Λέονχαρντ Όιλερ

Από την Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση στην πλοήγηση Μεταβείτε στην αναζήτηση

Λέονχαρντ Όιλερ
Leonhard Euler - edit1.jpg
Πορτρέτο του Jakob Emanuel Handmann (1753)
Γεννημένος(1707-04-15)15 Απριλίου 1707
Βασιλεία , Ελβετική Συνομοσπονδία
Πέθανε18 Σεπτεμβρίου 1783 (1783-09-18)(76 ετών)
[ OS : 7 Σεπτεμβρίου 1783]
Αγία Πετρούπολη , Ρωσική Αυτοκρατορία
Alma materΠανεπιστήμιο της Βασιλείας ( MPhil )
Γνωστός για
Σύζυγος(οι)
Καθαρίνα Γκσελ
,
,
( μ.  1734, πέθανε το 1773 ).
Salome Abigail Gsell
,
,
( μ.  1776 ) .
Επιστημονική σταδιοδρομία
ΠεδίαΜαθηματικά και φυσική
Ιδρύματα
ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑDissertatio physica de sono (Φυσική διατριβή για τον ήχο)  (1726)
Διδακτορικός ΣύμβουλοςΓιόχαν Μπερνούλι
Διδακτορικοί φοιτητέςΓιόχαν Χένερτ
Άλλοι αξιόλογοι μαθητές
Υπογραφή
Η υπογραφή του Euler.svg
Σημειώσεις
  • Είναι ο πατέρας του μαθηματικού Johann Euler .
  • Αναφέρεται από μια ακαδημαϊκή γενεαλογία ως ο αντίστοιχος του διδακτορικού συμβούλου του Joseph Louis Lagrange. [1]

Ο Leonhard Euler ( / ˈ ɔɪ l ər / OY -lər , [2] Γερμανικά: [ˈɔʏlɐ] ( ακρόαση ) ; [a] 15 Απριλίου 1707 – 18 Σεπτεμβρίου 1783) ήταν Ελβετός μαθηματικός , φυσικός , μηχανικός , γραφολόγος , γεωγράφος . ο οποίος ίδρυσε τις σπουδές της θεωρίας και της τοπολογίας γραφημάτων και έκανε πρωτοποριακές και σημαντικές ανακαλύψεις σε πολλούς άλλους κλάδους των μαθηματικών όπως η αναλυτική θεωρία αριθμών, σύνθετη ανάλυση και απειροελάχιστος λογισμός . Εισήγαγε μεγάλο μέρος της σύγχρονης μαθηματικής ορολογίας και σημειογραφίας , συμπεριλαμβανομένης της έννοιας της μαθηματικής συνάρτησης . [3] Είναι επίσης γνωστός για το έργο του στη μηχανική , τη δυναμική των ρευστών , την οπτική , την αστρονομία και τη θεωρία της μουσικής .

Ο Euler θεωρείται ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς στην ιστορία και ο μεγαλύτερος του 18ου αιώνα. Μια δήλωση που αποδίδεται στον Pierre-Simon Laplace εκφράζει την επιρροή του Euler στα μαθηματικά: «Διαβάστε Euler, διαβάστε Euler, αυτός είναι ο κύριος όλων μας». [4] [5] Ο Carl Friedrich Gauss παρατήρησε: «Η μελέτη των έργων του Euler θα παραμείνει το καλύτερο σχολείο για τα διάφορα πεδία των μαθηματικών, και τίποτα άλλο δεν μπορεί να την αντικαταστήσει». [6] Ο Euler θεωρείται επίσης ευρέως ως ο πιο παραγωγικός. Οι περισσότερες από 850 δημοσιεύσεις του συγκεντρώνονται σε 92 τόμους κουάρτο , [7] (συμπεριλαμβανομένου του Opera Omnia) περισσότερο από οποιονδήποτε άλλον στον τομέα. [8] Πέρασε το μεγαλύτερο μέρος της ενήλικης ζωής του σεΑγία Πετρούπολη της Ρωσίας και στο Βερολίνο , τότε πρωτεύουσα της Πρωσίας .

Ο Euler πιστώνεται για τη διάδοση του ελληνικού γράμματος(πεζά pi) για να δηλώσετε την αναλογία της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του , καθώς και πρώτα χρησιμοποιώντας τον συμβολισμόγια την τιμή μιας συνάρτησης, το γράμμανα εκφράσει τη φανταστική ενότητα , το ελληνικό γράμμα(κεφαλαίο σίγμα) για να εκφράσουμε αθροίσεις , το κεφαλαίο ελληνικό γράμμα δέλταγια πεπερασμένες διαφορές και πεζά γράμματα για να αναπαριστούν τις πλευρές ενός τριγώνου ενώ αναπαριστούν τις γωνίες ως κεφαλαία γράμματα. [9] . Έδωσε τον τρέχοντα ορισμό της σταθεράς, η βάση του φυσικού λογάριθμου , τώρα γνωστός ως αριθμός Euler . [10]

Ο Euler ήταν επίσης ο πρώτος ασκούμενος της θεωρίας γραφημάτων (εν μέρει ως λύση για το πρόβλημα των Επτά Γεφυρών του Königsberg ). Έγινε διάσημος, μεταξύ άλλων, για την επίλυση του προβλήματος της Βασιλείας, αφού απέδειξε ότι το άθροισμα της άπειρης σειράς των τετράγωνων ακέραιων αντίστροφων ισούται ακριβώς με π 2 /6 , και για την ανακάλυψη ότι το άθροισμα των αριθμών των κορυφών και των όψεων μείον τις ακμές ενός πολύεδρο ισούται με 2, ένας αριθμός που είναι πλέον ευρέως γνωστός ως χαρακτηριστικό Euler . Στον τομέα της φυσικής, ο Euler αναδιατύπωσε τους νόμους της φυσικής του Νεύτωνα σε νέους νόμους στο δίτομο έργο του Mechanicaγια να εξηγήσει ευκολότερα την κίνηση των άκαμπτων σωμάτων. Συνέβαλε επίσης ουσιαστικά στη μελέτη των ελαστικών παραμορφώσεων στερεών αντικειμένων.

Πρώιμη ζωή

Ο Leonhard Euler γεννήθηκε στις 15 Απριλίου 1707, στη Βασιλεία της Ελβετίας, από τον Paul III Euler, πάστορα της Μεταρρυθμισμένης Εκκλησίας , και τη Marguerite ( née Brucker), κόρη άλλου πάστορα. Ήταν το μεγαλύτερο από τέσσερα παιδιά, έχοντας δύο μικρότερες αδερφές, την Άννα Μαρία και τη Μαρία Μαγδαλένα, και έναν μικρότερο αδερφό, τον Γιόχαν Χάινριχ. [11] [12] Λίγο μετά τη γέννηση του Leonhard, η οικογένεια Euler μετακόμισε από τη Βασιλεία στην πόλη Riehen της Ελβετίας, όπου ο πατέρας του έγινε πάστορας στην τοπική εκκλησία και ο Leonhard πέρασε το μεγαλύτερο μέρος της παιδικής του ηλικίας. [12] Την έδρα του Πανεπιστημίου της Βασιλείας κατείχαν ο Jacob Bernoulli , ο αδελφός του Johann Bernoulli και ο γιος του JohannΟ Daniel Bernoulli σε διάφορες εποχές. Ο Paul Euler είχε παρακολουθήσει τις διαλέξεις του Jacob Bernoulli στο πανεπιστήμιο και ζούσε με τον Johann στο σπίτι του Jacob Bernoulli ως προπτυχιακός. Όταν ο Leonhard Euler ξεκίνησε τη μελέτη του στα μαθηματικά, ο Johann Bernoulli συμφώνησε να καθοδηγήσει την ανάγνωσή του. Ο Johann Bernoulli, που θεωρούνταν τότε ως ο κορυφαίος μαθηματικός της Ευρώπης, θα ασκούσε τελικά σημαντική επιρροή στον νεαρό Leonhard ξεκινώντας από τις αλληλεπιδράσεις που είχε όταν επισκεπτόταν για βοήθεια το Σάββατο μόνο με τα πιο δύσκολα μαθηματικά προβλήματα. [13] [9] [10]

Η επίσημη εκπαίδευση του Euler ξεκίνησε στη Βασιλεία, όπου στάλθηκε να ζήσει με τη γιαγιά του από τη μητέρα του. [12] Το 1720, σε ηλικία μόλις δεκατριών ετών, γράφτηκε στο Πανεπιστήμιο της Βασιλείας . [12] Το 1723, έλαβε Master of Philosophy με μια διατριβή που συνέκρινε τις φιλοσοφίες του René Descartes και του Isaac Newton . [12] Στη συνέχεια γράφτηκε στη θεολογική σχολή του Πανεπιστημίου της Βασιλείας. [14] Έλαβε μαθήματα το απόγευμα του Σαββάτου από τον Johann Bernoulli, ο οποίος ανακάλυψε γρήγορα το ταλέντο του Euler στα μαθηματικά. [15] [12]Ήταν κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου που ο Euler, ενθαρρυμένος από τα αποτελέσματα του σεμιναρίου του Johann Bernoulli, έλαβε τη συγκατάθεση του πατέρα του να γίνει μαθηματικός αντί πάστορας. [16] [14]

Το 1726, ο Euler ολοκλήρωσε μια διατριβή για τη διάδοση του ήχου με τον τίτλο De Sono [17] [18] με την οποία προσπάθησε ανεπιτυχώς να αποκτήσει μια θέση στο Πανεπιστήμιο της Βασιλείας. [19] Το 1727, συμμετείχε στον διαγωνισμό βραβείων της Ακαδημίας του Παρισιού (που προσφέρεται κάθε χρόνο και αργότερα ανά διετία από την ακαδημία που αρχίζει το 1720) [20] για πρώτη φορά. Το πρόβλημα εκείνη τη χρονιά ήταν να βρεθεί ο καλύτερος τρόπος για να τοποθετηθούν τα κατάρτια σε ένα πλοίο. Ο Pierre Bouguer , ο οποίος έγινε γνωστός ως «ο πατέρας της ναυτικής αρχιτεκτονικής», κέρδισε και ο Euler πήρε τη δεύτερη θέση. [21] Ο Euler τελικά συμμετείχε σε αυτόν τον διαγωνισμό 15 φορές, [20]κερδίζοντας 12 από αυτές. [21]

Καριέρα

Αγία Πετρούπολη

1957 Γραμματόσημο της Σοβιετικής Ένωσης για τα 250α γενέθλια του Όιλερ. Το κείμενο λέει: 250 χρόνια από τη γέννηση του μεγάλου μαθηματικού, ακαδημαϊκού Leonhard Euler.

