Caractérisation (mathématiques)

En mathématiques , une caractérisation d'un objet est un ensemble de conditions qui, bien que différentes de la définition de l'objet, lui sont logiquement équivalentes. [1] Dire que « la propriété P caractérise l'objet X », c'est dire que non seulement X a la propriété P , mais que X est la seule chose qui a la propriété P (c'est-à-dire que P est une propriété définissant X ). De même, un ensemble de propriétés P est dit caractériser X , lorsque ces propriétés distinguent Xde tous les autres objets. Même si une caractérisation identifie un objet de manière unique, plusieurs caractérisations peuvent exister pour un même objet. Les expressions mathématiques courantes pour une caractérisation de X en termes de P incluent « P est nécessaire et suffisant pour X », et « X est valable si et seulement si P ».

Il est également courant de trouver des énoncés tels que "La propriété Q caractérise Y à isomorphisme près ". Le premier type d'énoncé dit en des termes différents que l' extension de P est un ensemble singleton , tandis que le second dit que l'extension de Q est une seule classe d'équivalence (pour l'isomorphisme, dans l'exemple donné - en fonction de la façon dont jusqu'à est utilisé , une autre relation d'équivalence pourrait être impliquée).

Une référence sur la terminologie mathématique note que la caractéristique provient du terme grec kharax , "un pieu pointu":

Du grec kharax est venu kharakhter , un instrument utilisé pour marquer ou graver un objet. Une fois qu'un objet a été marqué, il est devenu distinctif, de sorte que le caractère de quelque chose en est venu à signifier sa nature distinctive. Le suffixe grec tardif -istikos a converti le caractère nominal en l'adjectif caractéristique , qui, en plus de conserver sa signification adjectivale, est également devenu plus tard un nom. [2]

Tout comme en chimie, la propriété caractéristique d'un matériau servira à identifier un échantillon, ou dans l'étude des matériaux, les structures et les propriétés détermineront la caractérisation , en mathématiques, il y a un effort continu pour exprimer les propriétés qui distingueront une caractéristique souhaitée dans un théorie ou système. La caractérisation n'est pas propre aux mathématiques, mais puisque la science est abstraite, une grande partie de l'activité peut être décrite comme « caractérisation ». Par exemple, dans Mathematical Reviews , en 2018, plus de 24 000 articles contiennent le mot dans le titre de l'article et 93 600 quelque part dans la revue.

Dans un contexte arbitraire d'objets et de traits, les caractérisations ont été exprimées via la relation hétérogène aRb , signifiant que l'objet a a le trait b . Par exemple, b peut signifier abstrait ou concret . Les objets peuvent être considérés comme des extensions du monde, tandis que les traits sont l'expression des intentions . Un programme continu de caractérisation de divers objets conduit à leur catégorisation .

Exemples

  • Un nombre rationnel , généralement défini comme un rapport de deux nombres entiers, peut être caractérisé comme un nombre avec une expansion décimale finie ou répétitive . [1]
  • Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. L'une de ses caractéristiques est que ses diagonales se coupent en leur milieu. Cela signifie que les diagonales de tous les parallélogrammes se coupent en leur milieu, et inversement, que tout quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu doit être un parallélogramme. Cette dernière affirmation n'est vraie que si des définitions inclusives des quadrilatères sont utilisées (de sorte que, par exemple, les rectangles comptent comme des parallélogrammes), ce qui est la manière dominante de définir les objets en mathématiques de nos jours.
  • "Parmi les distributions de probabilité sur l'intervalle de 0 à ∞ sur la droite réelle, l'absence de mémoire caractérise les distributions exponentielles ." Cette déclaration signifie que les distributions exponentielles sont les seules distributions de probabilité sans mémoire, à condition que la distribution soit continue comme défini ci-dessus (voir Caractérisation des distributions de probabilité pour plus d'informations).
  • "Selon le théorème de Bohr-Mollerup , parmi toutes les fonctions f telles que f (1) = 1 et xf ( x ) = f ( x + 1) pour x > 0, la log-convexité caractérise la fonction gamma ." Cela signifie que parmi toutes ces fonctions, la fonction gamma est la seule qui soit log-convexe. [3]
  • Le cercle est caractérisé comme une variété en étant unidimensionnel, compact et connexe ; ici la caractérisation, en tant que variété lisse, relève du difféomorphisme .

Voir également

Les références

  1. ^ un b Weisstein, Eric W. "Caractérisation". mathworld.wolfram.com . Récupéré le 21/11/2019 .
  2. ^ Steven Schwartzmann (1994) The Words of Mathematics: Un dictionnaire étymologique des termes mathématiques utilisés en anglais , page 43, The Mathematical Association of America ISBN 0-88385-511-9 
  3. ^ Une fonction f est log-convexe si et seulement si log( f ) est une fonction convexe . La base du logarithme n'a pas d'importance tant qu'elle est supérieure à 1, mais les mathématiciens prennent généralement "log" sans indice pour désigner le logarithme naturel , dont la base est e .