ساختار جبری

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

در ریاضیات ، یک ساختار جبری شامل یک مجموعه غیرخالی A ( به نام مجموعه زیربنایی ، مجموعه حامل یا دامنه )، مجموعه‌ای از عملیات روی A با آریتی محدود (معمولاً عملیات باینری )، و مجموعه‌ای محدود از هویت‌ها ، که به بدیهیات معروف هستند ، تشکیل می‌شود. که این عملیات باید برآورده شود.

یک ساختار جبری ممکن است بر اساس ساختارهای جبری دیگر با عملیات و بدیهیات شامل چندین ساختار باشد. به عنوان مثال، یک فضای برداری شامل ساختار دومی به نام فیلد و عملیاتی به نام ضرب اسکالر بین عناصر میدان (به نام اسکالر ) و عناصر فضای برداری (به نام بردار ) است.

در زمینه جبر جهانی ، مجموعه A با این ساختار جبر نامیده می شود ، [1] در حالی که در سایر زمینه ها (تا حدودی مبهم) ساختار جبری نامیده می شود ، اصطلاح جبر برای ساختارهای جبری خاصی که بردار هستند اختصاص داده می شود. فضاهای روی یک میدان یا ماژول ها روی یک حلقه جابجایی .

خصوصیات ساختارهای جبری خاص در جبر انتزاعی بررسی می شود . نظریه کلی ساختارهای جبری در جبر جهانی رسمیت یافته است. زبان نظریه مقوله برای بیان و مطالعه روابط بین طبقات مختلف اشیاء جبری و غیر جبری استفاده می شود. این به این دلیل است که گاهی اوقات می توان ارتباطات قوی بین برخی از کلاس های اشیاء، گاهی اوقات انواع مختلف پیدا کرد. به عنوان مثال، نظریه گالوا ارتباطی بین حوزه‌ها و گروه‌های خاصی برقرار می‌کند: دو ساختار جبری از انواع مختلف.

مقدمه

جمع و ضرب اعداد واقعی نمونه های اولیه عملیاتی هستند که دو عنصر از یک مجموعه را برای تولید عنصر سوم مجموعه ترکیب می کنند. این عملیات از چندین قانون جبری تبعیت می کنند. به عنوان مثال، a + ( b + c ) = ( a + b ) + c و a ( bc ) = ( ab ) c به عنوان قوانین انجمنی . همچنین a + b = b + a و ab = ba به عنوان قوانین جابجایی.بسیاری از سیستم‌هایی که توسط ریاضیدانان مورد مطالعه قرار گرفته‌اند، عملیات‌هایی دارند که از برخی، اما نه لزوماً از همه قوانین ریاضی معمولی پیروی می‌کنند. به عنوان مثال، چرخش یک جسم در فضای سه بعدی را می توان با انجام چرخش اول روی جسم و سپس اعمال چرخش دوم بر روی آن در جهت گیری جدید آن که توسط چرخش قبلی انجام شده است، ترکیب کرد. چرخش به عنوان یک عملیات از قانون تداعی تبعیت می کند، اما می تواند قانون جابجایی را برآورده نکند.

ریاضیدانان به مجموعه هایی با یک یا چند عملیات که از مجموعه خاصی از قوانین پیروی می کنند نام می گذارند و آنها را به صورت انتزاعی به عنوان ساختارهای جبری مطالعه می کنند. وقتی بتوان یک مسئله جدید را نشان داد که از قوانین یکی از این ساختارهای جبری پیروی می کند، تمام کارهایی که در گذشته روی آن دسته انجام شده است می تواند برای مسئله جدید اعمال شود.

به طور کلی، ساختارهای جبری ممکن است شامل مجموعه‌ای دلخواه از عملیات باشد، از جمله عملیاتی که بیش از دو عنصر را با هم ترکیب می‌کند ( عملیات آریتی بالاتر ) و عملیاتی که فقط یک آرگومان را می‌گیرد ( عملیات واحد ). نمونه هایی که در اینجا استفاده می شوند به هیچ وجه یک لیست کامل نیستند، بلکه به عنوان یک لیست معرف و شامل رایج ترین ساختارها هستند. فهرست های طولانی تری از ساختارهای جبری را می توان در پیوندهای خارجی و در رده:ساختارهای جبری یافت. سازه ها به ترتیب تقریبی با افزایش پیچیدگی فهرست شده اند.

مثالها

یک مجموعه با عملیات

ساختارهای ساده : بدون عملیات باینری :

  • مجموعه : یک ساختار جبری منحط S که هیچ عملیاتی ندارد.
  • مجموعه نوک تیز : S دارای یک یا چند عنصر متمایز است، اغلب 0، 1 یا هر دو.
  • سیستم Unary: S و یک عملیات واحد بر روی S.
  • سیستم یکنواختی نقطه‌ای : یک سیستم یکنواخت بایک مجموعه نوک تیز S.

