Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan FRS
Ramanujan v roce 1913
Narozený	Srinivasa Ramanujan Aiyangar ( 1887-12-22 )22. prosince 1887 Erode , Mysore State , Britská Indie (nyní v Tamil Nadu , Indie )
Zemřel	26. dubna 1920 (1920-04-26)(ve věku 32 let) Kumbakonam , okres Tanjore , prezidentství Madras , Britská Indie (nyní okres Thanjavur , Tamil Nadu , Indie )
Občanství	Britský Indián
Školství	Vládní vysoká škola umění Pachaiyappova vysoká škola Trinity College, Cambridge ( BA )
Známý pro	Ramanujanova suma Landau-Ramanujanova konstanta Mock theta funkce Ramanujanovy kongruence Ramanujan dohad Ramanujan prvotřídní Ramanujan-Soldnerova konstanta funkce Ramanujan theta Rogers-Ramanujan identity Ramanujanova hlavní věta Hardy-Ramanujanův asymptotický vzorec série Ramanujan–Sato
Ocenění	Člen královské společnosti (1918)
Vědecká kariéra
Pole	Matematika
Instituce	University of Cambridge
teze	Vysoce složená čísla  (1916)
Akademičtí poradci	GH Hardy JE Littlewood
Podpis

Srinivasa Ramanujan Aiyangar ^[a] (22 prosince 1887 - 26 dubna 1920) byl indický matematik . Často považován za jednoho z největších matematiků všech dob, ačkoli měl téměř žádné formální školení v čisté matematice , významně přispěl k matematické analýze , teorii čísel , nekonečným řadám a zlomkům , včetně řešení matematických problémů, které byly tehdy považovány za neřešitelné.

Ramanujan zpočátku rozvíjel svůj vlastní matematický výzkum v izolaci. Podle Hanse Eysencka se „pokoušel o svou práci zaujmout přední profesionální matematiky, ale z větší části selhal. To, co jim musel ukázat, bylo příliš nové, příliš neznámé a navíc prezentované neobvyklými způsoby; nemohli být obtěžováni“. ^[4] Hledal matematiky, kteří by mohli lépe porozumět jeho práci, v roce 1913 zahájil poštovní korespondenci s anglickým matematikem GH Hardym na University of Cambridge v Anglii. Hardy rozpoznal Ramanujanovu práci jako mimořádnou a zařídil mu cestu do Cambridge. Hardy ve svých poznámkách poznamenal, že Ramanujan vytvořil nové průkopnické teorémy , včetně některých, které mě „úplně porazily; nikdy předtím jsem neviděl nic, co by se jim alespoň podobalo“, ^[5] a některé nedávno prokázané, ale vysoce pokročilé výsledky.

Během svého krátkého života Ramanujan nezávisle sestavil téměř 3 900 výsledků (většinou identit a rovnic ). ^[6] Mnohé z nich byly zcela nové; jeho originální a velmi nekonvenční výsledky, jako je Ramanujanovo prvočíslo , Ramanujanova funkce theta , rozdělovací vzorce a falešné funkce theta , otevřely zcela nové oblasti práce a inspirovaly další výzkum. ^[7] Z jeho tisíců výsledků se většina ukázala jako správná. ^[8] Ramanujan Journal , vědecký časopis , byl založen, aby publikoval práce ve všech oblastech matematiky ovlivněné Ramanujanem, ^[9] a jeho zápisníky – obsahující shrnutí jeho publikovaných i nepublikovaných výsledků – byly analyzovány a studovány po celá desetiletí od jeho smrti jako zdroj nových matematických nápadů. Ještě v roce 2012 výzkumníci pokračovali v objevování, že pouhé komentáře v jeho spisech o „jednoduchých vlastnostech“ a „podobných výstupech“ pro určitá zjištění byly samy o sobě hlubokými a jemnými výsledky teorie čísel, které zůstaly netušené až téměř století po jeho smrti. ^{[10] [11]} Stal se jedním z nejmladších členů Královské společnosti a teprve druhým indickým členem a prvním Indem, který byl zvolen členem Trinity College v Cambridge .

V roce 1919 si špatné zdraví – nyní se předpokládá, že šlo o jaterní amébózu (komplikace z epizod úplavice před mnoha lety) – přimělo Ramanujanův návrat do Indie, kde zemřel v roce 1920 ve věku 32 let. Jeho poslední dopisy Hardymu, napsané v lednu 1920, ukazují, že stále pokračuje ve vytváření nových maoremmatických myšlenek. Jeho „ ztracený zápisník “, obsahující objevy z posledního roku jeho života, vyvolal mezi matematiky velké vzrušení, když byl v roce 1976 znovu objeven.

Ramanujan (doslova „mladší bratr Rámy “, hinduistické božstvo) ^[12] se narodil 22. prosince 1887 do tamilské rodiny Brahmin Iyengar v Erode , v dnešním Tamil Nadu . ^[13] Jeho otec, Kuppuswamy Srinivasa Iyengar, původem z okresu Thanjavur , pracoval jako úředník v obchodě sárí . ^{[14] [2]} Jeho matka, Komalatammal, byla ženou v domácnosti a zpívala v místním chrámu. ^[15] Žili v malém tradičním domě na ulici Sarangapani Sannidhi ve městě Kumbakonam . ^[16] Z rodinného domu je nyní muzeum. Když byl Ramanujanovi rok a půl, jeho matka porodila syna Sadagopana, který o necelé tři měsíce později zemřel. V prosinci 1889 se Ramanujan nakazil pravými neštovicemi , ale uzdravil se, na rozdíl od 4 000 dalších, kteří v této době zemřeli ve špatném roce v okrese Thanjavur. Přestěhoval se se svou matkou do domu jejích rodičů v Kanchipuram , poblíž Madras (nyní Chennai ). Jeho matka porodila další dvě děti, v roce 1891 a 1894, z nichž obě zemřely před svými prvními narozeninami. ^[12]

Dne 1. října 1892 byl Ramanujan zapsán do místní školy. ^[17] Poté, co jeho dědeček z matčiny strany přišel o práci soudního úředníka v Kanchipuramu, ^[18] Ramanujan a jeho matka se přestěhovali zpět do Kumbakonamu a byl zapsán do základní školy Kangayan. ^[19] Když jeho dědeček z otcovy strany zemřel, byl poslán zpět ke svým prarodičům z matčiny strany, kteří tehdy žili v Madrasu. Škola v Madrasu se mu nelíbila a snažil se jí vyhýbat. Jeho rodina najala místního strážníka, aby se ujistil, že chodí do školy. Během šesti měsíců byl Ramanujan zpět v Kumbakonamu. ^[19]

