Ensemble flou
En mathématiques , les ensembles flous (également appelés ensembles incertains ) sont des ensembles dont les éléments ont des degrés d'appartenance. Les ensembles flous ont été introduits indépendamment par Lotfi A. Zadeh en 1965 comme une extension de la notion classique d'ensemble. [1] [2] Au même moment, Salii (1965) a défini un type de structure plus général appelé « relation L », qu'il a étudié dans un contexte algébrique abstrait ; les relations floues sont des cas particuliers de relations L lorsque L est l' intervalle unitaire [0, 1]. Elles sont maintenant utilisées dans toutes les mathématiques floues , avec des applications dans des domaines tels que la linguistique (De Cock, Bodenhofer & Kerre 2000), la prise de décision (Kuzmin 1982) et le clustering (Bezdek 1978).
Dans la théorie des ensembles classique , l'appartenance des éléments à un ensemble est évaluée en termes binaires selon une condition bivalente : un élément appartient ou n'appartient pas à l'ensemble. En revanche, la théorie des ensembles flous permet l'évaluation progressive de l'appartenance des éléments à un ensemble ; celle-ci est décrite à l'aide d'une fonction d'appartenance évaluée dans l' intervalle unitaire réel [0, 1]. Les ensembles flous généralisent les ensembles classiques, car les fonctions indicatrices (ou fonctions caractéristiques) des ensembles classiques sont des cas particuliers des fonctions d'appartenance des ensembles flous, si ces derniers ne prennent que des valeurs 0 ou 1. [3] Dans la théorie des ensembles flous, les ensembles bivalents classiques sont généralement appelés ensembles nets . La théorie des ensembles flous peut être utilisée dans un large éventail de domaines dans lesquels les informations sont incomplètes ou imprécises, comme la bioinformatique . [4]
Définition
Un ensemble flou est une paire où est un ensemble (souvent requis non vide ) et une fonction d'appartenance. L'ensemble de référence (parfois désigné par ou ) est appelé univers de discours , et pour chaque valeur est appelée le degré d'appartenance de dans . La fonction est appelée la fonction d'appartenance de l'ensemble flou .
Pour un ensemble fini, l'ensemble flou est souvent noté par
Soit . Alors est appelé
- non inclus dans l'ensemble flou si (aucun membre),
- entièrement inclus si (membre à part entière),
- partiellement inclus si (membre flou). [5]
L'ensemble (net) de tous les ensembles flous d'un univers est noté par (ou parfois simplement ). [ citation nécessaire ]
Ensembles nets liés à un ensemble flou
Pour tout ensemble flou , les ensembles nets suivants sont définis :
- est appelé sa coupe α (également appelé ensemble de niveaux α )
- est appelé sa forte coupure α (également appelée ensemble de niveaux α forts )
- s'appelle son support
- est appelé son noyau (ou parfois noyau ).
Notez que certains auteurs comprennent le terme « noyau » d’une manière différente ; voir ci-dessous.
Autres définitions
- Un ensemble flou est vide ( ) ssi (si et seulement si)
- Deux ensembles flous et sont égaux ( ) ssi
- Un ensemble flou est inclus dans un ensemble flou ( ) ssi
- Pour tout ensemble flou , tout élément qui satisfait
- est appelé point de croisement .
- Étant donné un ensemble flou , tout , pour lequel n'est pas vide, est appelé un niveau de A.
- L' ensemble de niveaux de A est l'ensemble de tous les niveaux représentant des coupes distinctes. Il est l' image de :
- Pour un ensemble flou , sa hauteur est donnée par
- où désigne le supremum , qui existe car est non vide et borné ci-dessus par 1. Si U est fini, on peut simplement remplacer le supremum par le maximum.
- On dit qu'un ensemble flou est normalisé ssi
- Dans le cas fini, où le supremum est un maximum, cela signifie qu'au moins un élément de l'ensemble flou possède une appartenance complète. Un ensemble flou non vide peut être normalisé avec le résultat en divisant la fonction d'appartenance de l'ensemble flou par sa hauteur :
- Outre les similitudes, cette méthode diffère de la normalisation habituelle en ce que la constante de normalisation n'est pas une somme.
- Pour les ensembles flous de nombres réels avec support borné , la largeur est définie comme
- Dans le cas où est un ensemble fini, ou plus généralement un ensemble fermé , la largeur est juste
- Dans le cas n -dimensionnel , ce qui précède peut être remplacé par le volume n -dimensionnel de .
- En général, cela peut être défini étant donné n'importe quelle mesure sur U , par exemple par intégration (par exemple intégration de Lebesgue ) de .
- Un ensemble flou réel est dit convexe ( au sens flou, à ne pas confondre avec un ensemble convexe net ), ssi
- .
- Sans perte de généralité, on peut prendre x ≤ y , ce qui donne la formulation équivalente
- .
- Cette définition peut être étendue à celle d'un espace topologique général U : on dit que l'ensemble flou est convexe lorsque, pour tout sous-ensemble Z de U , la condition
- détient, où désigne la frontière de Z et désigne l' image d'un ensemble X (ici ) par une fonction f (ici ).