ساختارهای گروه مانند : یک عملیات باینری. عملیات دودویی را می توان با هر نماد یا بدون علامت (کنار هم) نشان داد، همانطور که برای ضرب معمولی اعداد واقعی انجام می شود.

ساختارهای حلقه مانند یا Ringoids : دو عملیات دوتایی، که اغلب جمع و ضرب نامیده می شوند ، با توزیع ضرب بر جمع.

  • Semiring : حلقه ای به گونه ای که S تحت هر عمل یک مونوئید است. جمع معمولاً جابجایی و تداعی در نظر گرفته می شود، و حاصلضرب مونوئیدی فرض می شود که بر روی جمع در هر دو طرف توزیع می شود، و هویت افزودنی 0 یک عنصر جاذب است به این معنا که 0  x = 0 برای همه x ها .
  • حلقه نزدیک : نیم حلقه ای که مونوئید افزودنی آن یک گروه (نه لزوما آبلی) است.
  • حلقه : نیم بند که مونوئید افزودنی آن یک گروه آبلی است.
  • حلقه دروغ : حلقه ای که مونوئید افزودنی آن یک گروه آبلی است، اما عملیات ضربی آن هویت ژاکوبی را به جای تداعی ارضا می کند.
  • حلقه جابجایی : حلقه ای که در آن عملیات ضرب به صورت جابجایی است.
  • حلقه بولی : یک حلقه جابجایی با عملیات ضرب بی توان.
  • فیلد : یک حلقه جابجایی که حاوی یک معکوس ضربی برای هر عنصر غیر صفر است.
  • جبرهای کلین : یک نیم‌شکل با جمع بی‌توان و یک عملیات واحد، ستاره کلین ، که ویژگی‌های اضافی را برآورده می‌کند.
  • *-جبر : حلقه ای با یک عملیات واحد اضافی (*) که ویژگی های اضافی را برآورده می کند.

ساختارهای شبکه : دو یا چند عملیات باینری، از جمله عملیاتی به نام ملاقات و اتصال ، که توسط قانون جذب به هم متصل می شوند . [3]

  • شبکه کامل : شبکه ای که در آن تلاقی و اتصال دلخواه وجود دارد.
  • شبکه محدود : شبکه ای با بیشترین عنصر و کمترین عنصر.
  • شبکه تکمیل شده: یک شبکه محدود با عملیات یکنواخت، مکمل، که با پسوند نشان داده می شود . پیوستن یک عنصر به مکمل آن بزرگترین عنصر و ملاقات دو عنصر کمترین عنصر است.
  • شبکه مدولار : شبکه ای که عناصر آن هویت مدولار اضافی را برآورده می کند .
  • شبکه توزیعی : شبکه ای که در آن هر یک از یکدیگر ملاقات و به یکدیگر متصل می شوند . شبکه های توزیعی مدولار هستند، اما برعکس این حالت برقرار نیست.
  • جبر بولی : یک شبکه توزیعی تکمیل شده. هر یک از ملاقات یا join را می توان بر حسب دیگری و مکمل تعریف کرد. این را می توان با ساختار حلقه مانندی به همین نام در بالا نشان داد.
  • جبر هیتینگ : یک شبکه توزیعی محدود با یک عملیات باینری اضافه شده، شبه مکمل نسبی ، که با پسوند → نشان داده می شود و توسط بدیهیات اداره می شود:
    • x  →  x = 1
    • x  ( x  →  y ) = x y
    • y  ( x  →  y ) = y
    • x  → ( y z ) = ( x  →  y ) ( x  →  z )

حساب : دو عمل باینری جمع و ضرب. S یک مجموعه بی نهایت است . حساب‌ها سیستم‌های تک نقطه‌ای هستند که عملیات تکی آن‌ها جانشین تزریقی و با عنصر متمایز 0 است.

  • محاسبات رابینسون جمع و ضرب به صورت بازگشتی با استفاده از جانشین تعریف می شوند. 0 عنصر هویت جمع است و ضرب را از بین می برد. محاسبات رابینسون در اینجا فهرست شده است، حتی اگر یک تنوع باشد، به دلیل نزدیکی آن به حساب Peano.
  • حساب پیانو . محاسبات رابینسون با طرح بدیهی استقرایی . بیشتر بدیهیات حلقه و میدان که بر خواص جمع و ضرب مربوط می‌شوند، قضایای حساب Peano یا پسوندهای مناسب آن هستند.

