Ensemble flou

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre
Aller à la navigation Aller à la recherche

En mathématiques , les ensembles flous (ou ensembles incertains ) sont des ensembles dont les éléments ont des degrés d'appartenance. Les ensembles flous ont été introduits indépendamment par Lotfi A. Zadeh en 1965 comme une extension de la notion classique d'ensemble. [1] [2] Dans le même temps, Salii (1965) a défini un type plus général de structure appelée une L -relation , qu'il a étudiée dans un contexte algébrique abstrait . Les relations floues , qui sont maintenant utilisées dans les mathématiques floues et ont des applications dans des domaines tels que la linguistique (De Cock, Bodenhofer & Kerre 2000 ), la prise de décision ( Kuzmin 1982 ) et le clustering ( Bezdek 1978 ) sont des cas particuliers de L -relations lorsque L est l' intervalle unitaire [0, 1].

Dans la théorie classique des ensembles , l'appartenance des éléments à un ensemble est évaluée en termes binaires selon une condition bivalente - un élément appartient ou n'appartient pas à l'ensemble. En revanche, la théorie des ensembles flous permet l'évaluation progressive de l'appartenance des éléments à un ensemble ; ceci est décrit à l'aide d'une fonction d'appartenance valorisée dans l' intervalle unitaire réel [0, 1]. Les ensembles flous généralisent les ensembles classiques, puisque les fonctions indicatrices (alias fonctions caractéristiques) des ensembles classiques sont des cas particuliers des fonctions d'appartenance des ensembles flous, si ces derniers ne prennent que les valeurs 0 ou 1. [3] Dans la théorie des ensembles flous, les ensembles bivalents classiques sont généralement appelés ensembles nets. La théorie des ensembles flous peut être utilisée dans un large éventail de domaines dans lesquels l'information est incomplète ou imprécise, comme la bioinformatique . [4]

Définition

Un ensemble flou est une paireest un ensemble (souvent tenu d'être non vide ) etune fonction d'appartenance. L'ensemble de référence(parfois désigné parou alors) est appelé univers du discours , et pour chaquela valeurs'appelle le grade d'appartenance dedans. La fonctionest appelée la fonction d'appartenance de l'ensemble flou.

Pour un ensemble finil'ensemble flouest souvent désigné par

Laisser. Puisest appelé

  • non inclus dans l'ensemble flousi(pas de membre),
  • entièrement inclus si(membre titulaire),
  • partiellement inclus si(membre flou). [5]

L'ensemble (net) de tous les ensembles flous d'un universest noté avec(ou parfois juste). [6]

Ensembles nets liés à un ensemble flou

Pour tout ensemble flouetles ensembles nets suivants sont définis :

  • est appelé son α-cut (alias α-level set )
  • est appelé son α-cut fort (aka strong α-level set )
  • s'appelle son support
  • est appelé son noyau (ou parfois noyau ).

Notez que certains auteurs comprennent le "noyau" d'une manière différente ; voir ci-dessous.

Autres définitions

  • Un ensemble flouest vide () ssi (si et seulement si)
  • Deux ensembles flousetsont égaux () ssi
  • Un ensemble flouest inclus dans un ensemble flou() ssi
  • Pour tout ensemble flou, tout élémentqui satisfait
s'appelle un point de croisement .
  • Étant donné un ensemble flou, quelconque, Pour quin'est pas vide, est appelé un niveau de A.
  • L' ensemble de niveaux de A est l'ensemble de tous les niveauxreprésentant des coupes distinctes. C'est l' image de:
  • Pour un ensemble flou, sa hauteur est donnée par
désigne le supremum , qui existe parce queest non vide et majoré par 1. Si U est fini, on peut simplement remplacer le supremum par le maximum.
  • Un ensemble flouest dit normalisé ssi
Dans le cas fini, où le supremum est un maximum, cela signifie qu'au moins un élément de l'ensemble flou a une appartenance complète. Un ensemble flou non videpeut être normalisé avec un résultaten divisant la fonction d'appartenance de l'ensemble flou par sa hauteur :
Outre les similitudes, cela diffère de la normalisation habituelle en ce que la constante de normalisation n'est pas une somme.
  • Pour les ensembles flousde nombres réels ( U ⊆ ℝ) à support borné , la largeur est définie comme
Dans le cas oùest un ensemble fini, ou plus généralement un ensemble fermé , la largeur est juste
Dans le cas à n dimensions ( U ⊆ ℝ n ) ce qui précède peut être remplacé par le volume à n dimensions de.
En général, cela peut être défini étant donné toute mesure sur U , par exemple par intégration (par exemple intégration de Lebesgue ) de.
  • Un vrai ensemble flou( U ⊆ ℝ) est dit convexe (au sens flou, à ne pas confondre avec un ensemble convexe net ), ssi
.
Sans perte de généralité, on peut prendre xy , ce qui donne la formulation équivalente
.
Cette définition peut être étendue à un pour un espace topologique général U : on dit l'ensemble flouest convexe lorsque, pour tout sous-ensemble Z de U , la condition
détient, oùdésigne la frontière de Z etdésigne l' image d'un ensemble X (ici) sous une fonction f (ici).

