Στροφορμή

Στροφορμή
Αυτό το γυροσκόπιο παραμένει όρθιο ενώ περιστρέφεται λόγω της διατήρησης της γωνιακής του ορμής.
Κοινά σύμβολα	μεγάλο
Σε μονάδες βάσης SI	kg m 2 s −1
Διατηρημένο ;	Ναί
Παράγωγα από άλλες ποσότητες	L = I ω = r × p
Διάσταση	M L 2 T −1

Μέρος μιας σειράς για
Κλασική μηχανική
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}$ Δεύτερος νόμος της κίνησης
Ιστορία Χρονοδιάγραμμα σχολικά βιβλία
Κλαδια δεντρου Εφαρμοσμένος Ουράνιος Συνέχεια Δυναμική Κινηματική Κινητική Στατική Στατιστικός
Βασικές αρχές Επιτάχυνση Στροφορμή Ζευγάρι Αρχή D'Alembert Ενέργεια κινητικός δυνητικός Δύναμη Πλαίσιο αναφοράς Αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς Ωθηση Αδράνεια  / Ροπή αδράνειας Μάζα Μηχανική ισχύς Μηχανολογικές εργασίες Στιγμή Ορμή Χώρος Ταχύτητα χρόνος Ροπή Ταχύτητα Εικονική εργασία
Συνθέσεις Newton's laws of motion Analytical mechanics Lagrangian mechanics Hamiltonian mechanics Routhian mechanics Hamilton–Jacobi equation Appell's equation of motion Koopman–von Neumann mechanics
Βασικά θέματα Damping ratio Displacement Equations of motion Euler's laws of motion Fictitious force Friction Harmonic oscillator Inertial / Non-inertial reference frame Mechanics of planar particle motion Motion (linear) Newton's law of universal gravitation Newton's laws of motion Relative velocity Rigid body dynamics Euler's equations Simple harmonic motion Vibration
Περιστροφή Circular motion Rotating reference frame Centripetal force Centrifugal force reactive Coriolis force Pendulum Tangential speed Rotational speed Angular acceleration / displacement / frequency / velocity
Επιστήμονες Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Πύλη φυσικής  Κατηγορία
v t μι

Στη φυσική , η γωνιακή ορμή (σπάνια, ροπή ορμής ή περιστροφική ορμή ) είναι το περιστροφικό ανάλογο της γραμμικής ορμής . Είναι μια σημαντική ποσότητα στη φυσική επειδή είναι μια διατηρημένη ποσότητα —η συνολική γωνιακή ορμή ενός κλειστού συστήματος παραμένει σταθερή. Η γωνιακή ορμή έχει και διεύθυνση και μέγεθος, και τα δύο διατηρούνται. Οι μοτοσυκλέτες , τα φρίσμπι ^[1] και οι σφαίρες με τουφέκια οφείλουν όλες τις χρήσιμες ιδιότητές τους στη διατήρηση της γωνιακής ορμής. Η διατήρηση της γωνιακής ορμής είναι επίσης ο λόγος που οι τυφώνες ^[2] έχουν σπείρες και αστέρια νετρονίωνέχουν υψηλούς ρυθμούς περιστροφής. Γενικά, η διατήρηση περιορίζει την πιθανή κίνηση ενός συστήματος αλλά δεν την καθορίζει μοναδικά.

Στην προηγμένη μαθηματική ορολογία, η τρισδιάστατη γωνιακή ορμή για ένα σημειακό σωματίδιο είναι ένα ψευδοδιάνυσμα r × p , το διασταυρούμενο γινόμενο του διανύσματος θέσης του σωματιδίου r (σε σχέση με κάποια αρχή) και του διανύσματος ορμής του . το τελευταίο είναι p = m v στη Νευτώνεια μηχανική. Σε αντίθεση με την ορμή, η γωνιακή ορμή εξαρτάται από το πού επιλέγεται η αρχή, αφού η θέση του σωματιδίου μετράται από αυτήν.

Η γωνιακή ορμή είναι μια εκτεταμένη ποσότητα . δηλαδή η συνολική γωνιακή ορμή κάθε σύνθετου συστήματος είναι το άθροισμα της γωνιακής ορμής των συστατικών μερών του. Για ένα συνεχές  άκαμπτο σώμα ή ένα ρευστό, η συνολική γωνιακή ορμή είναι το ολοκλήρωμα όγκου της πυκνότητας της γωνιακής ορμής (δηλ. γωνιακή ορμή ανά μονάδα όγκου στο όριο καθώς ο όγκος συρρικνώνεται στο μηδέν) σε ολόκληρο το σώμα.

Παρόμοια με τη διατήρηση της γραμμικής ορμής όπου διατηρείται εάν δεν υπάρχει εξωτερική δύναμη, η γωνιακή ορμή διατηρείται εάν δεν υπάρχει εξωτερική ροπή. Η ροπή μπορεί να οριστεί ως ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ορμής, ανάλογος με τη δύναμη . Η καθαρή εξωτερική ροπή σε οποιοδήποτε σύστημα είναι πάντα ίση με τη συνολική ροπή στο σύστημα. Με άλλα λόγια, το άθροισμα όλων των εσωτερικών ροπών οποιουδήποτε συστήματος είναι πάντα 0 (αυτό είναι το περιστροφικό ανάλογο του Τρίτου Νόμου του Νεύτωνα ). Επομένως, για ένα κλειστό σύστημα (όπου δεν υπάρχει καθαρή εξωτερική ροπή), το σύνολοΗ ροπή στο σύστημα πρέπει να είναι 0, πράγμα που σημαίνει ότι η συνολική γωνιακή ορμή του συστήματος είναι σταθερή. Η αλλαγή στη γωνιακή ορμή για μια συγκεκριμένη αλληλεπίδραση ονομάζεται μερικές φορές στριφογύρισμα , ^[3] αλλά αυτό είναι αρκετά ασυνήθιστο. Το Twirl είναι το γωνιακό ανάλογο των παλμών.

Ορισμός στην κλασική μηχανική

Όπως και για τη γωνιακή ταχύτητα , υπάρχουν δύο ειδικοί τύποι γωνιακής ορμής ενός αντικειμένου: η γωνιακή ορμή περιστροφής είναι η γωνιακή ορμή γύρω από το κέντρο μάζας του αντικειμένου , ενώ η τροχιακή γωνιακή ορμή είναι η γωνιακή ορμή για ένα επιλεγμένο κέντρο περιστροφής. Η Γη έχει μια τροχιακή γωνιακή ορμή από τη φύση της να περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο, και μια γωνιακή ορμή σπιν από τη φύση της καθημερινής περιστροφής της γύρω από τον πολικό άξονα. Η συνολική γωνιακή ορμή είναι το άθροισμα του σπιν και της τροχιακής γωνιακής ορμής. Στην περίπτωση της Γης, η κύρια διατηρημένη ποσότητα είναι η συνολική γωνιακή ορμή του ηλιακού συστήματος, επειδή η γωνιακή ορμή ανταλλάσσεται σε μικρό αλλά σημαντικό βαθμό μεταξύ των πλανητών και του Ήλιου. Το διάνυσμα της τροχιακής γωνιακής ορμής ενός σημειακού σωματιδίου είναι πάντα παράλληλο και ευθέως ανάλογο με το διάνυσμα της τροχιακής γωνιακής ταχύτητας ω , όπου η σταθερά αναλογικότητας εξαρτάται τόσο από τη μάζα του σωματιδίου όσο και από την απόστασή του από την αρχή. Το διάνυσμα γωνιακής ορμής σπιν ενός άκαμπτου σώματος είναι ανάλογο αλλά όχι πάντα παράλληλο με το διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας σπιν Ω, καθιστώντας τη σταθερά της αναλογικότητας τανυστή δεύτερης τάξης και όχι βαθμωτό.

Τροχιακή γωνιακή ορμή σε δύο διαστάσεις

Η γωνιακή ορμή είναι ένα διανυσματικό μέγεθος (ακριβέστερα, ένα ψευδοδιάνυσμα ) που αντιπροσωπεύει το γινόμενο της περιστροφικής αδράνειας και της ταχύτητας περιστροφής ενός σώματος (σε ακτίνια/δευτ.) γύρω από έναν συγκεκριμένο άξονα. Ωστόσο, εάν η τροχιά του σωματιδίου βρίσκεται σε ένα μόνο επίπεδο , αρκεί να απορρίψουμε τη διανυσματική φύση της γωνιακής ορμής και να την αντιμετωπίσουμε ως βαθμωτό (ακριβέστερα, ψευδοκλιμακωτή ). ^[4] Η γωνιακή ορμή μπορεί να θεωρηθεί ως περιστροφικό ανάλογο της γραμμικής ορμής . Έτσι, όπου η γραμμική ορμή p είναι ανάλογη με τη μάζα m καιγραμμική ταχύτητα v ,

${\displaystyle p=mv,}$

Η γωνιακή ορμή L είναι ανάλογη της ροπής αδράνειας I και της γωνιακής ταχύτητας ω μετρούμενη σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο. ^[5]

${\displaystyle L=I\omega .}$

Σε αντίθεση με τη μάζα, η οποία εξαρτάται μόνο από την ποσότητα της ύλης, η ροπή αδράνειας εξαρτάται επίσης από τη θέση του άξονα περιστροφής και το σχήμα της ύλης. Σε αντίθεση με τη γραμμική ταχύτητα, η οποία δεν εξαρτάται από την επιλογή προέλευσης, η τροχιακή γωνιακή ταχύτητα μετριέται πάντα σε σχέση με μια σταθερή αρχή. Επομένως, αυστηρά μιλώντας, το L θα πρέπει να αναφέρεται ως η γωνιακή ορμή σε σχέση με αυτό το κέντρο . ^[6]

Επειδή${\displaystyle I=r^{2}m}$για ένα μόνο σωματίδιο και${\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}}$για κυκλική κίνηση, η γωνιακή ορμή μπορεί να επεκταθεί,${\displaystyle L=r^{2}m\cdot {\frac {v}{r}},}$και μειώνεται σε,

${\displaystyle L=rmv,}$

το γινόμενο της ακτίνας περιστροφής r και της γραμμικής ορμής του σωματιδίου${\displaystyle p=mv}$, όπου${\displaystyle v}$σε αυτή την περίπτωση είναι η ισοδύναμη γραμμική (εφαπτομενική) ταχύτητα στην ακτίνα (${\displaystyle =r\omega }$).

