5-símplex

Hexateron 5 simplex
(hix)
Tipo 5 politopos uniformes
Símbolo de Schlafli {3 4 }
diagrama de coxeter
4 caras 6 6 {3,3,3}
Células 15 15 {3,3}
Caras 20 20 {3}
Bordes 15
Vértices 6
Figura de vértice
5 celdas
grupo coxeter A 5 , [3 4 ], orden 720
Doble auto-dual
Punto base (0,0,0,0,0,1)
Circunradio 0,645497
Propiedades convexo , regular isogonal , autodual

En geometría de cinco dimensiones , un 5- simplex es un 5-politopo regular autodual . Tiene seis vértices , 15 aristas , 20 caras triangulares , 15 celdas tetraédricas y 6 facetas de 5 celdas . Tiene un ángulo diédrico de cos −1 ( 1/5), o aproximadamente 78,46°.

El 5-símplex es una solución al problema: haz 20 triángulos equiláteros usando 15 cerillas, donde cada lado de cada triángulo sea exactamente una cerilla.

Nombres Alternativos

También se le puede llamar hexateron , o hexa-5-tope , como un politopo de 6 facetas en 5 dimensiones. El nombre hexateron se deriva de hexa- por tener seis facetas y teron ( siendo ter- una corrupción de tetra- ) por tener facetas de cuatro dimensiones.

Por Jonathan Bowers, un hexaterón recibe el acrónimo hix . [1]

Como configuración

Esta matriz de configuración representa el 5-símplex. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas y 4 caras. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada elemento se encuentran en el 5-símplex completo. Los números no diagonales dicen cuántos elementos de la columna ocurren en o en el elemento de la fila. La matriz de este símplex autodual es idéntica a su rotación de 180 grados. [2] [3]

Coordenadas cartesianas hexateronas regulares

El hexaterón se puede construir a partir de 5 celdas agregando un sexto vértice de modo que sea equidistante de todos los demás vértices de las 5 celdas.

Las coordenadas cartesianas para los vértices de un hexaterón regular centrado en el origen que tiene una longitud de arista 2 son:

Los vértices del 5-simplex se pueden ubicar de manera más simple en un hiperplano en el espacio 6 como permutaciones de (0,0,0,0,0,1) o (0,1,1,1,1,1). Estas construcciones pueden verse como facetas del 6-ortoplex o del 6-cubo rectificado, respectivamente.

Imágenes proyectadas

proyecciones ortográficas
Un avión k Coxeter
un 5 un 4
Grafico
Simetría diédrica [6] [5]
Un avión k Coxeter
un 3 un 2
Grafico
Simetría diédrica [4] [3]

Proyección estereográfica 4D a 3D del diagrama de Schlegel 5D a 4D del hexaterón.

Formas de simetría inferior

Una forma de simetría inferior es una pirámide de 5 celdas {3,3,3}∨(), con orden de simetría [3,3,3] 120, construida como una base de 5 celdas en un hiperplano de 4 espacios , y un vértice punto por encima del hiperplano. Los cinco lados de la pirámide están formados por celdas de 5 celdas. Estos se ven como figuras de vértices de 6 politopos regulares truncados , como un 6 cubo truncado .

Otra forma es {3,3}∨{ }, con [3,3,2,1] orden de simetría 48, la unión de un digon ortogonal y un tetraedro, desplazados ortogonalmente, con todos los pares de vértices conectados entre sí. Otra forma es {3}∨{3}, con [3,2,3,1] simetría de orden 36 y simetría extendida [[3,2,3],1], de orden 72. Representa la unión de 2 triángulos ortogonales. , desplazado ortogonalmente, con todos los pares de vértices conectados entre sí.

La forma { }∨{ }∨{ } tiene simetría [2,2,1,1], orden 8, extendida permutando 3 segmentos como [3[2,2],1] o [4,3,1,1 ], orden 48.

Estos se ven en las figuras de vértices de 6 politopos regulares bitruncados y tritruncados, como un 6-cubo bitruncado y un 6-símplex tritruncado . Las etiquetas de borde aquí representan los tipos de cara a lo largo de esa dirección y, por lo tanto, representan diferentes longitudes de borde.

La figura del vértice del panal omnitruncado de 5 simples ,, es un 5-símplex con un ciclo de polígono de Petrie de 5 aristas largas. Su simetría es isomófica al grupo diédrico Dih 6 o al grupo de rotación simple [6,2] + , orden 12.

Figuras de vértice para 6 politopos uniformes
Unirse {3,3,3}∨( ) {3,3}∨{ } {3}∨{3} { }∨{ }∨{ }
Simetría [3,3,3,1]
Orden 120
[3,3,2,1]
Orden 48
[[3,2,3],1]
Orden 72
[3[2,2],1,1]=[4,3,1,1]
Orden 48
~[6] o ~[6,2] +
Orden 12
Diagrama
Politopo 6-simplex truncado
bitruncado 6-símplex
tritruncado 6-símplex
Prisma 3-3-3
Panal omnitruncado de 5 simples

Compuesto

El compuesto de dos 5 simples en configuraciones duales se puede ver en esta proyección del plano A6 de Coxeter , con vértices y aristas de 5 simples rojos y azules. Este compuesto tiene simetría [[3,3,3,3]], orden 1440. La intersección de estos dos 5-símplex es un 5-símplex uniforme birectificado .=.

5 politopos uniformes relacionados

Es el primero de una serie dimensional de politopos y panales uniformes, expresados ​​por Coxeter como series de 1 3k . Existe un caso degenerado de 4 dimensiones como mosaico de 3 esferas, un hosoedro tetraédrico .