Opérations d'ensembles flous

Bien que le complément d'un ensemble flou ait une seule définition la plus courante, les autres opérations principales, l'union et l'intersection, présentent une certaine ambiguïté.

  • Pour un ensemble flou donné, son complément (parfois désigné parou alors) est défini par la fonction d'appartenance suivante :
.
  • Soit t une norme t et s la norme s correspondante (aka t-conorm). Étant donné une paire d'ensembles flous, leur intersection est défini par :
,
et leur union est défini par :
.

Par la définition de la norme t, nous voyons que l'union et l'intersection sont commutatives , monotones , associatives et ont à la fois un élément nul et un élément d'identité . Pour l'intersection, ce sont ∅ et U , respectivement, tandis que pour l'union, elles sont inversées. Cependant, l'union d'un ensemble flou et de son complémentaire peut ne pas donner l'univers complet U , et leur intersection peut ne pas donner l'ensemble vide ∅. Puisque l'intersection et l'union sont associatives, il est naturel de définir récursivement l'intersection et l'union d'une famille finie d'ensembles flous.

  • Si le négateur standardest remplacé par un autre négatif fort , la différence d'ensemble flou peut être généralisée par
  • Le triplet d'intersection floue, d'union et de complément forme un triplet de De Morgan . Autrement dit, les lois de De Morgan s'étendent à ce triplet.
Des exemples de paires d'intersection/union floues avec un négatif standard peuvent être dérivés d'échantillons fournis dans l'article sur les normes t .
L'intersection floue n'est pas idempotente en général, car la norme t standard min est la seule qui possède cette propriété. En effet, si la multiplication arithmétique est utilisée comme norme t, l'opération d'intersection floue résultante n'est pas idempotente. Autrement dit, prendre itérativement l'intersection d'un ensemble flou avec lui-même n'est pas trivial. Il définit à la place la m -ième puissance d'un ensemble flou, qui peut être canoniquement généralisé pour les exposants non entiers de la manière suivante :
  • Pour tout ensemble flouetla ν-ième puissance deest défini par la fonction d'appartenance :

Le cas de l'exposant deux est suffisamment spécial pour qu'on lui donne un nom.

  • Pour tout ensemble floula concentration est défini

Prise, on aet

  • Ensembles flous donnés, la différence d' ensemble floue , également noté, peut être défini directement via la fonction d'appartenance :
ce qui signifie, par exemple:
[7]
Une autre proposition de différence d'ensemble pourrait être :
[7]
  • Des propositions de différences d'ensembles flous symétriques ont été faites par Dubois et Prade (1980), soit en prenant la valeur absolue , en donnant
ou en utilisant une combinaison de juste max , min et négation standard, donnant
[7]
Des axiomes pour la définition des différences symétriques généralisées analogues à ceux des normes t, des conormes t et des négateurs ont été proposés par Vemur et al. (2014) avec les prédécesseurs d'Alsina et al. (2005) et Bedregal et al. (2009). [7]
  • Contrairement aux ensembles nets, les opérations de moyennage peuvent également être définies pour les ensembles flous.

disjoints

Contrairement à l'ambiguïté générale des opérations d'intersection et d'union, il y a une clarté pour les ensembles flous disjoints : Deux ensembles floussont disjoints ssi

qui équivaut à

et aussi équivalent à

Nous gardons à l'esprit que min / max est une paire at/s-norm, et tout autre fonctionnera également ici.

Les ensembles flous sont disjoints si et seulement si leurs supports sont disjoints selon la définition standard des ensembles nets.

Pour les ensembles flous disjointstoute intersection donnera ∅, et toute union donnera le même résultat, noté

avec sa fonction d'appartenance donnée par

Notez qu'un seul des deux summands est supérieur à zéro.

Pour les ensembles flous disjointsce qui suit est vrai :

Ceci peut être généralisé à des familles finies d'ensembles flous comme suit : Étant donné une familled'ensembles flous d'indice I (par exemple I = {1,2,3,..., n }). Cette famille est (deux à deux) disjointe ssi

Une famille d'ensembles flousest disjoint, si la famille des supports sous-jacentsest disjoint au sens standard pour les familles d'ensembles nets.

