Categoría (matemáticas)

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Esta es una categoría con una colección de objetos A, B, C y una colección de morfismos denotados f, g, g ∘ f , y los bucles son las flechas de identidad. Esta categoría generalmente se indica con una negrita 3 .

En matemáticas , una categoría (a veces llamada categoría abstracta para distinguirla de una categoría concreta ) es una colección de "objetos" que están vinculados por "flechas". Una categoría tiene dos propiedades básicas: la capacidad de componer las flechas de forma asociativa y la existencia de una flecha de identidad para cada objeto. Un ejemplo sencillo es la categoría de conjuntos , cuyos objetos son conjuntos y cuyas flechas son funciones .

La teoría de categorías es una rama de las matemáticas que busca generalizar todas las matemáticas en términos de categorías, independientemente de lo que representen sus objetos y flechas. Prácticamente todas las ramas de las matemáticas modernas se pueden describir en términos de categorías, y al hacerlo, a menudo se revelan profundas ideas y similitudes entre áreas aparentemente diferentes de las matemáticas. Como tal, la teoría de categorías proporciona una base alternativa para las matemáticas a la teoría de conjuntos y otras bases axiomáticas propuestas. En general, los objetos y las flechas pueden ser entidades abstractas de cualquier tipo, y la noción de categoría brinda una forma fundamental y abstracta de describir las entidades matemáticas y sus relaciones.

Además de formalizar las matemáticas, la teoría de categorías también se utiliza para formalizar muchos otros sistemas en informática, como la semántica de los lenguajes de programación .

Dos categorías son iguales si tienen la misma colección de objetos, la misma colección de flechas y el mismo método asociativo para componer cualquier par de flechas. Dos categorías diferentes también pueden considerarse " equivalentes " a los efectos de la teoría de categorías, aunque no tengan exactamente la misma estructura.

Las categorías bien conocidas se denotan con una palabra breve en mayúscula o una abreviatura en negrita o cursiva: los ejemplos incluyen Conjunto , la categoría de conjuntos y funciones de conjuntos ; Anillo , la categoría de anillos y homomorfismos de anillos ; y Top , la categoría de espacios topológicos y mapas continuos . Todas las categorías anteriores tienen el mapa de identidad como flechas de identidad y la composición como la operación asociativa sobre flechas.

El texto clásico y todavía muy utilizado sobre la teoría de categorías es Categorías para el matemático en activo de Saunders Mac Lane . Otras referencias se dan en las Referencias a continuación. Las definiciones básicas de este artículo se encuentran en los primeros capítulos de cualquiera de estos libros.

Estructuras similares a grupos
Totalidad α Asociatividad Identidad División conmutatividad
semigrupoide innecesario Requerido innecesario innecesario innecesario
Categoría pequeña innecesario Requerido Requerido innecesario innecesario
grupoide innecesario Requerido Requerido Requerido innecesario
Magma Requerido innecesario innecesario innecesario innecesario
cuasigrupo Requerido innecesario innecesario Requerido innecesario
Magma unitario Requerido innecesario Requerido innecesario innecesario
semigrupo Requerido Requerido innecesario innecesario innecesario
Círculo Requerido innecesario Requerido Requerido innecesario
monoide Requerido Requerido Requerido innecesario innecesario
Grupo Requerido Requerido Requerido Requerido innecesario
monoide conmutativo Requerido Requerido Requerido innecesario Requerido
grupo abeliano Requerido Requerido Requerido Requerido Requerido
Elcierre, utilizado por muchas fuentes y definido de manera diferente, es equivalente.

Cualquier monoide puede entenderse como un tipo especial de categoría (con un solo objeto cuyos automorfismos están representados por los elementos del monoide), al igual que cualquier preorden .

Definición

Hay muchas definiciones equivalentes de una categoría. [1] Una definición comúnmente utilizada es la siguiente. Una categoría C consiste en

  • una clase ob( C ) de objetos ,
  • una clase hom( C ) de morfismos , o flechas , o mapas entre los objetos,
  • una función de clase de objeto de origen o de dominio,
  • un codominio o función de clase de objeto de destino,
  • por cada tres objetos a , b y c , una operación binaria hom( a , b ) × hom( b , c ) → hom( a , c ) llamada composición de morfismos ; la composición de f  : ab y g  : bc se escribe como gf o gf . (Algunos autores usan "orden esquemático", escribiendo f;g o fg ).