Jelikož byl Ramanujanův otec většinu dne v práci, o chlapce se starala jeho matka a měli spolu blízký vztah. Od ní se naučil o tradicích a puránách , zpíval náboženské písně, navštěvoval púdžy v chrámu a zachovával zvláštní stravovací návyky – to vše je součástí bráhmanské kultury. ^[20] Na základní škole Kangayan si Ramanujan vedl dobře. Těsně před dosažením 10 let, v listopadu 1897, složil základní zkoušky z angličtiny, tamilštiny , zeměpisu a aritmetiky s nejlepšími výsledky v okrese. ^[21] Toho roku Ramanujan vstoupil do Town Higher Secondary School , kde se poprvé setkal s formální matematikou. ^[21]

Jako zázračné dítě ve věku 11 let vyčerpal matematické znalosti dvou vysokoškoláků, kteří byli nocležníci v jeho domě. Později mu byla zapůjčena kniha o pokročilé trigonometrii, kterou napsal SL Loney . ^{[22] [23]} Zvládl to ve věku 13 let, zatímco sám objevoval sofistikované teorémy. Ve 14 letech obdržel záslužné certifikáty a akademická ocenění, která pokračovala po celou dobu jeho školní kariéry, a pomáhal škole v logistice přidělení jejích 1200 studentů (každý s odlišnými potřebami) k jejím přibližně 35 učitelům. ^[24] Dokončil matematické zkoušky za polovinu stanoveného času a ukázal obeznámenost s geometrií a nekonečnými řadami . Ramanujanovi bylo ukázáno, jak řešit kubické rovnice v roce 1902. Později vyvinul svou vlastní metodu řešení kvart . V roce 1903 se pokusil vyřešit kvintiku , aniž by věděl, že je nemožné vyřešit s radikály. ^[25]

V roce 1903, když mu bylo 16, získal Ramanujan od přítele výtisk z knihovny Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics , sbírka 5 000 teorémů GS Carra . ^{[26] [27]} Ramanujan údajně podrobně prostudoval obsah knihy. ^[28] Příští rok Ramanujan nezávisle vyvinul a prozkoumal Bernoulliho čísla a vypočítal Euler-Mascheroniho konstantu až na 15 desetinných míst. ^[29] Jeho vrstevníci v té době říkali, že mu „zřídka rozuměli“ a „stáli před ním v uctivé hrůze“. ^[24]

Když Ramanujan v roce 1904 promoval na městské vyšší střední škole, ředitel školy Krishnaswami Iyer získal cenu K. Ranganatha Rao za matematiku. Iyer představil Ramanujana jako vynikajícího studenta, který si zasloužil skóre vyšší než maximum. ^[30] Získal stipendium ke studiu na Government Arts College, Kumbakonam [ ^{31] [32],} ale byl tak zaujatý matematikou, že se nemohl soustředit na žádné jiné předměty a ve většině z nich propadl, přičemž o stipendium v ​​procesu přišel. ^[33] V srpnu 1905 Ramanujan utekl z domova směrem k Visakhapatnamu a zůstal v Rajahmundry ^[34] asi měsíc. ^[33] Později se zapsal na Pachaiyappa's College v Madrasu. Tam prošel v matematice, rozhodl se pouze pokusit se o otázky, které se mu líbily, a zbytek nechal nezodpovězený, ale v jiných předmětech, jako je angličtina, fyziologie a sanskrt, si vedl špatně. ^[35] Ramanujan neuspěl u zkoušky Fellow of Arts v prosinci 1906 a znovu o rok později. Bez titulu FA opustil vysokou školu a pokračoval v nezávislém výzkumu v matematice, žil v extrémní chudobě a často na pokraji hladu. ^[36]

V 1910, po setkání mezi 23-rok-starý Ramanujan a zakladatel indické matematické společnosti , V. Ramaswamy Aiyer , Ramanujan začal získat uznání v Madrasových matematických kruzích, vést k jeho zařazení jako výzkumník na univerzitě Madras . ^[37]

Dne 14. července 1909 se Ramanujan oženil s Janaki (Janakiammal; 21. března 1899 – 13. dubna 1994), ^[38] dívkou, kterou mu jeho matka vybrala o rok dříve a které bylo deset let, když se vzali. ^{[39] [40] [41]} Tehdy nebylo nic neobvyklého, že sňatky byly sjednávány s dívkami v mladém věku. Janaki pocházel z Rajendramu, vesnice poblíž železniční stanice Marudur ( okres Karur ). Ramanujanův otec se svatebního obřadu nezúčastnil. ^[42] Jak bylo v té době běžné, Janaki zůstala ve svém mateřském domě tři roky po svatbě, dokud nedosáhla puberty. V roce 1912 se ona a Ramanujanova matka připojily k Ramanujanovi v Madrasu. ^[43]

Po svatbě se u Ramanujana vyvinula hydrokéla varlata . ^[44] Stav by se dal léčit běžnou chirurgickou operací, která by uvolnila zablokovanou tekutinu v šourku, ale jeho rodina si operaci nemohla dovolit. V lednu 1910 se lékař dobrovolně přihlásil k bezplatné operaci. ^[45]

Po úspěšné operaci si Ramanujan hledal práci. Zůstal v domě přítele, zatímco chodil od dveří ke dveřím kolem Madrasu a hledal úřednické místo. Aby vydělal peníze, doučoval studenty na Presidency College, kteří se připravovali na zkoušku Fellow of Arts. ^[46]

Koncem roku 1910 byl Ramanujan znovu nemocný. Bál se o své zdraví a řekl svému příteli R. Radakrishna Iyerovi, aby „předal [jeho zápisníky] profesoru Singaravelu Mudaliarovi [profesorovi matematiky na Pachaiyappa's College] nebo britskému profesoru Edwardu B. Rossovi z Madras Christian College “. ^[47] Poté, co se Ramanujan vzpamatoval a získal své sešity z Iyeru, odjel vlakem z Kumbakonamu do Villupuramu , města pod francouzskou kontrolou. ^{[48] ​​[49]} V roce 1912 se Ramanujan přestěhoval se svou ženou a matkou do domu v ulici Saiva Muthaiah Mudali, George Town , Madras , kde žili několik měsíců. ^[50] V květnu 1913, po zajištění výzkumné pozice na univerzitě v Madrasu, se Ramanujan přestěhoval se svou rodinou do Triplicane . ^[51]