Indépendamment de la paire de normes t/s, l'intersection d'une famille disjointe d'ensembles flous donnera à nouveau ∅, alors que l'union n'a pas d'ambiguïté :

avec sa fonction d'appartenance donnée par

Là encore, une seule des sommes est supérieure à zéro.

Pour les familles disjointes d'ensembles flousce qui suit est vrai :

Cardinalité scalaire

Pour un ensemble flouà support fini(c'est-à-dire un "ensemble flou fini"), sa cardinalité (aka cardinalité scalaire ou sigma-count ) est donnée par

.

Dans le cas où U lui-même est un ensemble fini, la cardinalité relative est donnée par

.

Ceci peut être généralisé pour que le diviseur soit un ensemble flou non vide : Pour les ensembles flousavec G ≠ ∅, on peut définir la cardinalité relative par :

,

qui ressemble beaucoup à l'expression de la probabilité conditionnelle . Noter:

  • ici.
  • Le résultat peut dépendre de l'intersection spécifique (norme t) choisie.
  • Pourle résultat est sans ambiguïté et ressemble à la définition précédente.

Distance et similarité

Pour tout ensemble floula fonction d'adhésionpeut être considéré comme une famille. Ce dernier est un espace métrique à plusieurs métriquesconnu. Une métrique peut être dérivée d'une norme (norme vectorielle)passant par

.

Par exemple, siest fini, c'est-à-dire, une telle métrique peut être définie par :

etsont des suites de nombres réels compris entre 0 et 1.

Pour l'infini, le maximum peut être remplacé par un supremum. Étant donné que les ensembles flous sont définis sans ambiguïté par leur fonction d'appartenance, cette métrique peut être utilisée pour mesurer les distances entre les ensembles flous sur le même univers :

,

qui devient dans l'exemple ci-dessus :

Encore pour l'infinile maximum doit être remplacé par un supremum. D'autres distances (comme la norme 2 canonique) peuvent diverger, si les ensembles flous infinis sont trop différents, par exemple,et.

Les mesures de similarité (ici désignées par) peut alors être déduite de la distance, par exemple d'après une proposition de Koczy :

siest fini,autre,

ou d'après Williams et Steele :

siest fini,autre

est un paramètre de pente et. [6]

Une autre définition des mesures de similarité à valeur d'intervalle (plutôt "floues")est également fourni par Beg et Ashraf. [6]

L -ensembles flous

Parfois, des variantes plus générales de la notion d'ensemble flou sont utilisées, avec des fonctions d'appartenance prenant des valeurs dans une algèbre ou une structure (fixe ou variable) d'un genre donné; il faut généralement queêtre au moins un poset ou un treillis . Ceux-ci sont généralement appelés L -ensembles flous , pour les distinguer de ceux évalués sur l'intervalle unitaire. Les fonctions d'appartenance usuelles avec des valeurs dans [0, 1] sont alors appelées fonctions d'appartenance à valeurs [0, 1]. Ces types de généralisations ont été envisagés pour la première fois en 1967 par Joseph Goguen , qui était un étudiant de Zadeh. [8] Un corollaire classique peut indiquer les valeurs de vérité et d'appartenance par {f, t} au lieu de {0, 1}.

Une extension des ensembles flous a été fournie par Atanassov . Un ensemble flou intuitionniste (IFS)se caractérise par deux fonctions :

1.– degré d'appartenance de x
2.– degré de non-appartenance de x

avec des fonctionsavec

Cela ressemble à une situation telle qu'une personne désignée parvote

  • pour une proposition: (),
  • encontre: (),
  • ou s'abstenir de voter : ().

Après tout, nous avons un pourcentage d'approbations, un pourcentage de refus et un pourcentage d'abstentions.

Pour cette situation, des négateurs spéciaux "flous intuitifs", des normes t et s peuvent être définis. Avecet en combinant les deux fonctions pourcette situation ressemble à un type particulier d' ensembles flous L.

Une fois de plus, cela a été étendu en définissant les ensembles flous d'image (PFS) comme suit : Un PFS A est caractérisé par trois fonctions mappant U sur [0, 1] :, "degré d'appartenance positive", "degré d'appartenance neutre" et "degré d'appartenance négative" respectivement et condition supplémentaire Cela élargit l'échantillon de vote ci-dessus par une possibilité supplémentaire de "refus de vote".