Nota: aquí hom( a , b ) denota la subclase de morfismos f en hom( C ) tal quey. Tales morfismos a menudo se escriben como f  : ab .

tal que se cumplen los siguientes axiomas:

  • ( asociatividad ) si f  : ab , g  : bc y h  : cd entonces h ∘ ( gf ) = ( hg ) ∘ f , y
  • ( identidad ) para todo objeto x , existe un morfismo 1 x  : xx (algunos autores escriben id x ) llamado morfismo identidad para x , tal que todo morfismo f  : ax satisface 1 xf = f , y todo morfismo g  : xb satisface g ∘ 1 x = g .

Escribimos f : ab , y decimos " f es un morfismo de a a b ". Escribimos hom( a , b ) (u hom C ( a , b ) cuando puede haber confusión acerca de a qué categoría se refiere hom( a , b )) para denotar la clase hom de todos los morfismos de a a b . [2]A partir de estos axiomas, se puede demostrar que existe exactamente un morfismo de identidad para cada objeto. Algunos autores utilizan una ligera variación de la definición en la que cada objeto se identifica con el correspondiente morfismo de identidad.

Categorías pequeñas y grandes

Una categoría C se llama pequeña si tanto ob( C ) como hom( C ) son en realidad conjuntos y no clases propias , y grande en caso contrario. Una categoría localmente pequeña es una categoría tal que para todos los objetos a y b , la clase hom hom( a , b ) es un conjunto, llamado homset . Muchas categorías importantes en matemáticas (como la categoría de conjuntos), aunque no son pequeñas, son al menos localmente pequeñas. Dado que, en las categorías pequeñas, los objetos forman un conjunto, una categoría pequeña puede verse como una estructura algebraica .similar a un monoide pero sin requerir propiedades de cierre . Las categorías grandes, por otro lado, se pueden usar para crear "estructuras" de estructuras algebraicas.

Ejemplos

La clase de todos los conjuntos (como objetos) junto con todas las funciones entre ellos (como morfismos), donde la composición de morfismos es la composición de función habitual , forma una categoría grande, Conjunto . Es la categoría más básica y más utilizada en matemáticas. La categoría Rel consta de todos los conjuntos (como objetos) con relaciones binarias entre ellos (como morfismos). Abstraerse de las relaciones en lugar de las funciones produce alegorías , una clase especial de categorías.

Cualquier clase puede verse como una categoría cuyos únicos morfismos son los morfismos de identidad. Tales categorías se denominan discretas . Para cualquier conjunto I dado , la categoría discreta sobre I es la categoría pequeña que tiene los elementos de I como objetos y solo los morfismos de identidad como morfismos. Las categorías discretas son el tipo de categoría más simple.

Cualquier conjunto preordenado ( P , ≤) forma una pequeña categoría, donde los objetos son los miembros de P , los morfismos son flechas que apuntan de x a y cuando xy . Además, si es antisimétrico , puede haber como máximo un morfismo entre dos objetos cualesquiera. La existencia de morfismos de identidad y la componibilidad de los morfismos están garantizadas por la reflexividad y la transitividad del preorden. Por el mismo argumento, cualquier conjunto parcialmente ordenado y cualquier relación de equivalencia pueden verse como una categoría pequeña. Ningúnel número ordinal se puede ver como una categoría cuando se ve como un conjunto ordenado .

Cualquier monoide (cualquier estructura algebraica con una sola operación binaria asociativa y un elemento de identidad ) forma una pequeña categoría con un solo objeto x . (Aquí, x es cualquier conjunto fijo). Los morfismos de x a x son precisamente los elementos del monoide, el morfismo de identidad de x es la identidad del monoide, y la composición categórica de los morfismos está dada por la operación monoide. Se pueden generalizar varias definiciones y teoremas sobre monoides para categorías.