V roce 1910 se Ramanujan setkal se zástupcem sběratele V. Ramaswamy Aiyerem , který založil Indickou matematickou společnost. ^[52] S přáním práce na oddělení příjmů, kde Aiyer pracoval, mu Ramanujan ukázal své matematické sešity. Jak Aiyer později vzpomínal:

Byl jsem ohromen mimořádnými matematickými výsledky obsaženými v [sešitech]. Neměl jsem v úmyslu udusit jeho génia schůzkou na nejnižších příčkách oddělení příjmů. ^[53]

Aiyer poslal Ramanujana s úvodními dopisy svým přátelům matematikům do Madrasu. ^[52] Někteří z nich se podívali na jeho práci a dali mu úvodní dopisy R. Ramachandrovi Raovi , okresnímu sběrateli pro Nellore a tajemníkovi Indické matematické společnosti. ^{[54] [55] [56]} Ramanujanův výzkum na Raa zapůsobil, ale pochyboval, že jde o jeho vlastní práci. Ramanujan zmínil korespondenci, kterou měl s profesorem Saldhanou, významným bombajským matematikem, ve které Saldhana vyjádřil nepochopení jeho práce, ale dospěl k závěru, že nebyl podvodník. ^[57] Ramanujanův přítel CV Rajagopalachari se pokusil potlačit Raovy pochybnosti o Ramanujanově akademické integritě. Rao souhlasil, že mu dá další šanci, a poslouchal, jak Ramanujan diskutoval o eliptických integrálech , hypergeometrických řadách a jeho teorii divergentních řad , o kterých Rao řekl, že ho nakonec přesvědčily o Ramanujanově brilantnosti. ^[57] Když se ho Rao zeptal, co chce, Ramanujan odpověděl, že potřebuje práci a finanční podporu. Rao souhlasil a poslal ho do Madrasu. Pokračoval ve svém výzkumu s Raovou finanční pomocí. S Aiyerovou pomocí nechal Ramanujan svou práci publikovat v Journal of the Indian Mathematical Society. ^[58]

Jedním z prvních problémů, které položil v časopise ^[30], bylo najít hodnotu:

${\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}$

Čekal na nabídnuté řešení ve třech vydáních, více než šest měsíců, ale žádné nedostal. Nakonec Ramanujan dodal neúplné ^[59] řešení problému sám. Na stránce 105 svého prvního zápisníku formuloval rovnici, kterou by bylo možné použít k řešení problému nekonečně vnořených radikálů .

${\displaystyle x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\cdots }}}}}}}}$

Pomocí této rovnice byla odpověď na otázku položenou v časopise jednoduše 3, získaná nastavením x = 2 , n = 1 a a = 0 . ^[60] Ramanujan napsal svůj první formální článek pro Journal o vlastnostech Bernoulliho čísel . Jednou vlastností, kterou objevil, bylo, že jmenovatelé zlomků Bernoulliho čísel (sekvence A027642 v OEIS ) jsou vždy dělitelné šesti. Vymyslel také metodu výpočtu B _n na základě předchozích Bernoulliho čísel. Jedna z těchto metod je následující:

Bude pozorováno, že pokud je n sudé, ale ne rovno nule,

1. B _n je zlomek a čitatel ⁠B _n/nv nejnižším vyjádření je prvočíslo,
2. jmenovatel B _n obsahuje každý z faktorů 2 a 3 jednou a pouze jednou,
3. 2 ⁿ (2 ⁿ − 1) ⁠B _n/n⁠ je celé číslo a 2(2 ⁿ − 1) B _n je tedy celé liché číslo.

Ve svém 17stránkovém článku „Některé vlastnosti Bernoulliho čísel“ (1911) Ramanujan podal tři důkazy, dva důsledky a tři domněnky. ^[61] Jeho psaní mělo zpočátku mnoho nedostatků. Jak poznamenal redaktor časopisu MT Narayana Iyengar:

Metody pana Ramanujana byly tak stručné a neotřelé a jeho prezentace tak postrádala jasnost a přesnost, že ho běžný [matematický čtenář], nezvyklý na takovou intelektuální gymnastiku, mohl jen stěží sledovat. ^[62]

Ramanujan později napsal další článek a také pokračoval v poskytování problémů v časopise . ^[63] Počátkem roku 1912 získal dočasnou práci v kanceláři hlavního účetního v Madrasu s měsíčním platem 20 rupií. Vydržel jen pár týdnů. ^[64] Ke konci tohoto úkolu požádal o místo hlavního účetního Madras Port Trust .

V dopise ze dne 9. února 1912 Ramanujan napsal:

Pane,
 vyrozuměl jsem, že ve vaší kanceláři je volné místo a žádám o totéž. Složil jsem imatrikulační zkoušku a studoval jsem až na FA, ale v dalším studiu mi bylo znemožněno několik nepříznivých okolností. Veškerý svůj čas jsem však věnoval matematice a rozvíjení tohoto předmětu. Mohu říci, že jsem si docela jistý, že pokud budu jmenován do této funkce, mohu svou práci splnit. Proto vás žádám, abyste byl dost dobrý a svěřil mi schůzku. ^[65]

K jeho žádosti bylo připojeno doporučení od EW Middlemast , profesora matematiky na Presidency College , který napsal, že Ramanujan byl „mladý muž se zcela výjimečnými schopnostmi v matematice“. ^[66] Tři týdny po podání přihlášky, 1. března, se Ramanujan dozvěděl, že byl přijat jako účetní třídy III, IV. třídy, vydělávající 30 rupií měsíčně. ^[67] Ve své kanceláři Ramanujan snadno a rychle dokončil práci, kterou dostal, a svůj volný čas trávil matematickým výzkumem. Ramanujanův šéf, Sir Francis Spring a S. Narayana Iyer, kolega, který byl také pokladníkem Indické matematické společnosti, povzbuzovali Ramanujana v jeho matematických snahách. ^[68]

Na jaře roku 1913 se Narayana Iyer, Ramachandra Rao a EW Middlemast pokusili představit Ramanujanovu práci britským matematikům. MJM Hill z University College London poznamenal, že Ramanujanovy papíry byly plné děr. ^[69] Řekl, že ačkoli Ramanujan měl „chuť pro matematiku a určité schopnosti“, postrádal potřebné vzdělání a základy, aby byl akceptován matematiky. ^[70] Ačkoli Hill nenabídl, že by Ramanujana vzal jako studenta, poskytl důkladné a vážné odborné rady ohledně své práce. S pomocí přátel, Ramanujan koncipoval dopisy předním matematikům na Cambridgeské univerzitě. ^[71]