Οι δύο γιοι του Johann Bernoulli, ο Daniel και ο Nicolaus , τέθηκαν σε υπηρεσία στην Αυτοκρατορική Ρωσική Ακαδημία Επιστημών στην Αγία Πετρούπολη το 1725, αφήνοντας τον Euler με τη διαβεβαίωση ότι θα τον συνιστούσαν σε μια θέση όταν ήταν διαθέσιμη. [19] Στις 31 Ιουλίου 1726, ο Νικόλαος πέθανε από σκωληκοειδίτιδα αφού πέρασε λιγότερο από ένα χρόνο στη Ρωσία. [22] [23] Όταν ο Ντάνιελ ανέλαβε τη θέση του αδερφού του στο τμήμα μαθηματικών/φυσικής, συνέστησε τη θέση στη φυσιολογία που είχε εγκαταλείψει να καλυφθεί από τον φίλο του Έιλερ. [19]Τον Νοέμβριο του 1726 ο Όιλερ δέχτηκε ανυπόμονα την προσφορά, αλλά καθυστέρησε να κάνει το ταξίδι στην Αγία Πετρούπολη, ενώ απέτυχε να υποβάλει αίτηση για θέση καθηγητή φυσικής στο Πανεπιστήμιο της Βασιλείας. [19]

Ο Euler έφτασε στην Αγία Πετρούπολη τον Μάιο του 1727. [19] [14] Προήχθη από την κατώτερη θέση του στο ιατρικό τμήμα της ακαδημίας σε μια θέση στο τμήμα μαθηματικών. Έμεινε στον Ντάνιελ Μπερνούλι με τον οποίο συνεργάστηκε στενά. [24] Ο Euler κατέκτησε τα ρωσικά , εγκαταστάθηκε στη ζωή στην Αγία Πετρούπολη και ανέλαβε μια επιπλέον δουλειά ως γιατρός στο ρωσικό ναυτικό . [25]

Η ακαδημία στην Αγία Πετρούπολη, που ιδρύθηκε από τον Μέγα Πέτρο , είχε σκοπό να βελτιώσει την εκπαίδευση στη Ρωσία και να κλείσει το επιστημονικό χάσμα με τη Δυτική Ευρώπη. Ως αποτέλεσμα, έγινε ιδιαίτερα ελκυστικό για ξένους μελετητές όπως ο Euler. [21] Η ευεργέτης της ακαδημίας, Αικατερίνη Α' , η οποία είχε συνεχίσει τις προοδευτικές πολιτικές του αείμνηστου συζύγου της, πέθανε πριν από την άφιξη του Όιλερ στην Αγία Πετρούπολη. [26] Η ρωσική συντηρητική αριστοκρατία κέρδισε τότε την εξουσία με την ανάληψη του δωδεκάχρονου Πέτρου Β' . [26]Οι ευγενείς, καχύποπτοι για τους ξένους επιστήμονες της ακαδημίας, έκοψαν τη χρηματοδότηση για τον Euler και τους συναδέλφους του και εμπόδισαν την είσοδο ξένων και μη αριστοκρατών μαθητών στο Γυμνάσιο και τα Πανεπιστήμια. [26]

Οι συνθήκες βελτιώθηκαν ελαφρώς μετά το θάνατο του Πέτρου Β' το 1730 και την ανέλαβε η υπό γερμανική επιρροή Άννα της Ρωσίας . [27] Ο Euler ανέβηκε γρήγορα στις τάξεις της ακαδημίας και έγινε καθηγητής φυσικής το 1731. [27] Έφυγε επίσης από το ρωσικό ναυτικό, αρνούμενος μια προαγωγή σε υπολοχαγό . [27] Δύο χρόνια αργότερα, ο Daniel Bernoulli, βαρεμένος από τη λογοκρισία και την εχθρότητα που αντιμετώπισε στην Αγία Πετρούπολη, έφυγε για τη Βασιλεία. Ο Όιλερ τον διαδέχθηκε ως επικεφαλής του τμήματος μαθηματικών. [28] Τον Ιανουάριο του 1734, παντρεύτηκε την Katharina Gsell (1707–1773), κόρη του Georg Gsell . [29]Ο Φρειδερίκος Β' είχε κάνει μια προσπάθεια να στρατολογήσει τις υπηρεσίες του Όιλερ για τη νεοσύστατη Ακαδημία του Βερολίνου το 1740, αλλά ο Όιλερ αρχικά προτίμησε να μείνει στην Αγία Πετρούπολη. [30] Αλλά αφού πέθανε ο αυτοκράτορας Άννα και ο Φρειδερίκος Β' συμφώνησε να πληρώσει 1600 Ecu (όσα κέρδισε ο Euler στη Ρωσία), συμφώνησε να μετακομίσει στο Βερολίνο. Το 1741, ζήτησε άδεια να φύγει στο Βερολίνο, υποστηρίζοντας ότι χρειαζόταν ένα πιο ήπιο κλίμα για την όρασή του. [30] Η ρωσική ακαδημία έδωσε τη συγκατάθεσή της και θα του πλήρωνε 200 ρούβλια ετησίως ως ένα από τα ενεργά μέλη της. [30]

Βερολίνο

Γραμματόσημο της πρώην Λαϊκής Δημοκρατίας της Γερμανίας προς τιμήν του Euler στην 200ή επέτειο του θανάτου του. Σε όλο το κέντρο δείχνει τον πολυεδρικό τύπο του, στα αγγλικά γραμμένο ως " v  −  e  +  f  = 2".

Ανησυχώντας για τη συνεχιζόμενη αναταραχή στη Ρωσία, ο Euler άφησε την Αγία Πετρούπολη τον Ιούνιο του 1741 για να αναλάβει μια θέση στην Ακαδημία του Βερολίνου , την οποία του είχε προσφέρει ο Φρειδερίκος ο Μέγας της Πρωσίας . [31] Έζησε για 25 χρόνια στο Βερολίνο , όπου έγραψε αρκετές εκατοντάδες άρθρα. [14] Το 1748 το κείμενό του για τις συναρτήσεις που ονομάστηκε Introductio in analysin infinitorum δημοσιεύτηκε και το 1755 δημοσιεύτηκε ένα κείμενο για τον διαφορικό λογισμό που ονομάζεται Institutiones calculi differentialis . [32] [33] Το 1755, εξελέγη ξένος μέλος της Βασιλικής Σουηδικής Ακαδημίας Επιστημών [34]και της Γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών . [35] Αξιοσημείωτοι μαθητές του Euler στο Βερολίνο ήταν ο Stepan Rumovsky , ο οποίος αργότερα θεωρήθηκε ως ο πρώτος Ρώσος αστρονόμος. [36] [37] Το 1748 αρνήθηκε μια πρόταση από το Πανεπιστήμιο της Βασιλείας για να διαδεχθεί τον πρόσφατα αποθανόντα Johann Bernoulli. [14] Το 1753 αγόρασε ένα σπίτι στο Charlottenburg , στο οποίο ζούσε με την οικογένειά του και τη χήρα μητέρα του. [38] [39]

Ο Euler έγινε ο δάσκαλος της Friederike Charlotte του Brandenburg-Schwedt , της πριγκίπισσας του Anhalt-Dessau και της ανιψιάς του Frederick. Της έγραψε περισσότερες από 200 επιστολές στις αρχές της δεκαετίας του 1760, οι οποίες αργότερα συγκεντρώθηκαν σε έναν τόμο με τίτλο Επιστολές του Όιλερ σε διάφορα θέματα στη φυσική φιλοσοφία που απευθύνονται σε μια Γερμανίδα πριγκίπισσα . [40] Αυτό το έργο περιείχε την έκθεση του Euler σε διάφορα θέματα σχετικά με τη φυσική και τα μαθηματικά και πρόσφερε πολύτιμες γνώσεις για την προσωπικότητα και τις θρησκευτικές πεποιθήσεις του Euler. Μεταφράστηκε σε πολλές γλώσσες, δημοσιεύτηκε σε όλη την Ευρώπη και στις Ηνωμένες Πολιτείες και έγινε ευρύτερα διαβασμένος από οποιοδήποτε από τα μαθηματικά του έργα. Η δημοτικότητα των Γραμμάτωνμαρτυρεί την ικανότητα του Euler να επικοινωνεί αποτελεσματικά επιστημονικά θέματα σε ένα κοινό, μια σπάνια ικανότητα για έναν αφοσιωμένο επιστήμονα ερευνητή. [33]

Παρά την τεράστια συνεισφορά του Euler στο κύρος της ακαδημίας και που είχε προταθεί ως υποψήφιος για την προεδρία της από τον Jean le Rond d'Alembert , ο Φρειδερίκος Β' αυτοονομάστηκε ως πρόεδρός της. [39] Ο Πρώσος βασιλιάς είχε έναν μεγάλο κύκλο διανοουμένων στην αυλή του και βρήκε τον μαθηματικό μη επιτηδευμένο και κακώς ενημερωμένο σε θέματα πέρα ​​από αριθμούς και αριθμούς. Ο Euler ήταν ένας απλός, ευσεβής θρησκευόμενος άνθρωπος που δεν αμφισβήτησε ποτέ την υπάρχουσα κοινωνική τάξη ή τις συμβατικές πεποιθήσεις, από πολλές απόψεις το πολικό αντίθετο του Βολταίρου, που απολάμβανε υψηλό κύρος στην αυλή του Φρειδερίκη. Ο Euler δεν ήταν επιδέξιος συζητητής και συχνά επιδιώκει να διαφωνήσει με θέματα για τα οποία γνώριζε ελάχιστα, καθιστώντας τον συχνό στόχο της ευστροφίας του Βολταίρου. [33] Ο Φρειδερίκος εξέφρασε επίσης απογοήτευση για τις πρακτικές μηχανικές ικανότητες του Euler, δηλώνοντας:

Ήθελα να έχω έναν πίδακα νερού στον κήπο μου: ο Euler υπολόγισε τη δύναμη των τροχών που ήταν απαραίτητη για να ανεβάσει το νερό σε μια δεξαμενή, από όπου θα έπρεπε να πέσει πίσω μέσω καναλιών, και τελικά να ξεχυθεί στο Sanssouci . Ο μύλος μου έγινε γεωμετρικά και δεν μπορούσε να σηκώσει μια μπουκιά νερό πιο κοντά από πενήντα βήματα στη δεξαμενή. Ματαιοδοξία ματαιοδοξιών! Ματαιοδοξία της γεωμετρίας! [41]

Καθ' όλη τη διάρκεια της παραμονής του στο Βερολίνο, διατήρησε ισχυρή σύνδεση με την ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης και δημοσίευσε επίσης 109 εργασίες στη Ρωσία. [42] Βοήθησε επίσης φοιτητές από την ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης και κατά καιρούς φιλοξενούσε Ρώσους φοιτητές στο σπίτι του στο Βερολίνο. [42] Το 1760, με τον Επταετή Πόλεμο να μαίνεται, η φάρμα του Euler στο Charlottenburg λεηλατήθηκε από τα ρωσικά στρατεύματα. [38] Όταν έμαθε για αυτό το γεγονός, ο στρατηγός Ivan Petrovich Saltykov κατέβαλε αποζημίωση για τη ζημιά που προκλήθηκε στην περιουσία του Euler, με την αυτοκράτειρα Ελισάβετ της Ρωσίας να προσθέτει αργότερα μια επιπλέον πληρωμή 4000 ρούβλια — ένα υπέρογκο ποσό εκείνη την εποχή. [43]Ο Euler αποφάσισε να αφήσει το Βερολίνο το 1766 και να επιστρέψει στη Ρωσία. [44]

Κατά τη διάρκεια των ετών του Βερολίνου (1741–1766), ο Euler βρισκόταν στο απόγειο της παραγωγικότητάς του. Έγραψε 380 έργα, εκ των οποίων τα 275 εκδόθηκαν. [45] Αυτό περιελάμβανε 125 απομνημονεύματα στην Ακαδημία του Βερολίνου και πάνω από 100 απομνημονεύματα που στάλθηκαν στην Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης, η οποία τον είχε διατηρήσει ως μέλος και του πλήρωνε μια ετήσια αμοιβή. Η περίφημη εισαγωγή του Euler στο Analysin Infinitorum , η οποία εισήγαγε τη σημείωση γιακαι δημοσιεύτηκε σε δύο μέρη το 1748. [46] Εκτός από τη δική του έρευνα, ο Euler επέβλεπε τη βιβλιοθήκη, το αστεροσκοπείο, τον βοτανικό κήπο και τη δημοσίευση ημερολογίων και χαρτών από τους οποίους αντλούσε έσοδα η ακαδημία [47] . Συμμετείχε ακόμη και στο σχεδιασμό των σιντριβανιών στο Sans Souci, το θερινό παλάτι του βασιλιά [48] .