Avecet les négateurs spéciaux "d'image floue", les normes t et s, cela ressemble à un autre type d' ensembles L -fuzzy. [9] [10]

neutrosophiques

Quelques développements clés dans l'introduction des concepts d'ensembles flous. [11]

Le concept d'IFS a été étendu à deux grands modèles. Les deux extensions d'IFS sont les ensembles flous neutrosophiques et les ensembles flous de Pythagore. [11]

Les ensembles flous neutrosophiques ont été introduits par Smarandache en 1998. [12] Comme l'IFS, les ensembles flous neutrosophiques ont les deux fonctions précédentes : une pour l'appartenanceet un autre pour les non-adhérents. La principale différence est que les ensembles flous neutrosophiques ont une fonction supplémentaire : pour une durée indéterminée. Cette valeur indique le degré d'indécision que l'entité x appartient à l'ensemble. Ce concept d'avoir une durée indéterminéevalue peut être particulièrement utile lorsque l'on ne peut pas être très sûr des valeurs d'appartenance ou de non-appartenance pour l'élément x . [13] En résumé, les ensembles flous neutrosophiques sont associés aux fonctions suivantes :

1.- degré d'appartenance de x
2.– degré de non-appartenance de x
3.– degré de valeur indéterminée de x

Ensembles flous de Pythagore

L'autre extension d'IFS est ce qu'on appelle les ensembles flous de Pythagore. Les ensembles flous de Pythagore sont plus flexibles que les IFS. Les IFS sont basés sur la contrainte, ce qui peut être considéré comme trop restrictif dans certains cas. C'est pourquoi Yager a proposé le concept d'ensembles flous de Pythagore. De tels ensembles satisfont la contrainte, qui rappelle le théorème de Pythagore. [14] [15] [16] Les ensembles flous de Pythagore peuvent être applicables à des applications réelles dans lesquelles la condition précédente den'est pas valide. Toutefois, la condition moins restrictive depeut convenir dans plus de domaines. [11] [13]

Logique floue

Dans le prolongement du cas de la logique multivaluée , les valuations () de variables propositionnelles () en un ensemble de degrés d'appartenance () peuvent être considérées comme des fonctions d'appartenance mappant des prédicats dans des ensembles flous (ou plus formellement, dans un ensemble ordonné de paires floues, appelée relation floue). Avec ces évaluations, la logique à plusieurs valeurs peut être étendue pour permettre des prémisses floues à partir desquelles des conclusions graduées peuvent être tirées. [17]

Cette extension est parfois appelée « logique floue au sens étroit » par opposition à « logique floue au sens large », qui trouve son origine dans les domaines de l' ingénierie du contrôle automatisé et de l'ingénierie des connaissances , et qui englobe de nombreux sujets impliquant des ensembles flous et le « raisonnement approximé ». ." [18]

Les applications industrielles des ensembles flous dans le cadre de la "logique floue au sens large" peuvent être trouvées à la logique floue .

Nombre flou et seul nombre

Un nombre flou [19] est un ensemble flou qui satisfait toutes les conditions suivantes :

  • A est normalisé ;
  • A est un ensemble convexe ;
  •  ;
  • La fonction d'adhésionest au moins segmentairement continu.

Si ces conditions ne sont pas satisfaites, alors A n'est pas un nombre flou . Le noyau de ce nombre flou est un singleton ; son emplacement est :

Lorsque la condition d'unicité den'est pas remplie, alors l'ensemble flou est caractérisé comme un intervalle flou . [19] Le cœur de cet intervalle flou est un intervalle net avec :

.

Les nombres flous peuvent être comparés au jeu de fête foraine "devinez votre poids", où quelqu'un devine le poids du concurrent, les suppositions plus proches étant plus correctes, et où le devineur "gagne" s'il devine assez près du poids du concurrent, avec le le poids réel étant tout à fait correct (mappage à 1 par la fonction d'appartenance).

Le noyaud'un intervalle flouest défini comme la partie 'interne', sans les parties 'sortantes' où la valeur d'appartenance est constante à l'infini. Autrement dit, le plus petit sous-ensemble deest constant en dehors de celui-ci, est défini comme le noyau.

Cependant, il existe d'autres concepts de nombres flous et d'intervalles car certains auteurs n'insistent pas sur la convexité.

Catégories floues

L'utilisation de l'appartenance à un ensemble comme élément clé de la théorie des catégories peut être généralisée aux ensembles flous. Cette approche, qui a débuté en 1968 peu après l'introduction de la théorie des ensembles flous [20] , a conduit au développement des catégories de Goguen au 21e siècle. [21] [22] Dans ces catégories, plutôt que d'utiliser l'appartenance à deux ensembles de valeurs, des intervalles plus généraux sont utilisés et peuvent être des treillis comme dans les ensembles L -fuzzy. [22] [23]

Équation

L' équation de relation floue est une équation de la forme A · R = B , où A et B sont des ensembles flous, R est une relation floue et A · R représente la composition de A avec  R [ citation nécessaire ] .