Opérations sur les ensembles flous
Bien que le complément d'un ensemble flou ait une définition unique et très courante, les autres opérations principales, l'union et l'intersection, présentent une certaine ambiguïté.
- Pour un ensemble flou donné , son complément (parfois noté ou ) est défini par la fonction d'appartenance suivante :
- .
- Soit t une norme t et s la norme s correspondante (également appelée t-conorme). Étant donné une paire d'ensembles flous , leur intersection est définie par :
- ,
- et leur union est définie par :
- .
Par la définition de la norme t, nous voyons que l'union et l'intersection sont commutatives , monotones , associatives et ont à la fois un élément nul et un élément neutre . Pour l'intersection, ce sont respectivement ∅ et U , tandis que pour l'union, ce sont les inverses. Cependant, l'union d'un ensemble flou et de son complémentaire peut ne pas donner l'univers complet U , et leur intersection peut ne pas donner l'ensemble vide ∅. Puisque l'intersection et l'union sont associatives, il est naturel de définir l'intersection et l'union d'une famille finie d'ensembles flous de manière récursive. Il est à noter que les opérateurs standards généralement acceptés pour l'union et l'intersection d'ensembles flous sont les opérateurs max et min :
- et . [6]
- Si le négateur standard est remplacé par un autre négateur fort , la différence d'ensemble flou peut être généralisée par
- Le triplet d'intersection floue, d'union et de complément forme un triplet de De Morgan . Autrement dit, les lois de De Morgan s'étendent à ce triplet.
- Des exemples de paires d'intersection/union floues avec un négateur standard peuvent être dérivés d'échantillons fournis dans l'article sur les normes t .
- L'intersection floue n'est pas idempotente en général, car la norme t standard min est la seule à posséder cette propriété. En effet, si la multiplication arithmétique est utilisée comme norme t, l'opération d'intersection floue résultante n'est pas idempotente. Autrement dit, prendre itérativement l'intersection d'un ensemble flou avec lui-même n'est pas trivial. Elle définit plutôt la puissance m -ième d'un ensemble flou, qui peut être généralisée canoniquement pour les exposants non entiers de la manière suivante :
- Pour tout ensemble flou et la ν-ième puissance de est définie par la fonction d'appartenance :
Le cas de l’exposant deux est suffisamment particulier pour recevoir un nom.
- Pour tout ensemble flou la concentration est définie
En prenant , nous avons et
- Étant donné des ensembles flous , la différence d'ensemble flou , également notée , peut être définie directement via la fonction d'appartenance :
- ce qui signifie , par exemple :
- [7]
- Une autre proposition pour une différence d'ensemble pourrait être :
- [7]
- Des propositions de différences d'ensembles flous symétriques ont été faites par Dubois et Prade (1980), soit en prenant la valeur absolue , donnant
- ou en utilisant une combinaison de max , min et de négation standard, ce qui donne
- [7]
- Des axiomes pour la définition des différences symétriques généralisées analogues à ceux des normes t, des conormes t et des négateurs ont été proposés par Vemur et al. (2014) avec comme prédécesseurs Alsina et al. (2005) et Bedregal et al. (2009). [7]
- Contrairement aux ensembles nets, des opérations de moyenne peuvent également être définies pour les ensembles flous.
Ensembles flous disjoints
Contrairement à l'ambiguïté générale des opérations d'intersection et d'union, il existe une clarté pour les ensembles flous disjoints : deux ensembles flous sont disjoints ssi
ce qui équivaut à
et également équivalent à
Nous gardons à l'esprit que min / max est une paire at/s-norm, et toute autre valeur fonctionnera également ici.
Les ensembles flous sont disjoints si et seulement si leurs supports sont disjoints selon la définition standard des ensembles nets.
Pour les ensembles flous disjoints, toute intersection donnera ∅, et toute union donnera le même résultat, qui est noté comme
avec sa fonction d'appartenance donnée par
Notez qu'un seul des deux termes est supérieur à zéro.
Pour les ensembles flous disjoints, ce qui suit est vrai :
Ceci peut être généralisé aux familles finies d'ensembles flous comme suit : Étant donnée une famille d'ensembles flous avec un ensemble d'indices I (par exemple I = {1,2,3,..., n }). Cette famille est disjointe (deux à deux) ssi
Une famille d'ensembles flous est disjointe, ssi la famille de supports sous-jacents est disjointe au sens standard des familles d'ensembles nets.
Indépendamment de la paire de normes t/s, l'intersection d'une famille disjointe d'ensembles flous donnera à nouveau ∅, tandis que l'union n'a aucune ambiguïté :
avec sa fonction d'appartenance donnée par
Encore une fois, une seule des sommes est supérieure à zéro.
Pour les familles disjointes d'ensembles flous, ce qui suit est vrai :
Cardinalité scalaire
Pour un ensemble flou à support fini (c'est-à-dire un « ensemble flou fini »), sa cardinalité (également appelée cardinalité scalaire ou nombre sigma ) est donnée par
- .