Επιστροφή στη Ρωσία

Η πολιτική κατάσταση στη Ρωσία σταθεροποιήθηκε μετά την άνοδο της Μεγάλης Αικατερίνης στο θρόνο, έτσι το 1766 ο Όιλερ δέχτηκε την πρόσκληση να επιστρέψει στην Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης. Οι συνθήκες του ήταν πολύ υπερβολικές — ένας ετήσιος μισθός 3.000 ρούβλια, μια σύνταξη για τη γυναίκα του και η υπόσχεση για διορισμούς υψηλόβαθμων για τους γιους του. Στο πανεπιστήμιο τον βοήθησε ο μαθητής του Anders Johan Lexell . [49] Ενώ ζούσε στην Αγία Πετρούπολη, μια πυρκαγιά το 1771 κατέστρεψε το σπίτι του. [50]

Προσωπική ζωή

Στις 7 Ιανουαρίου 1734, παντρεύτηκε την Katharina Gsell (1707–1773), κόρη του Georg Gsell , ζωγράφου από το Γυμνάσιο της Ακαδημίας στην Αγία Πετρούπολη. [29] Το νεαρό ζευγάρι αγόρασε ένα σπίτι δίπλα στον ποταμό Νέβα .

Από τα δεκατρία παιδιά τους, μόνο πέντε επέζησαν από την παιδική τους ηλικία, [51] τρεις γιοι και δύο κόρες. [52] Ο πρώτος τους γιος ήταν ο Johann Albrecht Euler , νονός του οποίου ήταν ο Christian Goldbach . [52]

Τρία χρόνια μετά το θάνατο της συζύγου του το 1773, [50] Ο Όιλερ παντρεύτηκε την ετεροθαλή αδερφή της, Σαλώμη Αμπιγκέιλ Γκσελ (1723–1794). [53] Αυτός ο γάμος κράτησε μέχρι το θάνατό του το 1783.

Ο αδελφός του Johann Heinrich εγκαταστάθηκε στην Αγία Πετρούπολη το 1735 και εργάστηκε ως ζωγράφος στην ακαδημία. [30]

Επιδείνωση της όρασης

Η όραση του Euler επιδεινώθηκε σε όλη τη μαθηματική του καριέρα. Το 1738, τρία χρόνια αφότου σχεδόν εξέπνευσε από τον πυρετό, [54] έγινε σχεδόν τυφλός στο δεξί του μάτι. Ο Euler κατηγόρησε τη χαρτογραφία που έκανε για την Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης για την κατάστασή του, [55] αλλά η αιτία της τύφλωσής του παραμένει αντικείμενο εικασιών. [56] [57] Η όραση του Euler σε αυτό το μάτι επιδεινώθηκε κατά τη διάρκεια της παραμονής του στη Γερμανία, σε βαθμό που ο Φρειδερίκος τον ανέφερε ως « Κύκλωπας ». Ο Euler παρατήρησε την απώλεια της όρασής του, δηλώνοντας «Τώρα θα έχω λιγότερους περισπασμούς». [55] Το 1766 καταρράκτηςστο αριστερό του μάτι ανακαλύφθηκε και λίγες εβδομάδες αργότερα μια αποτυχημένη χειρουργική αποκατάσταση τον οδήγησε σχεδόν εντελώς τυφλό. Ωστόσο, η κατάστασή του φάνηκε να έχει μικρή επίδραση στην παραγωγικότητά του. Με τη βοήθεια των γραφέων του, η παραγωγικότητα του Euler σε πολλούς τομείς μελέτης αυξήθηκε [58] και το 1775 παρήγαγε, κατά μέσο όρο, ένα μαθηματικό χαρτί κάθε εβδομάδα. [35]

Θάνατος

Στην Αγία Πετρούπολη στις 18 Σεπτεμβρίου 1783, μετά από ένα γεύμα με την οικογένειά του, ο Euler συζητούσε για τον πρόσφατα ανακαλυφθέν πλανήτη Ουρανό και την τροχιά του με τον Lexell όταν κατέρρευσε και πέθανε από εγκεφαλική αιμορραγία . [56] Ο Jacob von Staehlin  [ de ] έγραψε μια σύντομη νεκρολογία για τη Ρωσική Ακαδημία Επιστημών και ο Ρώσος μαθηματικός Nicolas Fuss , ένας από τους μαθητές του Euler, έγραψε μια πιο λεπτομερή δοξολογία, [51] την οποία παρέδωσε σε μια συνάντηση μνήμης. Στο εγκώμιο του για τη Γαλλική Ακαδημία, ο Γάλλος μαθηματικός και φιλόσοφος Marquis de Condorcet , έγραψε:

Ο τάφος του Euler στο μοναστήρι Alexander Nevsky

il cessa de calculer et de vivre — ... έπαψε να υπολογίζει και να ζει. [59]

Ο Όιλερ θάφτηκε δίπλα στην Καθαρίνα στο Λουθηρανικό Κοιμητήριο του Σμολένσκ στο νησί Βασιλιέφσκι . Το 1837, η Ρωσική Ακαδημία Επιστημών εγκατέστησε ένα νέο μνημείο, αντικαθιστώντας την κατάφυτη ταφική πλάκα του. Για τον εορτασμό της 250ης επετείου από τη γέννηση του Euler το 1957, ο τάφος του μεταφέρθηκε στο νεκροταφείο Lazarevskoe στο μοναστήρι Alexander Nevsky . [60]

Συνεισφορές στα μαθηματικά και τη φυσική

Μέρος μιας σειράς άρθρων για το
μαθηματική σταθερά ε
Ο τύπος του Euler.svg
Ιδιότητες
Εφαρμογές
Ορισμός e
Ανθρωποι
Σχετικά θέματα

Ο Euler εργάστηκε σχεδόν σε όλους τους τομείς των μαθηματικών, όπως η γεωμετρία , ο απειροελάχιστος λογισμός , η τριγωνομετρία , η άλγεβρα και η θεωρία αριθμών , καθώς και η φυσική συνεχών , η σεληνιακή θεωρία και άλλοι τομείς της φυσικής . Είναι μια σημαντική προσωπικότητα στην ιστορία των μαθηματικών. Αν τυπώνονταν, τα έργα του, πολλά από τα οποία παρουσιάζουν θεμελιώδες ενδιαφέρον, θα καταλάμβαναν από 60 έως 80 τόμους κουάρτο . [35] Το όνομα του Euler συνδέεται με μεγάλο αριθμό θεμάτων .

Μαθηματική σημειογραφία

Ο Euler εισήγαγε και διέδωσε πολλές συμβολικές συμβάσεις μέσα από τα πολυάριθμα και ευρέως διαδεδομένα σχολικά βιβλία του. Πιο αξιοσημείωτο, εισήγαγε την έννοια της συνάρτησης [3] και ήταν ο πρώτος που έγραψε f ( x ) για να δηλώσει τη συνάρτηση f που εφαρμόζεται στο όρισμα x . Εισήγαγε επίσης τη σύγχρονη σημειογραφία για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις , το γράμμα e για τη βάση του φυσικού λογάριθμου (τώρα γνωστό και ως αριθμός Euler ), το ελληνικό γράμμα Σ για αθροίσεις και το γράμμα i για να δηλώσει τη φανταστική μονάδα . [61]Η χρήση του ελληνικού γράμματος π για να δηλώσει την αναλογία της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του έγινε επίσης δημοφιλής από τον Euler, αν και ξεκίνησε από τον Ουαλό μαθηματικό William Jones . [62]

Ανάλυση

Η ανάπτυξη του απειροελάχιστου λογισμού βρισκόταν στην πρώτη γραμμή της μαθηματικής έρευνας του 18ου αιώνα, και οι Bernoullis —οικογενειακοί φίλοι του Euler— ήταν υπεύθυνοι για μεγάλο μέρος της πρώιμης προόδου στον τομέα. Χάρη στην επιρροή τους, η μελέτη του λογισμού έγινε το κύριο επίκεντρο της εργασίας του Euler. Ενώ ορισμένες από τις αποδείξεις του Euler δεν είναι αποδεκτές από τα σύγχρονα πρότυπα μαθηματικής αυστηρότητας [63] (ιδίως η εξάρτησή του από την αρχή της γενικότητας της άλγεβρας ), οι ιδέες του οδήγησαν σε πολλές μεγάλες προόδους. Ο Euler είναι πολύ γνωστός στην ανάλυση για τη συχνή χρήση και ανάπτυξη σειρών ισχύος , την έκφραση συναρτήσεων ως αθροίσματα απείρως πολλών όρων, [64]όπως

Η χρήση σειρών ισχύος από τον Έιλερ του έδωσε τη δυνατότητα να λύσει το περίφημο πρόβλημα της Βασιλείας το 1735 (παρείχε ένα πιο περίπλοκο επιχείρημα το 1741): [63]

Εισήγαγε τη σταθερά
τώρα γνωστή ως σταθερά του Euler ή σταθερά Euler–Mascheroni, και μελέτησε τη σχέση της με την αρμονική σειρά , τη συνάρτηση γάμμα και τις τιμές της συνάρτησης ζήτα Riemann . [65]

Μια γεωμετρική ερμηνεία του τύπου του Euler

Ο Euler εισήγαγε τη χρήση της εκθετικής συνάρτησης και των λογαρίθμων σε αναλυτικές αποδείξεις. Ανακάλυψε τρόπους έκφρασης διαφόρων λογαριθμικών συναρτήσεων χρησιμοποιώντας σειρές ισχύος και όρισε με επιτυχία λογάριθμους για αρνητικούς και μιγαδικούς αριθμούς , επεκτείνοντας έτσι πολύ το πεδίο των μαθηματικών εφαρμογών των λογαρίθμων. [61] Καθόρισε επίσης την εκθετική συνάρτηση για μιγαδικούς αριθμούς και ανακάλυψε τη σχέση της με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις . Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό φ (που λαμβάνεται ως ακτίνια), ο τύπος του Euler δηλώνει ότι η μιγαδική εκθετική συνάρτηση ικανοποιεί

Μια ειδική περίπτωση του παραπάνω τύπου είναι γνωστή ως ταυτότητα Euler ,
που ονομάζεται "ο πιο αξιοσημείωτος τύπος στα μαθηματικά" από τον Richard P. Feynman , για τις μεμονωμένες χρήσεις των εννοιών της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού, της εκθέσεως και της ισότητας, και τις απλές χρήσεις των σημαντικών σταθερών 0, 1, e , i και π . [66]

Ο Euler ανέπτυξε τη θεωρία των ανώτερων υπερβατικών συναρτήσεων εισάγοντας τη συνάρτηση γάμμα [67] [68] και εισήγαγε μια νέα μέθοδο για την επίλυση εξισώσεων Quartic . [69] Βρήκε έναν τρόπο να υπολογίζει ολοκληρώματα με σύνθετα όρια, προοιωνίζοντας την ανάπτυξη της σύγχρονης μιγαδικής ανάλυσης . Εφηύρε τον λογισμό των παραλλαγών και διατύπωσε την εξίσωση Euler-Lagrange για τη μείωση των προβλημάτων βελτιστοποίησης σε αυτόν τον τομέα στη λύση διαφορικών εξισώσεων .