De manera similar, cualquier grupo puede verse como una categoría con un solo objeto en el que cada morfismo es invertible , es decir, para cada morfismo f hay un morfismo g que es tanto izquierdo como derecho inverso a f en composición. Un morfismo que es invertible en este sentido se llama isomorfismo .

Un grupoide es una categoría en la que todo morfismo es un isomorfismo. Los groupoides son generalizaciones de grupos, acciones de grupo y relaciones de equivalencia . En realidad, desde el punto de vista de la categoría, la única diferencia entre grupo y grupo es que un grupo puede tener más de un objeto, pero el grupo debe tener solo uno. Considere un espacio topológico X y fije un punto basede X , entonceses el grupo fundamental del espacio topológico X y el punto base, y como conjunto tiene la estructura de grupo; si entonces deja el punto baserecorre todos los puntos de X , y toma la unión de todos, entonces el conjunto que obtenemos tiene solo la estructura de grupoide (que se denomina grupoide fundamental de X ): dos bucles (bajo la relación de equivalencia de homotopía) pueden no tener el mismo punto base, por lo que no pueden multiplicarse entre sí. En el lenguaje de la categoría, esto significa que aquí dos morfismos pueden no tener el mismo objeto de origen (u objeto de destino, porque en este caso para cualquier morfismo, el objeto de origen y el objeto de destino son el mismo: el punto base) por lo que no pueden componer con El uno al otro.

Un grafo dirigido.

Cualquier gráfico dirigido genera una pequeña categoría: los objetos son los vértices del gráfico y los morfismos son los caminos en el gráfico (aumentados con bucles según sea necesario) donde la composición de los morfismos es la concatenación de caminos. Tal categoría se llama la categoría libre generada por el gráfico.

La clase de todos los conjuntos preordenados con funciones monótonas como morfismos forma una categoría, Ord . Es una categoría concreta , es decir, una categoría que se obtiene añadiendo algún tipo de estructura a Conjunto , y requiere que los morfismos sean funciones que respeten esta estructura añadida.

La clase de todos los grupos con homomorfismos de grupo como morfismos y composición de funciones como operación de composición forma una categoría grande, Grp . Al igual que Ord , Grp es una categoría concreta. La categoría Ab , que consta de todos los grupos abelianos y sus homomorfismos de grupo, es una subcategoría completa de Grp y el prototipo de una categoría abeliana . Otros ejemplos de categorías concretas se dan en la siguiente tabla.

Categoría Objetos morfismos
Grupo grupos homomorfismos de grupo
Revista magmas homomorfismos de magma
Hombre p colectores suaves mapas p -times continuamente diferenciables
Reunió espacios métricos mapas cortos
R -Mod R -módulos , donde R es un anillo Homomorfismos del módulo R
Lun monoides homomorfismos monoide
Anillo anillos homomorfismos de anillos
Establecer conjuntos funciones
Parte superior espacios topológicos funciones continuas
Uni espacios uniformes funciones uniformemente continuas
Vector K espacios vectoriales sobre el campo K K - mapas lineales

Los paquetes de fibras con mapas de paquetes entre ellos forman una categoría concreta.

La categoría Gato consta de todas las categorías pequeñas, con funtores entre ellas como morfismos.

Construcción de nuevas categorías

Categoría dual

Cualquier categoría C puede considerarse en sí misma como una nueva categoría de una manera diferente: los objetos son los mismos que los de la categoría original pero las flechas son las de la categoría original invertidas. Esto se llama la categoría dual u opuesta y se denota C op .

Categorías de productos

Si C y D son categorías, se puede formar la categoría de producto C × D : los objetos son pares que consisten en un objeto de C y otro de D , y los morfismos también son pares, que consisten en un morfismo en C y otro en D. Dichos pares se pueden componer por componentes .