Entropie

Une mesure d du flou pour les ensembles flous d'universdoit remplir les conditions suivantes pour tous:

  1. siest un ensemble net :
  2. a un maximum unique ssi
ce qui signifie que B est "plus net" que A .

Dans ce casest appelée l' entropie de l'ensemble flou A .

Pour fini l'entropie d'un ensemble flouest donné par

,

ou juste

est la fonction de Shannon (fonction d'entropie naturelle)

etest une constante dépendant de l'unité de mesure et de la base de logarithme utilisée (ici nous avons utilisé la base naturelle e ). L'interprétation physique de k est la constante de Boltzmann k B .

Laissersoit un ensemble flou avec une fonction d'appartenance continue (variable floue). Puis

et son entropie est

[24] [25]

Extensions

Il existe de nombreuses constructions mathématiques similaires ou plus générales que les ensembles flous. Depuis l'introduction des ensembles flous en 1965, de nombreuses nouvelles constructions et théories mathématiques traitant de l'imprécision, de l'inexactitude, de l'ambiguïté et de l'incertitude ont été développées. Certaines de ces constructions et théories sont des extensions de la théorie des ensembles flous, tandis que d'autres tentent de modéliser mathématiquement l'imprécision et l'incertitude d'une manière différente ( Burgin & Chunihin 1997 ; Kerre 2001 ; Deschrijver et Kerre, 2003).

Voir aussi

Références

  1. ^ LA Zadeh (1965) "Ensembles flous" Archivé le 13/08/2015 à la Wayback Machine . Information et contrôle 8 (3) 338–353.
  2. ^ Klaua, D. (1965) Über einen Ansatz zur mehrwertigen Mengenlehre. Monatsb. Allemand. Akad. Wiss. Berlin 7, 859–876. Une récente analyse approfondie de cet article a été fournie par Gottwald, S. (2010). "Une première approche vers l'identité graduée et l'appartenance graduée dans la théorie des ensembles". Ensembles et systèmes flous . 161 (18): 2369–2379. doi : 10.1016/j.fss.2009.12.005 .
  3. ^ D. Dubois et H. Prade (1988) Ensembles et systèmes flous. Presse académique, New York.
  4. ^ Liang, Lily R.; Lu, Shiyong; Wang, Xuena ; Lu, Yi; Mandal, Vinay; Patacsil, Dorrelyn ; Kumar, Deepak (2006). "FM-test: Une approche basée sur la théorie des ensembles flous pour l'analyse différentielle des données d'expression génique" . BMC Bioinformatique . 7 : S7. doi : 10.1186/1471-2105-7-S4-S7 . PMC 1780132 . PMID 17217525 .  
  5. ^ "AAAI" . Archivé de l'original le 5 août 2008.
  6. ^ un bc Ismat Beg, Samina Ashraf: Mesures de similarité pour les ensembles flous , à: Mathématiques appliquées et computationnelles, mars 2009, disponible sur Research Gate depuis le 23 novembre 2016
  7. ^ un bcd NR _ _ Vemuri, AS Hareesh, MS Srinath: Set Difference and Symmetric Difference of Fuzzy Sets , in: Fuzzy Sets Theory and Applications 2014, Liptovský Ján, République slovaque
  8. ^ Goguen, Joseph A. , 196, " L -ensembles flous". Journal d'analyse mathématique et d'applications 18 : 145–174