Ο Euler πρωτοστάτησε στη χρήση αναλυτικών μεθόδων για την επίλυση προβλημάτων θεωρίας αριθμών. Με αυτόν τον τρόπο, ένωσε δύο ανόμοιους κλάδους των μαθηματικών και εισήγαγε ένα νέο πεδίο μελέτης, την αναλυτική θεωρία αριθμών . Για να ανοίξει το έδαφος για αυτό το νέο πεδίο, ο Euler δημιούργησε τη θεωρία των υπεργεωμετρικών σειρών , των σειρών q , των υπερβολικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων και της αναλυτικής θεωρίας των συνεχιζόμενων κλασμάτων . Για παράδειγμα, απέδειξε το άπειρο των πρώτων αριθμών χρησιμοποιώντας την απόκλιση της αρμονικής σειράς και χρησιμοποίησε αναλυτικές μεθόδους για να κατανοήσει τον τρόπο με τον οποίο κατανέμονται οι πρώτοι αριθμοί . Η εργασία του Euler σε αυτόν τον τομέα οδήγησε στην ανάπτυξη τουθεώρημα πρώτων αριθμών . [70]

Θεωρία αριθμών

Το ενδιαφέρον του Euler για τη θεωρία αριθμών μπορεί να εντοπιστεί στην επιρροή του Christian Goldbach , [71] φίλου του στην Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης. [54] Μεγάλο μέρος της πρώιμης εργασίας του Euler για τη θεωρία αριθμών βασίστηκε στο έργο του Pierre de Fermat . Ο Euler ανέπτυξε μερικές από τις ιδέες του Fermat και διέψευσε μερικές από τις εικασίες του, όπως την εικασία του ότι όλοι οι αριθμοί της μορφής( Οι αριθμοί Fermat ) είναι πρώτοι. [72]

Ο Euler συνέδεσε τη φύση της πρώτης κατανομής με τις ιδέες στην ανάλυση. Απέδειξε ότι το άθροισμα των αντίστροφων των πρώτων αποκλίνει . Με αυτόν τον τρόπο, ανακάλυψε τη σύνδεση μεταξύ της συνάρτησης ζήτα Riemann και των πρώτων αριθμών. αυτό είναι γνωστό ως τύπος προϊόντος Euler για τη συνάρτηση ζήτα Riemann . [73]

Ο Euler εφηύρε τη συνάρτηση totient φ( n ), τον αριθμό των θετικών ακεραίων μικρότερων ή ίσων με τον ακέραιο n που είναι συμπρώτος του n . Χρησιμοποιώντας ιδιότητες αυτής της συνάρτησης, γενίκευσε το μικρό θεώρημα του Φερμά σε αυτό που είναι τώρα γνωστό ως θεώρημα του Euler . [74] Συνέβαλε σημαντικά στη θεωρία των τέλειων αριθμών , η οποία είχε γοητεύσει τους μαθηματικούς από τον Ευκλείδη . Απέδειξε ότι η σχέση που εμφανίστηκε μεταξύ άρτιων αριθμών και πρώτων πρώτων αριθμών Mersenne που είχε αποδειχθεί νωρίτερα από τον Ευκλείδη ήταν ένα προς ένα, ένα αποτέλεσμα γνωστό και ως θεώρημα Ευκλείδη-Euler. [75] Ο Euler υπέθεσε επίσης τον νόμο της τετραγωνικής αμοιβαιότητας . Η ιδέα θεωρείται ως θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας αριθμών και οι ιδέες του άνοιξαν το δρόμο για το έργο του Carl Friedrich Gauss , ιδιαίτερα των Disquisitiones Arithmeticae . [76] Μέχρι το 1772 ο Euler είχε αποδείξει ότι 2 31  − 1 = 2.147.483.647 είναι πρώτος Mersenne. Ίσως παρέμεινε ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος μέχρι το 1867. [77]

Ο Euler συνέβαλε σημαντικές εξελίξεις στη θεωρία των κατατμήσεων ενός ακέραιου αριθμού . [78]

Θεωρία γραφημάτων

Χάρτης του Königsberg στην εποχή του Euler που δείχνει την πραγματική διάταξη των επτά γεφυρών , τονίζοντας τον ποταμό Pregel και τις γέφυρες.

Το 1735, ο Euler παρουσίασε μια λύση στο πρόβλημα που είναι γνωστό ως οι Επτά Γέφυρες του Königsberg . [79] Η πόλη Königsberg της Πρωσίας βρισκόταν στον ποταμό Pregel και περιλάμβανε δύο μεγάλα νησιά που συνδέονταν μεταξύ τους και την ηπειρωτική χώρα με επτά γέφυρες. Το πρόβλημα είναι να αποφασίσουμε αν είναι δυνατόν να ακολουθήσουμε ένα μονοπάτι που διασχίζει κάθε γέφυρα ακριβώς μία φορά και επιστρέφει στο σημείο εκκίνησης. Δεν είναι δυνατό: δεν υπάρχει κύκλωμα Eulerian . Αυτή η λύση θεωρείται ότι είναι το πρώτο θεώρημα της θεωρίας γραφημάτων . [79]

Ο Euler ανακάλυψε επίσης τον τύπο που συσχετίζει τον αριθμό των κορυφών, των ακμών και των όψεων ενός κυρτού πολυέδρου [80] και ως εκ τούτου ενός επίπεδου γραφήματος . Η σταθερά σε αυτόν τον τύπο είναι πλέον γνωστή ως χαρακτηριστικό Euler για το γράφημα (ή άλλο μαθηματικό αντικείμενο) και σχετίζεται με το γένος του αντικειμένου. [81] Η μελέτη και η γενίκευση αυτού του τύπου, συγκεκριμένα από τον Cauchy [82] και τον L'Huilier , [83] βρίσκεται στην αρχή της τοπολογίας . [80]

Φυσική, αστρονομία και μηχανική

Μέρος μιας σειράς για
Κλασική μηχανική
Δεύτερος νόμος της κίνησης
Κλαδια δεντρου
Βασικές αρχές
Συνθέσεις
Βασικά θέματα
Περιστροφή
Επιστήμονες

Μερικές από τις μεγαλύτερες επιτυχίες του Euler ήταν στην αναλυτική επίλυση προβλημάτων του πραγματικού κόσμου και στην περιγραφή πολυάριθμων εφαρμογών των αριθμών Bernoulli , της σειράς Fourier , των αριθμών Euler , των σταθερών e και π , των συνεχόμενων κλασμάτων και των ολοκληρωμάτων. Ενσωμάτωσε τον διαφορικό λογισμό του Leibniz με τη Μέθοδο Ροών του Νεύτωνα και ανέπτυξε εργαλεία που διευκόλυναν την εφαρμογή του λογισμού σε φυσικά προβλήματα. Έκανε μεγάλα βήματα στη βελτίωση της αριθμητικής προσέγγισης των ολοκληρωμάτων, εφευρίσκοντας αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως προσεγγίσεις Euler . Οι πιο αξιοσημείωτες από αυτές τις προσεγγίσεις είναιΗ μέθοδος του Euler [84] και ο τύπος Euler–Maclaurin . [85] [86] [87]

Ο Euler βοήθησε στην ανάπτυξη της εξίσωσης δέσμης Euler-Bernoulli , η οποία έγινε ακρογωνιαίος λίθος της μηχανικής. [88] Εκτός από την επιτυχή εφαρμογή των αναλυτικών εργαλείων του σε προβλήματα της κλασικής μηχανικής , ο Euler εφάρμοσε αυτές τις τεχνικές σε ουράνια προβλήματα. Το έργο του στην αστρονομία αναγνωρίστηκε από πολλά βραβεία της Ακαδημίας του Παρισιού κατά τη διάρκεια της καριέρας του. Τα επιτεύγματά του περιλαμβάνουν τον προσδιορισμό με μεγάλη ακρίβεια των τροχιών των κομητών και άλλων ουράνιων σωμάτων, την κατανόηση της φύσης των κομητών και τον υπολογισμό της παράλλαξης του Ήλιου. Οι υπολογισμοί του συνέβαλαν στην ανάπτυξη ακριβών πινάκων γεωγραφικού μήκους . [89]

Ο Euler έκανε σημαντική συμβολή στην οπτική . [90] Διαφώνησε με τη σωματιδιακή θεωρία του φωτός του Νεύτωνα , [91] που ήταν τότε η επικρατούσα θεωρία. Οι εργασίες του για την οπτική του 1740 βοήθησαν να διασφαλιστεί ότι η κυματική θεωρία του φωτός που προτάθηκε από τον Christiaan Huygens θα γινόταν ο κυρίαρχος τρόπος σκέψης, τουλάχιστον μέχρι την ανάπτυξη της κβαντικής θεωρίας του φωτός . [92]

Στη δυναμική των ρευστών , ο Euler ήταν ο πρώτος που προέβλεψε το φαινόμενο της σπηλαίωσης , το 1754, πολύ πριν από την πρώτη του παρατήρηση στα τέλη του 19ου αιώνα, και ο αριθμός Euler που χρησιμοποιήθηκε στους υπολογισμούς ροής ρευστού προέρχεται από τη σχετική εργασία του για την απόδοση των στροβίλων . [93] Το 1757 δημοσίευσε ένα σημαντικό σύνολο εξισώσεων για τη μη ιξώδη ροή στη δυναμική των ρευστών , που είναι τώρα γνωστές ως εξισώσεις Euler . [94]

Ο Euler είναι πολύ γνωστός στη δομική μηχανική για τη φόρμουλά του που δίνει το κρίσιμο φορτίο του Euler , το κρίσιμο φορτίο λυγισμού ενός ιδανικού αντηρίδας, το οποίο εξαρτάται μόνο από το μήκος και την ακαμψία του στην κάμψη. [95]

Λογική

Ο Euler πιστώνεται με τη χρήση κλειστών καμπυλών για την απεικόνιση του συλλογιστικού συλλογισμού (1768). Αυτά τα διαγράμματα έχουν γίνει γνωστά ως διαγράμματα Euler . [96]

Διάγραμμα Euler

Το διάγραμμα Euler είναι ένα διαγραμματικό μέσο αναπαράστασης συνόλων και των σχέσεών τους. Τα διαγράμματα Euler αποτελούνται από απλές κλειστές καμπύλες (συνήθως κύκλους) στο επίπεδο που απεικονίζουν σύνολα . Κάθε καμπύλη Euler χωρίζει το επίπεδο σε δύο περιοχές ή «ζώνες»: το εσωτερικό, που συμβολικά αντιπροσωπεύει τα στοιχεία του συνόλου, και το εξωτερικό, το οποίο αντιπροσωπεύει όλα τα στοιχεία που δεν είναι μέλη του συνόλου. Τα μεγέθη ή τα σχήματα των καμπυλών δεν είναι σημαντικά. η σημασία του διαγράμματος έγκειται στο πώς επικαλύπτονται. Οι χωρικές σχέσεις μεταξύ των περιοχών που οριοθετούνται από κάθε καμπύλη (επικάλυψη, περιορισμός ή καμία) αντιστοιχούν σε σχέσεις θεωρίας συνόλων ( τομή , υποσύνολο καιασυνέπεια ). Οι καμπύλες των οποίων οι εσωτερικές ζώνες δεν τέμνονται αντιπροσωπεύουν ασύνδετα σύνολα . Δύο καμπύλες των οποίων οι εσωτερικές ζώνες τέμνονται αντιπροσωπεύουν σύνολα που έχουν κοινά στοιχεία. η ζώνη μέσα και στις δύο καμπύλες αντιπροσωπεύει το σύνολο των στοιχείων που είναι κοινά και στα δύο σύνολα (την τομή των συνόλων). Μια καμπύλη που περιέχεται πλήρως στην εσωτερική ζώνη μιας άλλης αντιπροσωπεύει ένα υποσύνολο της.