Dans le cas où U lui-même est un ensemble fini, la cardinalité relative est donnée par
- .
Ceci peut être généralisé pour que le diviseur soit un ensemble flou non vide : Pour les ensembles flous avec G ≠ ∅, nous pouvons définir la cardinalité relative par :
- ,
qui ressemble beaucoup à l'expression de la probabilité conditionnelle . Remarque :
- ici.
- Le résultat peut dépendre de l’intersection spécifique (norme t) choisie.
- Car le résultat est sans ambiguïté et ressemble à la définition précédente.
Distance et similitude
Pour tout ensemble flou, la fonction d'appartenance peut être considérée comme une famille . Cette dernière est un espace métrique avec plusieurs métriques connues. Une métrique peut être dérivée d'une norme (norme vectorielle) via
- .
Par exemple, si est fini, c'est-à-dire , une telle métrique peut être définie par :
- où et sont des suites de nombres réels compris entre 0 et 1.
Pour une infinité , le maximum peut être remplacé par un supremum. Étant donné que les ensembles flous sont définis sans ambiguïté par leur fonction d'appartenance, cette métrique peut être utilisée pour mesurer les distances entre les ensembles flous sur le même univers :
- ,
ce qui devient dans l'exemple ci-dessus :
- .
De nouveau, pour l'infini, le maximum doit être remplacé par un supremum. D'autres distances (comme la norme canonique 2) peuvent diverger si les ensembles flous infinis sont trop différents, par exemple et .
Les mesures de similarité (ici désignées par ) peuvent alors être dérivées de la distance, par exemple d'après une proposition de Koczy :
- si est fini, sinon,
ou d'après Williams et Steele :
- si est fini, sinon
où est un paramètre de pente et . [ citation nécessaire ]
L-ensembles flous
Parfois, des variantes plus générales de la notion d'ensemble flou sont utilisées, avec des fonctions d'appartenance prenant des valeurs dans une algèbre (fixe ou variable) ou une structure d'un type donné ; il est généralement nécessaire qu'il y ait au moins un poset ou un treillis . On les appelle généralement L -ensembles flous , pour les distinguer de ceux dont les valeurs se situent sur l'intervalle unitaire. Les fonctions d'appartenance habituelles dont les valeurs se situent dans [0, 1] sont alors appelées fonctions d'appartenance à valeurs [0, 1]. Ces types de généralisations ont été envisagés pour la première fois en 1967 par Joseph Goguen , qui était un étudiant de Zadeh. [8] Un corollaire classique peut être l'indication des valeurs de vérité et d'appartenance par {f, t} au lieu de {0, 1}.
Une extension des ensembles flous a été proposée par Atanassov . Un ensemble flou intuitionniste (IFS) est caractérisé par deux fonctions :
- 1. – degré d’appartenance de x
- 2. – degré de non-appartenance de x
avec des fonctions avec .
Cela ressemble à une situation comme celle d'une personne désignée par un vote
- pour une proposition : ( ),
- contre cela : ( ),
- ou s'abstenir de voter : ( ).
Après tout, nous avons un pourcentage d’approbations, un pourcentage de refus et un pourcentage d’abstentions.
Pour cette situation, des négateurs « flous intuitifs » spéciaux, des normes t et s, peuvent être définis. En combinant les deux fonctions, cette situation ressemble à un type particulier d' ensembles flous L.
Une fois de plus, cela a été étendu en définissant des ensembles flous d'images (PFS) comme suit : Un PFS A est caractérisé par trois fonctions mappant U à [0, 1] : , « degré d'appartenance positive », « degré d'appartenance neutre » et « degré d'appartenance négative » respectivement et une condition supplémentaire. Cela élargit l'échantillon de vote ci-dessus par une possibilité supplémentaire de « refus de vote ».
Avec des négateurs « flous d'image » spéciaux, des normes t et s, cela ressemble à un autre type d' ensembles L -flous. [9]
Ensembles flous pythagoriciens
Une extension de l'IFS est ce que l'on appelle les ensembles flous pythagoriciens. De tels ensembles satisfont la contrainte , qui rappelle le théorème de Pythagore. [10] [11] [12] Les ensembles flous pythagoriciens peuvent être applicables à des applications réelles dans lesquelles la condition précédente de n'est pas valide. Cependant, la condition moins restrictive de peut être adaptée à davantage de domaines. [13] [14]
Logique floue
En tant qu'extension du cas de la logique à valeurs multiples , les évaluations ( ) des variables propositionnelles ( ) dans un ensemble de degrés d'appartenance ( ) peuvent être considérées comme des fonctions d'appartenance mappant des prédicats dans des ensembles flous (ou plus formellement, dans un ensemble ordonné de paires floues, appelé une relation floue). Avec ces évaluations, la logique à valeurs multiples peut être étendue pour permettre des prémisses floues à partir desquelles des conclusions graduées peuvent être tirées. [15]
Cette extension est parfois appelée « logique floue au sens étroit » par opposition à la « logique floue au sens large », qui trouve son origine dans les domaines de l'ingénierie du contrôle automatisé et de l'ingénierie des connaissances , et qui englobe de nombreux sujets impliquant des ensembles flous et un « raisonnement approximatif ». [16]
Les applications industrielles des ensembles flous dans le contexte de la « logique floue au sens large » peuvent être trouvées dans logique floue .