  9. ^ Bui Cong Cuong, Vladik Kreinovich, Roan Thi Ngan: Une classification des opérateurs de norme t représentables pour les ensembles flous d'images , dans: Rapports techniques départementaux (CS). Document 1047, 2016
  10. ^ Tridiv Jyoti Neog, Dusmanta Kumar Sut: Complément d'un ensemble flou étendu , dans: International Journal of Computer Applications (097 5–8887), Volume 29 No.3, Septembre 2011
  11. ^ un bc Yanase J, Triantaphyllou E (2019). "Une enquête systématique sur le diagnostic assisté par ordinateur en médecine: développements passés et présents". Systèmes experts avec applications . 138 : 112821. doi : 10.1016/j.eswa.2019.112821 .
  12. ^ Smarandache, Florentin (1998). Neutrosophie : probabilité neutrosophique, ensemble et logique : synthèse analytique et analyse synthétique . Presse de recherche américaine. ISBN 978-1879585638.
  13. ^ un b Yanase J, Triantaphyllou E (2019). "Les sept défis clés pour l'avenir du diagnostic assisté par ordinateur en médecine". Journal international d'informatique médicale . 129 : 413–422. doi : 10.1016/j.ijmedinf.2019.06.017 . PMID 31445285 . 
  14. ^ Yager, Ronald R. (juin 2013). "Sous-ensembles flous de Pythagore". Congrès mondial conjoint de l'IFSA 2013 et réunion annuelle de la NAFIPS (IFSA/NAFIPS). IEEE : 57–61. doi : 10.1109/IFSA-NAFIPS.2013.6608375 . ISBN 978-1-4799-0348-1. S2CID  36286152 .
  15. ^ Yager, Ronald R (2013). "Les notes d'adhésion de Pythagore dans la prise de décision multicritère". Transactions IEEE sur les systèmes flous . 22 (4): 958–965. doi : 10.1109/TFUZZ.2013.2278989 . S2CID 37195356 . 
  16. ^ Yager, Ronald R. (décembre 2015). Propriétés et applications des ensembles flous de Pythagore . Springer, Cham. p. 119–136. ISBN 978-3-319-26302-1.
  17. ^ Siegfried Gottwald , 2001. Un traité sur les logiques à plusieurs valeurs . Baldock, Hertfordshire, Angleterre: Research Studies Press Ltd., ISBN 978-0-86380-262-1 
  18. ^ « Le concept de variable linguistique et son application au raisonnement approximatif », Sciences de l'information 8 : 199–249, 301–357 ; 9 : 43–80.
  19. ^ a b " Ensembles flous comme base d'une théorie de la possibilité ", Ensembles et systèmes flous
  20. ^ JA Goguen "Catégories d'ensembles flous: applications de la théorie des ensembles non cantorienne" Thèse de doctorat Université de Californie, Berkeley, 1968
  21. ^ Michael Winter "Catégories Goguen: Une approche catégorique des relations L-floues" 2007 Springer ISBN 9781402061639 
  22. ^ a b Michael Winter "Théorie de la représentation des catégories de Goguen" Fuzzy Sets and Systems Volume 138, Issue 1, 16 August 2003, Pages 85–126
  23. ^ Goguen, JA, "Ensembles flous en L". Journal d'analyse mathématique et d'applications 18 (1): 145–174, 1967
  24. ^ Xuecheng, Liu (1992). "Entropie, mesure de distance et mesure de similarité des ensembles flous et de leurs relations". Ensembles et systèmes flous . 52 (3): 305–318. doi : 10.1016/0165-0114(92)90239-Z .
  25. ^ Li, Xiang (2015). "Entropie croisée floue" . Journal d'analyse et d'applications d'incertitude . 3 . doi : 10.1186/s40467-015-0029-5 .