Τα διαγράμματα Euler (και η τελειοποίησή τους στα διαγράμματα Venn ) ενσωματώθηκαν ως μέρος της διδασκαλίας στη θεωρία συνόλων ως μέρος του νέου μαθηματικού κινήματος στη δεκαετία του 1960. [97] Από τότε, άρχισαν να χρησιμοποιούνται ευρέως ως τρόπος οπτικοποίησης συνδυασμών χαρακτηριστικών. [98]

ΜΟΥΣΙΚΗ

Ένα από τα πιο ασυνήθιστα ενδιαφέροντα του Euler ήταν η εφαρμογή μαθηματικών ιδεών στη μουσική. Το 1739 έγραψε το Tentamen novae theoriae musicae ( Προσπάθεια σε μια νέα θεωρία της μουσικής ), ελπίζοντας να ενσωματώσει τελικά τη μουσική θεωρία ως μέρος των μαθηματικών. Αυτό το μέρος της δουλειάς του, ωστόσο, δεν έτυχε μεγάλης προσοχής και κάποτε είχε περιγραφεί ως πολύ μαθηματικό για τους μουσικούς και πολύ μουσικό για τους μαθηματικούς. [99] Ακόμη και όταν ασχολείται με τη μουσική, η προσέγγιση του Euler είναι κυρίως μαθηματική, [100] συμπεριλαμβανομένης για παράδειγμα της εισαγωγής δυαδικών λογαρίθμων ως τρόπου αριθμητικής περιγραφής της υποδιαίρεσης των οκτάβων σε κλασματικά μέρη. [101]Τα γραπτά του για τη μουσική δεν είναι ιδιαίτερα πολυάριθμα (μερικές εκατοντάδες σελίδες, στη συνολική του παραγωγή τριάντα χιλιάδων περίπου σελίδων), αλλά αντανακλούν μια πρώιμη ενασχόληση που δεν τον εγκατέλειψε σε όλη του τη ζωή. [100]

Ένα πρώτο σημείο της μουσικής θεωρίας του Euler είναι ο ορισμός των «ειδών», δηλαδή των πιθανών διαιρέσεων της οκτάβας χρησιμοποιώντας τους πρώτους αριθμούς 3 και 5. Ο Euler περιγράφει 18 τέτοια είδη, με τον γενικό ορισμό 2 m A, όπου Α είναι ο «εκθέτης " του είδους (δηλαδή το άθροισμα των εκθετών του 3 και του 5) και 2 m (όπου "m είναι ένας αόριστος αριθμός, μικρός ή μεγάλος, εφόσον οι ήχοι είναι αντιληπτοί" [102] ), εκφράζει ότι η σχέση ισχύει ανεξάρτητα από τον αριθμό των σχετικών οκτάβων. Το πρώτο είδος, με A = 1, είναι η ίδια η οκτάβα (ή τα διπλότυπά της). το δεύτερο είδος, 2 m .3, είναι η οκτάβα διαιρούμενη με την πέμπτη (πέμπτη + τέταρτη, C–G–C). το τρίτο είδος είναι 2 m .5, μείζον τρίτο + ελάσσονα έκτο (C–E–C).m .3 2 , δύο τέταρτα και έναν τόνο (C–F–B ♭ –C); το πέμπτο είναι 2 m .3,5 (C–E–G–B–C). κ.λπ. Τα είδη 12 (2 m .3 3 .5), 13 (2 m .3 2.5 2 ) και 14 ( 2 m .3.5 3 ) είναι διορθωμένα εκδοχές του διατονικού, χρωματικού και εναρμονικού , αντίστοιχα, των Αρχαίων . Το είδος 18 (2 m .3 3 .5 2 ) είναι το "διατονικό-χρωματικό", "χρησιμοποιείται γενικά σε όλες τις συνθέσεις", [103] και το οποίο αποδεικνύεται ότι είναι πανομοιότυπο με το σύστημα που περιγράφει ο Johann Mattheson .[104] Ο Euler αργότερα οραματίστηκε τη δυνατότητα να περιγράψει είδη συμπεριλαμβανομένου του πρώτου αριθμού 7. [105]

Ο Euler επινόησε ένα συγκεκριμένο γράφημα, το Speculum musicum , [106] για να απεικονίσει το διατονικο-χρωματικό είδος, και συζήτησε μονοπάτια σε αυτό το γράφημα για συγκεκριμένα διαστήματα, υπενθυμίζοντας το ενδιαφέρον του για τις Επτά Γέφυρες του Königsberg (βλ. παραπάνω ). Η συσκευή τράβηξε νέο ενδιαφέρον ως Tonnetz στη νεο-Ριμαννική θεωρία (βλ. επίσης Lattice (μουσική) ). [107]

Ο Euler χρησιμοποίησε περαιτέρω την αρχή του «εκθέτη» για να προτείνει μια εξαγωγή του gradus suavitatis (βαθμός ευαισθησίας, σύμφωνης γνώμης) των διαστημάτων και των συγχορδιών από τους πρώτους παράγοντες τους – πρέπει να έχουμε κατά νου ότι θεώρησε τον μόνο τονισμό, δηλ. 1 και το μόνο οι πρώτοι αριθμοί 3 και 5. [108] Έχουν προταθεί τύποι που επεκτείνουν αυτό το σύστημα σε οποιονδήποτε αριθμό πρώτων αριθμών, π.χ.

όπου p i είναι πρώτοι αριθμοί και k i οι εκθέτες τους. [109]

Έχει προταθεί ότι ο Euler ήταν υπεύθυνος για το ένα τρίτο του συνόλου της επιστημονικής και μαθηματικής παραγωγής του 18ου αιώνα. [9]

Προσωπική φιλοσοφία και θρησκευτικές πεποιθήσεις

Ο Euler αντιτάχθηκε στις έννοιες του μοναδισμού του Leibniz και στη φιλοσοφία του Christian Wolff . [110] Ο Euler επέμενε ότι η γνώση βασίζεται εν μέρει σε ακριβείς ποσοτικούς νόμους, κάτι που ο μοναδισμός και η επιστήμη του Wolffian δεν ήταν σε θέση να παράσχουν. Οι θρησκευτικές τάσεις του Euler θα μπορούσαν επίσης να είχαν σχέση με την απέχθειά του για το δόγμα. έφτασε στο σημείο να χαρακτηρίσει τις ιδέες του Wolff ως «ειδωλολάτρες και αθεϊστικές». [111]

Ο Όιλερ παρέμεινε θρησκευόμενος σε όλη του τη ζωή. [14] Πολλά από όσα είναι γνωστά για τις θρησκευτικές πεποιθήσεις του Euler μπορούν να συναχθούν από τις Επιστολές του προς μια Γερμανίδα Πριγκίπισσα και ένα προηγούμενο έργο, Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister ( Υπεράσπιση της Θείας Αποκάλυψης ενάντια στις Αντιρρήσεις των Ελεύθερων Σκεφτών ). Αυτά τα έργα δείχνουν ότι ο Euler ήταν ένας πιστός Χριστιανός που πίστευε ότι η Βίβλος ήταν εμπνευσμένη. το Rettung ήταν κυρίως ένα επιχείρημα για τη θεϊκή έμπνευση της γραφής . [112] [113]

Υπάρχει ένας διάσημος μύθος [114] εμπνευσμένος από τα επιχειρήματα του Euler με τους κοσμικούς φιλοσόφους για τη θρησκεία, ο οποίος διαδραματίζεται κατά τη διάρκεια της δεύτερης θητείας του Euler στην Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης. Ο Γάλλος φιλόσοφος Ντενί Ντιντερό επισκεπτόταν τη Ρωσία μετά από πρόσκληση της Μεγάλης Αικατερίνης. Ωστόσο, η αυτοκράτειρα ανησύχησε ότι τα επιχειρήματα του φιλοσόφου για τον αθεϊσμό επηρέαζαν μέλη της αυλής της και έτσι ο Όιλερ κλήθηκε να αντιμετωπίσει τον Γάλλο. Ο Ντιντερό ενημερώθηκε ότι ένας λόγιος μαθηματικός είχε προσκομίσει μια απόδειξη της ύπαρξης του Θεού : συμφώνησε να δει την απόδειξη όπως παρουσιάστηκε στο δικαστήριο. Ο Όιλερ εμφανίστηκε, προχώρησε προς τον Ντιντερό, και με έναν τόνο τέλειας πεποίθησης ανακοίνωσε αυτή τη μη συνέχεια : «Κύριε,a+b n/n= x , άρα ο Θεός υπάρχει — απάντησε!" Ο Ντιντερό, στον οποίο (λέει η ιστορία) όλα τα μαθηματικά ήταν ασυναρτησίες, στάθηκε άναυδος καθώς ξέσπασαν γέλια από το δικαστήριο. Εμβρόντητος, ζήτησε να φύγει από τη Ρωσία, ένα αίτημα που έγινε ευγενικά από Όσο διασκεδαστικό κι αν είναι το ανέκδοτο, είναι απόκρυφο , δεδομένου ότι ο ίδιος ο Ντιντερό έκανε έρευνα στα μαθηματικά .

Μνήμες

Πορτρέτο του Euler στην έκτη σειρά του τραπεζογραμματίου των 10 φράγκων
Πορτρέτο του Euler στην έβδομη σειρά του τραπεζογραμματίου των 10 φράγκων

Ο Euler εμφανίστηκε τόσο στην έκτη [116] και στην έβδομη [117] σειρά του ελβετικού τραπεζογραμματίου των 10 φράγκων και σε πολλά ελβετικά, γερμανικά και ρωσικά γραμματόσημα. Το 1782 εξελέγη Ξένο Επίτιμο Μέλος της Αμερικανικής Ακαδημίας Τεχνών και Επιστημών . [118] Ο αστεροειδής 2002 Euler ονομάστηκε προς τιμήν του. [119]

Επιλεγμένη βιβλιογραφία

Ο Euler έχει εκτενή βιβλιογραφία . Τα βιβλία του περιλαμβάνουν:

Χρειάστηκε μέχρι το 1830 για να εκδοθούν μεμονωμένα το μεγαλύτερο μέρος των μεταθανάτων έργων του Euler, [126] με μια επιπλέον παρτίδα 61 αδημοσίευτων έργων που ανακαλύφθηκαν από τον Paul Heinrich von Fuss , δισέγγονο του Euler και γιος του Nicolas Fuss, και δημοσιεύτηκαν ως συλλογή το 1862. [ 126] [127] Μετά από αρκετές καθυστερήσεις τον 19ο αιώνα, [126] μια οριστική συλλογή έργων του Euler, με τίτλο Opera Omnia , δημοσιεύεται από το 1911 από την Επιτροπή Euler της Ελβετικής Ακαδημίας Επιστημών . [128] Ένας χρονολογικός κατάλογος των έργων του Euler συντάχθηκε από τον Σουηδό μαθηματικό Gustaf Eneströmκαι δημοσιεύτηκε από το 1910 έως το 1913, [129] και τα έργα του Euler αναφέρονται συχνά με τον αριθμό τους στο ευρετήριο Eneström, από το E1 έως το E866. [130] Το Αρχείο Euler ξεκίνησε στο Dartmouth College [131] πριν μετακομίσει στη Μαθηματική Ένωση της Αμερικής [132] και, πιο πρόσφατα, στο Πανεπιστήμιο του Ειρηνικού το 2017. [133]

Το 1907, η Ελβετική Ακαδημία Επιστημών δημιούργησε την επιτροπή Euler και της ανέθεσε τη δημοσίευση των πλήρων έργων του Euler. Αυτό το έργο ξεκίνησε το 1911, αλλά η ανακάλυψη νέων χειρογράφων συνέχισε να αυξάνει το μέγεθος αυτού του έργου. Ευτυχώς, η έκδοση της Opera Omnia του Euler έχει σημειώσει σταθερή πρόοδο, με πάνω από 70 τόμους να έχουν εκδοθεί μέχρι σήμερα. [134]Οι 71 τόμοι αυτής της λίστας εκδίδονται σε 74 τόμους που κατά μέσο όρο 426 σελίδες ανά μέρος τόμου. Αυτοί οι τόμοι είναι οργανωμένοι σε τέσσερις σειρές. Η πρώτη σειρά συγκεντρώνει τα έργα για την ανάλυση, την άλγεβρα και τη θεωρία αριθμών και έχει 29 τόμους και πάνω από 14.000 σελίδες. Οι 31 τόμοι της Σειράς ΙΙ, που ανέρχονται σε 10.660 σελίδες, περιέχουν τα έργα για τη μηχανική, την αστρονομία και τη μηχανική. Η σειρά III περιέχει 12 τόμους για τη φυσική. Η δημοσίευση της τεράστιας αλληλογραφίας και των αδημοσίευτων χειρογράφων και σημειώσεων του Euler ξεκίνησε μόλις το 1967. Αυτό το υλικό θα αποτελέσει τη Σειρά IV, η οποία προβλέπεται να καλύπτει 16 τόμους, εννέα τόμοι από τους οποίους έχουν εμφανιστεί. [128] [9]

  • Εικονογράφηση από Solutio problematis... α. 1743 προτάσεις που δημοσιεύτηκαν στο Acta Eruditorum , 1744

  • Η σελίδα τίτλου του Euler's Methodus inveniendi lineas curvas .

