Categoría Lusternik-Schnirelmann

En matemáticas , la categoría Lyusternik-Schnirelmann (o categoría Lusternik-Schnirelmann , categoría LS ) de un espacio topológico es la invariante de homotopía definida como el número entero más pequeño tal que haya una cobertura abierta con la propiedad de que cada mapa de inclusión es nulohomotópico . Por ejemplo, si es una esfera, toma el valor dos.

A veces se adopta una normalización diferente del invariante, que es uno menos que la definición anterior. Esta normalización ha sido adoptada en la monografía definitiva de Cornea, Lupton, Oprea y Tanré (ver más abajo).

En general, no es fácil calcular esta invariante, que fue introducida inicialmente por Lazar Lyusternik y Lev Schnirelmann en relación con problemas variacionales . Tiene una estrecha conexión con la topología algebraica , en particular con la longitud de copa . En la normalización moderna, la longitud de la copa es un límite inferior para la categoría LS.

Era, como se definió originalmente para el caso de una variedad , el límite inferior para el número de puntos críticos que podría poseer una función de valor real (esto debe compararse con el resultado de la teoría de Morse que muestra que la suma de las variables de Betti números es un límite inferior para el número de puntos críticos de una función Morse).

La invariante se ha generalizado en varias direcciones diferentes (acciones grupales, foliaciones , complejos simpliciales , etc.).

Ver también

Referencias

  • Ralph H. Fox , Sobre la categoría Lusternik-Schnirelmann, Annals of Mathematics 42 (1941), 333–370.
  • Floris Takens , El número mínimo de puntos críticos de una función en variedades compactas y la categoría Lusternik-Schnirelmann , Inventiones Mathematicae 6 (1968), 197–244.
  • Tudor Ganea , Algunos problemas sobre invariantes de homotopía numérica , Lecture Notes in Math. 249 (Springer, Berlín, 1971), págs. 13 – 22 MR 0339147
  • Ioan James , Sobre la categoría, en el sentido de Lusternik-Schnirelmann, Topology 17 (1978), 331–348.
  • Mónica Clapp y Dieter Puppe, Invariantes del tipo Lusternik-Schnirelmann y la topología de conjuntos críticos , Transactions of the American Mathematical Society 298 (1986), núm. 2, 603–620.
  • Octav Cornea, Gregory Lupton, John Oprea, Daniel Tanré, categoría Lusternik-Schnirelmann , Encuestas y monografías matemáticas, 103. Sociedad Matemática Estadounidense , Providence, RI, 2003 ISBN 0-8218-3404-5 
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