První dva profesoři, HF Baker a EW Hobson , vrátili Ramanujanovy papíry bez komentáře. ^[72] Dne 16. ledna 1913 napsal Ramanujan GH Hardymu , kterého znal ze studia Orders of Infinity (1910). ^{[73] [74]} Hardy, který pochází od neznámého matematika, přimělo Hardyho zpočátku považovat Ramanujanovy rukopisy za možný podvod. ^[75] Hardy rozpoznal některé z Ramanujanových vzorců, ale jiným „se zdálo stěží možné uvěřit“. ^{[76] : 494} Jedna z vět, které Hardy považoval za úžasnou, byla na konci třetí strany (platí pro 0 < a < b + ⁠1/2) :

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+1)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}}}\times {\frac {1+{\dfrac {1+2} frac {x+^{^{2} {x^{2}}{(a+1)^{2}}}}}\times \cdots \,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\times {\frac {\Gamma \left(a+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma (b+1)\Gamma}{b \left(b+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(b-a+{\frac {1}{2}}\right)}}.}$

Hardy byl také ohromen některými dalšími Ramanujanovými díly týkajícími se nekonečných sérií:

${\displaystyle 1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right)^{3}-13\left({\frac {1\times 3\times 5}={2\times cdots}\right}\+}frame) {2}{\pi }}}$

${\displaystyle 1+9\left({\frac {1}{4}}\right)^{4}+17\left({\frac {1\times 5}{4\times 8}}\right)^{4}+25\left({\frac {1\times 5\times 9{}{4\times)\cdo\ts^s ={\frac {2{\sqrt {2}}}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}.}$

První výsledek již určil G. Bauer v roce 1859. Druhý byl pro Hardyho novinkou a byl odvozen od třídy funkcí nazývaných hypergeometrické řady , které jako první zkoumali Euler a Gauss. Hardy zjistil, že tyto výsledky jsou "mnohem zajímavější" než Gaussova práce o integrálech. ^[77] Poté, co Hardy viděl Ramanujanovy teorémy o pokračovacích zlomcích na poslední stránce rukopisů, řekl, že mě tyto teorémy „úplně porazily; nikdy předtím jsem neviděl nic, co by se jim v nejmenším podobalo“, ^[78] a že „musí být pravdivé, protože kdyby nebyly pravdivé, nikdo by neměl představivost, aby je vymyslel“. ^[78] Hardy požádal kolegu JE Littlewooda , aby se podíval na noviny. Littlewood byl ohromen Ramanujanovou genialitou. Po diskuzi o papírech s Littlewoodem Hardy dospěl k závěru, že dopisy byly „určitě ty nejpozoruhodnější, co jsem dostal“ a že Ramanujan byl „matematik nejvyšší kvality, muž zcela výjimečné originality a síly“. ^{[76] : 494–495} Jeden kolega, EH Neville , později poznamenal, že „Nikdo, kdo byl v té době v matematických kruzích v Cambridge, nemůže zapomenout na senzaci způsobenou tímto dopisem... ani jedna [teorém] nemohla být stanovena v nejpokročilejší matematické zkoušce na světě“. ^[63]

Dne 8. února 1913 Hardy napsal Ramanujanovi dopis, v němž vyjádřil zájem o jeho práci, a dodal, že „je nezbytné, abych viděl důkazy některých vašich tvrzení“. ^[79] Než jeho dopis dorazil do Madrasu během třetího únorového týdne, Hardy kontaktoval indický úřad, aby naplánoval Ramanujanovu cestu do Cambridge. Tajemník Arthur Davies z Poradního výboru pro indické studenty se setkal s Ramanujanem, aby projednali zámořskou cestu. ^[80] V souladu se svou bráhmanskou výchovou odmítl Ramanujan opustit svou zemi, aby „ odjel do cizí země “, a jeho rodiče byli také ze stejného důvodu proti. ^[81] Mezitím poslal Hardymu dopis plný teorémů, ve kterém napsal: "Našel jsem v tobě přítele, který na mou práci pohlíží soucitně." ^[82]

Jako doplněk Hardyho souhlasu se Gilbert Walker , bývalý přednášející matematiky na Trinity College v Cambridge , podíval na Ramanujanovu práci a vyjádřil úžas a vyzval mladého muže, aby strávil čas v Cambridge. ^[83] Na základě Walkerova souhlasu pozval B. Hanumantha Rao, profesor matematiky na technické fakultě, Ramanujanova kolegu Narayana Iyera na schůzi Rady pro studium matematiky, aby prodiskutovali „co můžeme udělat pro S. Ramanujana“. ^[84] Představenstvo souhlasilo s udělením měsíčního výzkumného stipendia Ramanujanovi ve výši 75 rupií na příští dva roky na University of Madras . ^[85]

Zatímco byl zaměstnán jako student výzkumu, Ramanujan pokračoval v předkládání článků do Journal of the Indian Mathematical Society. V jednom případě Iyer předložil některé z Ramanujanových teorémů o sčítání řad do časopisu a dodal: "Následující teorém je zásluhou S. Ramanujana, studenta matematiky na Madras University." Později v listopadu britský profesor Edward B. Ross z Madras Christian College , se kterým se Ramanujan setkal před několika lety, jednoho dne vtrhl do jeho třídy se zářícíma očima a zeptal se svých studentů: "Umí Ramanujan polsky?" Důvodem bylo, že v jednom článku Ramanujan předvídal práci polského matematika, jehož papír právě dorazil denní poštou. ^[86] Ve svých čtvrtletních článcích Ramanujan vypracoval věty, aby byly určité integrály snadněji řešitelné. Ramanujan vycházel z integrální věty Giuliana Frullaniho z roku 1821 a formuloval zobecnění, která by mohla být použita k vyhodnocení dříve nepoddajných integrálů. ^[87]

Hardyho korespondence s Ramanujanem se zhoršila poté, co Ramanujan odmítl přijet do Anglie. Hardy pověřil kolegu, který přednášel v Madrasu, EH Nevilla, aby byl mentorem a přivedl Ramanujana do Anglie. ^[88] Neville se zeptal Ramanujana, proč by nejel do Cambridge. Ramanujan nyní zřejmě návrh přijal; Neville řekl: „Ramanujan nepotřeboval konvertovat“ a „odpor jeho rodičů byl stažen“. ^[63] Ramanujanova matka měla zjevně živý sen, ve kterém byl Ramanujan obklopen Evropany a rodinná bohyně, božstvo Namagiri , jí přikázalo, „aby už nestála mezi svým synem a naplněním jeho životního účelu“. ^[63] Dne 17. března 1914 odcestoval Ramanujan lodí do Anglie, ^[89] zanechal manželku, aby zůstala s rodiči v Indii. ^[90]

