des batailles répétées avec une gamme de stratégies de renforcement inter-bataille. ^[14] .

Des tentatives ont été faites pour appliquer les lois de Lanchester aux conflits entre groupes d'animaux. ^[15] Les exemples incluent des tests avec des chimpanzés ^[16] et des fourmis . L'application aux chimpanzés a été relativement réussie. Une étude sur les fourmis à viande australiennes et les fourmis argentines a confirmé la loi du carré, ^[17] une étude sur les fourmis de feu n'a pas confirmé la loi du carré. ^[18]

Les paramètres de Helmbold fournissent des indices numériques rapides, concis et exacts, fondés sur des données historiques solides, permettant de comparer les batailles en fonction de leur amertume et du degré d'avantage dont jouissait le camp adverse. Bien que leur définition soit calquée sur la résolution des équations différentielles de la loi du carré de Lanchester, leurs valeurs numériques sont entièrement basées sur les forces initiales et finales des adversaires et ne dépendent en aucun cas de la validité de la loi du carré de Lanchester comme modèle d'attrition au cours d'une bataille.

La solution de la loi du carré de Lanchester utilisée ici peut s'écrire comme : où est le temps écoulé depuis le début de la bataille, et sont les fractions survivantes des forces de l'attaquant et du défenseur à l'instant , est le paramètre d'intensité de Helmbold, est le paramètre d'avantage du défenseur de Helmbold, est la durée de la bataille, et est le paramètre d'amertume de Helmbold. $${\displaystyle {\begin{aligned}a(t)&=\cosh(\lambda t)-\mu \sinh(\lambda t)\\d(t)&=\cosh(\lambda t)-\mu ^{-1}\sinh(\lambda t)\\\varepsilon &=\lambda T\end{aligned}}}$$${\displaystyle t}$${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle d(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \varepsilon }$

Si les forces initiales et finales des deux camps sont connues, il est possible de résoudre les paramètres , , et . Si la durée de la bataille est également connue, il est alors possible de résoudre pour . ^{[19] [20] [21]}${\displaystyle a(T)}$${\displaystyle d(T)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \lambda }$

Si, comme c'est normalement le cas, est suffisamment petit pour que les fonctions hyperboliques puissent, sans erreur significative, être remplacées par leur développement en série jusqu'à des termes à la première puissance de , et si nous adoptons les abréviations suivantes pour les fractions de victimes, alors les relations approximatives suivantes sont valables : ^[22] C'est -à-dire qu'une sorte de « moyenne » (plus précisément, la moyenne géométrique ) des fractions de victimes justifie son utilisation comme indice de l'amertume de la bataille. ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{A}&=1-a(T)\\F_{D}&=1-d(T)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &={\sqrt {F_{A}F_{D}}}\\\mu &=F_{A}/F_{D}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \varepsilon }$

Nous notons ici que pour les travaux statistiques, il est préférable d'utiliser les logarithmes naturels des paramètres de Helmbold. Nous les appellerons, dans une notation évidente, , et . ${\displaystyle \log \mu }$${\displaystyle \log \varepsilon }$${\displaystyle \log \lambda }$

Voir Helmbold (2021) :

1. Les paramètres de Helmbold et sont statistiquement indépendants, c'est-à-dire qu'ils mesurent des caractéristiques distinctes d'une bataille. ^[23]${\displaystyle \log \varepsilon }$${\displaystyle \log \mu }$
2. Français La probabilité que le défenseur gagne, P(Dwins), est liée au paramètre d'avantage du défenseur via la fonction logistique , P(Dwins) = 1 / (1 + exp(-z)), avec z = -0,1794 + 5,8694 * logmu. ^[24] Cette fonction logistique est presque exactement antisymétrique par rapport à logmu = 0, passant de P(Dwins) = 0,1 à logmu = -0,4, en passant par P(DWins) = 0,5 à logmu = 0, jusqu'à P(Dwins) = 0,9 à logmu = +0,4. Étant donné que la probabilité de victoire dépend du paramètre d'avantage de Helmbold plutôt que du rapport de force, il est clair que le rapport de force est un prédicteur inférieur et peu fiable de la victoire au combat.
3. Bien que l'avantage du défenseur varie considérablement d'une bataille à l'autre, il est en moyenne resté pratiquement constant depuis 1600 de notre ère. ^[25]
4. La plupart des autres paramètres de bataille (en particulier les effectifs initiaux des forces, les ratios initiaux des forces, le nombre de victimes, les ratios d'échange de victimes, la durée des batailles et les distances parcourues par l'attaquant) ont changé si lentement depuis 1600 de notre ère que seuls les observateurs les plus attentifs seraient susceptibles de remarquer un changement au cours de leur carrière militaire nominale de 50 ans. ^[26]
5. L'amertume ( ), les fractions de victimes ( et dans la notation ci-dessus) et l'intensité ( ) ont également changé lentement avant 1939. Mais depuis lors, ils ont suivi une courbe de déclin étonnamment plus raide. ^[27]${\displaystyle \log \varepsilon }$${\displaystyle F_{A}}$${\displaystyle F_{D}}$${\displaystyle \log \lambda }$

Certains observateurs ont constaté une baisse similaire du nombre de victimes après la Seconde Guerre mondiale, au niveau des guerres plutôt que des batailles. ^{[28] [29] [30] [31]}

• Guerre d'usure
• Les équations de Lotka-Volterra sont un modèle mathématique similaire pour la dynamique prédateur-proie
• Guerre de manœuvre
• Modèle mathématique similaire au multiplicateur de Petrie pour le sexisme
• Lewis Fry Richardson
• Modèle de combat Salvo

• Czarnecki, Joseph. Loi du N au carré : examen de l'une des théories mathématiques à l'origine des armes navales du cuirassé Dreadnought
• Dupuy, Col TN (1979). Nombres, prédictions et guerre . Macdonald et Jane's.
• Helmbold, Robert L. (14 février 1961a). Paramètres de Lanchester pour certaines batailles des deux derniers siècles . Document de travail du CORG CORG-SP-122.
• Helmbold, Robert L. (1961b). « Les équations de Lanchester, les batailles historiques et les jeux de guerre ». Actes du huitième symposium de la Military Operations Research Society, 18-20 octobre 1961 .
• Helmbold, Robert L. (12 mai 2021). La clé de la victoire : l'apprentissage automatique des leçons de l'histoire . ISBN 9781668525289.
• Lanchester, Frederick W. (1916). Les avions dans la guerre.
• Modèles de combat de Niall J. MacKay Lanchester, Mathematics Today , 2006, Vol 42/5, pages 170–173.

• « Kicking Butt By the Numbers: Lanchester's Laws », une chronique de Designer's Notebook par Ernest Adams dans le webzine Gamasutra