Αυτή η απλή ανάλυση μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε μη κυκλική κίνηση εάν ληφθεί υπόψη μόνο η συνιστώσα της κίνησης που είναι κάθετη στο διάνυσμα της ακτίνας . Σε αυτή την περίπτωση,

${\displaystyle L=rmv_{\perp },}$

όπου${\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}$είναι η κάθετη συνιστώσα της κίνησης. Επέκταση,${\displaystyle L=rmv\sin(\theta ),}$αναδιάταξη,${\displaystyle L=r\sin(\theta )mv,}$και η μείωση, η γωνιακή ορμή μπορεί επίσης να εκφραστεί,

${\displaystyle L=r_{\perp }mv,}$

όπου${\displaystyle r_{\perp }=r\sin(\theta )}$είναι το μήκος του βραχίονα της ροπής , μια γραμμή που πέφτει κάθετα από την αρχή στη διαδρομή του σωματιδίου. Είναι αυτός ο ορισμός, (μήκος βραχίονα ροπής)×(γραμμική ορμή) στον οποίο αναφέρεται ο όρος ροπή ορμής . ^[7]

Κλιμακωτή-γωνιακή ορμή από τη μηχανική του Λαγκραντζ

Μια άλλη προσέγγιση είναι να ορίσουμε τη γωνιακή ορμή ως τη συζευγμένη ορμή (ονομάζεται επίσης κανονική ορμή ) της γωνιακής συντεταγμένης${\displaystyle \phi }$εκφράζεται στο Λαγκρανζ του μηχανικού συστήματος. Θεωρήστε ένα μηχανικό σύστημα με μάζα${\displaystyle m}$περιορισμένος να κινείται σε κύκλο ακτίνας${\displaystyle a}$απουσία οποιουδήποτε εξωτερικού πεδίου δύναμης. Η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}ma^{2}\omega ^{2}={\frac {1}{2}}ma^{2}{\dot {\phi }} ^{2}.}$

Και η δυνητική ενέργεια είναι

${\displaystyle U=0.}$

Τότε ο Λαγκράγγιος είναι

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\phi ,{\dot {\phi }}\right)=TU={\frac {1}{2}}ma^{2}{\dot {\ ph }}^{2}.}$

Η γενικευμένη ορμή «συζευγμένη κανονικά με» τη συντεταγμένη${\displaystyle \phi }$ορίζεται από

${\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}=ma^{2}{\dot {\phi }} =I\omega =L.}$

Τροχιακή γωνιακή ορμή σε τρεις διαστάσεις

Για να οριστεί πλήρως η τροχιακή γωνιακή ορμή σε τρεις διαστάσεις , απαιτείται να γνωρίζουμε τον ρυθμό με τον οποίο το διάνυσμα θέσης σαρώνει τη γωνία, την κατεύθυνση κάθετη στο στιγμιαίο επίπεδο γωνιακής μετατόπισης και τη σχετική μάζα , καθώς και πώς κατανέμεται αυτή η μάζα στο διάστημα. ^[8] Διατηρώντας αυτή τη διανυσματική φύση της γωνιακής ορμής, η γενική φύση των εξισώσεων διατηρείται επίσης και μπορεί να περιγράψει οποιοδήποτε είδος τρισδιάστατης κίνησης γύρω από το κέντρο περιστροφής - κυκλική , γραμμική ή άλλη. Στη σημειογραφία του διανύσματος , η τροχιακή γωνιακή ορμή ενός σημειακού σωματιδίουσε κίνηση σχετικά με την προέλευση μπορεί να εκφραστεί ως:

${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},}$

όπου

• ${\displaystyle I=r^{2}m}$είναι η ροπή αδράνειας για μια σημειακή μάζα ,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}}$είναι η τροχιακή γωνιακή ταχύτητα σε ακτίνια/δευτερόλεπτο (μονάδες 1/δευτ.) του σωματιδίου ως προς την αρχή,
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$είναι το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου σε σχέση με την προέλευση,${\displaystyle r=\left\vert \mathbf {r} \right\vert }$,
• ${\displaystyle \mathbf {v} }$είναι η γραμμική ταχύτητα του σωματιδίου σε σχέση με την προέλευση, και
• ${\displaystyle m}$είναι η μάζα του σωματιδίου.

Αυτό μπορεί να επεκταθεί, να μειωθεί και να αναδιαταχθεί με τους κανόνες της διανυσματικής άλγεβρας :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\left(r^{2}m\right)\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r ^{2}}}\right)\\&=m\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {v} \ \&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,\end{στοίχιση}}}$

που είναι το εγκάρσιο γινόμενο του διανύσματος θέσης${\displaystyle \mathbf {r} }$και η γραμμική ορμή${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$του σωματιδίου. Με τον ορισμό του διασταυρούμενου προϊόντος, το${\displaystyle \mathbf {L} }$το διάνυσμα είναι κάθετο και στα δύο${\displaystyle \mathbf {r} }$και${\displaystyle \mathbf {p} }$. Κατευθύνεται κάθετα στο επίπεδο της γωνιακής μετατόπισης, όπως υποδεικνύεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού – έτσι ώστε η γωνιακή ταχύτητα να φαίνεται αριστερόστροφα από την κεφαλή του διανύσματος. Αντίθετα, το${\displaystyle \mathbf {L} }$το διάνυσμα ορίζει το επίπεδο στο οποίο${\displaystyle \mathbf {r} }$και${\displaystyle \mathbf {p} }$ψέμα.

Ορίζοντας ένα μοναδιαίο διάνυσμα ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$κάθετη στο επίπεδο της γωνιακής μετατόπισης, μια κλιμακωτή γωνιακή ταχύτητα ${\displaystyle \omega }$αποτελέσματα, όπου

${\displaystyle \omega \mathbf {\hat {u}} ={\boldsymbol {\omega }},}$και

${\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},}$όπου${\displaystyle v_{\perp }}$είναι η κάθετη συνιστώσα της κίνησης, όπως παραπάνω.

Έτσι, οι δισδιάστατες βαθμωτές εξισώσεις της προηγούμενης ενότητας μπορούν να λάβουν κατεύθυνση:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=I{\boldsymbol {\omega }}\\&=I\omega \mathbf {\hat {u}} \\&=\αριστερά(r^ {2}m\right)\omega \mathbf {\hat {u}} \\&=rmv_{\perp }\mathbf {\hat {u}} \\&=r_{\perp }mv\mathbf {\ καπέλο {u}} ,\end{στοίχιση}}}$

και${\displaystyle \mathbf {L} =rmv\mathbf {\hat {u}} }$για κυκλική κίνηση, όπου όλη η κίνηση είναι κάθετη στην ακτίνα${\displaystyle r}$.

Στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων το διάνυσμα της γωνιακής ορμής εκφράζεται ως

${\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \mathbf {v} =mr^{2}\left({\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} \right).}$

Τροχιακή γωνιακή ορμή σε τέσσερις ή περισσότερες διαστάσεις

Η γωνιακή ορμή σε υψηλότερες διαστάσεις μπορεί να οριστεί με την εφαρμογή του θεωρήματος του Noether σε ομάδες περιστροφής υψηλότερης τάξης. ^{[ απαιτείται παραπομπή ]} Η γενίκευση πέρα ​​από τις τρεις διαστάσεις αντιμετωπίζεται καλύτερα χρησιμοποιώντας διαφορικές μορφές . ^{[ απαιτείται παραπομπή ]}

Αναλογία με τη γραμμική ορμή

Η γωνιακή ορμή μπορεί να περιγραφεί ως το περιστροφικό ανάλογο της γραμμικής ορμής . Όπως η γραμμική ορμή περιλαμβάνει στοιχεία μάζας και μετατόπισης . Σε αντίθεση με τη γραμμική ορμή, περιλαμβάνει επίσης στοιχεία θέσης και σχήματος .

Πολλά προβλήματα στη φυσική περιλαμβάνουν την ύλη σε κίνηση γύρω από κάποιο συγκεκριμένο σημείο του χώρου, είτε πρόκειται για πραγματική περιστροφή γύρω από αυτό, είτε απλώς περνώντας πέρα ​​από αυτό, όπου είναι επιθυμητό να γνωρίζουμε τι επίδραση έχει η κινούμενη ύλη στο σημείο - μπορεί να ασκήσει ενέργεια πάνω αυτό ή να εκτελέσει εργασία σχετικά με αυτό; Η ενέργεια , η ικανότητα εκτέλεσης εργασίας , μπορεί να αποθηκευτεί στην ύλη βάζοντάς την σε κίνηση — ένας συνδυασμός της αδράνειας και της μετατόπισής της. Η αδράνεια μετριέται από τη μάζα της και η μετατόπιση από την ταχύτητά της . Το προϊόν τους,

${\displaystyle {\begin{aligned}({\text{amount of inertia}})\times ({\text{amount of displacement}})&={\text{amount of (inertia⋅displacement)}}\\ {\text{mass}}\times {\text{velocity}}&={\text{momentum}}\\m\times v&=p\\\end{aligned}}}$

είναι η ορμή του θέματος . ^[9] Η αναφορά αυτής της ορμής σε ένα κεντρικό σημείο δημιουργεί μια περιπλοκή: η ορμή δεν εφαρμόζεται απευθείας στο σημείο. Για παράδειγμα, ένα σωματίδιο ύλης στο εξωτερικό άκρο ενός τροχού βρίσκεται, στην πραγματικότητα, στο άκρο ενός μοχλού ίδιου μήκους με την ακτίνα του τροχού, με την ορμή του να στρέφει το μοχλό γύρω από το κεντρικό σημείο. Αυτός ο φανταστικός μοχλός είναι γνωστός ως βραχίονας της στιγμής . Έχει ως αποτέλεσμα να πολλαπλασιάζει την προσπάθεια της ορμής σε αναλογία με το μήκος της, ένα φαινόμενο που είναι γνωστό ως ροπή . Ως εκ τούτου, η ορμή του σωματιδίου αναφέρεται σε ένα συγκεκριμένο σημείο,

${\displaystyle {\begin{aligned}({\text{moment arm}})\times ({\text{amount of inertia}})\times ({\text{amount of displacement}})&={\text {moment of (inertia⋅ displacement)}}\\{\text{length}}\times {\text{mass}}\times {\text{velocity}}&={\text{ momentum of momentum}}\\ r\ φορές m\ φορές v&=L\\\end{στοιχισμένος}}}$

είναι η γωνιακή ορμή , που μερικές φορές ονομάζεται, όπως εδώ, η ροπή της ορμής του σωματιδίου σε σχέση με το συγκεκριμένο κεντρικό σημείο. Η εξίσωση${\displaystyle L=rmv}$συνδυάζει μια στιγμή (μια μάζα${\displaystyle m}$βραχίονας στιγμής στροφής${\displaystyle r}$) με γραμμική (ισοδύναμη ευθείας) ταχύτητα${\displaystyle v}$. Η γραμμική ταχύτητα που αναφέρεται στο κεντρικό σημείο είναι απλώς το γινόμενο της απόστασης${\displaystyle r}$και η γωνιακή ταχύτητα${\displaystyle \omega }$έναντι του σημείου:${\displaystyle v=r\omega ,}$άλλη στιγμή. Επομένως, η γωνιακή ορμή περιέχει μια διπλή ροπή:${\displaystyle L=rmr\omega .}$Απλοποιώντας ελαφρώς,${\displaystyle L=r^{2}m\omega ,}$την ποσότητα${\displaystyle r^{2}m}$είναι η ροπή αδράνειας του σωματιδίου , που μερικές φορές ονομάζεται δεύτερη στιγμή μάζας. Είναι ένα μέτρο περιστροφικής αδράνειας. ^[10]

Επειδή η ροπή αδράνειας είναι ένα κρίσιμο μέρος της γωνιακής ορμής σπιν, η τελευταία περιλαμβάνει απαραίτητα όλες τις επιπλοκές της πρώτης, η οποία υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τα στοιχειώδη κομμάτια της μάζας με τα τετράγωνα των αποστάσεων τους από το κέντρο περιστροφής. ^[11] Επομένως, η συνολική ροπή αδράνειας και η γωνιακή ορμή, είναι μια σύνθετη συνάρτηση της διαμόρφωσης της ύλης σχετικά με το κέντρο περιστροφής και του προσανατολισμού της περιστροφής για τα διάφορα bit.