Ramanujan odletěl z Madrasu na palubě SS Nevasa 17. března 1914. ^{[91] [92]} Když se 14. dubna vylodil v Londýně, Neville na něj čekal s autem. O čtyři dny později ho Neville vzal do svého domu na Chesterton Road v Cambridge. Ramanujan okamžitě zahájil svou práci s Littlewoodem a Hardym. Po šesti týdnech se Ramanujan odstěhoval z Nevillova domu a usadil se na Whewell's Court, pět minut chůze od Hardyho pokoje. ^[93]

Hardy a Littlewood si začali prohlížet Ramanujanovy sešity. Hardy už v prvních dvou dopisech dostal od Ramanujana 120 vět, ale v sešitech bylo mnohem více výsledků a vět. Hardy viděl, že některé se mýlily, jiné už byly objeveny a zbytek byly nové objevy. ^[94] Ramanujan zanechal hluboký dojem na Hardyho a Littlewooda. Littlewood poznamenal: "Mohu uvěřit, že je to přinejmenším Jacobi ", ^[95] zatímco Hardy řekl, že "ho může srovnávat pouze s Eulerem nebo Jacobim." ^[96]

Ramanujan strávil téměř pět let v Cambridge ve spolupráci s Hardym a Littlewoodem a publikoval zde část svých zjištění. Hardy a Ramanujan měli velmi kontrastní povahy. Jejich spolupráce byla střetem různých kultur, přesvědčení a pracovních stylů. V několika předchozích desetiletích byly základy matematiky zpochybněny a byla uznána potřeba matematicky přesných důkazů. Hardy byl ateista a apoštol důkazů a matematické přísnosti, zatímco Ramanujan byl hluboce věřící muž, který se velmi silně spoléhal na svou intuici a vhledy. Hardy se ze všech sil snažil zaplnit mezery v Ramanujanově vzdělání a poučit ho o potřebě formálních důkazů na podporu jeho výsledků, aniž by bránil jeho inspiraci – konflikt, který ani jeden nebyl snadný.

Ramanujanovi byl v březnu 1916 udělen titul Bachelor of Arts na základě stupně výzkumu ^{[97] [98]} (předchůdce titulu PhD) za svou práci na vysoce složených číslech , jejichž části první části byly publikovány předchozí rok v časopise Proceedings of the London Mathematical Society . Příspěvek měl více než 50 stran a prokázal různé vlastnosti takových čísel. Hardymu se tato oblast nelíbila, ale poznamenal, že ačkoli se zabývala tím, co nazýval „zapadákovem matematiky“, Ramanujan v ní projevil „mimořádné mistrovství nad algebrou nerovností“. ^[99]

Dne 6. prosince 1917 byl Ramanujan zvolen do London Mathematical Society. Dne 2. května 1918 byl zvolen členem Královské společnosti , ^[100] druhý přijatý Ind, po Ardaseer Cursetjee v roce 1841. Ve věku 31 let byl Ramanujan jedním z nejmladších členů v historii Královské společnosti. Byl zvolen „pro své zkoumání eliptických funkcí a Teorie čísel“. 13. října 1918 byl jako první Ind zvolen členem Trinity College v Cambridge . ^[101]

Ramanujan měl po celý život četné zdravotní problémy. Jeho zdraví se zhoršilo v Anglii; možná byl také méně odolný kvůli potížím s dodržováním přísných dietních požadavků svého tamního náboženství a kvůli válečnému přídělovému systému v letech 1914–18 . Byla mu diagnostikována tuberkulóza a vážný nedostatek vitamínů a byl uvězněn v sanatoriu . Koncem roku 1917 nebo začátkem roku 1918 se pokusil o sebevraždu skokem na koleje londýnské stanice metra. Scotland Yard ho zatkl za pokus o sebevraždu (což byl zločin), ale poté, co Hardy zasáhl, ho propustil. ^{[102] [103]} V roce 1919 se Ramanujan vrátil do Kumbakonamu , prezidentství Madras , kde zemřel v roce 1920 ve věku 32 let. Po jeho smrti jeho bratr Tirunarayanan sestavil zbývající Ramanujanovy ručně psané poznámky, sestávající ze vzorců na singulárních modulech, hypergeometrických řadách a pokračování ^[43] Ve svých posledních dnech, i když v hrozných bolestech, „pokračoval v matematice a plnil list po listu čísly“, vypráví Janaki Ammal. ^[104]

Ramanujanova vdova, Smt. Janaki Ammal se přestěhoval do Bombaje . V roce 1931 se vrátila do Madrasu a usadila se v Triplicane , kde se živila důchodem z Madrasské univerzity a příjmem z krejčovství. V roce 1950 adoptovala syna W. Narayanana, který se nakonec stal důstojníkem Státní banky Indie a založil rodinu. V pozdějších letech jí byl přiznán doživotní důchod od Ramanujanova bývalého zaměstnavatele, Madras Port Trust, a penze mimo jiné od Indické národní vědecké akademie a státních vlád Tamil Nadu , Andhra Pradesh a Západního Bengálska . Pokračovala v péči o Ramanujanovu památku a byla aktivní ve snaze zvýšit jeho veřejné uznání; prominentní matematici, včetně George Andrewse, Bruce C. Berndta a Bély Bollobáse, si dali záležet na její návštěvě v Indii. Zemřela ve svém sídle v Triplicane v roce 1994. ^{[42] [43]}

Analýza Ramanujanových lékařských záznamů a symptomů z roku 1994 provedená DAB Youngem ^[103] dospěla k závěru, že jeho zdravotní symptomy – včetně jeho minulých relapsů, horeček a jaterních onemocnění – byly mnohem blíže těm, které vyplývají z jaterní amébózy , nemoci tehdy rozšířené v Madrasu, než tuberkulózy. Před odjezdem z Indie měl dvě epizody úplavice . Pokud není amébová úplavice řádně léčena, může ležet v nečinnosti po léta a vést k jaterní amébiáze, jejíž diagnóza tehdy nebyla dobře stanovena. ^[105] V té době, pokud byla správně diagnostikována, byla amébóza léčitelná a často vyléčitelná nemoc; ^{[105] [106]} Britští vojáci, kteří se jí nakazili během první světové války, byli úspěšně vyléčeni z amébózy v době, kdy Ramanujan opustil Anglii. ^[107]

