Les lois de Lanchester

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Les lois de Lanchester sont des formules mathématiques pour calculer les forces relatives des forces militaires . Les équations de Lanchester sont des équations différentielles décrivant la dépendance temporelle des forces de deux armées A et B en fonction du temps, la fonction ne dépendant que de A et B. ^{[1] [2]}

En 1915 et 1916, pendant la Première Guerre mondiale , M. Osipov et Frederick Lanchester ont indépendamment conçu une série d' équations différentielles pour démontrer les relations de pouvoir entre les forces opposées. Parmi celles-ci se trouvent ce que l'on appelle la loi linéaire de Lanchester (pour le combat ancien ) et la loi carrée de Lanchester (pour le combat moderne avec des armes à longue portée telles que les armes à feu).

Les zoologistes ont découvert que les chimpanzés suivaient intuitivement la loi carrée de Lanchester avant d'engager une autre troupe de chimpanzés. Un groupe de chimpanzés n'attaquera pas un autre groupe à moins que l'avantage numérique soit au moins d'un facteur 1,5. ^[3]

La loi linéaire de Lanchester

Pour les combats anciens, entre des phalanges de soldats avec des lances , disons, un soldat ne pouvait jamais combattre exactement un autre soldat à la fois. Si chaque soldat tue, et est tué par, exactement un autre, alors le nombre de soldats restants à la fin de la bataille est simplement la différence entre la plus grande armée et la plus petite, en supposant des armes identiques.

La loi linéaire s'applique également aux tirs non ciblés dans une zone occupée par l'ennemi. Le taux d'attrition dépend de la densité des cibles disponibles dans la zone cible ainsi que du nombre de tirs d'armes. Si deux forces, occupant la même zone terrestre et utilisant les mêmes armes, tirent au hasard dans la même zone cible, elles subiront toutes les deux le même taux et le même nombre de pertes, jusqu'à ce que la plus petite force soit finalement éliminée : la plus grande probabilité d'un tir frapper la plus grande force est équilibré par le plus grand nombre de coups dirigés vers la plus petite force.

La loi des carrés de Lanchester

La loi des carrés de Lanchester est également connue sous le nom de loi des N-carrés .

Description

Avec des armes à feu s'engageant directement avec des tirs ciblés à distance, elles peuvent attaquer plusieurs cibles et recevoir des tirs de plusieurs directions. Le taux d'attrition dépend désormais uniquement du nombre de tirs d'armes. Lanchester a déterminé que la puissance d'une telle force n'est pas proportionnelle au nombre d' unités dont elle dispose, mais au carré du nombre d'unités. C'est ce qu'on appelle la loi du carré de Lanchester.

Plus précisément, la loi précise les pertes qu'une force de tir infligera sur une période de temps, par rapport à celles infligées par la force adverse. Dans sa forme de base, la loi n'est utile que pour prédire les résultats et les pertes par attrition. Cela ne s'applique pas à des armées entières, où le déploiement tactique signifie que toutes les troupes ne seront pas engagées tout le temps. Cela ne fonctionne que lorsque chaque unité (soldat, navire, etc.) ne peut tuer qu'une seule unité équivalente à la fois. Pour cette raison, la loi ne s'applique pas aux mitrailleuses, à l'artillerie ou aux armes nucléaires. La loi exige une hypothèse selon laquelle les pertes s'accumulent au fil du temps : elle ne fonctionne pas dans les situations où des troupes opposées s'entretuent instantanément, soit en tirant simultanément, soit en tirant le premier coup et en faisant plusieurs victimes.

Notez que la loi carrée de Lanchester ne s'applique pas à la force technologique, seulement à la force numérique ; il faut donc une augmentation de la qualité d'un facteur N au carré pour compenser une diminution d'un facteur N de la quantité.

Exemples d'équations

Supposons que deux armées, Rouge et Bleue, s'engagent dans un combat. Rouge tire un flot continu de balles sur Bleu. Pendant ce temps, Blue tire un flot continu de balles sur Red.

Soit le symbole A représente le nombre de soldats de la force rouge. Chacun a une puissance de feu offensive , qui est le nombre de soldats ennemis qu'il peut neutraliser (par exemple, tuer ou blesser) par unité de temps. De même, Bleu a des soldats B , chacun avec une puissance de feu offensive β .