Bibliographie

  • Alkhazaleh, S. et Salleh, AR Fuzzy Soft Multiset Theory , Analyse abstraite et appliquée, 2012, article ID 350600, 20 p.
  • Atanassov, KT (1983) Ensembles flous intuitionnistes , Session VII ITKR, Sofia (déposé à la Central Sci.-Technical Library of Bulg. Acad. of Sci., 1697/84) (en bulgare)
  • Atanassov, K. (1986) Ensembles flous intuitionnistes, ensembles flous et systèmes, v. 20, n ° 1, pp. 87–96
  • Baruah, Hemanta K. (2011) The Theory of Fuzzy Sets: Beliefs and Realities, International Journal of Energy, Information and Communications, Vol, 2, Issue 2, 1 – 22.
  • Baruah, Hemanta K. (2012) Une introduction à la théorie des ensembles imprécis : les mathématiques de la présence partielle, International Journal of Computational and Mathematical Sciences, Vol. 2, n° 2, 110 – 124.
  • En ligneBezdek, JC (1978). "Partitions et relations floues et base axiomatique pour le clustering". Ensembles et systèmes flous . 1 (2): 111–127. doi : 10.1016/0165-0114(78)90012-X .
  • Blizard, WD (1989) Multisets à valeurs réelles et ensembles flous, ensembles et systèmes flous, v.33, pp. 77–97
  • Brown, JG (1971) Une note sur les ensembles flous, l'information et le contrôle, v. 18, pp. 32–39
  • Brutoczki Kornelia: Fuzzy Logic (Diploma) - Bien que ce script présente de nombreuses bizarreries et incohérences en raison de son caractère incomplet, il peut être utilisé comme modèle d'exercice pour supprimer ces problèmes.
  • Burgin, M. Theory of Named Sets as a Foundational Basis for Mathematics, in Structures in Mathematical Theories, San Sebastian, 1990, pp. 417–420
  • Burgin M. et Chunihin, A. (1997) Ensembles nommés dans l'analyse de l'incertitude, dans les problèmes méthodologiques et théoriques des mathématiques et des sciences de l'information, Kiev, pp. 72–85
  • Gianpiero Cattaneo et Davide Ciucci, "Heyting Wajsberg Algebras as an Abstract Environment Linking Fuzzy and Rough Sets" dans JJ Alpigini et al. (Eds.) : RSCTC 2002, LNAI 2475, pp. 77–84, 2002. doi : 10.1007/3-540-45813-1_10
  • Chamorro-Martínez, J. et al. : Une discussion sur la cardinalité floue et la quantification. Quelques applications en traitement d'images , SciVerse ScienceDirect: Fuzzy Sets and Systems 257 (2014) 85–101, 30 mai 2013
  • Chapin, EW (1974) Set-valued Set Theory, I, Notre Dame J. Formal Logic, v. 15, pp. 619–634
  • Chapin, EW (1975) Set-valued Set Theory, II, Notre Dame J. Formal Logic, v. 16, pp. 255–267
  • Chris Cornelis, Martine De Cock et Etienne E. Kerre, [Ensembles approximatifs flous intuitionnistes : à la croisée des connaissances imparfaites], Expert Systems, v. 20, numéro 5, pp. 260-270, 2003
  • Cornelis, C., Deschrijver, C. et Kerre, EE (2004) Implication dans la théorie des ensembles flous intuitionniste et à valeurs d'intervalle: construction, classification, application , International Journal of Approximate Reasoning, v. 35, pp. 55–95
  • De Cock, Martine; Bodenhofer, Ulrich; Kerre, Etienne E. (1er-4 octobre 2000). Modélisation d'expressions linguistiques à l'aide de relations floues . Actes de la 6ème Conférence Internationale sur le Soft Computing. Iizuka, Japon. p. 353–360. CiteSeerX  10.1.1.32.8117 .
  • Demirci, M. (1999) Ensembles authentiques, ensembles flous et systèmes, v. 105, pp. 377–384
  • Deschrijver, G.; Kerré, EE (2003). "Sur la relation entre certaines extensions de la théorie des ensembles flous". Ensembles et systèmes flous . 133 (2): 227–235. doi : 10.1016/S0165-0114(02)00127-6 .
  • Didier Dubois, Henri M. Prade, éd. (2000). Fondamentaux des ensembles flous . La série des manuels d'ensembles flous . Vol. 7. Springer. ISBN 978-0-7923-7732-0.
  • Feng F. Ensembles flous bruts généralisés basés sur des ensembles souples , Soft Computing, juillet 2010, volume 14, numéro 9, pp 899–911
  • Gentilhomme, Y. (1968) Les ensembles flous en linguistique, Cahiers Linguistique Théorique Appliquée, 5, pp. 47–63
  • Gogen, JA (1967) Ensembles L-flous, Journal Math. Analysis Appl., vol. 18, p. 145–174
  • En ligneGottwald, S. (2006). "Univers des ensembles flous et axiomatisations de la théorie des ensembles flous. Partie I : Approches basées sur des modèles et axiomatiques". Studia Logica . 82 (2): 211-244. doi : 10.1007/s11225-006-7197-8 . S2CID  11931230 .. En ligneGottwald, S. (2006). "Univers des ensembles flous et axiomatisations de la théorie des ensembles flous. Partie II : Approches théoriques des catégories". Studia Logica . 84 : 23–50. doi : 10.1007/s11225-006-9001-1 . S2CID 10453751 .  préimpression ..
  • Grattan-Guinness, I. (1975) Appartenance floue mappée sur des intervalles et des quantités à plusieurs valeurs. Z. Mathématiques. Logique. Mathématiques lourdes. 22, p. 149–160.