Για ένα άκαμπτο σώμα , για παράδειγμα έναν τροχό ή έναν αστεροειδή, ο προσανατολισμός της περιστροφής είναι απλώς η θέση του άξονα περιστροφής έναντι της ύλης του σώματος. Μπορεί να περάσει ή να μην περάσει από το κέντρο μάζας ή μπορεί να βρίσκεται εντελώς έξω από το σώμα. Για το ίδιο σώμα, η γωνιακή ορμή μπορεί να λάβει διαφορετική τιμή για κάθε πιθανό άξονα γύρω από τον οποίο μπορεί να λάβει χώρα περιστροφή. ^[12] Φτάνει στο ελάχιστο όταν ο άξονας διέρχεται από το κέντρο μάζας. ^[13]

Για μια συλλογή αντικειμένων που περιστρέφονται γύρω από ένα κέντρο, για παράδειγμα όλα τα σώματα του Ηλιακού Συστήματος , οι προσανατολισμοί μπορεί να είναι κάπως οργανωμένοι, όπως και το Ηλιακό Σύστημα, με τους περισσότερους άξονες των σωμάτων να βρίσκονται κοντά στον άξονα του συστήματος. Οι προσανατολισμοί τους μπορεί επίσης να είναι εντελώς τυχαίοι.

Εν συντομία, όσο περισσότερη μάζα και όσο πιο μακριά είναι από το κέντρο περιστροφής (όσο μεγαλύτερος είναι ο βραχίονας ροπής ), τόσο μεγαλύτερη είναι η ροπή αδράνειας και επομένως τόσο μεγαλύτερη είναι η γωνιακή ορμή για μια δεδομένη γωνιακή ταχύτητα . Σε πολλές περιπτώσεις η ροπή αδράνειας , και επομένως η γωνιακή ορμή, μπορεί να απλοποιηθεί με, ^[14]

${\displaystyle I=k^{2}m,}$

όπου${\displaystyle k}$είναι η ακτίνα περιστροφής , η απόσταση από τον άξονα στον οποίο ολόκληρη η μάζα${\displaystyle m}$μπορεί να θεωρηθεί ως συγκεντρωμένη.

Ομοίως, για μια σημειακή μάζα ${\displaystyle m}$η ροπή αδράνειας ορίζεται ως

${\displaystyle I=r^{2}m}$

όπου${\displaystyle r}$είναι η ακτίνα της σημειακής μάζας από το κέντρο περιστροφής,

και για οποιαδήποτε συλλογή σωματιδίων${\displaystyle m_{i}}$ως άθροισμα,

${\displaystyle \sum _{i}I_{i}=\sum _{i}r_{i}^{2}m_{i}}$

Η εξάρτηση της γωνιακής ορμής από τη θέση και το σχήμα αντανακλάται στις μονάδες της έναντι της γραμμικής ορμής: kg⋅m ² /s, N⋅m⋅s ή J⋅s για γωνιακή ορμή έναντι kg⋅m/s ή N⋅s για γραμμική ορμή. Κατά τον υπολογισμό της γωνιακής ορμής ως το γινόμενο της ροπής αδράνειας επί τη γωνιακή ταχύτητα, η γωνιακή ταχύτητα πρέπει να εκφράζεται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο, όπου το ακτίνιο λαμβάνει την αδιάστατη τιμή της μονάδας. (Κατά την εκτέλεση ανάλυσης διαστάσεων, μπορεί να είναι παραγωγική η χρήση ανάλυσης προσανατολισμού που αντιμετωπίζει τα ακτίνια ως βασική μονάδα, αλλά αυτό δεν εμπίπτει στο πεδίο εφαρμογής του Διεθνούς συστήματος μονάδων ). Οι μονάδες της γωνιακής ορμής μπορούν να ερμηνευθούν ως ροπή⋅χρόνος ή ως ενέργεια⋅χρόνος ανά γωνία. Ένα αντικείμενο με γωνιακή ορμή L N⋅m⋅s μπορεί να μειωθεί σε μηδενική περιστροφή (όλη η περιστροφική ενέργεια μπορεί να μεταφερθεί έξω από αυτό) με μια γωνιακή ώθηση L⋅m⋅s [ 15 ^] ή ισοδύναμα, με ροπή ή έργο L N⋅m για ένα δευτερόλεπτο, ή ενέργεια L J για ένα δευτερόλεπτο. ^[16]

Το επίπεδο που είναι κάθετο στον άξονα της γωνιακής ορμής και διέρχεται από το κέντρο μάζας ^[17] ονομάζεται μερικές φορές αμετάβλητο επίπεδο , επειδή η κατεύθυνση του άξονα παραμένει σταθερή εάν μόνο οι αλληλεπιδράσεις των σωμάτων εντός του συστήματος, απαλλαγμένες από εξωτερικές επιρροές, θεωρούνται. ^[18] Ένα τέτοιο επίπεδο είναι το αμετάβλητο επίπεδο του Ηλιακού Συστήματος .

Γωνιακή ορμή και ροπή

Ο δεύτερος νόμος της κίνησης του Νεύτωνα μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά,

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$

ή δύναμη = μάζα × επιτάχυνση . Το περιστροφικό ισοδύναμο για τα σημειακά σωματίδια μπορεί να εξαχθεί ως εξής:

${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}}$

που σημαίνει ότι η ροπή (δηλαδή η χρονική παράγωγος της γωνιακής ορμής) είναι

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {dI}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}+I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}} .}$

Γιατί η ροπή αδράνειας είναι${\displaystyle mr^{2}}$, προκύπτει ότι${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=2mr{\frac {dr}{dt}}=2rp_{||}}$, και${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }},}$η οποία, μειώνεται σε

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }}.}$

Αυτό είναι το περιστροφικό ανάλογο του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα. Σημειώστε ότι η ροπή δεν είναι απαραίτητα ανάλογη ή παράλληλη με τη γωνιακή επιτάχυνση (όπως θα περίμενε κανείς). Ο λόγος για αυτό είναι ότι η ροπή αδράνειας ενός σωματιδίου μπορεί να αλλάξει με το χρόνο, κάτι που δεν μπορεί να συμβεί για τη συνηθισμένη μάζα.

Διατήρηση της γωνιακής ορμής

Γενικές εκτιμήσεις

Ένα περιστροφικό ανάλογο του τρίτου νόμου κίνησης του Νεύτωνα θα μπορούσε να γραφεί, "Σε ένα κλειστό σύστημα , καμία ροπή δεν μπορεί να ασκηθεί σε καμία ύλη χωρίς την άσκηση σε κάποιο άλλο θέμα ίσης και αντίθετης ροπής." ^[19] Επομένως, η γωνιακή ορμή μπορεί να ανταλλάσσεται μεταξύ αντικειμένων σε ένα κλειστό σύστημα, αλλά η συνολική γωνιακή ορμή πριν και μετά από μια ανταλλαγή παραμένει σταθερή (διατηρείται). ^[20]

Με άλλο τρόπο, ένα περιστροφικό ανάλογο του πρώτου νόμου κίνησης του Νεύτωνα θα μπορούσε να γραφτεί, "Ένα άκαμπτο σώμα συνεχίζει σε κατάσταση ομοιόμορφης περιστροφής εκτός εάν ενεργείται από εξωτερική επίδραση." ^[19] Έτσι , χωρίς εξωτερική επιρροή που να ενεργεί πάνω του, η αρχική γωνιακή ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή . ^[21]

Η διατήρηση της γωνιακής ορμής χρησιμοποιείται για την ανάλυση της κίνησης της κεντρικής δύναμης . Εάν η καθαρή δύναμη σε κάποιο σώμα κατευθύνεται πάντα προς κάποιο σημείο, το κέντρο , τότε δεν υπάρχει ροπή στο σώμα ως προς το κέντρο, καθώς όλη η δύναμη κατευθύνεται κατά μήκος του διανύσματος ακτίνας και καμία δεν είναι κάθετη στην ακτίνα . Μαθηματικά, ροπή${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {0} ,}$γιατί σε αυτή την περίπτωση${\displaystyle \mathbf {r} }$και${\displaystyle \mathbf {F} }$είναι παράλληλα διανύσματα. Επομένως, η γωνιακή ορμή του σώματος ως προς το κέντρο είναι σταθερή. Αυτό συμβαίνει με τη βαρυτική έλξη στις τροχιές πλανητών και δορυφόρων , όπου η βαρυτική δύναμη κατευθύνεται πάντα προς το πρωτεύον σώμα και τα σώματα που βρίσκονται σε τροχιά διατηρούν τη γωνιακή ορμή ανταλλάσσοντας απόσταση και ταχύτητα καθώς κινούνται γύρω από το πρωτεύον. Η κίνηση της κεντρικής δύναμης χρησιμοποιείται επίσης στην ανάλυση του μοντέλου Bohr του ατόμου .

Για έναν πλανήτη, η γωνιακή ορμή κατανέμεται μεταξύ της περιστροφής του πλανήτη και της περιστροφής του στην τροχιά του, και αυτά συχνά ανταλλάσσονται με διάφορους μηχανισμούς. Η διατήρηση της γωνιακής ορμής στο σύστημα Γης-Σελήνης έχει ως αποτέλεσμα τη μεταφορά της γωνιακής ορμής από τη Γη στη Σελήνη, λόγω της παλιρροιακής ροπής που ασκεί η Σελήνη στη Γη. Αυτό με τη σειρά του έχει ως αποτέλεσμα την επιβράδυνση του ρυθμού περιστροφής της Γης, σε περίπου 65,7 νανοδευτερόλεπτα την ημέρα, ^[22] και σε σταδιακή αύξηση της ακτίνας της τροχιάς της Σελήνης, περίπου στα 3,82 εκατοστά το χρόνο. ^[23]

Η διατήρηση της γωνιακής ορμής εξηγεί τη γωνιακή επιτάχυνση μιας πατινάζ στον πάγο καθώς φέρνει τα χέρια και τα πόδια της κοντά στον κατακόρυφο άξονα περιστροφής. Φέρνοντας μέρος της μάζας του σώματός της πιο κοντά στον άξονα, μειώνει τη ροπή αδράνειας του σώματός της. Επειδή η γωνιακή ορμή είναι το γινόμενο της ροπής αδράνειας και της γωνιακής ταχύτητας , εάν η γωνιακή ορμή παραμένει σταθερή (διατηρείται), τότε η γωνιακή ταχύτητα (ταχύτητα περιστροφής) του σκέιτερ πρέπει να αυξηθεί.

Το ίδιο φαινόμενο οδηγεί σε εξαιρετικά γρήγορη περιστροφή συμπαγών αστεριών (όπως λευκοί νάνοι , αστέρια νετρονίων και μαύρες τρύπες ) όταν σχηματίζονται από πολύ μεγαλύτερα και πιο αργά περιστρεφόμενα αστέρια. Η μείωση του μεγέθους ενός αντικειμένου n φορές οδηγεί σε αύξηση της γωνιακής του ταχύτητας κατά τον συντελεστή n ² .

Η διατήρηση δεν είναι πάντα μια πλήρης εξήγηση για τη δυναμική ενός συστήματος, αλλά είναι ένας βασικός περιορισμός. Για παράδειγμα, μια περιστρεφόμενη κορυφή υπόκειται σε βαρυτική ροπή που την κάνει να γέρνει και να αλλάζει τη γωνιακή ορμή γύρω από τον άξονα περιστροφής, αλλά παραβλέποντας την τριβή στο σημείο της περιστρεφόμενης επαφής, έχει μια διατηρημένη γωνιακή ορμή γύρω από τον άξονα περιστροφής της και μια άλλη γύρω από τον άξονα περιστροφής άξονα μετάπτωσης . Επίσης, σε οποιοδήποτε πλανητικό σύστημα , οι πλανήτες, τα αστέρια, οι κομήτες και οι αστεροειδείς μπορούν όλοι να κινούνται με πολλούς περίπλοκους τρόπους, αλλά μόνο έτσι ώστε να διατηρείται η γωνιακή ορμή του συστήματος.