Ramanujan byl popsán jako osoba poněkud plaché a tiché povahy, důstojný muž s příjemnými způsoby. ^[109] V Cambridge žil jednoduchým životem. ^[110] Ramanujanovi první indičtí životopisci jej popisují jako přísně ortodoxního hinduistu . Svou bystrost připsal své rodinné bohyni Namagiri Thayar (bohyně Mahalakshmi ) z Namakkalu . Hledal u ní inspiraci ve své práci ^[111] a řekl, že snil o kapkách krve, které symbolizovaly její manželku Narasimhu . Později se mu před očima odvíjely vize svitků složitého matematického obsahu. ^[112] Často říkal: "Rovnice pro mě nemá žádný význam, pokud nevyjadřuje myšlenku Boha." ^[113]

Hardy cituje Ramanujana jako poznámku, že všechna náboženství se mu zdála stejně pravdivá. ^[114] Hardy dále tvrdil, že Ramanujanovu náboženskou víru romantizovali lidé ze Západu a přeháněli ji – ve vztahu k jeho víře, nikoli praxi – indickými životopisci. Zároveň poznamenal Ramanujanovo přísné vegetariánství . ^[115]

Podobně v rozhovoru pro Frontline Berndt řekl: "Mnoho lidí falešně propaguje mystické síly Ramanujanovu matematickému myšlení. Není to pravda. Pečlivě zaznamenal každý výsledek do svých tří poznámkových bloků," dále spekuloval, že Ramanujan vypracoval průběžné výsledky na břidlice, které si nemohl dovolit, aby papír zaznamenával trvaleji. ^[8]

Berndt uvedl, že Janaki v roce 1984 řekl, že Ramanujan trávil tolik času matematikou, že nechodil do chrámu, že ho ona a její matka často krmili, protože neměl čas jíst, a že většina náboženských příběhů, které se mu připisují, pochází od jiných. O jeho ortopraxii však nebylo pochyb. ^[116]

V matematice se rozlišuje mezi vhledem a formulováním nebo zpracováním důkazu. Ramanujan navrhl množství vzorců, které by mohly být prozkoumány později do hloubky. G. H. Hardy řekl, že Ramanujanovy objevy jsou neobyčejně bohaté a že je v nich často více, než se zpočátku zdá. Jako vedlejší produkt jeho práce se otevřely nové směry výzkumu. Příklady nejzajímavějších z těchto vzorců zahrnují nekonečné řady pro π , z nichž jedna je uvedena níže:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396.^}4k}$

Tento výsledek je založen na záporném základním diskriminantu d = −4 × 58 = −232 s číslem třídy h ( d ) = 2 . Dále 26390 = 5 × 7 × 13 × 58 a 16 × 9801 = 396 ² , což souvisí se skutečností, že

${\textstyle e^{\pi {\sqrt {58}}}=396^{4}-104.000000177\tečky .}$

To by se dalo přirovnat k Heegnerovým číslům , která mají třídu číslo 1 a poskytují podobné vzorce.

Ramanujanovy řady pro π konvergují mimořádně rychle a tvoří základ některých nejrychlejších algoritmů používaných k výpočtu π . Zkrácení součtu na první člen také poskytne aproximaci ⁠9801 √ 2/4412⁠ pro π , které je správné na šest desetinných míst; zkrácením na první dva členy získá hodnotu správnou na 14 desetinných míst (viz také obecnější řadu Ramanujan–Sato ) .

Jednou z Ramanujanových pozoruhodných schopností bylo rychlé řešení problémů, ilustrované následující anekdotou o incidentu, ve kterém PC Mahalanobis představoval problém:

Představte si, že jste na ulici s domy označenými 1 až n . Mezi ( x ) je dům, takže součet čísel domů nalevo od něj se rovná součtu čísel domů napravo. Pokud je n mezi 50 a 500, jaké jsou n a x ?' Jedná se o dvourozměrný problém s více řešeními. Ramanujan se zamyslel a obratem odpověděl: Dal pokračující zlomek . Neobvyklé bylo, že to bylo řešení celé třídy problémů. Mahalanobis byl ohromen a zeptal se, jak to udělal. „Je to jednoduché. Ve chvíli, kdy jsem slyšel problém, věděl jsem, že odpověď je pokračující zlomek. Která část pokračovala, ptal jsem se sám sebe. Pak mě napadla odpověď, odpověděl Ramanujan." ^{[117] [118]}

Jeho intuice ho také vedla k odvození některých dříve neznámých identit , jako např

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}+\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}\\[6pt]={}&{\frac {2\Gamma ^{4}{\bigl (}{\frac {3}{4}}{\bigr )}}{\pi }}={\frac {8\pi ^{3}}{\Gamma ^{4}{\bigl (}{\frac {1}{4}}{\bigr )}}}\end{aligned}}}$

pro všechny θ takové, že a kde Γ( z ) je funkce gama a souvisí se speciální hodnotou funkce Dedekind eta . Rozšíření do sérií mocnin a srovnávání koeficientů θ ⁰ , θ ⁴ a θ ⁸ dává některé hluboké identity pro hyperbolický secant . ${\displaystyle |\Re (\theta )|<\pi }$${\displaystyle |\Im (\theta )|<\pi }$

V roce 1918 Hardy a Ramanujan rozsáhle studovali rozdělovací funkci P ( n ) . Dali nekonvergentní asymptotickou řadu, která umožňuje přesný výpočet počtu rozdělení celého čísla. V roce 1937 Hans Rademacher zdokonalil jejich vzorec, aby našel přesné řešení konvergentní řady tohoto problému. Ramanujanova a Hardyho práce v této oblasti dala vzniknout nové mocné metodě pro hledání asymptotických vzorců nazvanou kruhová metoda . ^[119]

V posledním roce svého života Ramanujan objevil falešné theta funkce . ^[120] Po mnoho let byly tyto funkce záhadou, ale nyní je známo, že jde o holomorfní části harmonických slabých Maassových forem .