  • Grzymala-Busse, J. Apprendre à partir d'exemples basés sur des multiensembles bruts, dans Actes du 2e Symposium international sur les méthodologies pour les systèmes intelligents, Charlotte, Caroline du Nord, États-Unis, 1987, pp. 325–332
  • Gylys, RP (1994) Ensembles quantiques et faisceaux sur quantales, Liet. Matem. Rink., v. 34, n° 1, p. 9–31.
  • Ulrich Höhle, Stephen Ernest Rodabaugh, éd. (1999). Mathématiques des ensembles flous : logique, topologie et théorie de la mesure . La série des manuels d'ensembles flous . Vol. 3. Springer. ISBN 978-0-7923-8388-8.
  • Jahn, KU (1975) Intervall-wertige Mengen, Math.Nach. 68, p. 115–132
  • Kaufmann, Arnold . Introduction à la théorie des sous-ensembles flous. Vol. 2. Pr académique, 1975.
  • Kerré, EE (2001). "Un premier regard sur les alternatives de la théorie des ensembles flous". Dans B. Reusch; KH. Temme (dir.). L'intelligence computationnelle en théorie et en pratique . Heidelberg : Physica-Verlag. p. 55–72. doi : 10.1007/978-3-7908-1831-4_4 . ISBN 978-3-7908-1357-9. {{cite book}}: Manquant ou vide |title=( aide )
  • George J.Klir; Bo Yuan (1995). Ensembles flous et logique floue : théorie et applications . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-101171-7.
  • Kuzmin, VB (1982). "Construire des décisions de groupe dans des espaces de relations binaires strictes et floues" (en russe). Nauka, Moscou.
  • Lake, J. (1976) Ensembles, ensembles flous, multi-ensembles et fonctions , J. London Math. Soc., II Ser., v. 12, pp. 323–326
  • Meng, D., Zhang, X. et Qin, K. Ensembles flous rugueux doux et ensembles rugueux flous doux , 'Computers & Mathematics with Applications', v. 62, numéro 12, 2011, pp. 4635–4645
  • Miyamoto, S. Fuzzy Multisets et leurs généralisations, dans 'Multiset Processing', LNCS 2235, pp. 225–235, 2001
  • Molodtsov, O. (1999) Théorie des ensembles souples - premiers résultats , Computers & Mathematics with Applications , v. 37, n ° 4/5, pp. 19–31
  • Moore, Analyse de l'intervalle RE, New York, Prentice-Hall, 1966
  • Nakamura, A. (1988) Ensembles approximatifs flous, 'Notes sur la logique à valeurs multiples au Japon', v. 9, pp. 1–8
  • Narinyani, AS Underdetermined Sets - A new datatype for knowledge representation, Preprint 232, Project VOSTOK, issue 4, Novosibirsk, Computing Center, USSR Academy of Sciences, 1980
  • Pedrycz, W. Shadowed sets: representing and processing fuzzy sets, IEEE Transactions on System, Man, and Cybernetics, Part B, 28, 103–109, 1998.
  • Radecki, T. Level Fuzzy Sets, 'Journal of Cybernetics', Volume 7, Numéro 3–4, 1977
  • Radzikowska, AM et Etienne E. Kerre, EE On L-Fuzzy Rough Sets , Artificial Intelligence and Soft Computing – ICAISC 2004, 7th International Conference, Zakopane, Pologne, 7–11 juin 2004, Actes ; 01/2004
  • Salii, VN (1965). "L-relations binaires". Izv. Vish. Uchebn. Zavé. Matematika (en russe). 44 (1): 133–145.
  • Ramakrishnan, TV, et Sabu Sebastian (2010) 'Une étude sur les ensembles multi-flous', Int. J. Appl. Math. 23, 713–721.
  • Sabu Sebastian et Ramakrishnan, TV(2010) Ensembles multi-fuzzy, Int. Math. Forum 50, 2471–2476.
  • Sabu Sebastian et Ramakrishnan, TV(2011) Ensembles multi-flous : une extension des ensembles flous , Fuzzy Inf.Eng. 1, 35–43.
  • Sabu Sebastian et Ramakrishnan, TV(2011) Extensions multi-floues de fonctions, Advance in Adaptive Data Analysis 3, 339–350.
  • Sabu Sebastian et Ramakrishnan, TV (2011) Extension multi-floue de fonctions nettes à l'aide de fonctions de pont , Ann. Mathématiques floues. Informer. 2 (1), 1–8
  • Sambuc, R. Fonctions φ-floues : Application à l'aide au diagnostic en pathologie thyroïdienne, Ph.D. Thèse Univ. Marseille, France, 1975.
  • Seising, Rudolf : La fuzzification des systèmes. La genèse de la théorie des ensembles flous et ses applications initiales - Développements jusqu'aux années 1970 (Studies in Fuzziness and Soft Computing, Vol. 216) Berlin, New York, [et al.] : Springer 2007.
  • Smith, NJJ (2004) Flou et ensembles flous, 'J. de Phil. Logique', 33, pp. 165–235
  • Werro, Nicolas : Classification floue des clients en ligne , Université de Fribourg, Suisse, 2008, Chapitre 2
  • Yager, RR (1986) Sur la théorie des sacs , International Journal of General Systems, v. 13, pp. 23–37
  • Yao, YY, Combination of rough and fuzzy sets based on α-level sets, in: Rough Sets and Data Mining: Analysis for Imprecise Data, Lin, TY et Cercone, N. (Eds.), Kluwer Academic Publishers, Boston, pp 301–321, 1997.
  • YY Yao, Une étude comparative des ensembles flous et des ensembles approximatifs, Sciences de l'information, v. 109, Numéro 1–4, 1998, pp. 227 – 242
  • Zadeh, L. (1975) Le concept de variable linguistique et son application au raisonnement approximatif –I, Inform. Sci., vol. 8, p. 199–249
  • Hans-Jürgen Zimmermann (2001). Théorie des ensembles flous - et ses applications (4e éd.). Kluwer. ISBN 978-0-7923-7435-0.