Nombre flou
Un nombre flou [17] est un ensemble flou qui satisfait toutes les conditions suivantes :
- A est normalisé ;
- A est un ensemble convexe ;
- La fonction d’appartenance atteint la valeur 1 au moins une fois ;
- La fonction d’appartenance est au moins segmentairement continue.
Si ces conditions ne sont pas satisfaites, alors A n'est pas un nombre flou . Le noyau de ce nombre flou est un singleton ; sa localisation est :
Les nombres flous peuvent être comparés au jeu de fête foraine « devinez votre poids », où quelqu'un devine le poids du candidat, les suppositions les plus proches étant plus correctes, et où le devineur « gagne » s'il devine suffisamment près du poids du candidat, le poids réel étant complètement correct (correspondant à 1 par la fonction d'appartenance).
Le noyau d'un intervalle flou est défini comme la partie « interne », sans les parties « sortantes » où la valeur d'appartenance est constante à l'infini. En d'autres termes, le plus petit sous-ensemble de où est constante à l'extérieur de celui-ci, est défini comme le noyau.
Cependant, il existe d'autres concepts de nombres et d'intervalles flous car certains auteurs n'insistent pas sur la convexité.
Catégories floues
L'utilisation de l'appartenance à un ensemble comme élément clé de la théorie des catégories peut être généralisée aux ensembles flous. Cette approche, qui a débuté en 1968 peu après l'introduction de la théorie des ensembles flous, [18] a conduit au développement des catégories de Goguen au 21e siècle. [19] [20] Dans ces catégories, plutôt que d'utiliser une appartenance à un ensemble à deux valeurs, des intervalles plus généraux sont utilisés et peuvent être des treillis comme dans les ensembles flous L. [20] [21]
Il existe de nombreuses extensions mathématiques similaires ou plus générales que les ensembles flous. Depuis que les ensembles flous ont été introduits en 1965 par Zadeh, de nombreuses nouvelles constructions et théories mathématiques traitant de l'imprécision, de l'inexactitude, du flou, de l'incertitude et de la vulnérabilité ont été développées. Certaines de ces constructions et théories sont des extensions de la théorie des ensembles flous, tandis que d'autres tentent de modéliser mathématiquement l'inexactitude/le flou et l'incertitude d'une manière différente. La diversité de ces constructions et des théories correspondantes comprend :
- Ensembles flous (Zadeh, 1965)
- ensembles d'intervalles (Moore, 1966),
- Ensembles L-flous (Goguen, 1967),
- ensembles flou (Gentilhomme, 1968),
- ensembles flous de type 2 et ensembles flous de type n (Zadeh, 1975),
- ensembles flous à valeurs d'intervalle (Grattan-Guinness, 1975 ; Jahn, 1975 ; Sambuc, 1975 ; Zadeh, 1975),
- ensembles flous à niveaux (Radecki, 1977)
- ensembles bruts (Pawlak, 1982),
- ensembles flous intuitionnistes (Atanassov, 1983),
- multi-ensembles flous (Yager, 1986),
- ensembles L-flous intuitionnistes (Atanassov, 1986),
- multisets bruts (Grzymala-Busse, 1987),
- ensembles flous et rugueux (Nakamura, 1988),
- ensembles flous à valeurs réelles (Blizard, 1989),
- ensembles vagues (Wen-Lung Gau et Buehrer, 1993),
- ensembles de niveaux α (Yao, 1997),
- ensembles ombragés (Pedrycz, 1998),
- ensembles neutrosophiques (NS) (Smarandache, 1998),
- ensembles flous bipolaires (Wen-Ran Zhang, 1998),
- ensembles authentiques (Demirci, 1999),
- ensembles mous (Molodtsov, 1999),
- ensemble flou complexe (2002),
- ensembles flous intuitionnistes et approximatifs (Cornelis, De Cock et Kerre, 2003)
- Ensembles bruts flous L (Radzikowska et Kerre, 2004),
- ensembles multi-flous (Sabu Sebastian, 2009),
- ensembles flous grossiers généralisés (Feng, 2010)
- ensembles flous intuitionnistes bruts (Thomas et Nair, 2011),
- ensembles flous doux et rugueux (Meng, Zhang et Qin, 2011)
- ensembles doux, flous et rugueux (Meng, Zhang et Qin, 2011)
- multi-ensembles mous (Alkhazaleh, Salleh et Hassan, 2011)
- multi-ensembles flous et souples (Alkhazaleh et Salleh, 2012)
- ensemble flou pythagoricien (Yager, 2013),
- ensemble d'images floues (Cuong, 2013),
- ensemble flou sphérique (Mahmood, 2018).
Équation de relation floue
L' équation de relation floue est une équation de la forme A · R = B , où A et B sont des ensembles flous, R est une relation floue et A · R représente la composition de A avec R [ citation nécessaire ] .