Το θεώρημα του Noether δηλώνει ότι κάθε νόμος διατήρησης συνδέεται με μια συμμετρία (αμετάβλητη) της υποκείμενης φυσικής. Η συμμετρία που σχετίζεται με τη διατήρηση της γωνιακής ορμής είναι η στροφική αμετάβλητη . Το γεγονός ότι η φυσική ενός συστήματος είναι αμετάβλητη εάν περιστρέφεται κατά οποιαδήποτε γωνία γύρω από έναν άξονα σημαίνει ότι διατηρείται η γωνιακή ορμή. ^[24]

Σχέση με τον δεύτερο νόμο της κίνησης του Νεύτωνα

Ενώ η συνολική διατήρηση της γωνιακής ορμής μπορεί να γίνει κατανοητή χωριστά από τους νόμους κίνησης του Νεύτωνα ως απορρέουσα από το θεώρημα του Noether σε συστήματα συμμετρικά υπό περιστροφές, μπορεί επίσης να γίνει κατανοητή απλώς ως μια αποτελεσματική μέθοδος υπολογισμού των αποτελεσμάτων που μπορεί επίσης να καταλήξει με άλλο τρόπο απευθείας από το δεύτερο του Newton. νόμος, μαζί με νόμους που διέπουν τις δυνάμεις της φύσης (όπως ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα, οι εξισώσεις του Maxwell και η δύναμη Lorentz ). Πράγματι, δεδομένων των αρχικών συνθηκών θέσης και ταχύτητας για κάθε σημείο και των δυνάμεων σε μια τέτοια συνθήκη, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για να υπολογίσει τη δεύτερη παράγωγο της θέσης και η επίλυση αυτού δίνει πλήρεις πληροφορίες για την ανάπτυξη του φυσικού συστήματος με χρόνος.^[25] Σημειώστε, ωστόσο, ότι αυτό δεν ισχύει πλέον στην κβαντομηχανική , λόγω της ύπαρξης σπιν σωματιδίων , που είναι γωνιακή ορμή που δεν μπορεί να περιγραφεί από το σωρευτικό αποτέλεσμα σημειακών κινήσεων στο διάστημα.

Για παράδειγμα, εξετάστε τη μείωση της ροπής αδράνειας , π.χ. όταν ένας αθλητής του καλλιτεχνικού πατινάζ τραβάει τα χέρια του/του, επιταχύνοντας την κυκλική κίνηση. Όσον αφορά τη διατήρηση της γωνιακής ορμής, έχουμε, για τη γωνιακή ορμή L , ροπή αδράνειας I και γωνιακή ταχύτητα ω :

${\displaystyle 0=dL=d(I\cdot \omega )=dI\cdot \omega +I\cdot d\omega }$

Χρησιμοποιώντας αυτό, βλέπουμε ότι η αλλαγή απαιτεί ενέργεια από:

${\displaystyle dE=d\left({\frac {1}{2}}I\cdot \omega ^{2}\right)={\frac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2 }+I\cdot \omega \cdot d\omega =-{\frac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}$

έτσι ώστε η μείωση της ροπής αδράνειας απαιτεί επένδυση ενέργειας.

Αυτό μπορεί να συγκριθεί με το έργο που έγινε όπως υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους νόμους του Νεύτωνα. Κάθε σημείο του περιστρεφόμενου σώματος επιταχύνεται, σε κάθε χρονική στιγμή, με ακτινική επιτάχυνση:

${\displaystyle -r\cdot \omega ^{2}}$

Ας παρατηρήσουμε ένα σημείο μάζας m , του οποίου το διάνυσμα θέσης σε σχέση με το κέντρο κίνησης είναι παράλληλο με τον άξονα z σε ένα δεδομένο χρονικό σημείο και βρίσκεται σε απόσταση z . Η κεντρομόλος δύναμη σε αυτό το σημείο, διατηρώντας την κυκλική κίνηση, είναι:

${\displaystyle -m\cdot z\cdot \omega ^{2}}$

Έτσι, το έργο που απαιτείται για τη μετακίνηση αυτού του σημείου σε απόσταση dz πιο μακριά από το κέντρο της κίνησης είναι:

${\displaystyle dW=-m\cdot z\cdot \omega ^{2}\cdot dz=-m\cdot \omega ^{2}\cdot d\left({\frac {1}{2}}z^ {2}\δεξιά)}$

Για ένα σώμα που δεν μοιάζει με σημείο πρέπει να ολοκληρωθεί πάνω από αυτό, με το m να αντικαθίσταται από την πυκνότητα μάζας ανά μονάδα z . Αυτό δίνει:

${\displaystyle dW=-{\frac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}$

που είναι ακριβώς η ενέργεια που απαιτείται για τη διατήρηση της γωνιακής ορμής διατηρημένη.

Σημειώστε ότι ο παραπάνω υπολογισμός μπορεί να γίνει και ανά μάζα, χρησιμοποιώντας μόνο κινηματική . Έτσι, τα φαινόμενα του καλλιτεχνικού πατινάζ να επιταχύνει την εφαπτομενική ταχύτητα ενώ τραβάει τα χέρια του/του προς τα μέσα, μπορούν να γίνουν κατανοητά ως εξής: Οι παλάμες του σκέιτερ δεν κινούνται σε ευθεία γραμμή, επομένως επιταχύνουν συνεχώς προς τα μέσα, αλλά δεν αποκτούν πρόσθετη ταχύτητα γιατί η επιτάχυνση γίνεται πάντα όταν η κίνησή τους προς τα μέσα είναι μηδέν. Ωστόσο, αυτό είναι διαφορετικό όταν τραβάτε τις παλάμες πιο κοντά στο σώμα: Η επιτάχυνση λόγω περιστροφής αυξάνει τώρα την ταχύτητα. αλλά λόγω της περιστροφής, η αύξηση της ταχύτητας δεν μεταφράζεται σε σημαντική ταχύτητα προς τα μέσα, αλλά σε αύξηση της ταχύτητας περιστροφής.

Στον Λαγκρανζικό φορμαλισμό

Στη Λαγκρανζική μηχανική , η γωνιακή ορμή για περιστροφή γύρω από έναν δεδομένο άξονα, είναι η συζυγής ορμή της γενικευμένης συντεταγμένης της γωνίας γύρω από τον ίδιο άξονα. Για παράδειγμα,${\displaystyle L_{z}}$, η γωνιακή ορμή γύρω από τον άξονα z, είναι:

${\displaystyle L_{z}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}_{z}}}}$

όπου${\displaystyle {\cal {L}}}$είναι ο Λαγκράγγιος και${\displaystyle \theta _{z}}$είναι η γωνία γύρω από τον άξονα z.

Σημειώστε ότι${\displaystyle {\dot {\theta }}_{z}}$, η χρονική παράγωγος της γωνίας, είναι η γωνιακή ταχύτητα ${\displaystyle \omega _{z}}$. Κανονικά, η Lagrangian εξαρτάται από τη γωνιακή ταχύτητα μέσω της κινητικής ενέργειας: Η τελευταία μπορεί να γραφτεί διαχωρίζοντας την ταχύτητα στο ακτινωτό και εφαπτομενικό τμήμα της, με το εφαπτομενικό τμήμα στο επίπεδο xy, γύρω από τον άξονα z, να είναι ίσο με:

${\displaystyle \sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v_{T}}_{i}^{2}=\sum _{i}{\frac {1} {2}}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}){{\omega _{z}}_{i}}^{2}}$

όπου ο δείκτης i αντιπροσωπεύει το i-ο σώμα, και τα m , v _T και ω _z αντιπροσωπεύουν μάζα, εφαπτομενική ταχύτητα γύρω από τον άξονα z και γωνιακή ταχύτητα γύρω από αυτόν τον άξονα, αντίστοιχα.

Για ένα σώμα που δεν μοιάζει με σημείο, με πυκνότητα ρ , έχουμε αντ' αυτού:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \rho (x,y,z)(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}){{\omega _{z }}_{i}}^{2}\,dx\,dy={\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i }}^{2}}$

όπου η ολοκλήρωση διατρέχει την περιοχή του σώματος, ^[26] και I _z είναι η ροπή αδράνειας γύρω από τον άξονα z.

Έτσι, υποθέτοντας ότι η δυναμική ενέργεια δεν εξαρτάται από το ω _z (αυτή η υπόθεση μπορεί να αποτύχει για ηλεκτρομαγνητικά συστήματα), έχουμε τη γωνιακή ορμή του i-ου αντικειμένου:

${\displaystyle {\begin{aligned}{L_{z}}_{i}&={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\omega _{z}}_{i }}}}={\frac {\partial E_{k}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}\\&={I_{z}}_{i}\ cdot {\omega _{z}}_{i}\end{aligned}}}$

Μέχρι στιγμής έχουμε περιστρέψει κάθε αντικείμενο κατά μια ξεχωριστή γωνία. μπορούμε επίσης να ορίσουμε μια συνολική γωνία θ _z με την οποία περιστρέφουμε ολόκληρο το σύστημα, περιστρέφοντας έτσι και κάθε αντικείμενο γύρω από τον άξονα z, και έχουμε τη συνολική γωνιακή ορμή:

${\displaystyle L_{z}=\sum _{i}{I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}}$

Από τις εξισώσεις Euler-Lagrange προκύπτει ότι:

${\displaystyle 0={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d}{dt}}\ αριστερά({\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}}}\right)={\frac {\ μερική {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}}$

Δεδομένου ότι ο Λαγκρανζικός εξαρτάται από τις γωνίες του αντικειμένου μόνο μέσω του δυναμικού, έχουμε:

${\displaystyle {\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}} _{i}}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}}$

που είναι η ροπή στο i-ο αντικείμενο.

Ας υποθέσουμε ότι το σύστημα είναι αμετάβλητο στις περιστροφές, έτσι ώστε το δυναμικό είναι ανεξάρτητο από μια συνολική περιστροφή κατά τη γωνία θ _z (άρα μπορεί να εξαρτάται από τις γωνίες των αντικειμένων μόνο μέσω των διαφορών τους, στη μορφή${\displaystyle V({\theta _{z}}_{i},{\theta _{z}}_{j})=V({\theta _{z}}_{i}-{\theta _{z}}_{j})}$). Επομένως, παίρνουμε για τη συνολική γωνιακή ορμή:

${\displaystyle {\frac {dL_{z}}{dt}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}}}=0}$

Και έτσι διατηρείται η γωνιακή ορμή γύρω από τον άξονα z.

Αυτή η ανάλυση μπορεί να επαναληφθεί χωριστά για κάθε άξονα, δίνοντας συνομιλία του διανύσματος γωνιακής ορμής. Ωστόσο, οι γωνίες γύρω από τους τρεις άξονες δεν μπορούν να αντιμετωπιστούν ταυτόχρονα ως γενικευμένες συντεταγμένες, καθώς δεν είναι ανεξάρτητες. Συγκεκριμένα, δύο γωνίες ανά σημείο αρκούν για να προσδιοριστεί η θέση του. Ενώ είναι αλήθεια ότι στην περίπτωση ενός άκαμπτου σώματος, η πλήρης περιγραφή του απαιτεί, εκτός από τρεις μεταφορικούς βαθμούς ελευθερίας, και προδιαγραφή τριών περιστροφικών βαθμών ελευθερίας. Ωστόσο, αυτές δεν μπορούν να οριστούν ως περιστροφές γύρω από τους καρτεσιανούς άξονες (βλ. γωνίες Euler ). Αυτή η προειδοποίηση αντικατοπτρίζεται στην κβαντική μηχανική στις μη τετριμμένες σχέσεις μεταγωγής των διαφορετικών συστατικών τουτελεστής γωνιακής ορμής .

