Décroissance exponentielle

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Quantité subissant une décroissance exponentielle. Des constantes de décroissance plus grandes font disparaître la quantité beaucoup plus rapidement. Ce graphique montre la décroissance pour la constante de décroissance (λ) de 25, 5, 1, 1/5 et 1/25 pour x de 0 à 5.

Une quantité est sujette à une décroissance exponentielle si elle diminue à un taux proportionnel à sa valeur actuelle. Symboliquement, ce processus peut être exprimé par l'équation différentielle suivante, où N est la quantité et λ (lambda) est un taux positif appelé constante de décroissance exponentielle :

La solution de cette équation (voir dérivation ci-dessous) est :

N ( t ) est la quantité au temps t , N 0 = N (0) est la quantité initiale, c'est-à-dire la quantité au temps t = 0, et la constante λ est appelée constante de décroissance , constante de désintégration , [1 ] constante de vitesse , [2] ou constante de transformation . [3]

Mesurer les taux de décroissance

Durée de vie moyenne

Si la quantité décroissante, N ( t ), est le nombre d'éléments discrets dans un certain ensemble , il est possible de calculer la durée moyenne pendant laquelle un élément reste dans l'ensemble. C'est ce qu'on appelle la durée de vie moyenne (ou simplement la durée de vie ), où la constante de temps exponentielle ,, se rapporte au taux de décroissance, λ, de la manière suivante :

La durée de vie moyenne peut être considérée comme un "temps de mise à l'échelle", car l'équation de décroissance exponentielle peut être écrite en termes de durée de vie moyenne,, au lieu de la constante de décroissance, λ :

et celaest le moment auquel la population de l'assemblage est réduite à 1/ e ≈ 0,367879441 fois sa valeur initiale.

Par exemple, si la population initiale de l'assemblage, N (0), est de 1 000, alors la population au moment,, vaut 368.

Une équation très similaire sera vue ci-dessous, qui survient lorsque la base de l'exponentielle est choisie pour être 2, plutôt que e . Dans ce cas, le temps de mise à l'échelle est la "demi-vie".

Demi-vie

Une caractéristique plus intuitive de la décroissance exponentielle pour de nombreuses personnes est le temps nécessaire pour que la quantité décroissante tombe à la moitié de sa valeur initiale. (Si N ( t ) est discret, il s'agit de la durée de vie médiane plutôt que de la durée de vie moyenne.) Cette durée est appelée demi-vie , et souvent désignée par le symbole t 1/2 . La demi-vie peut être écrite en termes de constante de décroissance, ou de durée de vie moyenne, comme suit :

Lorsque cette expression est insérée pourdans l'équation exponentielle ci-dessus, et ln 2 est absorbé dans la base, cette équation devient :

Ainsi, la quantité de matière restante est de 2 −1  = 1/2 augmentée au nombre (entier ou fractionnaire) de demi-vies qui se sont écoulées. Ainsi, après 3 demi-vies, il restera 1/2 3  = 1/8 du matériau d'origine.

Par conséquent, la durée de vie moyenneest égal à la demi-vie divisée par le logarithme naturel de 2, ou :

Par exemple, le polonium-210 a une demi-vie de 138 jours et une durée de vie moyenne de 200 jours.

Solution de l'équation différentielle

L'équation qui décrit la décroissance exponentielle est

soit, en réarrangeant (en appliquant la technique dite de séparation des variables ),

En intégrant, nous avons

où C est la constante d'intégration , et donc

où la substitution finale, N 0 = e C , est obtenue en évaluant l'équation à t = 0, N 0 étant défini comme étant la quantité à t = 0.

C'est la forme de l'équation la plus couramment utilisée pour décrire la décroissance exponentielle. L'une quelconque des constantes de désintégration, de la durée de vie moyenne ou de la demi-vie est suffisante pour caractériser la désintégration. La notation λ pour la constante de décroissance est un vestige de la notation habituelle pour une valeur propre . Dans ce cas, λ est la valeur propre du négatif de l' opérateur différentiel avec N ( t ) comme fonction propre correspondante . Les unités de la constante de décroissance sont s −1 [ citation nécessaire ] .

Dérivation de la durée de vie moyenne

Etant donné un assemblage d'éléments dont le nombre finit par décroître jusqu'à zéro, la durée de vie moyenne ,, (également appelé simplement durée de vie ) est la valeur attendue de la durée avant qu'un objet ne soit supprimé de l'assembly. Plus précisément, si la durée de vie individuelle d'un élément de l'assemblage est le temps écoulé entre un temps de référence et le retrait de cet élément de l'assemblage, la durée de vie moyenne est la moyenne arithmétique des durées de vie individuelles.

A partir de la formule de population

soit d'abord c le facteur de normalisation à convertir en une fonction de densité de probabilité :

ou, en réarrangeant,

La décroissance exponentielle est un multiple scalaire de la distribution exponentielle (c'est-à-dire que la durée de vie individuelle de chaque objet est distribuée de manière exponentielle), qui a une valeur attendue bien connue . Nous pouvons le calculer ici en utilisant l' intégration par parties .