Tipos de morfismos

Un morfismo f  : ab se llama

  • un monomorfismo (o mónico ) si es cancelable por la izquierda, es decir, fg 1 = fg 2 implica g 1 = g 2 para todos los morfismos g 1 , g 2  : xa .
  • un epimorfismo (o épica ) si es cancelable por la derecha, es decir, g 1 f = g 2 f implica g 1 = g 2 para todos los morfismos g 1 , g 2  : bx .
  • un bimorfismo si es a la vez un monomorfismo y un epimorfismo.
  • una retracción si tiene inversa por la derecha, es decir, si existe un morfismo g  : ba con fg = 1 b .
  • una sección si tiene inversa por la izquierda, es decir, si existe un morfismo g  : ba con gf = 1 a .
  • un isomorfismo si tiene inversa, es decir, si existe un morfismo g  : ba con fg = 1 b y gf = 1 a .
  • un endomorfismo si a = b . La clase de endomorfismos de a se denota end( a ).
  • un automorfismo si f es tanto un endomorfismo como un isomorfismo. La clase de automorfismos de a se denota aut( a ).

Toda retractación es un epimorfismo. Cada sección es un monomorfismo. Las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:

  • f es un monomorfismo y una retracción;
  • f es un epimorfismo y una sección;
  • f es un isomorfismo.

Las relaciones entre morfismos (como fg = h ) se pueden representar más convenientemente con diagramas conmutativos , donde los objetos se representan como puntos y los morfismos como flechas.

Tipos de categorías

  • En muchas categorías, por ejemplo Ab o Vect K , los hom-sets hom( a , b ) no son solo conjuntos, sino grupos abelianos , y la composición de los morfismos es compatible con estas estructuras de grupo; es decir, es bilineal . Tal categoría se llama preaditiva . Si, además, la categoría tiene todos los productos y coproductos finitos , se denomina categoría aditiva . Si todos los morfismos tienen un núcleo y un conúcleo , y todos los epimorfismos son conúcleos y todos los monomorfismos son núcleos, entonces hablamos de una categoría abeliana. Un ejemplo típico de una categoría abeliana es la categoría de grupos abelianos.
  • Una categoría se llama completa si todos los límites pequeños existen en ella. Las categorías de conjuntos, grupos abelianos y espacios topológicos están completas.
  • Una categoría se denomina cerrada cartesiana si tiene productos directos finitos y un morfismo definido sobre un producto finito siempre puede ser representado por un morfismo definido sobre uno solo de los factores. Los ejemplos incluyen Set y CPO , la categoría de órdenes parciales completas con funciones continuas de Scott .
  • Un topos es un cierto tipo de categoría cartesiana cerrada en la que se pueden formular todas las matemáticas (al igual que clásicamente todas las matemáticas se formulan en la categoría de conjuntos). Un topos también se puede utilizar para representar una teoría lógica.

Véase también

Notas

  1. ^ Barr & Wells 2005 , Capítulo 1
  2. ^ Algunos autores escriben Mor( a , b ) o simplemente C ( a , b ) en su lugar.

Referencias

  • Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990), Categorías abstractas y concretas (PDF) , Wiley, ISBN 0-471-60922-6(ahora edición gratuita en línea, GNU FDL ).
  • Asperti, Andrea; Longo, Giuseppe (1991), Categorías, tipos y estructuras , MIT Press, ISBN 0-262-01125-5.
  • Awodey, Steve (2006), Teoría de categorías , guías lógicas de Oxford, vol. 49, Prensa de la Universidad de Oxford, ISBN 978-0-19-856861-2.
  • Barr, Michael ; Wells, Charles (2005), Toposes, Triples and Theories , Reprints in Theory and Applications of Categories, vol. 12 (edición revisada), MR  2178101.
  • Borceux, Francis (1994), "Manual de álgebra categórica", Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones , vol. 50–52, Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 0-521-06119-9.
  • "Categoría" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  • Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007), Teoría de categorías , Heldermann Verlag, ISBN 978-3-88538-001-6.
  • Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica (2.ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7.
  • Lawvere, William ; Schanuel, Steve (1997), Matemáticas conceptuales: una primera introducción a las categorías , Cambridge University Press, ISBN 0-521-47249-0.
  • Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático que trabaja , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 5 (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8.
  • Marquis, Jean-Pierre (2006), "Teoría de categorías" , en Zalta, Edward N. (ed.), Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  • Sica, Giandomenico (2006), ¿Qué es la teoría de categorías? , Estudios avanzados de matemáticas y lógica, vol. 3, Polimétrica, ISBN 978-88-7699-031-1.
  • categoría en el n Lab