  • Ο παγκόσμιος χάρτης του Euler του 1760.

  • Ο χάρτης της Αφρικής του Euler του 1753.

Σημειώσεις

  1. ^ Ωστόσο, στην ελβετική ποικιλία Standard German με ηχητικό /r/ :[ˈɔʏlər] .

βιβλιογραφικές αναφορές

  1. ^ Leonhard Euler at the Mathematics Genealogy Project Ανακτήθηκε στις 2 Ιουλίου 2021
  2. ^ Η προφορά / ˈ juː l ər / YOO -lər θεωρείται λανθασμένη. Βλέπω:
    • «Euler». Oxford English Dictionary (2η έκδοση). Oxford University Press. 1989.
    • "Euler" . Ηλεκτρονικό λεξικό Merriam–Webster . 2009. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 25 Απριλίου 2009 . Ανακτήθηκε στις 5 Ιουνίου 2009 .
    • «Euler, Leonhard» . The American Heritage Dictionary of the English Language (5η έκδοση). Βοστώνη: Houghton Mifflin Company. 2011. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 4 Οκτωβρίου 2013 . Ανακτήθηκε στις 30 Μαΐου 2013 .
    • Peter M. Higgins (2007). Δίχτυα, παζλ και ταχυδρόμοι: Μια εξερεύνηση των μαθηματικών συνδέσεων . Oxford University Press. Π. 43 . ISBN 978-0-19-921842-4.
  3. ^ a b Dunham 1999 , σελ. 17.
  4. ^ Dunham 1999 , σελ. xiii "Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous."
  5. ^ Το απόσπασμα εμφανίστηκε στην κριτική του Gugliemo Libri για μια πρόσφατα δημοσιευμένη συλλογή αλληλογραφίας μεταξύ μαθηματικών του δέκατου όγδοου αιώνα: Libri, Gugliemo (Ιανουάριος 1846). "Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIe siècle, ..." [Μαθηματική και φυσική αντιστοιχία ορισμένων διάσημων γεωμέτρων του δέκατου όγδοου αιώνα, ...]. Journal des Savants (στα γαλλικά): 51. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 9 Αυγούστου 2018 . Ανακτήθηκε στις 7 Απριλίου 2014 . «... nous rappellerions que Laplace lui même, ... ne cessait de répéter aux jeunes mathématiciens ces paroles memorables que nous avons entendues de sa propre bouche : «Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître àus. « [... θυμόμαστε ότι ο ίδιος ο Laplace,... δεν έπαψε ποτέ να επαναλαμβάνει στους νέους μαθηματικούς αυτά τα αξιομνημόνευτα λόγια που ακούσαμε από το ίδιο του το στόμα: «Διαβάστε Όιλερ, διαβάστε τον Όιλερ, είναι ο κύριος μας σε όλα.]
  6. ^ Grinstein, Louise; Lipsey, Sally I. (2001). «Euler, Leonhard (1707–1783)». Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικής Εκπαίδευσης . Routledge . Π. 235. ISBN 978-0-415-76368-4.
  7. ↑ "The Euler Archive" . eulerarchive.maa.org . Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 28 Αυγούστου 2021 . Ανακτήθηκε στις 19 Φεβρουαρίου 2014 .
  8. ^ Gautschi 2008 , σελ. 3.
  9. ^ a b c d Assad, Arjang A. (2007). "Leonhard Euler: Μια σύντομη εκτίμηση" . Δίκτυα . 49 (3): 190–198. doi : 10.1002/net.20158 .
  10. ^ a b Boyer, Carl B (1 Ιουνίου 2021). «Λέονχαρντ Όιλερ» . Εγκυκλοπαίδεια Britannica . Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 3 Μαΐου 2021 . Ανακτήθηκε στις 27 Μαΐου 2021 .
  11. ^ Calinger 2016 , σελ. 11.
  12. ^ a b c d e f Gautschi 2008 , σελ. 4.
  13. ^ Calinger 1996 , σελ. 124–125.
  14. ^ a b c d e f Knobloch, Eberhard , επιμ. (Μάιος 1983). Zum Werk Leonhard Eulers: Vorträge des Euler-Kolloquiums im Mai 1983 στο Βερολίνο (PDF) . Springer Publishing . Birkhäuser Verlag . doi : 10.1007/978-3-0348-7121-1 . ISBN  978-3-0348-7122-8.{{cite book}}: CS1 maint: url-status (link)
  15. ^ James, Ioan (2002). Αξιόλογοι μαθηματικοί: Από τον Euler στον von Neumann . Cambridge University Press. Π. 2 . ISBN 978-0-521-52094-2.
  16. ^ Calinger 1996 , σελ. 124.
  17. ^ Calinger 2016 , σελ. 32.
  18. ^ Euler, Leonhard (1727). Dissertatio physica de sono [ Φυσική διατριβή για τον ήχο ] (στα λατινικά). Βασιλεία: E. και JR Thurnisiorum. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 6 Ιουνίου 2021 . Ανακτήθηκε στις 6 Ιουνίου 2021 – μέσω του αρχείου Euler.Μεταφράστηκε στα αγγλικά ως Bruce, Ian. "Euler's Dissertation De Sono : E002" (PDF) . Μερικά μαθηματικά έργα του 17ου και 18ου αιώνα, συμπεριλαμβανομένων των Principia του Νεύτωνα, του Euler's Mechanica, Introductio in Analysin, κ.λπ., μεταφρασμένα κυρίως από τα λατινικά στα αγγλικά . Αρχειοθετήθηκε (PDF) από το πρωτότυπο στις 10 Ιουνίου 2016 . Ανακτήθηκε στις 12 Ιουνίου 2021 .
  19. ^ a b c d e Calinger 1996 , σελ. 125.
  20. ^ α β "Η Ακαδημία του Παρισιού" . Αρχείο Euler . Μαθηματική Ένωση της Αμερικής. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 30 Ιουλίου 2021 . Ανακτήθηκε στις 29 Ιουλίου 2021 .
  21. ^ α β γ Calinger 1996 , σελ. 156.
  22. ^ Calinger 1996 , σελ. 121–166.
  23. ^ O'Connor, John J. Robertson, Edmund F. "Nicolaus (II) Bernoulli" . Αρχείο MacTutor History of Mathematics . Πανεπιστήμιο του St Andrews . Ανακτήθηκε στις 2 Ιουλίου 2021.
  24. ^ Calinger 1996 , σελ. 126–127.
  25. ^ Calinger 1996 , σελ. 127.
  26. ^ α β γ Calinger 1996 , σελ. 126.
  27. ^ α β γ Calinger 1996 , σελ. 128.
  28. ^ Calinger 1996 , σελ. 128–29.
  29. ^ a b Gekker & Euler 2007 , σελ. 402 .
  30. ^ a b c d Calinger 1996 , σελ. 157–158.
  31. ^ Gautschi 2008 , σελ. 7.
  32. ^ Euler, Leonhard (1787). "Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum" [Θεμελιώσεις διαφορικού λογισμού, με εφαρμογές σε πεπερασμένη ανάλυση και σειρές]. Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae (στα λατινικά). Petri Galeatii. 1 : 1–880. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 6 Μαΐου 2021 . Ανακτήθηκε στις 8 Ιουνίου 2021 – μέσω του αρχείου Euler.
  33. ^ a b c d Dunham 1999 , σσ. xxiv–xxv.
  34. ^ Stén, Johan C.-E. (2014). «Ακαδημαϊκές εκδηλώσεις στην Αγία Πετρούπολη». Ένας κομήτης του Διαφωτισμού . Vita Mathematica. Τομ. 17. Birkhäuser. σελ. 119–135. doi : 10.1007/978-3-319-00618-5_7 .Βλ. ειδικότερα υποσημείωση 37, σελ. 131.
  35. ^ α β γ Finkel, BF (1897). «Βιογραφία – Λέοναρντ Όιλερ». The American Mathematical Monthly . 4 (12): 297–302. doi : 10.2307/2968971 . JSTOR 2968971 . MR 1514436 .  
  36. ^ Βιογραφική Εγκυκλοπαίδεια Αστρονόμων . Πηδών. 18 Σεπτεμβρίου 2007. Σελ. 992. ISBN 978-0-387-30400-7. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 22 Απριλίου 2021 . Ανακτήθηκε στις 15 Ιουνίου 2021 .
  37. ^ Clark, William; Golinski, Jan; Schaffer, Simon (1 Ιουλίου 1999). Οι Επιστήμες στη Φωτισμένη Ευρώπη . University of Chicago Press . Π. 395. ISBN 978-0-226-10940-4. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 22 Απριλίου 2021 . Ανακτήθηκε στις 15 Ιουνίου 2021 .
  38. ^ a b Knobloch, Eberhard (2007). ""Leonhard Euler 1707–1783. Zum 300. Geburtstag eines langjährigen Wahlberliners"". Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 15 (4): 276–288. doi : 10.1515/dmvm-2007-0092 . S2CID  122271644 .
  39. ^ a b Gautschi 2008 , σσ. 8–9.
  40. ^ Euler, Leonhard (1802). Επιστολές του Euler για διαφορετικά θέματα Φυσικής και Φιλοσοφίας, Απευθυνόμενες σε μια Γερμανίδα Πριγκίπισσα . Μετάφραση Hunter, Henry (2η έκδ.). Λονδίνο: Murray and Highley – μέσω Internet Archive.
  41. ↑ Φρειδερίκος Β΄ της Πρωσίας (1927). Επιστολές του Βολταίρου και του Φρειδερίκου του Μεγάλου, Επιστολή Η 7434, 25 Ιανουαρίου 1778 . Ρίτσαρντ Άλντινγκτον . Νέα Υόρκη: Brentano's.
  42. ^ a b Vucinich, Alexander (1960). "Τα μαθηματικά στον ρωσικό πολιτισμό" . Journal of the History of Ideas . 21 (2): 164–165. doi : 10.2307/2708192 . ISSN 0022-5037 . JSTOR 2708192 . Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 3 Αυγούστου 2021 . Ανακτήθηκε στις 3 Αυγούστου 2021 – μέσω JSTOR .  
  43. ^ Gindikin, Simon (2007). «Λέονχαρντ Όιλερ». Ιστορίες Μαθηματικών και Φυσικών . Πηδών. σελ. 171–212. doi : 10.1007/978-0-387-48811-0_7 . ISBN 978-0-387-48811-0.Βλέπε ειδικότερα σελ. 182 Αρχειοθετήθηκε στις 10 Ιουνίου 2021 στο Wayback Machine .
  44. ^ Gautschi 2008 , σελ. 9.
  45. ^ Knobloch, Eberhard (1998), "Mathematics at the Prussian Academy of Sciences 1700–1810" , Mathematics in Berlin , Basel: Birkhäuser Basel, σελ. 1–8, ISBN 978-3-7643-5943-0, ανακτήθηκε στις 9 Μαΐου 2022
  46. ^ Euler (1988), Introduction to Analysis of the Infinite , doi : 10.1007/978-1-4612-1021-4
  47. ^ Thiele, Rüdiger (2005), "The Mathematics and Science of Leonhard Euler (1707–1783)" , CMS Books in Mathematics , Νέα Υόρκη, Νέα Υόρκη: Springer New York, σελ. 81–140, ISBN 978-0-387-25284-1, ανακτήθηκε στις 9 Μαΐου 2022
  48. ^ ECKERT, MICHAEL (1 Νοεμβρίου 2002). «Ο Έιλερ και τα Σιντριβάνια του Σανσουσί» . Αρχείο Ιστορίας Ακριβών Επιστημών . 56 (6): 451–468. doi : 10.1007/s004070200054 . ISSN 0003-9519 . 
  49. ^ Maehara, Hiroshi; Martini, Horst (2017). «Στο θεώρημα του Λέξελ» . The American Mathematical Monthly . 124 (4): 337–344. doi : 10.4169/amer.math.monthly.124.4.337 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.124.4.337 . S2CID 125175471 . Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 20 Αυγούστου 2021 . Ανακτήθηκε στις 16 Ιουνίου 2021 .   