دو مجموعه با عملیات

ساختارهای ماژول مانند: سیستم های ترکیبی شامل دو مجموعه و حداقل دو عملیات باینری.

ساختارهای جبر مانند : سیستم ترکیبی که در دو مجموعه تعریف می شود، یک حلقه R و یکمدول R - M مجهز به عملیاتی به نام ضرب. این را می توان به عنوان یک سیستم با پنج عملیات باینری مشاهده کرد: دو عملیات در R ، دو عملیات در M و یکی شامل هر دو R و M.

  • جبر روی یک حلقه (همچنین جبر R ): یک ماژول روی یک حلقه جابجایی R ، که همچنین عملیات ضرب را انجام می دهد که با ساختار ماژول سازگار است. این شامل توزیع بر جمع و خطی بودن با توجه به ضرب در عناصر R است. نظریه جبر بر روی یک میدان به ویژه توسعه یافته است.
  • جبر انجمنی : جبری بر روی حلقه به طوری که ضرب انجمنی باشد.
  • جبر غیر انجمنی : یک ماژول روی یک حلقه جابجایی، مجهز به عملیات ضرب حلقه که لزوماً ارتباطی نیست. غالباً تداعی با هویت متفاوتی مانند تناوب ، هویت ژاکوبی یا هویت جردن جایگزین می‌شود .
  • Coalgebra : یک فضای برداری با یک "ضرب" که به طور دوگانه با جبرهای انجمنی تعریف شده است.
  • جبر دروغ : نوع خاصی از جبر غیر انجمنی که محصول آن هویت ژاکوبی را برآورده می کند .
  • Lie coalgebra : یک فضای برداری با یک "ضرب" که به طور دوگانه با جبرهای Lie تعریف شده است.
  • جبر درجه بندی شده: یک فضای برداری درجه بندی شده با ساختار جبری سازگار با درجه بندی. ایده این است که اگر نمرات دو عنصر a و b مشخص باشد، درجه ab مشخص است، و بنابراین محل محصول ab در تجزیه مشخص می شود.
  • فضای محصول داخلی : یک فضای برداری F با فرم دوخطی مشخص V × VF.

چهار یا چند عملیات باینری:

ساختارهای ترکیبی

ساختارهای جبری همچنین می توانند با ساختار اضافه شده با ماهیت غیر جبری، مانند نظم جزئی یا توپولوژی ، همزیستی کنند . ساختار اضافه شده باید به نوعی با ساختار جبری سازگار باشد.

جبر جهانی

ساختارهای جبری از طریق پیکربندی های مختلف بدیهیات تعریف می شوند . جبر جهانی به طور انتزاعی چنین اشیایی را مطالعه می کند. یک دوگانگی عمده بین ساختارهایی است که به طور کامل توسط هویت ها بدیهی شده اند و ساختارهایی که اینطور نیستند. اگر همه بدیهیات تعریف کننده یک کلاس از جبرها هویت هستند، پس این کلاس یک تنوع است (نباید با انواع جبری هندسه جبری اشتباه شود ).

هویت ها معادلاتی هستند که تنها با استفاده از عملیاتی که ساختار اجازه می دهد و متغیرهایی که بطور ضمنی به طور کلی در جهان مربوطه کمیت می شوند، فرموله می شوند . هویت‌ها هیچ پیوندی ، متغیرهای کمی وجودی یا رابطه‌ای به جز عملیات مجاز ندارند. مطالعه انواع بخش مهمی از جبر جهانی است . یک ساختار جبری در انواع مختلف را می توان به عنوان جبر نسبی جبر اصطلاحی (که « جبر کاملاً آزاد » نیز نامیده می شود) تقسیم بر روابط هم ارزی ایجاد شده توسط مجموعه ای از هویت ها فهمید. بنابراین، مجموعه ای از توابع با امضاهای داده شدهجبر آزاد را ایجاد کنید، اصطلاح جبر T. با توجه به مجموعه‌ای از هویت‌های معادله (بدیهیات)، می‌توان بسته متقارن و گذرا E را در نظر گرفت. جبر ضریب T / E ساختار یا تنوع جبری است. بنابراین، برای مثال، گروه ها دارای امضایی هستند که شامل دو عملگر است: عملگر ضرب m که دو آرگومان می گیرد و عملگر معکوس i که یک آرگومان را می گیرد و عنصر هویت e که یک ثابت است که ممکن است عملگر صفر در نظر گرفته شود. استدلال ها مجموعه ای (قابل شمارش) از متغیرهای x , y , z داده می شودو غیره اصطلاح جبر مجموعه ای از تمام اصطلاحات ممکن است که شامل m , i , e و متغیرها می شود. بنابراین برای مثال، m ( i ( xm ( x ، m ( y ، e ))) عنصری از اصطلاح جبر خواهد بود. یکی از بدیهیات تعریف گروه، هویت m ( x , i ( x )) = e ; دیگری m ( x , e ) = x است. بدیهیات را می توان به صورت درختی نشان داد. این معادلات کلاس های هم ارزی را در جبر آزاد القا می کنند . جبر ضریب ساختار جبری یک گروه را دارد.