1 figuras tridimensionales de 3k
Espacio Finito euclidiano Hiperbólico
norte 4 5 6 7 8 9

grupo coxeter
Un 3 Un 1 un 5 D 6 mi 7 =E 7 + = E7 ++

diagrama de coxeter
Simetría [3 −1,3,1 ] [3 0,3,1 ] [3 1,3,1 ] [3 2,3,1 ] [[3 3,3,1 ]] [3 4,3,1 ]
Orden 48 720 23.040 2.903.040
Grafico - -
Nombre 1 3,-1 130 1 31 1 32 1 33 134

Es el primero de una serie dimensional de politopos y panales uniformes, expresados ​​por Coxeter como series de 3 k1 . Existe un caso degenerado de 4 dimensiones como mosaico de 3 esferas, un dipedro tetraédrico .

3 figuras dimensionales k1
Espacio Finito euclidiano Hiperbólico
norte 4 5 6 7 8 9

grupo coxeter
Un 3 Un 1 un 5 D 6 mi 7 =E 7 + = E7 ++

diagrama de coxeter
Simetría [3 −1,3,1 ] [3 0,3,1 ] [[3 1,3,1 ]]
= [4,3,3,3,3]
[3 2,3,1 ] [3 3,3,1 ] [3 4,3,1 ]
Orden 48 720 46.080 2.903.040
Grafico - -
Nombre 3 1,-1 310 3 11 3 21 3 31 341

El 5-simplex, como politopo 2 20 , es el primero en la serie dimensional 2 2k .

2 2k figuras de n dimensiones
Espacio Finito euclidiano Hiperbólico
norte 4 5 6 7 8

grupo coxeter
Un 2 Un 2 un 5 mi 6 =mi 6 + mi 6 ++

diagrama de coxeter
Grafico
Nombre 2 2,-1 220 2 21 2 22 223

El 5-simplex regular es uno de los 19 politera uniformes basados ​​en el grupo [3,3,3,3] Coxeter , todos mostrados aquí en proyecciones ortográficas del plano A 5 Coxeter . (Los vértices se colorean según el orden de superposición de proyección; rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul y morado tienen progresivamente más vértices)

Politopos A5

t0

t 1

t 2

t 0,1

t 0,2

t 1,2

t 0,3

t 1,3

t 0,4

t 0,1,2

t 0,1,3

t 0,2,3

t 1,2,3

t 0,1,4

t 0,2,4

t 0,1,2,3

t 0,1,2,4

t 0,1,3,4

t 0,1,2,3,4

Ver también

Notas

  1. ^ Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 5D (polytera) x3o3o3o3o - hix".
  2. ^ Coxeter 1973, §1.8 Configuraciones
  3. ^ Coxeter, HSM (1991). Politopos complejos regulares (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 117.ISBN _ 9780521394901.

Referencias

  • Gosset, T. (1900). "Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones". Mensajero de las Matemáticas. Macmillan. págs.43–.
  • Coxeter, HSM :
    • — (1973). "Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n dimensiones (n≥5)". Politopos regulares (3ª ed.). Dover. págs.296. ISBN 0-486-61480-8.
    • Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Antonio C.; Weiss, Asia Ivic, eds. (1995). Caleidoscopios: escritos seleccionados de HSM Coxeter. Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6.
      • (Documento 22) - (1940). "Politopos regulares y semiregulares I". Matemáticas. Tiempo . 46 : 380–407. doi :10.1007/BF01181449. S2CID  186237114.
      • (Documento 23) - (1985). "Politopos regulares y semirregulares II". Matemáticas. Tiempo . 188 (4): 559–591. doi :10.1007/BF01161657. S2CID  120429557.
      • (Documento 24) - (1988). "Politopos regulares y semirregulares III". Matemáticas. Tiempo . 200 : 3–45. doi :10.1007/BF01161745. S2CID  186237142.
  • Conway, John H .; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). "26. Hemicubos: 1 n1 ". Las simetrías de las cosas . pag. 409.ISBN _ 978-1-56881-220-5.
  • Johnson, normando (1991). "Politopos uniformes" (Manuscrito). Norman Johnson.
    • Johnson, noroeste (1966). La teoría de los politopos uniformes y los panales (Doctor). Universidad de Toronto.

enlaces externos

  • Olshevsky, George. "Símplex". Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
  • Politopos de varias dimensiones, Jonathan Bowers
  • Glosario multidimensional
Familia Un _ B n. Yo 2 (p) / D norte Mi 6 / Mi 7 / Mi 8 / Fa 4 / Sol 2 h norte
Polígono regular Triángulo Cuadrado p-gon Hexágono Pentágono
Poliedro uniforme tetraedro OctaedroCubo Demicubo DodecaedroIcosaedro
Policorón uniforme pentacoron 16 celdasTeseracto Demitesseract 24 celdas 120 celdas600 celdas
5 politopos uniformes 5-símplex 5-ortoplex5-cubos 5-demicubo
Uniforme de 6 politopos 6-símplex 6-ortoplex6-cubos 6-demicubo 1 222 21
Uniforme de 7 politopos 7-símplex 7-ortoplex7-cubos 7-demicubo 1 322 313 21
Politopo uniforme de 8 8-símplex 8-ortoplex8-cubos 8-demicubo 1 422 414 21
Uniforme de 9 politopos 9-símplex 9-ortoplex9-cubos 9-demicubo
Uniforme de 10 politopos 10-símplex 10 ortoplex10 cubos 10-demicubo
Uniforme n - politopo norte - simplex n - ortoplexn - cubo n - demicubo 1 k22 k1k 21 n - politopo pentagonal
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