Στον Χαμιλτονικό φορμαλισμό

Αντίστοιχα, στη μηχανική του Χαμιλτονίου το Χαμιλτονιανό μπορεί να περιγραφεί ως συνάρτηση της γωνιακής ορμής. Όπως και πριν, το μέρος της κινητικής ενέργειας που σχετίζεται με την περιστροφή γύρω από τον άξονα z για το i-ο αντικείμενο είναι:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}={\frac {{{L_{ z}}_{i}}^{2}}{2{I_{z}}_{i}}}}$

που είναι ανάλογο με την ενεργειακή εξάρτηση από την ορμή κατά μήκος του άξονα z,${\displaystyle {\frac {{{p_{z}}_{i}}^{2}}{{2m}_{i}}}}$.

Οι εξισώσεις του Hamilton συσχετίζουν τη γωνία γύρω από τον άξονα z με τη συζευγμένη ορμή του, τη γωνιακή ορμή γύρω από τον ίδιο άξονα:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\theta _{z}}_{i}}{dt}}&={\frac {\partial {\cal {H}}}{\partial {L_{z}}_{i}}}={\frac {{L_{z}}_{i}}{{I_{z}}_{i}}}\\{\frac {d{L_ {z}}_{i}}{dt}}&=-{\frac {\partial {\cal {H}}}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}=-{ \frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}\end{στοίχιση}}}$

Η πρώτη εξίσωση δίνει

${\displaystyle {L_{z}}_{i}={I_{z}}_{i}\cdot {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}={I_{ z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}}$

Και έτσι έχουμε τα ίδια αποτελέσματα με τον Λαγκρανζικό φορμαλισμό.

Σημειώστε ότι για το συνδυασμό όλων των αξόνων μαζί, γράφουμε την κινητική ενέργεια ως:

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {|{\bf {{p}_{i}|^{2}}}}{2m_ {i}}}=\sum _{i}\left({\frac {{{p_{r}}_{i}}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1} {2}}{\bf {{L}_{i}}}^{\textsf {T}}{I_{i}}^{-1}{\bf {{L}_{i}}}\ σωστά)}$

όπου p _r είναι η ορμή στην ακτινική διεύθυνση και η ροπή αδράνειας είναι ένας τρισδιάστατος πίνακας . Τα έντονα γράμματα αντιπροσωπεύουν τρισδιάστατα διανύσματα.

Για σημειακά σώματα έχουμε:

${\displaystyle E_{k}=\sum _{i}\left({\frac {{{p_{r}}_{i}}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac { |{\bf {{L}_{i}}}|^{2}}{2m_{i}{r_{i}}^{2}}}\right)}$

Αυτή η μορφή του τμήματος της κινητικής ενέργειας του Hamiltonian είναι χρήσιμη στην ανάλυση προβλημάτων κεντρικού δυναμικού και μετατρέπεται εύκολα σε ένα κβαντομηχανικό πλαίσιο εργασίας (π.χ. στο πρόβλημα του ατόμου υδρογόνου ).

Γωνιακή ορμή στην τροχιακή μηχανική

Ενώ στην κλασική μηχανική η γλώσσα της γωνιακής ορμής μπορεί να αντικατασταθεί από τους νόμους κίνησης του Νεύτωνα, είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για κίνηση σε κεντρικό δυναμικό όπως η πλανητική κίνηση στο ηλιακό σύστημα. Έτσι, η τροχιά ενός πλανήτη στο ηλιακό σύστημα ορίζεται από την ενέργειά του, τη γωνιακή ορμή και τις γωνίες του κύριου άξονα τροχιάς σε σχέση με ένα πλαίσιο συντεταγμένων.

Στην αστροδυναμική και την ουράνια μηχανική , ορίζεται μια γωνιακή ορμή χωρίς μάζα (ή ανά μονάδα μάζας ) ^[27]

${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} ,}$

ονομάζεται συγκεκριμένη γωνιακή ορμή . Σημειώστε ότι${\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {h} .}$ Η μάζα είναι συχνά ασήμαντη στους υπολογισμούς της τροχιακής μηχανικής, επειδή η κίνηση ορίζεται από τη βαρύτητα . Το πρωτεύον σώμα του συστήματος είναι συχνά πολύ μεγαλύτερο από όλα τα σώματα που κινούνται γύρω του που τα μικρότερα σώματα έχουν αμελητέα βαρυτική επίδραση πάνω του. είναι ουσιαστικά ακίνητο. Όλα τα σώματα προφανώς έλκονται από τη βαρύτητα του με τον ίδιο τρόπο, ανεξαρτήτως μάζας, και επομένως όλα κινούνται περίπου με τον ίδιο τρόπο υπό τις ίδιες συνθήκες.

Στερεά σώματα

Η γωνιακή ορμή είναι επίσης μια εξαιρετικά χρήσιμη έννοια για την περιγραφή περιστρεφόμενων άκαμπτων σωμάτων όπως ένα γυροσκόπιο ή ένας βραχώδης πλανήτης. Για συνεχή κατανομή μάζας με συνάρτηση πυκνότητας ρ ( r ), ένα στοιχείο διαφορικού όγκου dV με διάνυσμα θέσης r εντός της μάζας έχει στοιχείο μάζας dm = ρ ( r ) dV . Επομένως, η απειροελάχιστη γωνιακή ορμή αυτού του στοιχείου είναι:

${\displaystyle d\mathbf {L} =\mathbf {r} \times dm\mathbf {v} =\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )dV\mathbf {v} =dV\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )\mathbf {v} }$

και η ενσωμάτωση αυτής της διαφοράς στον όγκο ολόκληρης της μάζας δίνει τη συνολική γωνιακή της ορμή:

${\displaystyle \mathbf {L} =\int _{V}dV\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )\mathbf {v} }$

Στην παραγωγή που ακολουθεί, ολοκληρώματα παρόμοια με αυτό μπορούν να αντικαταστήσουν τα αθροίσματα για την περίπτωση συνεχούς μάζας.

Συλλογή σωματιδίων

Για μια συλλογή σωματιδίων σε κίνηση σχετικά με μια αυθαίρετη προέλευση, είναι κατατοπιστικό να αναπτυχθεί η εξίσωση της γωνιακής ορμής αναλύοντας την κίνησή τους σε συνιστώσες σχετικά με το δικό τους κέντρο μάζας και σχετικά με την αρχή. Δεδομένος,

• ${\displaystyle m_{i}}$είναι η μάζα του σωματιδίου${\displaystyle i}$,
• ${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$είναι το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου${\displaystyle i}$έναντι της καταγωγής,
• ${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$είναι η ταχύτητα του σωματιδίου${\displaystyle i}$έναντι της καταγωγής,
• ${\displaystyle \mathbf {R} }$είναι το διάνυσμα θέσης του κέντρου μάζας έναντι της αρχής,
• ${\displaystyle \mathbf {V} }$είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας έναντι της αρχής,
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$είναι το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου${\displaystyle i}$έναντι του κέντρου μάζας,
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$είναι η ταχύτητα του σωματιδίου${\displaystyle i}$έναντι του κέντρου μάζας,

Η συνολική μάζα των σωματιδίων είναι απλώς το άθροισμά τους,

${\displaystyle M=\sum _{i}m_{i}.}$

Το διάνυσμα θέσης του κέντρου μάζας ορίζεται από, ^[28]

${\displaystyle M\mathbf {R} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}.}$

Με επιθεώρηση,

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}}$και${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}.}$

Η συνολική γωνιακή ορμή της συλλογής των σωματιδίων είναι το άθροισμα της γωνιακής ορμής κάθε σωματιδίου,

Επέκταση${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}\right)\times m_{ i}\mathbf {V} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\end{στοίχιση}}}$

Επέκταση${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\left(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}\right)+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i})\right]\\&=\sum _ {i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {r} _ {i}\times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\right]\\&=\sum _{ i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\sum _{ i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _ {i}\end{στοίχιση}}}$

Μπορεί να φανεί ότι (βλ. πλαϊνή γραμμή),

Αποδείξτε το ${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} _{i}&=\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} \\m_{i}\mathbf {r} _{i} &=m_{i}\left(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} \right)\\\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}&= \sum _{i}m_{i}\left(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} \right)\\&=\sum _{i}(m_{i}\mathbf {R } _{i}-m_{i}\mathbf {R} )\\&=\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}-\sum _{i}m_{i} \mathbf {R} \\&=\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}-\left(\sum _{i}m_{i}\right)\mathbf {R} \\&=\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}-M\mathbf {R} \end{στοίχιση}}}$ που, με τον ορισμό του κέντρου μάζας, είναι${\displaystyle \mathbf {0} ,}$και ομοίως για${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {0} }$και${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,}$

επομένως ο δεύτερος και ο τρίτος όρος εξαφανίζονται,

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_ {i}\mathbf {v} _{i}.}$

Ο πρώτος όρος μπορεί να αναδιαταχθεί,

${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times \sum _{i}m_{i}\mathbf {V} =\ mathbf {R} \times M\mathbf {V} ,}$

και η συνολική γωνιακή ορμή για τη συλλογή των σωματιδίων είναι τελικά, ^[29]

Ο πρώτος όρος είναι η γωνιακή ορμή του κέντρου μάζας σε σχέση με την αρχή. Παρόμοια με το Ενιαίο σωματίδιο , παρακάτω, είναι η γωνιακή ορμή ενός σωματιδίου μάζας M στο κέντρο μάζας που κινείται με την ταχύτητα V . Ο δεύτερος όρος είναι η γωνιακή ορμή των σωματιδίων που κινούνται σε σχέση με το κέντρο μάζας, παρόμοια με το Σταθερό κέντρο μάζας , κάτω. Το αποτέλεσμα είναι γενικό — η κίνηση των σωματιδίων δεν περιορίζεται στην περιστροφή ή την περιστροφή γύρω από την προέλευση ή το κέντρο μάζας. Τα σωματίδια δεν χρειάζεται να είναι μεμονωμένες μάζες, αλλά μπορούν να είναι στοιχεία συνεχούς κατανομής, όπως ένα στερεό σώμα.