Entropie
Une mesure d de flou pour les ensembles flous de l'univers devrait remplir les conditions suivantes pour tout :
- si c'est un ensemble net :
- a un maximum unique ssi
- ce qui signifie que B est plus « net » que A.
Dans ce cas, on parle d' entropie de l'ensemble flou A.
Pour un ensemble flou fini, l'entropie est donnée par
- ,
ou juste
où est la fonction de Shannon (fonction d'entropie naturelle)
et est une constante dépendant de l'unité de mesure et de la base du logarithme utilisée (ici nous avons utilisé la base naturelle e ). L'interprétation physique de k est la constante de Boltzmann k B .
Soit un ensemble flou avec une fonction d'appartenance continue (variable floue). Alors
et son entropie est
- [22] [23]
Extensions
Il existe de nombreuses constructions mathématiques similaires ou plus générales que les ensembles flous. Depuis l'introduction des ensembles flous en 1965, de nombreuses nouvelles constructions et théories mathématiques traitant de l'imprécision, de l'inexactitude, de l'ambiguïté et de l'incertitude ont été développées. Certaines de ces constructions et théories sont des extensions de la théorie des ensembles flous, tandis que d'autres tentent de modéliser mathématiquement l'imprécision et l'incertitude d'une manière différente. [24]
Voir aussi
- Théorie alternative des ensembles
- Défuzzification
- Concept flou
- Mathématiques floues
- Opérations sur les ensembles flous
- Sous-algèbre floue
- Élément fini à intervalle
- Informations partielles linéaires
- Multi-ensemble
- Neuro-flou
- Hybridation floue grossière
- Ensemble brut
- Indice de similarité de Sørensen
- Ensembles et systèmes flous de type 2
- Incertitude
Références
- ^ LA Zadeh (1965) « Ensembles flous » Archivé le 13/08/2015 sur la Wayback Machine . Information et contrôle 8 (3) 338–353.
- ^ Klaua, D. (1965) Über einen Ansatz zur mehrwertigen Mengenlehre. Monatsb. Allemand. Akad. Sagesse. Berlin 7, 859-876. Une analyse approfondie récente de cet article a été fournie par Gottwald, S. (2010). "Une première approche vers une identité graduée et une adhésion graduée à la théorie des ensembles". Ensembles et systèmes flous . 161 (18) : 2369-2379 . est ce que je :10.1016/j.fss.2009.12.005.
- ^ D. Dubois et H. Prade (1988) Ensembles et systèmes flous. Academic Press, New York.
- ^ Liang, Lily R.; Lu, Shiyong; Wang, Xuena; Lu, Yi; Mandal, Vinay; Patacsil, Dorrelyn; Kumar, Deepak (2006). « FM-test : une approche basée sur la théorie des ensembles flous pour l'analyse des données d'expression différentielle des gènes ». BMC Bioinformatics . 7 (Suppl 4) : S7. doi : 10.1186/1471-2105-7-S4-S7 . PMC 1780132 . PMID 17217525.
- ^ "AAAI". Archivé de l'original le 5 août 2008.
- ^ Bellman, Richard; Giertz, Magnus (1973). "Sur le formalisme analytique de la théorie des ensembles flous". Sciences de l'information . 5 : 149– 156. doi :10.1016/0020-0255(73)90009-1.
- ^ abcd NR Vemuri, AS Hareesh, MS Srinath : Différence d'ensemble et différence symétrique des ensembles flous, dans : Théorie et applications des ensembles flous 2014, Liptovský Ján, République slovaque
- ^ Goguen, JA (1967). « Ensembles L-flous ». Journal of Mathematical Analysis and Applications . 18 : 145– 174. doi : 10.1016/0022-247X(67)90189-8.
- ^ Bui Cong Cuong, Vladik Kreinovich, Roan Thi Ngan : Une classification des opérateurs de norme t représentables pour les ensembles flous d'images, dans : Departmental Technical Reports (CS). Article 1047, 2016
- ^ Yager, Ronald R. (juin 2013). « Sous-ensembles flous pythagoriciens ». Congrès mondial conjoint 2013 de l'IFSA et réunion annuelle de la NAFIPS (IFSA/NAFIPS) . pp. 57– 61. doi :10.1109/IFSA-NAFIPS.2013.6608375. ISBN 978-1-4799-0348-1. S2CID 36286152.
- ^ Yager, Ronald R (2013). « Grades d'appartenance pythagoricienne dans la prise de décision multicritère ». IEEE Transactions on Fuzzy Systems . 22 (4) : 958– 965. doi :10.1109/TFUZZ.2013.2278989. S2CID 37195356.
- ^ Yager, Ronald R. (décembre 2015). Propriétés et applications des ensembles flous pythagoriciens . Cham : Springer. pp. 119– 136. ISBN 978-3-319-26302-1.
- ^ Yanase J, Triantaphyllou E (2019). « Une étude systématique du diagnostic assisté par ordinateur en médecine : développements passés et présents ». Systèmes experts avec applications . 138 : 112821. doi :10.1016/j.eswa.2019.112821. S2CID 199019309.