Décroissance par deux processus ou plus

Une quantité peut se désintégrer via deux processus différents ou plus simultanément. En général, ces processus (souvent appelés "modes de désintégration", "canaux de désintégration", "routes de désintégration", etc.) ont des probabilités différentes de se produire, et se produisent donc à des vitesses différentes avec des demi-vies différentes, en parallèle. Le taux de décroissance total de la quantité  N est donné par la somme des voies de décroissance ; ainsi, dans le cas de deux processus :

La solution de cette équation est donnée dans la section précédente, où la somme deest traitée comme une nouvelle constante de décroissance totale.

La durée de vie moyenne partielle associée aux processus individuels est par définition l' inverse multiplicatif de la constante de décroissance partielle correspondante :. Un combinépeut être donnée en termes des :

Puisque les demi-vies diffèrent de la durée de vie moyennepar un facteur constant, la même équation tient en termes des deux demi-vies correspondantes :

est la demi-vie combinée ou totale du procédé,etsont les soi- disant demi-vies partielles des processus correspondants. Les termes «demi-vie partielle» et «vie moyenne partielle» désignent des quantités dérivées d'une constante de décroissance comme si le mode de décroissance donné était le seul mode de décroissance pour la quantité. Le terme "demi-vie partielle" est trompeur, car il ne peut pas être mesuré comme un intervalle de temps pendant lequel une certaine quantité est divisée par deux .

En termes de constantes de décroissance séparées, la demi-vie totalepeut se montrer

Pour une désintégration par trois processus exponentiels simultanés, la demi-vie totale peut être calculée comme ci-dessus :

Décroissance série / décroissance couplée

En science nucléaire et en pharmacocinétique , l'agent d'intérêt peut être situé dans une chaîne de désintégration, où l'accumulation est régie par la décroissance exponentielle d'un agent source, tandis que l'agent d'intérêt lui-même se désintègre au moyen d'un processus exponentiel.

Ces systèmes sont résolus à l'aide de l' équation de Bateman .

Dans le cadre de la pharmacologie, certaines substances ingérées peuvent être absorbées dans le corps par un processus raisonnablement modélisé comme une décroissance exponentielle, ou peuvent être délibérément formulées pour avoir un tel profil de libération.

Applications et exemples

La décroissance exponentielle se produit dans une grande variété de situations. La plupart d'entre eux relèvent du domaine des sciences naturelles .

De nombreux processus de désintégration, souvent traités comme exponentiels, ne sont en réalité qu'exponentiels tant que l'échantillon est grand et que la loi des grands nombres est valable. Pour les petits échantillons, une analyse plus générale est nécessaire, tenant compte d'un processus de Poisson .

Sciences naturelles

Sciences sociales

  • Financement : un fonds de retraite se désintégrera de manière exponentielle étant soumis à des montants de paiement discrets, généralement mensuels, et à une entrée soumise à un taux d'intérêt continu. Une équation différentielle dA/dt = entrée – sortie peut être écrite et résolue pour trouver le temps nécessaire pour atteindre tout montant A restant dans le fonds.
  • En glottochronologie simple , l'hypothèse (discutable) d'un taux de déclin constant des langues permet d'estimer l'âge des langues uniques. (Calculer le temps de séparation entre deux langues nécessite des hypothèses supplémentaires, indépendantes de la décroissance exponentielle).

Informatique

  • Le protocole de routage central sur Internet , BGP , doit maintenir une table de routage afin de se souvenir des chemins vers lesquels un paquet peut être dévié. Lorsque l'un de ces chemins change à plusieurs reprises son état de disponible à non disponible (et vice versa ), le routeur BGP contrôlant ce chemin doit ajouter et supprimer à plusieurs reprises l'enregistrement de chemin de sa table de routage ( batte le chemin), dépensant ainsi des ressources locales telles que comme CPU et RAMet, plus encore, la diffusion d'informations inutiles vers des routeurs pairs. Pour éviter ce comportement indésirable, un algorithme nommé route flapping damping attribue à chaque route un poids qui augmente chaque fois que la route change d'état et décroît de façon exponentielle avec le temps. Lorsque le poids atteint une certaine limite, plus aucun battement n'est effectué, supprimant ainsi la route.
Graphiques comparant les temps de doublement et les demi-vies des croissances exponentielles (lignes en gras) et de la décroissance (lignes pâles), et leurs approximations 70/ t et 72/ t . Dans la version SVG , passez la souris sur un graphique pour le mettre en surbrillance ainsi que son complément.

Voir aussi

Remarques

  1. ^ Serway (1989 , p. 384)
  2. ^ Simmons (1972 , p. 15)
  3. ^ McGraw Hill (2007)
  4. ^ Leike, A. (2002). "Démonstration de la loi de décroissance exponentielle en utilisant de la mousse de bière". Journal européen de physique . 23 (1): 21–26. Bibcode : 2002EJPh...23...21L . CiteSeerX  10.1.1.693.5948 . doi : 10.1088/0143-0807/23/1/304 .

Références

Liens externes