Αναδιάταξη της εξίσωσης ( 2 ) με διανυσματικές ταυτότητες, πολλαπλασιάζοντας και τους δύο όρους με "ένα" και ομαδοποιώντας κατάλληλα,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=M(\mathbf {R} \times \mathbf {V} )+\sum _{i}\left[m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&={\frac {R^{2}}{R^{2}}}M\αριστερά (\mathbf {R} \times \mathbf {V} \right)+\sum _{i}\left[{\frac {r_{i}^{2}}{r_{i}^{2}}} m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&=R^{2}M\left({\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {V} }{R^{2}}}\right)+\sum _{i}\left[r_{i}^{2}m_{i}\left( {\frac {\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}}{r_{i}^{2}}}\right)\right],\\\end{στοίχιση} }}$

δίνει τη συνολική γωνιακή ορμή του συστήματος των σωματιδίων ως προς τη ροπή αδράνειας ${\displaystyle I}$και γωνιακή ταχύτητα ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$,

Ενιαία θήκη σωματιδίων

Στην περίπτωση ενός μόνο σωματιδίου που κινείται γύρω από την αυθαίρετη προέλευση,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} _{i}&=\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,\\\mathbf {r} &=\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} &=\mathbf {V} ,\\m&=M,\end{στοίχιση}}}$

${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle \sum _{i}I_{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i}=\mathbf {0} ,}$και οι εξισώσεις ( 2 ) και ( 3 ) για τη συνολική γωνιακή ορμή μειώνονται σε,

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {R} \times m\mathbf {V} =I_{R}{\boldsymbol {\omega }}_{R}.}$

Περίπτωση σταθερού κέντρου μάζας

Για την περίπτωση του κέντρου μάζας που είναι σταθερό στο χώρο ως προς την αρχή,

${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle \mathbf {R} \times M\mathbf {V} =\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle I_{R}{\boldsymbol {\omega }}_{R}=\mathbf {0} ,}$και οι εξισώσεις ( 2 ) και ( 3 ) για τη συνολική γωνιακή ορμή μειώνονται σε,

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}I_{i} {\boldsymbol {\omega }}_{i}.}$

Γωνιακή ορμή στη γενική σχετικότητα

Στη σύγχρονη (20ός αιώνας) θεωρητική φυσική, η γωνιακή ορμή (χωρίς καμία εγγενή γωνιακή ορμή - βλέπε παρακάτω ) περιγράφεται χρησιμοποιώντας έναν διαφορετικό φορμαλισμό, αντί για ένα κλασικό ψευδοδιάνυσμα . Σε αυτόν τον φορμαλισμό, η γωνιακή ορμή είναι το φορτίο Noether 2 μορφών που σχετίζεται με την περιστροφική αμετάβλητη. Ως αποτέλεσμα, η γωνιακή ορμή δεν διατηρείται για γενικούς καμπυλωτούς χωροχρόνους , εκτός και αν τυχαίνει να είναι ασυμπτωτικά περιστροφικά αμετάβλητη. ^{[ απαιτείται παραπομπή ]}

Στην κλασική μηχανική, η γωνιακή ορμή ενός σωματιδίου μπορεί να ερμηνευτεί εκ νέου ως επίπεδο στοιχείο:

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \wedge \mathbf {p} \,,}$

στο οποίο το εξωτερικό προϊόν ∧ αντικαθιστά το διασταυρούμενο γινόμενο × (τα προϊόντα αυτά έχουν παρόμοια χαρακτηριστικά αλλά δεν είναι ισοδύναμα). Αυτό έχει το πλεονέκτημα μιας σαφέστερης γεωμετρικής ερμηνείας ως επίπεδο στοιχείο, που ορίζεται από τα διανύσματα x και p , και η έκφραση είναι αληθής σε οποιονδήποτε αριθμό διαστάσεων (δύο ή μεγαλύτερες). Σε καρτεσιανές συντεταγμένες:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\left(xp_{y}-yp_{x}\right)\mathbf {e} _{x}\wedge \mathbf {e} _{y }+\left(yp_{z}-zp_{y}\right)\mathbf {e} _{y}\wedge \mathbf {e} _{z}+\left(zp_{x}-xp_{z} \right)\mathbf {e} _{z}\wedge \mathbf {e} _{x}\\&=L_{xy}\mathbf {e} _{x}\wedge \mathbf {e} _{y }+L_{yz}\mathbf {e} _{y}\wedge \mathbf {e} _{z}+L_{zx}\mathbf {e} _{z}\wedge \mathbf {e} _{x }\,,\end{στοίχιση}}}$

ή πιο συμπαγή σε συμβολισμό ευρετηρίου:

${\displaystyle L_{ij}=x_{i}p_{j}-x_{j}p_{i}\,.}$

Η γωνιακή ταχύτητα μπορεί επίσης να οριστεί ως ένας αντισυμμετρικός τανυστής δεύτερης τάξης, με συνιστώσες ω _ij . Η σχέση μεταξύ των δύο αντισυμμετρικών τανυστών δίνεται από τη ροπή αδράνειας που πρέπει τώρα να είναι τανυστής τέταρτης τάξης: ^[30]

${\displaystyle L_{ij}=I_{ijk\ell }\omega _{k\ell }\,.}$

Και πάλι, αυτή η εξίσωση σε L και ω ως τανυστές ισχύει σε οποιονδήποτε αριθμό διαστάσεων. Αυτή η εξίσωση εμφανίζεται επίσης στον φορμαλισμό της γεωμετρικής άλγεβρας , στον οποίο το L και το ω είναι δύο διανύσματα και η ροπή αδράνειας είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ τους.

Στη σχετικιστική μηχανική , η σχετικιστική γωνιακή ορμή ενός σωματιδίου εκφράζεται ως αντισυμμετρικός τανυστής δεύτερης τάξης:

${\displaystyle M_{\alpha \beta }=X_{\alpha }P_{\beta }-X_{\beta }P_{\alpha }}$

στη γλώσσα των τεσσάρων διανυσμάτων , δηλαδή των τεσσάρων θέσεων X και της τεσσάρων ορμής P , και απορροφά το παραπάνω L μαζί με την κίνηση του κέντρου μάζας του σωματιδίου.

Σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις, για ένα σύστημα σωματιδίων, η συνολική γωνιακή ορμή είναι απλώς το άθροισμα της γωνιακής ροπής μεμονωμένων σωματιδίων και το κέντρο μάζας είναι για το σύστημα.

Γωνιακή ορμή στην κβαντομηχανική

Στην κβαντομηχανική , η γωνιακή ορμή (όπως και άλλες ποσότητες) εκφράζεται ως τελεστής και οι μονοδιάστατες προβολές της έχουν κβαντισμένες ιδιοτιμές . Η γωνιακή ορμή υπόκειται στην αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg , υπονοώντας ότι ανά πάσα στιγμή, μόνο μία προβολή (ονομάζεται επίσης "συστατικό") μπορεί να μετρηθεί με συγκεκριμένη ακρίβεια. τότε οι άλλοι δύο παραμένουν αβέβαιοι. Εξαιτίας αυτού, ο άξονας περιστροφής ενός κβαντικού σωματιδίου είναι απροσδιόριστος. Τα κβαντικά σωματίδια έχουν πράγματι έναν τύπο μη τροχιακής γωνιακής ορμής που ονομάζεται "σπιν", αλλά αυτή η γωνιακή ορμή δεν αντιστοιχεί σε περιστροφική κίνηση. ^[31] Στη σχετικιστική κβαντική μηχανικήο παραπάνω σχετικιστικός ορισμός γίνεται τανυσιακός τελεστής.

Σπιν, τροχιακή και ολική γωνιακή ορμή

Ο κλασικός ορισμός της γωνιακής ορμής ως${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$μπορεί να μεταφερθεί στην κβαντική μηχανική, ερμηνεύοντας εκ νέου το r ως τελεστή κβαντικής θέσης και το p ως τελεστή κβαντικής ορμής . Το L είναι τότε ένας τελεστής , που ονομάζεται συγκεκριμένα τελεστής τροχιακής γωνιακής ορμής . Οι συνιστώσες του τελεστή γωνιακής ορμής ικανοποιούν τις σχέσεις μεταγωγής της άλγεβρας Lie so(3). Πράγματι, αυτοί οι τελεστές είναι ακριβώς η απειροελάχιστη δράση της ομάδας περιστροφής στον κβαντικό χώρο Hilbert. ^[33] (Δείτε επίσης την παρακάτω συζήτηση σχετικά με τους τελεστές γωνιακής ορμής ως γεννήτριες περιστροφών.)

Ωστόσο, στην κβαντική φυσική, υπάρχει ένας άλλος τύπος γωνιακής ορμής, που ονομάζεται γωνιακή ορμή σπιν , που αντιπροσωπεύεται από τον τελεστή περιστροφής S . Σχεδόν όλα τα στοιχειώδη σωματίδια έχουν μη μηδενικό σπιν. ^[34] Το σπιν συχνά απεικονίζεται ως ένα σωματίδιο που περιστρέφεται κυριολεκτικά γύρω από έναν άξονα, αλλά αυτή είναι μια παραπλανητική και ανακριβής εικόνα: το σπιν είναι μια εγγενής ιδιότητα ενός σωματιδίου, άσχετη με οποιοδήποτε είδος κίνησης στο διάστημα και θεμελιωδώς διαφορετική από την τροχιακή γωνιακή ορμή. Όλα τα στοιχειώδη σωματίδια έχουν ένα χαρακτηριστικό σπιν (πιθανώς μηδέν), ^[35] για παράδειγμα τα ηλεκτρόνια έχουν "σπιν 1/2" (αυτό σημαίνει στην πραγματικότητα "σπιν ħ /2"), φωτόνιαέχουν "spin 1" (αυτό σημαίνει στην πραγματικότητα "spin ħ") και τα pi-μεσόνια έχουν spin 0. ^[36]

Τέλος, υπάρχει η ολική γωνιακή ορμή J , η οποία συνδυάζει τόσο τη σπιν όσο και την τροχιακή γωνιακή ορμή όλων των σωματιδίων και των πεδίων. (Για ένα σωματίδιο, J = L + S .) Η διατήρηση της γωνιακής ορμής ισχύει για το J , αλλά όχι για το L ή το S. για παράδειγμα, η αλληλεπίδραση σπιν-τροχίας επιτρέπει στη γωνιακή ορμή να μεταφέρεται εμπρός και πίσω μεταξύ L και S , με το σύνολο να παραμένει σταθερό. Τα ηλεκτρόνια και τα φωτόνια δεν χρειάζεται να έχουν ακέραιες τιμές για τη συνολική γωνιακή ορμή, αλλά μπορούν επίσης να έχουν τιμές μισού ακέραιου αριθμού. ^[37]

Στα μόρια η συνολική γωνιακή ορμή F είναι το άθροισμα της ροβιβρονικής (τροχιακής) γωνιακής ορμής N , της γωνιακής ορμής σπιν ηλεκτρονίων S , και της γωνιακής ορμής του πυρηνικού σπιν I . Για τις καταστάσεις ηλεκτρονικών μονών η ροβιβρονική γωνιακή ορμή συμβολίζεται με J και όχι N. Όπως εξηγείται από τον Van Vleck, ^[38] οι συνιστώσες της μοριακής ροβιβρονικής γωνιακής ορμής που αναφέρονται σε άξονες που είναι σταθεροί στο μόριο έχουν διαφορετικές σχέσεις εναλλαγής από αυτές για τις συνιστώσες σχετικά με τους σταθερούς άξονες στο διάστημα.

Κβαντοποίηση

Στην κβαντομηχανική , η γωνιακή ορμή κβαντίζεται – δηλαδή, δεν μπορεί να μεταβάλλεται συνεχώς, αλλά μόνο σε « κβαντικά άλματα » μεταξύ ορισμένων επιτρεπόμενων τιμών. Για οποιοδήποτε σύστημα, ισχύουν οι ακόλουθοι περιορισμοί στα αποτελέσματα των μετρήσεων, όπου${\displaystyle \hbar }$είναι η ανηγμένη σταθερά Planck και${\displaystyle {\hat {n}}}$είναι οποιοδήποτε Ευκλείδειο διάνυσμα όπως x, y ή z:

Αν μετρήσεις ...	Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι...
${\displaystyle L_{\hat {n}}}$	${\displaystyle \ldots ,-2\hbar ,-\hbar ,0,\hbar ,2\hbar ,\ldots }$
${\displaystyle S_{\hat {n}}}$ή${\displaystyle J_{\hat {n}}}$	${\displaystyle \ldots ,-{\frac {3}{2}}\hbar ,-\hbar ,-{\frac {1}{2}}\hbar ,0,{\frac {1}{2}} \hbar ,\hbar ,{\frac {3}{2}}\hbar ,\ldots }$
${\displaystyle {\begin{aligned}&L^{2}\\={}&L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}\end{aligned} }}$	${\displaystyle \left[\hbar ^{2}n(n+1)\right]}$, όπου${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$
${\displaystyle S^{2}}$ή${\displaystyle J^{2}}$	${\displaystyle \left[\hbar ^{2}n(n+1)\right]}$, όπου${\displaystyle n=0,{\frac {1}{2}},1,{\frac {3}{2}},\ldots }$

(Υπάρχουν επίσης πρόσθετοι περιορισμοί, δείτε τον τελεστή γωνιακής ορμής για λεπτομέρειες.)