- ^ Yanase J, Triantaphyllou E (2019). « Les sept principaux défis pour l'avenir du diagnostic assisté par ordinateur en médecine ». Revue internationale d'informatique médicale . 129 : 413– 422. doi : 10.1016/j.ijmedinf.2019.06.017. PMID 31445285. S2CID 198287435.
- ^ Siegfried Gottwald , 2001. Un traité sur les logiques à valeurs multiples . Baldock, Hertfordshire, Angleterre : Research Studies Press Ltd., ISBN 978-0-86380-262-1
- ^ Zadeh, LA (1975). « Le concept de variable linguistique et son application au raisonnement approximatif — I ». Sciences de l'information . 8 (3) : 199– 249. doi :10.1016/0020-0255(75)90036-5.
- ^ Zadeh, LA (1999). « Les ensembles flous comme base d'une théorie des possibilités ». Ensembles flous et systèmes . 100 : 9– 34. doi : 10.1016/S0165-0114(99)80004-9.
- ^ JA Goguen « Catégories d'ensembles flous : applications de la théorie des ensembles non cantorienne » Thèse de doctorat Université de Californie, Berkeley, 1968
- ^ Michael Winter « Catégories Goguen : une approche catégorique des relations floues L » 2007 Springer ISBN 9781402061639
- ^ ab Winter, Michael (2003). « Théorie de la représentation des catégories de Goguen ». Ensembles et systèmes flous . 138 : 85– 126. doi : 10.1016/S0165-0114(02)00508-0.
- ^ Goguen, JA (1967). « Ensembles L-flous ». Journal of Mathematical Analysis and Applications . 18 : 145– 174. doi : 10.1016/0022-247X(67)90189-8.
- ^ Xuecheng, Liu (1992). « Entropie, mesure de distance et mesure de similarité des ensembles flous et de leurs relations ». Ensembles et systèmes flous . 52 (3) : 305– 318. doi :10.1016/0165-0114(92)90239-Z.
- ^ Li, Xiang (2015). « Entropie croisée floue ». Journal of Uncertainty Analysis and Applications . 3 . doi : 10.1186/s40467-015-0029-5 .
- ^ Burgin et Chunihin 1997 ; Kerré 2001 ; Description et Kerre 2003.
Bibliographie
- Alkhazaleh, Shawkat; Salleh, Abdul Razak (2012). "Théorie floue des multi-ensembles souples". Analyse abstraite et appliquée . doi : 10.1155/2012/350603 .
- Atanassov, KT (1983) Ensembles flous intuitionnistes, VII Session de l'ITKR, Sofia (déposé à la Bibliothèque centrale scientifique et technique de l'Académie bulgare des sciences, 1697/84) (en bulgare)
- Atanassov, Krassimir T. (1986). "Ensembles flous intuitionnistes". Fuzzy Sets and Systems . 20 : 87– 96. doi : 10.1016/S0165-0114(86)80034-3.
- Bezdek, JC (1978). « Partitions et relations floues et base axiomatique pour le clustering ». Ensembles et systèmes flous . 1 (2) : 111– 127. doi :10.1016/0165-0114(78)90012-X.
- Blizard, Wayne D. (1989). « Multi-ensembles à valeurs réelles et ensembles flous ». Ensembles et systèmes flous . 33 : 77– 97. doi : 10.1016/0165-0114(89)90218-2.
- Brown, Joseph G. (1971). « Une note sur les ensembles flous ». Information et contrôle . 18 : 32– 39. doi : 10.1016/S0019-9958(71)90288-9.
- Brutoczki Kornelia : Fuzzy Logic (Diplôme) – Bien que ce script présente de nombreuses bizarreries et subtilités en raison de son caractère incomplet, il peut être utilisé comme modèle d'exercice pour éliminer ces problèmes.
- Burgin, M. Théorie des ensembles nommés comme base fondamentale des mathématiques, dans Structures in Mathematical Theories, San Sebastian, 1990, pp. 417–420
- Burgin, M.; Chunihin, A. (1997). « Ensembles nommés dans l'analyse de l'incertitude ». Problèmes méthodologiques et théoriques des mathématiques et des sciences de l'information . Kiev : 72– 85.
- Cattaneo, Gianpiero ; Ciucci, Davide (2002). « Les algèbres de Heyting Wajsberg comme environnement abstrait reliant les ensembles flous et bruts ». Ensembles bruts et tendances actuelles en informatique . Notes de cours en informatique. Vol. 2475. pp. 77– 84. doi :10.1007/3-540-45813-1_10. ISBN 978-3-540-44274-5.
- Chamorro-Martínez, J.; Sánchez, D.; Soto-Hidalgo, JM; Martínez-Jiménez, PM (2014). "Une discussion sur la cardinalité floue et la quantification. Quelques applications en traitement d'images". Fuzzy Sets and Systems . 257 : 85– 101. doi :10.1016/j.fss.2013.05.009.