  50. ^ a b Thiele, Rüdiger (2005). «Τα μαθηματικά και η επιστήμη του Leonhard Euler» . Στο Kinyon, Michael? van Brummelen, Glen (επιμ.). Mathematics and the Historian's Craft: The Kenneth O. May Lectures . Πηδών. σελ. 81–140. ISBN 978-0-387-25284-1.
  51. ^ a b Fuss, Nicolas (1783). "Éloge de M. Léonhard Euler" [Ευλογία για τον Leonhard Euler]. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (στα γαλλικά). 1 : 159–212. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 20 Αυγούστου 2021 . Ανακτήθηκε στις 19 Μαΐου 2018 – μέσω της Bioheritage Diversity Library.Μεταφράστηκε στα αγγλικά ως "Eulogy of Leonhard Euler by Nicolas Fuss" . Αρχείο MacTutor History of Mathematics . Μετάφραση Glaus, John SD St Andrews University. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 26 Δεκεμβρίου 2018 . Ανακτήθηκε στις 30 Αυγούστου 2006 .
  52. ^ α β Calinger 1996 , σελ. 129.
  53. ^ Gekker & Euler 2007 , σελ. 405 .
  54. ^ a b Gautschi 2008 , σελ. 6.
  55. ^ α β Eves, Howard W. (1969). «Η τύφλωση του Euler». Στους Μαθηματικούς Κύκλους: Μια Επιλογή Μαθηματικών Ιστοριών και Ανέκδοτων, Τεταρτήμια III και IV . Prindle, Weber, & Schmidt. Π. 48.Επίσης παρατίθεται από τον Richeson (2012) , σελ. 17 Αρχειοθετήθηκε στις 16 Ιουνίου 2021 στο Wayback Machine , που αναφέρεται στην Eves.
  56. ^ α β Asensi, Victor; Asensi, Jose M. (Μάρτιος 2013). «Το δεξί μάτι του Euler: η σκοτεινή πλευρά ενός φωτεινού επιστήμονα». Κλινικές λοιμώδεις ασθένειες . 57 (1): 158–159. doi : 10.1093/cid/cit170 . PMID 23487386 . 
  57. ^ Bullock, John D.; Warwar, Ronald E.; Hawley, H. Bradford (Απρίλιος 2022). «Γιατί ο Leonhard Euler ήταν τυφλός;». British Journal for the History of Mathematics : 1–19. doi : 10.1080/26375451.2022.2052493 .
  58. ^ Gautschi 2008 , σελ. 9–10.
  59. ^ Μαρκήσιος ντε Κοντορσέ. «Eulogy of Euler – Condorcet» . Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 16 Σεπτεμβρίου 2006 . Ανακτήθηκε στις 30 Αυγούστου 2006 .
  60. ^ Calinger 2016 , σελ. 530–536.
  61. ^ α β Boyer, Carl B. ; Merzbach, Uta C. (1991). Μια Ιστορία των Μαθηματικών . John Wiley & Sons . σελ.  439–45 . ISBN 978-0-471-54397-8.
  62. ^ Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2006). Pi Unleashed . Springer-Verlag. Π. 166. ISBN 978-3-540-66572-4. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 17 Ιουνίου 2021 . Ανακτήθηκε στις 8 Ιουνίου 2021 .
  63. ^ α β Wanner, Gerhard ; Hairer, Ernst (2005). Ανάλυση βάσει της ιστορίας του (1η έκδ.). Πηδών. Π. 63. ISBN 978-0-387-77036-9.
  64. ^ Ferraro 2008 , σελ. 155.
  65. ^ Lagarias, Jeffrey C. (Οκτώβριος 2013). «Η σταθερά του Euler: το έργο του Euler και οι σύγχρονες εξελίξεις». Δελτίο της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας . 50 (4): 556. arXiv : 1303.1856 . doi : 10.1090/s0273-0979-2013-01423-x . MR 3090422 . S2CID 119612431 .  
  66. ↑ Feynman, Richard (1970). «Κεφάλαιο 22: Άλγεβρα». The Feynman Lectures on Physics . Τομ. I. p. 10.
  67. ^ Ferraro 2008 , σελ. 159.
  68. ^ Davis, Philip J. (1959). «Ολοκλήρωμα Leonhard Euler: Ένα ιστορικό προφίλ της συνάρτησης γάμμα». The American Mathematical Monthly . 66 : 849–869. doi : 10.2307/2309786 . JSTOR 2309786 . MR 0106810 .  
  69. ^ Nickalls, RWD (Μάρτιος 2009). "Η εξίσωση Quartic: αμετάβλητες και η λύση του Euler αποκαλύφθηκε". Το Μαθηματικό ΦΕΚ . 93 (526): 66–75. doi : 10.1017/S0025557200184190 . JSTOR 40378672 . S2CID 16741834 .  
  70. ^ Dunham 1999 , Ch. 3, Ch. 4.
  71. ^ Calinger 1996 , σελ. 130.
  72. ^ Dunham 1999 , σελ. 7.
  73. ^ Patterson, SJ (1988). Εισαγωγή στη θεωρία της ζήτα-συνάρτησης Riemann . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Τομ. 14. Cambridge: Cambridge University Press. Π. 1. doi : 10.1017/CBO9780511623707 . ISBN 978-0-521-33535-5. MR  0933558 . Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 18 Ιουνίου 2021 . Ανακτήθηκε στις 6 Ιουνίου 2021 .
  74. ^ Shiu, Peter (Νοέμβριος 2007). «Η συμβολή του Euler στη θεωρία αριθμών». Το Μαθηματικό ΦΕΚ . 91 (522): 453–461. doi : 10.1017/S0025557200182099 . JSTOR 40378418 . S2CID 125064003 .  
  75. ^ Stillwell, John (2010). Τα Μαθηματικά και η Ιστορία τους . Προπτυχιακά Κείμενα στα Μαθηματικά . Πηδών. Π. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 27 Ιουλίου 2021 . Ανακτήθηκε στις 6 Ιουνίου 2021 ..
  76. ^ Dunham 1999 , Ch. 1, Ch. 4.
  77. ^ Caldwell, Chris. "Ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος ανά έτος" . PrimePages . Πανεπιστήμιο του Τενεσί στο Μάρτιν. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 19 Αυγούστου 2013 . Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2021 .
  78. ^ Χόπκινς, Μπράιαν· Wilson, Robin (2007). «Η επιστήμη των συνδυασμών του Euler». Leonhard Euler: Life, Work and Legacy . Κουμπί κολάρου. Ιστορ. Philos. Μαθηματικά. Τομ. 5. Άμστερνταμ: Elsevier. σελ. 395–408. MR 3890500 . 
  79. ^ a b Alexanderson, Gerald (Ιούλιος 2006). «Οι γέφυρες του Euler και του Königsberg: μια ιστορική άποψη» . Δελτίο της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας . 43 (4): 567. doi : 10.1090/S0273-0979-06-01130-X .
  80. ^ a b Richeson 2012 .
  81. ^ Gibbons, Alan (1985). Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων . Cambridge University Press. Π. 72. ISBN 978-0-521-28881-1. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 20 Αυγούστου 2021 . Ανακτήθηκε στις 12 Νοεμβρίου 2015 .
  82. ^ Cauchy, AL (1813). «Recherche sur les polyèdres – premier memoire» . Journal de l'École polytechnique (στα γαλλικά). 9 (Cahier 16): 66–86. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 10 Ιουνίου 2021 . Ανακτήθηκε στις 10 Ιουνίου 2021 .
  83. ^ L'Huillier, S.-A.-J. (1812–1813). "Mémoire sur la polyèdrométrie" . Annales de mathématiques pures et appliquées . 3 : 169–89. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 10 Ιουνίου 2021 . Ανακτήθηκε στις 10 Ιουνίου 2021 .
  84. ^ Butcher, John C. (2003). Αριθμητικές Μέθοδοι για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις . Νέα Υόρκη: John Wiley & Sons . Π. 45. ISBN 978-0-471-96758-3. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 19 Ιουνίου 2021 . Ανακτήθηκε στις 8 Ιουνίου 2021 .
  85. ^ Calinger 2016 , σελ. 96, 137.
  86. ↑ Ferraro 2008 , σελ. 171–180, Κεφάλαιο 14: Παραγωγή Euler του τύπου άθροισης Euler–Maclaurin.
  87. ^ Mills, Stella (1985). «Οι ανεξάρτητες παράγωγοι του τύπου άθροισης Euler–Maclaurin από τους Leonhard Euler και Colin Maclaurin». Αρχείο Ιστορίας Ακριβών Επιστημών . 33 (1–3): 1–13. doi : 10.1007/BF00328047 . MR 0795457 . S2CID 122119093 .  
  88. ^ Ojalvo, Morris (Δεκέμβριος 2007). «Τριακόσια χρόνια θεωρίας φραγμών». Journal of Structural Engineering . 133 (12): 1686–1689. doi : 10.1061/(asce)0733-9445(2007)133:12(1686) .
  89. ^ Youschkevitch, AP (1971). «Euler, Leonhard». Στο Gillispie, Charles Coulston (επιμ.). Λεξικό Επιστημονικής Βιογραφίας . Τομ. 4: Richard Dedekind – Firmicus Maternus. Νέα Υόρκη: Charles Scribner's Sons. σελ. 467–484. ISBN 978-0-684-16964-4.
  90. ^ a b Davidson, Michael W. (Φεβρουάριος 2011). «Πρωτοπόροι στην Οπτική: Leonhard Euler και Étienne-Louis Malus». Μικροσκοπία Σήμερα . 19 (2): 52–54. doi : 10.1017/s1551929511000046 . S2CID 122853454 . 
  91. ^ Calinger 1996 , σελ. 152–153.
  92. ^ Home, RW (1988). «Η «αντι-νευτώνεια» θεωρία του φωτός του Leonhard Euler». Annals of Science . 45 (5): 521–33. doi : 10.1080/00033798800200371 . MR 0962700 . 
  93. ^ Li, Shengcai (Οκτώβριος 2015). "Μικροσκοπικές φυσαλίδες προκαλούν γιγάντιες τουρμπίνες: παζλ Three Gorges" . Εστίαση διεπαφής . Η Βασιλική Εταιρεία. 5 (5): 20150020. doi : 10.1098/rsfs.2015.0020 . PMC 4549846 . PMID 26442144 .  
  94. ^ Euler, Leonhard (1757). "Principes généraux de l'état d'équilibre d'un fluide" [Γενικές αρχές της κατάστασης ισορροπίας ενός ρευστού]. Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, Mémoires (στα γαλλικά). 11 : 217–73. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 6 Μαΐου 2021 . Ανακτήθηκε στις 12 Ιουνίου 2021 .Μεταφράστηκε στα αγγλικά ως Frisch, Uriel (2008). «Μετάφραση του Leonhard Euler: General Principles of the Motion of Fluids». arXiv : 0802.2383 [ nlin.CD ].
  95. ^ Gautschi 2008 , σελ. 22.
  96. ^ Baron, Margaret E. (Μάιος 1969). «Σημείωση για την ιστορική εξέλιξη των λογικών διαγραμμάτων». Το Μαθηματικό ΦΕΚ . 53 (383): 113–125. doi : 10.2307/3614533 . JSTOR 3614533 . 
  97. ^ Lemanski, Jens (2016). "Μέσο ή σκοπός; Σχετικά με την αποτίμηση των λογικών διαγραμμάτων" . Λογικές-Φιλοσοφικές Σπουδές . 14 : 98–122.