برخی از ساختارها تنوع ایجاد نمی کنند، زیرا:

  1. لازم است که 0 ≠ 1، 0 عنصر هویت افزایشی و 1 عنصر هویتی ضربی باشد، اما این یک غیرهویت است.
  2. ساختارهایی مانند فیلدها دارای برخی بدیهیات هستند که فقط برای اعضای غیر صفر S وجود دارد. برای اینکه یک ساختار جبری تنوع داشته باشد، عملیات آن باید برای همه اعضای S تعریف شود . هیچ عملیات جزئی نمی تواند وجود داشته باشد.

ساختارهایی که بدیهیات آنها به طور اجتناب ناپذیری شامل غیرهویت ها می شود، از مهمترین آنها در ریاضیات هستند، به عنوان مثال، میدان ها و حلقه های تقسیم . ساختارهای فاقد هویت، چالش‌هایی را ایجاد می‌کنند که انواع آن‌ها چنین نیستند. به عنوان مثال، حاصلضرب مستقیم دو فیلد ، میدان نیست، زیرا، اما فیلدها مقسوم علیه صفر ندارند .

نظریه مقوله

نظریه مقوله ابزار دیگری برای مطالعه ساختارهای جبری است (برای مثال به مک لین 1998 مراجعه کنید). مقوله مجموعه ای از اشیا با مورفیسم های مرتبط است. هر ساختار جبری مفهوم خاص خود را از هممورفیسم دارد، یعنی هر تابعی که با عملیات (عملیات) تعریف کننده ساختار سازگار باشد. به این ترتیب، هر ساختار جبری یک دسته را ایجاد می کند. به عنوان مثال، دسته گروه ها همه گروه ها را به عنوان اشیا و همه هممورفیسم های گروهی را به عنوان مورفیسم دارند. این دسته بتن ممکن است به عنوان دسته ای از مجموعه ها دیده شودبا ساختار نظری دسته بندی اضافه شده است. به همین ترتیب، مقوله گروه‌های توپولوژیکی (که مورفیسم‌های آن‌ها هممورفیسم‌های گروهی پیوسته هستند) دسته‌ای از فضاهای توپولوژیکی با ساختار اضافی هستند. عامل فراموش‌کار بین دسته‌هایی از ساختارهای جبری، بخشی از یک ساختار را «فراموش می‌کند».

برای مثال، مفاهیم مختلفی در نظریه مقوله‌ها وجود دارد که سعی می‌کنند ویژگی جبری یک زمینه را به تصویر بکشند.

معانی مختلف "ساختار"

در یک سوء استفاده جزئی از نماد ، کلمه "ساختار" همچنین می تواند به جای خود مجموعه زیربنایی، فقط به عملیات روی یک ساختار اشاره کند. به عنوان مثال، جمله "ما ساختار حلقه ای را در مجموعه تعریف کرده ایم"به این معنی است که ما عملیات حلقه را در مجموعه تعریف کرده ایم. برای مثال دیگر، گروهرا می توان به عنوان یک مجموعه مشاهده کردکه مجهز به ساختار جبری، یعنی عملیات است .

همچنین مشاهده کنید

یادداشت ها

  1. ^ PM Cohn. (1981) جبر جهانی ، اسپرینگر، ص. 41.
  2. جاناتان دی اچ اسمیت (15 نوامبر 2006). مقدمه ای بر شبه گروه ها و نمایندگی های آنها . چپمن و هال شابک 9781420010633. بازیابی شده در 02-08-2012 .
  3. ^ حلقه‌ها و شبکه‌ها را می‌توان با وجود داشتن دو عملیات باینری تعیین‌کننده به وضوح تشخیص داد. در مورد رینگوئیدها، این دو عملیات توسط قانون توزیع به هم مرتبط هستند . در مورد شبکه ها، آنها توسط قانون جذب به هم مرتبط هستند . رینگوئیدها همچنین تمایل به مدل‌های عددی دارند ، در حالی که شبکه‌ها تمایل بهمدل‌های تئوری مجموعه دارند.

منابع

نظریه مقوله

پیوندهای خارجی