- Chapin, EW (1974) Théorie des ensembles à valeurs multiples, I, Notre Dame J. Formal Logic, v. 15, pp. 619–634
- Chapin, EW (1975) Théorie des ensembles à valeurs multiples, II, Notre Dame J. Formal Logic, v. 16, pp. 255–267
- Cornelis, Chris; De Cock, Martine; Kerre, Etienne E. (2003). "Ensembles flous intuitionnistes bruts : au carrefour de la connaissance imparfaite". Expert Systems . 20 (5) : 260– 270. doi :10.1111/1468-0394.00250. S2CID 15031773.
- Cornelis, Chris ; Deschrijver, Glad ; Kerre, Etienne E. (2004). « Implication dans la théorie des ensembles flous intuitionnistes et à valeurs d'intervalles : construction, classification, application ». Revue internationale du raisonnement approximatif . 35 : 55– 95. doi :10.1016/S0888-613X(03)00072-0.
- De Cock, Martine; Bodenhofer, Ulrich; Kerre, Etienne E. (1–4 octobre 2000). Modélisation d'expressions linguistiques à l'aide de relations floues . Actes de la 6e Conférence internationale sur le calcul souple. Iizuka, Japon. pp. 353– 360. CiteSeerX 10.1.1.32.8117 .
- Demirci, Mustafa (1999). "Ensembles authentiques". Ensembles flous et systèmes . 105 (3) : 377– 384. doi :10.1016/S0165-0114(97)00235-2.
- Deschrijver, G.; Kerre, EE (2003). "Sur la relation entre certaines extensions de la théorie des ensembles flous". Fuzzy Sets and Systems . 133 (2): 227– 235. doi :10.1016/S0165-0114(02)00127-6.
- Didier Dubois, Henri M. Prade, éd. (2000). Principes fondamentaux des ensembles flous . Série Handbooks of Fuzzy Sets. Vol. 7. Springer. ISBN 978-0-7923-7732-0.
- Feng, Feng (2009). « Ensembles flous généralisés grossiers basés sur des ensembles souples ». Atelier international 2009 sur les systèmes intelligents et leurs applications . pp. 1– 4. doi :10.1109/IWISA.2009.5072885. ISBN 978-1-4244-3893-8.
- Gentilhomme, Y. (1968) Les ensembles flous en linguistique, Cahiers de Linguistique Théorique et Appliquée, 5, pp.
- Goguen, JA (1967). « Ensembles flous L ». Journal of Mathematical Analysis and Applications . 18 : 145– 174. doi : 10.1016/0022-247X(67)90189-8.
- Gottwald, S. (2006). « Univers d'ensembles flous et axiomatisations de la théorie des ensembles flous. Partie I : approches basées sur des modèles et axiomatiques ». Studia Logica . 82 (2) : 211– 244. doi :10.1007/s11225-006-7197-8. S2CID 11931230.. Gottwald, S. (2006). « Univers d'ensembles flous et axiomatisations de la théorie des ensembles flous. Partie II : Approches de la théorie des catégories ». Studia Logica . 84 : 23– 50. doi : 10.1007/s11225-006-9001-1. S2CID 10453751.pré-impression..
- Grattan-Guinness, I. (1975) Appartenance floue appliquée à des intervalles et à des quantités à valeurs multiples. Z. Math. Logik. Grundladen Math. 22, pp. 149–160.
- Grzymala-Busse, J. Apprentissage à partir d'exemples basés sur des multi-ensembles bruts, dans Actes du 2e Symposium international sur les méthodologies pour les systèmes intelligents, Charlotte, NC, États-Unis, 1987, pp. 325–332
- Gylys, RP (1994) Ensembles et faisceaux quantiques sur les quantales, Liet. Matem. Rink., v. 34, n° 1, pp. 9–31.
- Ulrich Höhle, Stephen Ernest Rodabaugh, éd. (1999). Mathématiques des ensembles flous : logique, topologie et théorie de la mesure . Série Handbooks of Fuzzy Sets. Vol. 3. Springer. ISBN 978-0-7923-8388-8.
- Jahn, K.-U. (1975). "Intervall-wertige Mengen". Mathematische Nachrichten . 68 : 115-132 . est ce que je :10.1002/MANA.19750680109.
- Kaufmann, Arnold . Introduction à la théorie des sous-ensembles flous. Vol. 2. Academic Press, 1975.
- Kerre, EE (2001). « Un premier point de vue sur les alternatives de la théorie des ensembles flous ». Dans B. Reusch ; KH. Temme (dir.). L'intelligence computationnelle en théorie et en pratique . Heidelberg : Physica-Verlag. pp. 55– 72. doi : 10.1007/978-3-7908-1831-4_4. ISBN 978-3-7908-1357-9.
- George J. Klir ; Bo Yuan (1995). Ensembles flous et logique floue : théorie et applications . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-101171-7.
- Kuzmin, VB (1982). « Construction de décisions de groupe dans des espaces de relations binaires strictes et floues » (en russe). Nauka, Moscou.
- Lake, John (1976). « Ensembles, ensembles flous, multiensembles et fonctions ». Journal of the London Mathematical Society (3) : 323– 326. doi :10.1112/jlms/s2-12.3.323.