La loi du carré de Lanchester calcule le nombre de soldats perdus de chaque côté en utilisant la paire d'équations suivante. ^[4] Ici, dA/dt représente la vitesse à laquelle le nombre de soldats rouges change à un instant donné. Une valeur négative indique la perte de soldats. De même, dB/dt représente le taux de variation du nombre de soldats bleus.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=-\beta B}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} t}}=-\alpha A}$

La solution de ces équations montre que :

• Si α = β , c'est-à-dire que les deux camps ont la même puissance de feu, le camp avec le plus de soldats au début de la bataille gagnera ;
• Si A = B , c'est-à-dire que les deux camps ont le même nombre de soldats, le camp avec la plus grande puissance de feu gagnera ;
• Si A > B et α > β , alors Rouge gagnera, tandis que si A < B et α < β , Bleu gagnera ;
• Si A > B mais α < β , ou A < B mais α > β , du côté gagnant dépendra du fait que le rapport de β / α est supérieur ou inférieur au carré du rapport de A / B . Ainsi, si les nombres et la puissance de feu sont inégaux dans des directions opposées, une supériorité en puissance de feu égale au carré de l'infériorité en nombre est requise pour la victoire ; ou, pour le dire autrement, l'efficacité de l'armée augmente comme le carré du nombre de personnes qui la composent, mais seulement linéairement avec leur capacité de combat.

Les trois premières de ces conclusions sont évidentes. La dernière est à l'origine du nom « loi carrée ».

Relation avec le modèle de combat de salve

Les équations de Lanchester sont liées aux plus récentes équations du modèle de combat de salve , avec deux différences principales.

Premièrement, les équations originales de Lanchester forment un modèle en temps continu, tandis que les équations de salve de base forment un modèle en temps discret. Dans une fusillade, des balles ou des obus sont généralement tirés en grande quantité. Chaque tour a une chance relativement faible de toucher sa cible et fait une quantité relativement faible de dégâts. Par conséquent, les équations de Lanchester modélisent les coups de feu comme un flux de puissance de feu qui affaiblit continuellement la force ennemie au fil du temps.

Par comparaison, les missiles de croisière sont généralement tirés en quantités relativement faibles. Chacun a une forte probabilité de toucher sa cible et porte une ogive relativement puissante. Par conséquent, il est plus logique de les modéliser comme une impulsion discrète (ou salve) de puissance de feu dans un modèle à temps discret.

Deuxièmement, les équations de Lanchester n'incluent que la puissance de feu offensive, alors que les équations de salve incluent également la puissance de feu défensive. Compte tenu de leur petite taille et de leur grand nombre, il n'est pas pratique d'intercepter des balles et des obus lors d'une fusillade. Par comparaison, les missiles de croisière peuvent être interceptés (abattus) par des missiles sol-air et des canons antiaériens. Il est donc important d'inclure de telles défenses actives dans un modèle de combat de missiles.

La loi de Lanchester en usage

Les lois de Lanchester ont été utilisées pour modéliser des batailles historiques à des fins de recherche. Les exemples incluent la charge de Pickett d'infanterie confédéré contre l' infanterie de l' Union pendant la 1863 bataille de Gettysburg , ^[5] et 1940 bataille d'Angleterre entre les forces aériennes britanniques et allemandes. ^[6]

Dans la guerre moderne, pour tenir compte du fait que, dans une certaine mesure, le linéaire et le carré s'appliquent souvent, un exposant de 1,5 est utilisé. ^{[7] [8] [9] [10]}

Des tentatives ont été faites pour appliquer les lois de Lanchester aux conflits entre groupes d'animaux. ^{[11] Les} exemples incluent des tests avec des chimpanzés ^[3] et des fourmis de feu . ^[12] L'application de chimpanzé a été relativement réussie ; l'application de la fourmi de feu n'a pas confirmé que la loi des carrés s'appliquait.

Voir aussi

• Guerre d'usure
• Guerre de manœuvre
• Lewis Fry Richardson
• Modèle de combat de salve
• Équations de Lotka-Volterra modèle mathématique similaire pour la dynamique prédateur-proie
• Multiplicateur de Petrie modèle mathématique similaire pour le sexisme

Sources

• Dupuy, Col TN (1979). Chiffres, prédictions et guerre . Macdonald et Jane's.
• Lanchester, Frederick W. (1916). Aéronefs en guerre .

Références

Liens externes

• [1] , une traduction de l'œuvre originale d'Osipov publiée par le Département de la Défense des États-Unis .
• "Kicking Butt By the Numbers: Lanchester's Laws" , une chronique du Designer's Notebook d'Ernest Adams dans le webzine Gamasutra
• Lanchester Equations and Scoring Systems , annexe à « Aggregation, Disaggregation, and the 3:1 Rule in Ground Combat » par Paul K. Davis, Rand Corporation publication MR-638-AF/A/OSD
• Modèles de combat Lanchester , "Mathematics Today", 2006, Vol 42/5, pages 170-173.
• N-Squared Law : Un examen de l'une des théories mathématiques derrière le cuirassé Dreadnought par Joseph Czarnecki à Naval Weapons of the World