Η μειωμένη σταθερά Planck ${\displaystyle \hbar }$είναι μικροσκοπικό για τα καθημερινά πρότυπα, περίπου 10 ⁻³⁴ J s , και επομένως αυτή η κβαντοποίηση δεν επηρεάζει αισθητά τη γωνιακή ορμή των μακροσκοπικών αντικειμένων. Ωστόσο, είναι πολύ σημαντικό στον μικροσκοπικό κόσμο. Για παράδειγμα, η δομή των κελυφών και των υποκεφύλων ηλεκτρονίων στη χημεία επηρεάζεται σημαντικά από την κβαντοποίηση της γωνιακής ορμής.

Η κβαντοποίηση της γωνιακής ορμής υποτέθηκε για πρώτη φορά από τον Niels Bohr στο μοντέλο Bohr του ατόμου και αργότερα προβλέφθηκε από τον Erwin Schrödinger στην εξίσωσή του Schrödinger .

Αβεβαιότητα

Στον ορισμό${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$, εμπλέκονται έξι χειριστές: Οι χειριστές θέσης ${\displaystyle r_{x}}$,${\displaystyle r_{y}}$,${\displaystyle r_{z}}$και τους τελεστές ορμής ${\displaystyle p_{x}}$,${\displaystyle p_{y}}$,${\displaystyle p_{z}}$. Ωστόσο, η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg μας λέει ότι δεν είναι δυνατόν και οι έξι αυτές ποσότητες να είναι γνωστές ταυτόχρονα με αυθαίρετη ακρίβεια. Επομένως, υπάρχουν όρια σε ό,τι μπορεί να είναι γνωστό ή μετρημένο σχετικά με τη γωνιακή ορμή ενός σωματιδίου. Αποδεικνύεται ότι το καλύτερο που μπορεί κανείς να κάνει είναι να μετρήσει ταυτόχρονα τόσο το μέγεθος του διανύσματος γωνιακής ορμής όσο και τη συνιστώσα του κατά μήκος ενός άξονα.

Η αβεβαιότητα σχετίζεται στενά με το γεγονός ότι διαφορετικά στοιχεία ενός τελεστή γωνιακής ορμής δεν μετακινούνται , για παράδειγμα${\displaystyle L_{x}L_{y}\neq L_{y}L_{x}}$. (Για τις ακριβείς σχέσεις εναλλαγής , βλ . τελεστή γωνιακής ορμής .)

Ολική γωνιακή ορμή ως γεννήτρια περιστροφών

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η τροχιακή γωνιακή ορμή L ορίζεται ως στην κλασική μηχανική:${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$, αλλά η συνολική γωνιακή ορμή J ορίζεται με διαφορετικό, πιο βασικό τρόπο: το J ορίζεται ως η «γεννήτρια περιστροφών». ^[39] Πιο συγκεκριμένα, το J ορίζεται έτσι ώστε ο τελεστής

${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )\equiv \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\phi \,\mathbf {J} \cdot {\hat { \mathbf {n} }}\δεξιά)}$

είναι ο τελεστής περιστροφής που παίρνει οποιοδήποτε σύστημα και το περιστρέφει κατά γωνία${\displaystyle \phi }$σχετικά με τον άξονα${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$. (Το "exp" στον τύπο αναφέρεται στον εκθετικό τελεστή ) Για να το θέσουμε αντίστροφα, όποιος κι αν είναι ο κβαντικός μας χώρος Hilbert, αναμένουμε ότι η ομάδα περιστροφής SO(3) θα ενεργήσει σε αυτόν. Υπάρχει τότε μια συσχετισμένη δράση της άλγεβρας Lie so(3) του SO(3). Οι τελεστές που περιγράφουν τη δράση του so(3) στον χώρο Hilbert είναι οι (συνολικοί) τελεστές γωνιακής ορμής.

Η σχέση μεταξύ του τελεστή της γωνιακής ορμής και των τελεστών περιστροφής είναι ίδια με τη σχέση μεταξύ των αλγεβρών Lie και των ομάδων Lie στα μαθηματικά. Η στενή σχέση μεταξύ της γωνιακής ορμής και των περιστροφών αντανακλάται στο θεώρημα του Noether που αποδεικνύει ότι η γωνιακή ορμή διατηρείται κάθε φορά που οι νόμοι της φυσικής είναι περιστροφικά αμετάβλητοι.

Γωνιακή ορμή στην ηλεκτροδυναμική

Όταν περιγράφεται η κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου σε ένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο , η κανονική ορμή P (που προέρχεται από το Lagrangian για αυτό το σύστημα) δεν είναι αμετάβλητη στο μετρητή . Κατά συνέπεια, η κανονική γωνιακή ορμή L = r × P δεν είναι ούτε αμετάβλητη στο μετρητή. Αντίθετα, η ορμή που είναι φυσική, η λεγόμενη κινητική ορμή (που χρησιμοποιείται σε αυτό το άρθρο), είναι (σε ​​μονάδες SI )

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} =\mathbf {P} -e\mathbf {A} }$

όπου e το ηλεκτρικό φορτίο του σωματιδίου και Α το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Η αμετάβλητη γωνιακή ορμή, δηλαδή η κινητική γωνιακή ορμή , δίνεται από

${\displaystyle \mathbf {K} =\mathbf {r} \times (\mathbf {P} -e\mathbf {A} )}$

Η αλληλεπίδραση με την κβαντική μηχανική συζητείται περαιτέρω στο άρθρο για τις κανονικές σχέσεις μεταγωγής .

Γωνιακή ορμή στην οπτική

Στην κλασική ηλεκτροδυναμική Maxwell το διάνυσμα Poynting είναι μια γραμμική πυκνότητα ορμής του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. ^[40]

${\displaystyle \mathbf {S} (\mathbf {r} ,t)=\epsilon _{0}c^{2}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t).}$

Το διάνυσμα πυκνότητας γωνιακής ορμής${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {r} ,t)}$δίνεται από ένα διανυσματικό γινόμενο όπως στην κλασική μηχανική: ^[41]

${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {r} \times \mathbf {S} (\mathbf {r} ,t).}$

Οι παραπάνω ταυτότητες ισχύουν τοπικά , δηλαδή σε κάθε σημείο${\displaystyle \mathbf {r} }$σε μια δεδομένη στιγμή${\displaystyle t}$.

Γωνιακή ορμή στη φύση και τον κόσμο

Οι τροπικοί κυκλώνες και άλλα σχετικά καιρικά φαινόμενα περιλαμβάνουν διατήρηση της γωνιακής ορμής προκειμένου να εξηγηθεί η δυναμική. Οι άνεμοι περιστρέφονται αργά γύρω από συστήματα χαμηλής πίεσης, κυρίως λόγω του φαινομένου coriolis . Εάν η χαμηλή πίεση ενταθεί και ο αέρας που κυκλοφορεί αργά τραβιέται προς το κέντρο, τα μόρια πρέπει να επιταχύνουν για να διατηρήσουν τη γωνιακή ορμή. Μέχρι να φτάσουν στο κέντρο, οι ταχύτητες γίνονται καταστροφικές. ^[42]

Ο Johannes Kepler προσδιόρισε τους νόμους της κίνησης των πλανητών χωρίς γνώση της διατήρησης της ορμής. Ωστόσο, λίγο μετά την ανακάλυψή του, η προέλευσή τους καθορίστηκε από τη διατήρηση της γωνιακής ορμής. Οι πλανήτες κινούνται πιο αργά όσο πιο έξω βρίσκονται στις ελλειπτικές τροχιές τους, κάτι που εξηγείται διαισθητικά από το γεγονός ότι η τροχιακή γωνιακή ορμή είναι ανάλογη με την ακτίνα της τροχιάς. Δεδομένου ότι η μάζα δεν αλλάζει και η γωνιακή ορμή διατηρείται, η ταχύτητα πέφτει.

Η παλιρροιακή επιτάχυνση είναι μια επίδραση των παλιρροϊκών δυνάμεων μεταξύ ενός φυσικού δορυφόρου που βρίσκεται σε τροχιά (π.χ. η Σελήνη ) και του πρωτεύοντος πλανήτη στον οποίο περιφέρεται (π.χ. Γη). Η βαρυτική ροπή μεταξύ της Σελήνης και της παλιρροιακής διόγκωσης της Γης κάνει τη Σελήνη να προωθείται συνεχώς σε ελαφρώς υψηλότερη τροχιά και η Γη να επιβραδύνεται στην περιστροφή της. Η Γη χάνει τη γωνιακή ορμή η οποία μεταφέρεται στη Σελήνη έτσι ώστε η συνολική γωνιακή ορμή να διατηρείται.

Γωνιακή ορμή στη μηχανική και την τεχνολογία

Τα παραδείγματα χρήσης της διατήρησης της γωνιακής ορμής για πρακτικό πλεονέκτημα είναι άφθονα. Σε κινητήρες όπως ατμομηχανές ή κινητήρες εσωτερικής καύσης , απαιτείται ένας σφόνδυλος για να μετατρέψει αποτελεσματικά την πλευρική κίνηση των εμβόλων σε περιστροφική κίνηση.

Τα συστήματα αδρανειακής πλοήγησης χρησιμοποιούν ρητά το γεγονός ότι η γωνιακή ορμή διατηρείται σε σχέση με το αδρανειακό πλαίσιο του χώρου. Η αδρανειακή πλοήγηση είναι αυτό που επιτρέπει τα υποβρύχια ταξίδια κάτω από το πολικό πάγο, αλλά είναι επίσης ζωτικής σημασίας για όλες τις μορφές σύγχρονης πλοήγησης.

Οι σφαίρες με τουφέκια χρησιμοποιούν τη σταθερότητα που παρέχεται από τη διατήρηση της γωνιακής ορμής για να είναι πιο αληθινές στην τροχιά τους. Η εφεύρεση των τυφεκίων πυροβόλων όπλων και των κανονιών έδωσε στους χρήστες τους σημαντικό στρατηγικό πλεονέκτημα στη μάχη, και έτσι αποτέλεσε μια τεχνολογική καμπή στην ιστορία.