- Meng, Dan ; Zhang, Xiaohong ; Qin, Keyun (2011). « Ensembles flous rugueux et mous et ensembles flous rugueux ». Computers & Mathematics with Applications . 62 (12) : 4635– 4645. doi :10.1016/j.camwa.2011.10.049.
- Miyamoto, Sadaaki (2001). « Multisets flous et leurs généralisations ». Traitement multi-ensembles . Notes de cours en informatique. Vol. 2235. pp. 225– 235. doi :10.1007/3-540-45523-X_11. ISBN 978-3-540-43063-6.
- Molodtsov, D. (1999). « Théorie des ensembles mous — Premiers résultats ». Computers & Mathematics with Applications . 37 ( 4– 5): 19– 31. doi :10.1016/S0898-1221(99)00056-5.
- Moore, RE Analyse des intervalles, Paris, Gallimard, 1966
- Nakamura, A. (1988) Fuzzy rough sets, « Notes sur la logique à valeurs multiples au Japon », v. 9, pp. 1–8
- Narinyani, AS Ensembles sous-déterminés – Un nouveau type de données pour la représentation des connaissances, Preprint 232, Projet VOSTOK, numéro 4, Novossibirsk, Centre de calcul, Académie des sciences de l'URSS, 1980
- Pedrycz, W. (1998). « Ensembles ombrés : représentation et traitement des ensembles flous ». IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, Part B (Cybernetics) . 28 (1) : 103– 109. doi : 10.1109/3477.658584. PMID 18255928.
- Radecki, Tadeusz (1977). « Ensembles flous de niveaux ». Journal of Cybernetics . 7 ( 3– 4) : 189– 198. doi :10.1080/01969727708927558.
- Radzikowska, Anna Maria ; Kerre, Etienne E. (2004). "Sur les ensembles grossiers flous L". Intelligence artificielle et informatique douce - ICAISC 2004. Notes de cours en informatique. Vol. 3070. pp. 526– 531. doi :10.1007/978-3-540-24844-6_78. ISBN 978-3-540-22123-4.
- Salii, VN (1965). "Relations L binaires" (PDF) . Izv. Vysh. Uchebn. Zavé. Matematika (en russe). 44 (1) : 133-145 .
- Ramakrishnan, TV et Sabu Sebastian (2010) « Une étude sur les ensembles multi-flous », Int. J. Appl. Math. 23, 713–721.
- Sabu Sebastian et Ramakrishnan, TV(2010) « Ensembles multi-flous », Int. Math. Forum 50, 2471–2476.
- Sebastian, Sabu; Ramakrishnan, TV (2011). « Ensembles multi-flous : une extension des ensembles flous ». Fuzzy Information and Engineering . 3 : 35– 43. doi : 10.1007/s12543-011-0064-y .
- Sebastian, Sabu; Ramakrishnan, TV (2011). « Extensions multi-floues de fonctions ». Progrès dans l'analyse adaptative des données . 03 (3) : 339– 350. doi :10.1142/S1793536911000714.
- Sabu Sebastian et Ramakrishnan, TV(2011) Extension multi-floue de fonctions nettes à l'aide de fonctions de pont, Ann. Mathématiques floues. Inform. 2 (1), 1–8
- Sambuc, R. Fonctions φ-floues : Application à l'aide au diagnostic en pathologie thyroïdienne, Ph.D. Thèse Univ. Marseille, France, 1975.
- Seising, Rudolf : La fuzzification des systèmes. La genèse de la théorie des ensembles flous et ses premières applications — Développements jusqu'aux années 1970 (Studies in Fuzziness and Soft Computing, vol. 216) Berlin, New York, [et al.] : Springer 2007.
- Smith, Nicholas JJ (2004). « Vagueness and Blurry Sets ». Journal of Philosophical Logic . 33 (2) : 165– 235. doi : 10.1023/B:LOGI.0000021717.26376.3f.
- Werro, Nicolas : Classification floue des clients en ligne , Université de Fribourg, Suisse, 2008, Chapitre 2
- Yager, Ronald R. (1986). « Sur la théorie des sacs ». Revue internationale des systèmes généraux . 13 : 23– 37. doi : 10.1080/03081078608934952.
- Yao, YY, Combinaison d'ensembles bruts et flous basés sur des ensembles de niveau α, dans : Rough Sets and Data Mining: Analysis for Imprecise Data, Lin, TY et Cercone, N. (éd.), Kluwer Academic Publishers, Boston, pp. 301–321, 1997.
- Yao, Y. (1998). "Une étude comparative des ensembles flous et des ensembles bruts". Sciences de l'information . 109 ( 1– 4) : 227– 242. doi :10.1016/S0020-0255(98)10023-3.
- Zadeh, LA (1975). « Le concept de variable linguistique et son application au raisonnement approximatif — I ». Sciences de l'information . 8 (3) : 199– 249. doi :10.1016/0020-0255(75)90036-5.
- Hans-Jürgen Zimmermann (2001). Théorie des ensembles flous et ses applications (4e éd.). Kluwer. ISBN 978-0-7923-7435-0.