Ačkoli existuje mnoho prohlášení, která mohla nést jméno Ramanujan domněnka, jeden byl velmi vlivný v pozdější práci. Zejména spojení této domněnky s domněnkami André Weila v algebraické geometrii otevřelo nové oblasti výzkumu. Tato Ramanujanova domněnka je tvrzením o velikosti tau-funkce , která má generující funkci jako diskriminační modulární forma Δ( q ), typická vrcholová forma v teorii modulárních forem . To bylo nakonec dokázáno v roce 1973 jako důsledek důkazu Pierre Deligne o Weilových dohadech . Uvedený redukční krok je komplikovaný. Deligne získal Fieldsovu medaili v roce 1978 za tuto práci. ^{[7] [121]}

Ramanujan ve svém článku „O jistých aritmetických funkcích“ definoval takzvanou delta-funkci, jejíž koeficienty se nazývají τ ( n ) ( Ramanujanova funkce tau ). ^[122] Pro tato čísla dokázal mnoho kongruencí, například τ ( p ) ≡ 1 + p ¹¹ mod 691 pro prvočísla p . Tato kongruence (a další podobné, které Ramanujan dokázal) inspirovala Jean-Pierre Serreho (1954 Fields Medalist) k domněnce, že existuje teorie Galoisových reprezentací, která „vysvětluje“ tyto kongruence a obecněji všechny modulární formy. Δ( z ) je prvním příkladem modulární formy, který byl tímto způsobem studován. Deligne (ve své práci oceněné Fields Medal) dokázal Serreovu domněnku. Důkaz Fermatovy poslední věty pokračuje nejprve reinterpretací eliptických křivek a modulárních forem z hlediska těchto Galoisových reprezentací. Bez této teorie by nebyl žádný důkaz Fermatovy poslední věty. ^[123]

Zatímco byl ještě v Madrasu, Ramanujan zaznamenal většinu svých výsledků do čtyř sešitů volného papíru. Většinou byly napsány bez jakýchkoli odvozenin. To je pravděpodobně původ nedorozumění, že Ramanujan nebyl schopen dokázat své výsledky a jednoduše si konečný výsledek přímo vymyslel. Matematik Bruce C. Berndt ve své recenzi těchto zápisníků a Ramanujanovy práce říká, že Ramanujan byl zcela jistě schopen dokázat většinu svých výsledků, ale rozhodl se nezaznamenat důkazy do svých poznámek.

To mohlo být z mnoha důvodů. Protože papír byl velmi drahý, udělal Ramanujan většinu své práce a možná i korektury na břidlici , načež převedl konečné výsledky na papír. V té době, břidlice byly běžně používané studenty matematiky v Madras presidentství . Bylo také dost pravděpodobné, že byl ovlivněn stylem knihy GS Carra , která uváděla výsledky bez důkazů. Je také možné, že Ramanujan považoval svou práci pouze za svůj osobní zájem, a proto zaznamenával pouze výsledky. ^[124]

První sešit má 351 stran s 16 poněkud uspořádanými kapitolami a nějakým neuspořádaným materiálem. Druhá má 256 stran ve 21 kapitolách a 100 neuspořádaných stranách a třetí 33 neuspořádaných stran. Výsledky v jeho sešitech inspirovaly četné články pozdějších matematiků, kteří se snažili dokázat, co našel. Hardy sám napsal články zkoumající materiál z Ramanujanovy práce, stejně jako GN Watson , BM Wilson a Bruce Berndt. ^[124]

V roce 1976 George Andrews znovu objevil čtvrtý zápisník s 87 neuspořádanými stránkami, takzvaný „ztracený zápisník“ . ^[105]

Číslo 1729 je známé jako Hardy-Ramanujan číslo po slavné návštěvě Hardyho, aby viděl Ramanujan v nemocnici. Hardyho slovy: ^[125]

Pamatuji si, jak jsem ho jednou navštívil, když byl nemocný v Putney . Jel jsem taxíkem číslo 1729 a poznamenal jsem, že to číslo mi připadá poněkud nudné a doufám, že to není nepříznivé znamení. "Ne," odpověděl, "je to velmi zajímavé číslo; je to nejmenší číslo vyjádřitelné jako součet dvou krychlí dvěma různými způsoby."

Bezprostředně před touto anekdotou Hardy citoval Littlewooda, jak řekl: "Každé kladné celé číslo bylo jedním z [Ramanujanových] osobních přátel." ^[126]

Tyto dva různé způsoby jsou:

${\displaystyle 1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}.}$

Zobecnění této myšlenky vytvořilo pojem „ čísla taxíků “.

Ve svém nekrologu Ramanujana, napsaném pro Nature v roce 1920, Hardy poznamenal, že Ramanujanova práce primárně zahrnovala oblasti méně známé dokonce i mezi jinými čistými matematiky, a uzavřel:

Jeho vhled do vzorců byl docela úžasný a zcela mimo vše, s čím jsem se setkal u jakéhokoli evropského matematika. Je možná zbytečné spekulovat o jeho historii, kdyby se s moderními myšlenkami a metodami seznámil v šestnácti místo v šestadvaceti. Není extravagantní předpokládat, že se mohl stát největším matematikem své doby. To, co ve skutečnosti udělal, je úžasné… až budou dokončeny výzkumy, které jeho práce navrhla, bude se to pravděpodobně zdát mnohem úžasnější než dnes. ^[76]

Hardy dále řekl: ^[128]

Spojil sílu zobecnění, cit pro formu a schopnost rychle modifikovat své hypotézy, které byly často opravdu zarážející, a učinil z něj ve své vlastní zvláštní oblasti ve své době soupeře. Omezení jeho znalostí byla stejně překvapivá jako jejich hloubka. Byl to muž, který dokázal vypracovat modulární rovnice a věty... k neslýchaným řádům, jehož zvládnutí spojitých zlomků bylo... lepší než u kteréhokoli matematika na světě, který pro sebe našel funkční rovnici funkce zeta a dominantní členy mnoha nejslavnějších problémů analytické teorie čísel; a přesto nikdy neslyšel o dvojitě periodické funkci nebo o Cauchyově větě a měl skutečně jen tu nejmlhavější představu o tom, co je funkce komplexní proměnné ...“

Jako příklad, Hardy komentoval 15 teorémů v prvním dopise. Z nich je prvních 13 správných a zasvěcených, 14. je nesprávné, ale prozíravé a 15. je správné, ale zavádějící.