Ιστορία

Ο Νεύτωνας , στο Principia , υπαινίχθηκε τη γωνιακή ορμή στα παραδείγματα του Πρώτου Νόμου της Κίνησης ,

Μια κορυφή, της οποίας τα μέρη λόγω της συνοχής τους απομακρύνονται διαρκώς από τις ευθύγραμμες κινήσεις, δεν σταματά την περιστροφή της, διαφορετικά παρά μόνο όταν επιβραδύνεται από τον αέρα. Τα μεγαλύτερα σώματα των πλανητών και των κομητών, συναντώντας λιγότερη αντίσταση σε περισσότερους ελεύθερους χώρους, διατηρούν τις κινήσεις τους τόσο προοδευτικές όσο και κυκλικές για πολύ μεγαλύτερο χρονικό διάστημα. ^[43]

Δεν ερεύνησε περαιτέρω τη γωνιακή ορμή απευθείας στο Principia ,

Από τέτοιου είδους αντανακλάσεις προκύπτουν μερικές φορές και οι κυκλικές κινήσεις των σωμάτων γύρω από τα δικά τους κέντρα. Αλλά αυτές είναι περιπτώσεις που δεν εξετάζω στα ακόλουθα. και θα ήταν πολύ κουραστικό να αποδείξουμε κάθε συγκεκριμένο που σχετίζεται με αυτό το θέμα. ^[44]

Ωστόσο, η γεωμετρική απόδειξη του νόμου των περιοχών είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα της ιδιοφυΐας του Νεύτωνα και αποδεικνύει έμμεσα τη διατήρηση της γωνιακής ορμής στην περίπτωση μιας κεντρικής δύναμης .

Ο νόμος των περιοχών

Παραγωγή του Νεύτωνα

Καθώς ένας πλανήτης περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο , η γραμμή μεταξύ του Ήλιου και του πλανήτη σαρώνει ίσες περιοχές σε ίσα χρονικά διαστήματα. Αυτό ήταν γνωστό από τότε που ο Κέπλερ εξέθεσε τον δεύτερο νόμο της πλανητικής κίνησης . Ο Νεύτωνας εξήγαγε μια μοναδική γεωμετρική απόδειξη και συνέχισε δείχνοντας ότι η ελκτική δύναμη της βαρύτητας του Ήλιου ήταν η αιτία όλων των νόμων του Κέπλερ.

Κατά το πρώτο χρονικό διάστημα, ένα αντικείμενο κινείται από το σημείο Α στο σημείο Β . Ανενόχλητο, θα συνέχιζε να βρίσκεται στο σημείο c κατά το δεύτερο διάστημα. Όταν το αντικείμενο φτάνει στο Β , δέχεται μια ώθηση που κατευθύνεται προς το σημείο S . Η ώθηση του δίνει μια μικρή προστιθέμενη ταχύτητα προς το S , τέτοια που αν αυτή ήταν η μόνη του ταχύτητα, θα μετακινούνταν από το B στο V κατά τη διάρκεια του δεύτερου διαστήματος. Σύμφωνα με τους κανόνες της σύνθεσης της ταχύτητας , αυτές οι δύο ταχύτητες αθροίζονται και το σημείο C βρίσκεται με την κατασκευή του παραλληλογράμμου BcCV. Έτσι η διαδρομή του αντικειμένου εκτρέπεται από την ώθηση έτσι ώστε να φτάσει στο σημείο C στο τέλος του δεύτερου διαστήματος. Επειδή τα τρίγωνα SBc και SBC έχουν την ίδια βάση SB και το ίδιο ύψος Bc ή VC , έχουν το ίδιο εμβαδόν. Από συμμετρία, το τρίγωνο SBc έχει επίσης το ίδιο εμβαδόν με το τρίγωνο SAB , επομένως το αντικείμενο έχει σαρώσει ίσες περιοχές SAB και SBC σε ίσους χρόνους.

Στο σημείο C , το αντικείμενο δέχεται μια άλλη ώθηση προς το S , εκτρέποντας και πάλι τη διαδρομή του κατά τη διάρκεια του τρίτου διαστήματος από το d στο D. Έτσι συνεχίζει στο E και πέρα, τα τρίγωνα SAB , SBc , SBC , SCd , SCD , SDe , SDE έχουν όλα το ίδιο εμβαδόν. Επιτρέποντας τα χρονικά διαστήματα να γίνονται όλο και μικρότερα, η διαδρομή ABCDE πλησιάζει επ' αόριστον σε μια συνεχή καμπύλη.

Σημειώστε ότι επειδή αυτή η παραγωγή είναι γεωμετρική και δεν εφαρμόζεται συγκεκριμένη δύναμη, αποδεικνύεται ένας γενικότερος νόμος από τον δεύτερο νόμο του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών. Δείχνει ότι ο Νόμος των Περιοχών ισχύει για οποιαδήποτε κεντρική δύναμη, ελκτική ή απωθητική, συνεχή ή μη συνεχή ή μηδενική.

Διατήρηση της γωνιακής ορμής στο Νόμο των Περιοχών

Η αναλογία της γωνιακής ορμής προς την περιοχή που παρασύρεται από ένα κινούμενο αντικείμενο μπορεί να γίνει κατανοητή συνειδητοποιώντας ότι οι βάσεις των τριγώνων, δηλαδή οι ευθείες από το S προς το αντικείμενο, είναι ισοδύναμες με την ακτίνα r και ότι τα ύψη του τα τρίγωνα είναι ανάλογα με την κάθετη συνιστώσα της ταχύτητας v _⊥ . Επομένως, εάν η περιοχή που σαρώνεται ανά μονάδα χρόνου είναι σταθερή, τότε με τον τύπο του τριγωνικού εμβαδού1/2(βάση)(ύψος) , το γινόμενο (βάση)(ύψος) και επομένως το γινόμενο rv _⊥ είναι σταθερά: εάν το r και το μήκος βάσης μειωθούν, το v _⊥ και το ύψος πρέπει να αυξηθούν αναλογικά. Η μάζα είναι σταθερή, επομένως η γωνιακή ορμή rmv _⊥ διατηρείται από αυτή την ανταλλαγή απόστασης και ταχύτητας.

Στην περίπτωση του τριγώνου SBC , το εμβαδόν είναι ίσο με1/2( SB )( VC ). Όπου τελικά βρίσκεται το C λόγω της ώθησης που εφαρμόζεται στο B , το γινόμενο ( SB ) ( VC ) και επομένως το rmv _⊥ παραμένει σταθερό. Ομοίως για καθένα από τα τρίγωνα.

Μετά τον Νεύτωνα

Ο Leonhard Euler , ο Daniel Bernoulli και ο Patrick d'Arcy κατανόησαν όλοι τη γωνιακή ορμή ως προς τη διατήρηση της εμβαδικής ταχύτητας , αποτέλεσμα της ανάλυσής τους του δεύτερου νόμου του Kepler για την κίνηση των πλανητών. Είναι απίθανο να συνειδητοποίησαν τις συνέπειες για τη συνηθισμένη περιστρεφόμενη ύλη. ^[45]

Το 1736 ο Euler, όπως και ο Newton, άγγιξε μερικές από τις εξισώσεις της γωνιακής ορμής στο Mechanica του χωρίς να τις αναπτύξει περαιτέρω. ^[46]

Ο Μπερνούλι έγραψε σε ένα γράμμα του 1744 μια «στιγμή περιστροφικής κίνησης», πιθανώς την πρώτη αντίληψη της γωνιακής ορμής όπως την καταλαβαίνουμε τώρα. ^[47]

Το 1799, ο Pierre-Simon Laplace συνειδητοποίησε για πρώτη φορά ότι ένα σταθερό επίπεδο συνδέθηκε με την περιστροφή - το αμετάβλητο επίπεδο του .

Ο Louis Poinsot το 1803 άρχισε να αναπαριστά τις περιστροφές ως ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στην περιστροφή και επεξεργάστηκε τη "διατήρηση των ροπών".

Το 1852 ο Léon Foucault χρησιμοποίησε ένα γυροσκόπιο σε ένα πείραμα για να εμφανίσει την περιστροφή της Γης.

Το Εγχειρίδιο Εφαρμοσμένης Μηχανικής του William JM Rankine το 1858 όρισε τη γωνιακή ορμή με τη σύγχρονη έννοια για πρώτη φορά:

...μια ευθεία της οποίας το μήκος είναι ανάλογο με το μέγεθος της γωνιακής ορμής και της οποίας η διεύθυνση είναι κάθετη στο επίπεδο κίνησης του σώματος και του σταθερού σημείου, και τέτοια ώστε όταν η κίνηση του σώματος παρατηρείται από το άκρο της γραμμής, η ακτίνα-διάνυσμα του σώματος φαίνεται να έχει δεξιόστροφη περιστροφή.

Σε μια έκδοση του 1872 του ίδιου βιβλίου, ο Rankine δήλωσε ότι «Ο όρος γωνιακή ορμή εισήχθη από τον κ. Hayward», ^[48] πιθανώς αναφερόμενος στο άρθρο του RB Hayward σχετικά με μια άμεση μέθοδο εκτίμησης ταχυτήτων, επιταχύνσεων και όλων των παρόμοιων ποσοτήτων. στο Axes που μπορεί να μετακινηθεί με οποιονδήποτε τρόπο στο Space with Applications, ^[49] που εισήχθη το 1856 και δημοσιεύτηκε το 1864. Ο Rankine έκανε λάθος, καθώς πολλές δημοσιεύσεις περιλαμβάνουν τον όρο που ξεκινά από τα τέλη του 18ου έως τις αρχές του 19ου αιώνα. ^[50] Ωστόσο, το άρθρο του Hayward προφανώς ήταν η πρώτη χρήση του όρου και της έννοιας που είδαν μεγάλο μέρος του αγγλόφωνου κόσμου. Πριν από αυτό, η γωνιακή ορμή αναφερόταν χαρακτηριστικά ως "ορμή περιστροφής" στα αγγλικά.^[51]

Δείτε επίσης

Υποσημειώσεις

Αναφορές

• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck (2006). Quantum Mechanics (εκδ. σετ 2 τόμων). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-56952-7.
• Condon, ΕΕ; Shortley, GH (1935). «Ειδικά το Κεφάλαιο 3» . Η Θεωρία των Ατομικών Φασμάτων . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09209-8.
• Edmonds, AR (1957). Γωνιακή Ορμή στην Κβαντομηχανική . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07912-7.
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, τομ. 267, Springer, ISBN 978-0-387-40122-5.
• Jackson, John David (1998). Κλασική Ηλεκτροδυναμική (3η έκδ.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς (6η έκδ.). Μπρουκς/Κόουλ. ISBN 978-0-534-40842-8.
• Thompson, William J. (1994). Angular Momentum: An Illustrated Guide to Rotational Symmetries for Physical Systems . Wiley. ISBN 978-0-471-55264-2.
• Tipler, Paul (2004). Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς: Μηχανική, Ταλαντώσεις και Κύματα, Θερμοδυναμική (5η έκδ.). WH Freeman. ISBN 978-0-7167-0809-4.
• Feynman R , Leighton R , and Sands M. (Σεπτέμβριος 2013). "19–4 Περιστροφική κινητική ενέργεια" . The Feynman Lectures on Physics . The Feynman Lectures Website (online ed.).{{cite book}}: CS1 maint: uses authors parameter (link)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• "Τι κοινό έχουν ένα υποβρύχιο, ένας πύραυλος και ένα ποδόσφαιρο; Γιατί η σφαιροειδής πλάκα είναι το σχήμα της επιτυχίας" ( Scientific American , 8 Νοεμβρίου 2010)
• Διατήρηση της γωνιακής ορμής – ένα κεφάλαιο από ένα διαδικτυακό εγχειρίδιο
• Γωνιακή ορμή σε μια διαδικασία σύγκρουσης – παραγωγή της τρισδιάστατης περίπτωσης
• Γωνιακή Ορμή και Κυλιόμενη Κίνηση – περισσότερη θεωρία ορμής