  98. ^ Rodgers, Peter (Ιούνιος 2014). "Μια έρευνα των διαγραμμάτων Euler" (PDF) . Journal of Visual Languages ​​& Computing . 25 (3): 134–155. doi : 10.1016/j.jvlc.2013.08.006 . Αρχειοθετήθηκε (PDF) από το πρωτότυπο στις 20 Αυγούστου 2021 . Ανακτήθηκε στις 23 Ιουλίου 2021 .
  99. ^ Calinger 1996 , σελ. 144–45.
  100. ^ a b Pesic, Peter (2014). «Euler: τα μαθηματικά της μουσικής θλίψης· Euler: από τον ήχο στο φως» . Η μουσική και η δημιουργία της σύγχρονης επιστήμης . Τύπος MIT. σελ. 133–150, 151–160. ISBN 978-0-262-02727-4. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 10 Ιουνίου 2021 . Ανακτήθηκε στις 10 Ιουνίου 2021 .
  101. ^ Tegg, Thomas (1829). "Δυαδικοί λογάριθμοι" . Εγκυκλοπαίδεια του Λονδίνου; ή, Καθολικό λεξικό επιστήμης, τέχνης, λογοτεχνίας και πρακτικής μηχανικής: που περιλαμβάνει μια δημοφιλή άποψη της παρούσας κατάστασης της γνώσης, Τόμος 4 . σελ. 142–143. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 23 Μαΐου 2021 . Ανακτήθηκε στις 13 Ιουνίου 2021 .
  102. ^ Euler, Leonhard (1739). Tentamen novae theoriae musicae [ Μια απόπειρα για μια νέα θεωρία της μουσικής, που εκτίθεται με κάθε καθαρότητα, σύμφωνα με τις πιο θεμελιωμένες αρχές της αρμονίας ] (στα λατινικά). Αγία Πετρούπολη: Αυτοκρατορική Ακαδημία Επιστημών. Π. 115. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 12 Ιουνίου 2021 . Ανακτήθηκε στις 12 Ιουνίου 2021 – μέσω του αρχείου Euler.
  103. ^ Emery, Eric (2000). Temps et music . Λωζάνη: L'Âge d'homme. σελ. 344–345.
  104. ^ Mattheson, Johannes (1731). Grosse General-Baß-Schule . Τομ. Ι. Αμβούργο. σελ. 104–06.Αναφέρεται από τον Euler. Επίσης: Mattheson, Johannes (1719). Exemplarische Organisten-Probe . Αμβούργο. σελ. 57–59.
  105. ^ Δείτε:
    • Perret, Wilfrid (1926). Μερικά Ερωτήματα Μουσικής Θεωρίας . Cambridge: W. Heffer & Sons. σελ. 60–62.
    • "Τι είναι το γένος Euler-Fokker;" . Μικροτονικότητα . Ίδρυμα Hugens-Fokker. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 21 Μαΐου 2015 . Ανακτήθηκε στις 12 Ιουνίου 2015 .
  106. ^ Leonhard Euler, Tentamen novae theoriae musicae , Αγία Πετρούπολη, 1739, σελ. 147; De harmoniae veris principiis , Αγία Πετρούπολη, 1774, σελ. 350.
  107. ^ Gollin, Edward (2009). "Συνδυαστικές και μετασχηματιστικές όψεις του Euler's Speculum Musicum ". Στο Klouche, T.; Noll, Th. (επιμ.). Mathematics and Computation in Music: First International Conference, MCM 2007 Berlin, Germany, May 18–20, 2007, Revised Selected Papers . Επικοινωνίες στην Επιστήμη των Υπολογιστών και της Πληροφορικής. Τομ. 37. Σπρίνγκερ. σελ. 406–411. doi : 10.1007/978-3-642-04579-0_40 .
  108. ^ Lindley, Mark ; Turner-Smith, Ronald (1993). Μαθηματικά Μοντέλα Μουσικής Ζυγαριάς . Βόννη: Verlag für systematische Musikwissenschaft. σελ. 234–239.Βλέπε επίσης Nolan, Catherine (2002). «Μουσική Θεωρία και Μαθηματικά». Στο Christensen, ο Th. (επιμ.). The Cambridge History of Western Music Theory . Νέα Υόρκη: Cambridge University Press. σελ. 278–279.
  109. ^ Bailhache, Patrice (17 Ιανουαρίου 1997). "La Musique traduite en Mathématiques: Leonhard Euler" . Communication au colloque du Centre François Viète, «Problèmes de traduction au XVIIIe siècle», Νάντη (στα γαλλικά). Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 28 Νοεμβρίου 2015 . Ανακτήθηκε στις 12 Ιουνίου 2015 .
  110. ^ Calinger 1996 , σελ. 123.
  111. ^ Calinger 1996 , σελ. 153–54
  112. ^ Euler, Leonhard (1747). Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister [ Υπεράσπιση της θείας αποκάλυψης ενάντια στις αντιρρήσεις των ελεύθερων στοχαστών ] (στα γερμανικά). Βερολίνο: Ambrosius Haude και Johann Carl Spener. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 12 Ιουνίου 2021 . Ανακτήθηκε στις 12 Ιουνίου 2021 – μέσω του αρχείου Euler.
  113. ^ Χο, Άντι. «Σύγκριση με την τελευταία έκδοση των Επιστολών του Euler που εκδόθηκε από τον de Condorcet, με την αρχική έκδοση» (PDF) . Άρθρο, 2011 . Αρχειοθετήθηκε (PDF) από το πρωτότυπο στις 28 Απριλίου 2015 . Ανακτήθηκε στις 26 Ιουλίου 2021 .
  114. ^ a β Δείτε:
  115. ^ Marty, Jacques (1988). "Quelques aspects des travaux de Diderot en "mathématiques mixtes"" [Μερικές πτυχές του έργου του Ντιντερό στα γενικά μαθηματικά]. Recherches sur Diderot et sur l'Encyclopédie (στα γαλλικά). 4 (1): 145–147. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 24 Σεπτεμβρίου 2015. Ανακτήθηκε στις 20 Απριλίου 2012 .
  116. ↑ "Schweizerische Nationalbank (SNB) – Sechste Banknotenserie (1976)" . Εθνική Τράπεζα της Ελβετίας . Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 3 Μαΐου 2021 . Ανακτήθηκε στις 15 Ιουνίου 2021 .
  117. ↑ "Schweizerische Nationalbank (SNB) – Siebte Banknotenserie (1984)" . Εθνική Τράπεζα της Ελβετίας . Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 23 Απριλίου 2021 . Ανακτήθηκε στις 15 Ιουνίου 2021 .
  118. ^ "E" (PDF) . Μέλη της Αμερικανικής Ακαδημίας Τεχνών και Επιστημών, 1780–2017 . Αμερικανική Ακαδημία Τεχνών και Επιστημών . σελ. 164–179. Αρχειοθετήθηκε (PDF) από το πρωτότυπο στις 18 Φεβρουαρίου 2019 . Ανακτήθηκε στις 17 Φεβρουαρίου 2019 . Η συμμετοχή για τον Euler βρίσκεται στη σελ. 177.
  119. ^ Schmadel, Lutz D., επιμ. (2007). "(2002) Euler". Λεξικό Ονομάτων Μικρών Πλανητών . Βερολίνο , Χαϊδελβέργη : Εκδόσεις Springer . Π. 162. doi : 10.1007/978-3-540-29925-7_2003 . ISBN 978-3-540-29925-7.
  120. ^ Fraser, Craig G. (11 Φεβρουαρίου 2005). Το βιβλίο του Leonhard Euler του 1744 σχετικά με τον λογισμό των παραλλαγών . ISBN 978-0-08-045744-4.Στο Grattan-Guinness 2005 , σελ. 168–80
  121. ^ Euler, Leonhard (1744). Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici lattissimo sensu accepti [ Μέθοδος εύρεσης καμπυλών γραμμών που απολαμβάνουν ιδιότητες μέγιστου ή ελάχιστου ή επίλυσης ισοπεριμετρικών προβλημάτων με την ευρύτερη αποδεκτή έννοια ] (στα λατινικά). Bosquet. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 8 Ιουνίου 2021 . Ανακτήθηκε στις 8 Ιουνίου 2021 – μέσω του αρχείου Euler.
  122. ^ Reich, Karin (11 Φεβρουαρίου 2005).«Εισαγωγή» στην ανάλυση . ISBN 978-0-08-045744-4.Στο Grattan-Guinness 2005 , σελ. 181–90
  123. ^ a b c Ferraro, Giovanni (2007). «Οι πραγματείες του Euler για την απειροελάχιστη ανάλυση: Εισαγωγή στην ανάλυση infinitorum, Instituties calculi differentialis, Institutium calculi integralis ». Στο Baker, Roger (επιμ.). Euler Reconsidered: Tercentenary Essays . Heber City, UT: Kendrick Press. σελ. 39–101. MR 2384378 . 
  124. ^ Κριτικές της Εισαγωγής στην Ανάλυση του Άπειρου :
  125. ^ Demidov, SS (2005). Πραγματεία για τον διαφορικό λογισμό . ISBN 9780080457444. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 18 Ιουνίου 2021 . Ανακτήθηκε στις 12 Νοεμβρίου 2015 .Στο Grattan-Guinness 2005 , σελ. 191–98.
  126. ^ a b c Kleinert, Andreas (2015). "Leonhardi Euleri Opera omnia: Επιμέλεια των έργων και της αλληλογραφίας του Leonhard Euler" . Prace Komisji Historii Nauki PAU . Jagiellonian University. 14 : 13–35. doi : 10.4467/23921749pkhn_pau.16.002.5258 .
  127. ^ Euler, Leonhard; Fuss, Nikola Ivanovich; Fuss, Paul (1862). Opera postuma mathematica et physica anno 1844 detecta quae Academiae scientiarum petropolitanae obtulerunt ejusque auspicus ediderunt auctoris pronepotes Paulus Henricus Fuss et Nicolaus Fuss . Imperatorskaia akademīia nauk (Ρωσία).
  128. ^ a b Plüss, Matthias. «Der Goethe der Mathematik» . Ελβετικό Εθνικό Ίδρυμα Επιστημών . Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 24 Ιουνίου 2021 . Ανακτήθηκε στις 16 Ιουνίου 2021 .
  129. ^ Calinger 2016 , σελ. ix–x.
  130. ↑ "The Eneström Index" . Αρχείο Euler . Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 9 Αυγούστου 2021 . Ανακτήθηκε στις 27 Μαΐου 2021 .
  131. ↑ Knapp, Susan (19 Φεβρουαρίου 2007). "Οι μαθητές του Ντάρτμουθ δημιούργησαν διαδικτυακό αρχείο ιστορικού μαθηματικού" . Vox of Dartmouth . Πανεπιστήμιο Dartmouth. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 28 Μαΐου 2010.
  132. ^ Klyve, Dominic (Ιούνιος–Ιούλιος 2011). "Το αρχείο Euler μετακινείται στον ιστότοπο του MAA" . MAA FOCUS . Μαθηματική Ένωση της Αμερικής . Ανακτήθηκε στις 9 Ιανουαρίου 2020 .
  133. ^ Αρχείο Euler Αρχειοθετήθηκε στις 7 Ιουνίου 2021 στο Wayback Machine , University of the Pacific
  134. ^ S., Varadarajan, V. (2006). Euler μέσω του χρόνου: μια νέα ματιά σε παλιά θέματα . Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία. ISBN 978-0-8218-3580-7. OCLC  803144928 .

Πηγές

Περαιτέρω ανάγνωση

εξωτερικοί σύνδεσμοι

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Leonhard_Euler&oldid=1087661274"
0.1764760017395