(14): Koeficient in je celé číslo nejblíže k tomuto „byl jeden z nejplodnějších, jaké kdy udělal, protože skončil tím, že nás přivedl ke všem našim společným pracím na oddílech“. ^[129]${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle \left(1-2x+2x^{4}-2x^{9}+\cdots \right)^{-1}}$$${\displaystyle {\frac {1}{4n}}\left(\cosh(\pi {\sqrt {n}})-{\frac {\sinh(\pi {\sqrt {n}})}{\pi {\sqrt {n}}}}\right).}$$

Když byl dotázán na metody, které Ramanujan používal k tomu, aby dospěl ke svým řešením, Hardy řekl, že k nim „dospěl procesem smíšené argumentace, intuice a indukce, o nichž nebyl zcela schopen podat žádný koherentní výklad“. ^[130] Řekl také, že se „nikdy nesetkal se sobě rovným a může ho srovnávat pouze s Eulerem nebo Jacobim“. ^[130] Hardy si myslel, že Ramanujan pracoval ve stylu 19. století, kde bylo dospět ke správným vzorcům důležitější než systematické formální teorie. Hardy si myslel, že jeho úspěchy byly největší v algebře, zejména v hypergeometrických řadách a nekonečných zlomcích. ^[129]

Je možné, že velké dny formulí skončily a že se Ramanujan měl narodit před 100 lety; ale byl zdaleka největším formalistou své doby. Za posledních 50 let bylo mnoho důležitějších, a předpokládám, že je třeba říci větších, matematiků než Ramanujan, ale ne takového, který by se mu mohl postavit na jeho vlastní půdě. Při hře, jejíž pravidla znal, mohl dát každému matematikovi na světě patnáct. ^[129]

V analýze objevil méně nových věcí, možná proto, že postrádal formální vzdělání a nenašel knihy, ze kterých by se to mohl naučit, ale znovu objevil mnoho výsledků, včetně věty o prvočíslech . V analýze pracoval na eliptických funkcích a analytické teorii čísel. V analytické teorii čísel byl stejně nápaditý jako obvykle, ale hodně z toho, co si představoval, bylo špatné. Hardy to obviňoval z neodmyslitelné obtížnosti analytické teorie čísel, kde představivost svedla mnoho velkých matematiků na scestí. V analytické teorii čísel je rigorózní důkaz důležitější než představivost, opak Ramanujanova stylu. Jeho „jedno velké selhání“ je, že nevěděl „vůbec nic o teorii analytických funkcí “. ^[129]

Littlewood údajně řekl, že pomoci Ramanujanovi dohnat evropskou matematiku nad rámec toho, co bylo dostupné v Indii, bylo velmi obtížné, protože každý nový bod zmíněný Ramanujanovi způsobil, že vytvořil originální nápady, které zabránily Littlewoodovi pokračovat v lekci. ^[131]

K. Srinivasa Rao řekl: ^[132] "Pokud jde o jeho místo ve světě matematiky, citujeme Bruce C. Berndta: ' Paul Erdős nám předal Hardyho osobní hodnocení matematiků. Předpokládejme, že hodnotíme matematiky na základě čistého talentu na stupnici od 0 do 100, H. bert dal sám sobě skóre 3200. 80 a Ramanujan 100. “ Během přednášky v květnu 2011 na IIT Madras Berndt řekl, že za posledních 40 let, jak byly téměř všechny Ramanujanovy domněnky prokázány, došlo k většímu uznání Ramanujanovy práce a brilantnosti a že Ramanujanova moderní perthematická práce a fyzika byla nyní rozšířena o ^{[120] [133]}

Rok po jeho smrti Nature zařadila Ramanujana mezi další významné vědce a matematiky v „Kalendáři vědeckých průkopníků“, kteří dosáhli eminence. ^[134] Ramanujanův domovský stát Tamil Nadu slaví 22. prosinec (Ramanujanovy narozeniny) jako „Den státních IT“. Známky s vyobrazením Ramanujanu vydala indická vláda v letech 1962, 2011, 2012 a 2016. ^[135]

Od Ramanujanova stého výročí jsou jeho narozeniny, 22. prosince, každoročně oslavovány jako Ramanujan Day na Government Arts College, Kumbakonam , kde studoval, a na IIT Madras v Chennai . Mezinárodní centrum pro teoretickou fyziku (ICTP) vytvořilo Ramanujanovým jménem cenu pro mladé matematiky z rozvojových zemí ve spolupráci s Mezinárodní matematickou unií , která nominuje členy komise pro ceny. Univerzita SASTRA , soukromá univerzita se sídlem v Tamil Nadu , zavedla cenu SASTRA Ramanujan ve výši 10 000 USD , která se každoročně uděluje matematikovi nepřesahujícímu 32 let za mimořádné příspěvky v oblasti matematiky ovlivněné Ramanujanem. ^[136]

Na základě doporučení komise jmenované Univerzitní grantovou komisí (UGC), indickou vládou, bylo centrum Srinivasa Ramanujan, zřízené společností SASTRA, prohlášeno za centrum mimo kampus v rámci SASTRA University. Dům Ramanujan Mathematics, muzeum Ramanujanova života a díla, je také v tomto kampusu. SASTRA koupila a zrekonstruovala dům, kde Ramanujan žil v Kumabakonamu. ^[136]

V roce 2011, v den 125. výročí jeho narození, indická vláda prohlásila, že 22. prosinec bude každoročně oslavován jako Národní den matematiky . ^[137] Poté indický premiér Manmohan Singh také prohlásil, že rok 2012 bude oslavován jako národní rok matematiky a 22. prosinec jako národní den matematiky Indie. ^[138]

Ramanujan IT City je speciální ekonomická zóna informačních technologií (IT ) v Chennai , která byla postavena v roce 2011. Nachází se vedle parku Tidel a zahrnuje 25 akrů (10 ha) se dvěma zónami, s celkovou plochou 5,7 milionů čtverečních stop (530 000 m ² ), včetně 4,25 milionů kancelářských ploch 00 ^{m2 [139]}

Pamětní známky vydané společností India Post (podle roku):

• Muž, který miloval čísla je dokument PBS NOVA z roku 1988 o Ramanujanovi (S15, E9). ^[140]
• The Man Who Knew Infinity je film z roku 2015 založený na Kanigelově stejnojmenné knize .britský herec Dev Patel . ^{[141] [142] [143]}
• Ramanujan , indicko-britský film spolupráce zachycující Ramanujanův život, byl uveden v roce 2014 nezávislou filmovou společností Camphor Cinema . ^[144] Herci a štáb tvoří režisérka Gnana Rajasekaran , kameraman Sunny Joseph a střihač B. Lenin . ^{[145] [146]} V stěžejních rolích hrají indické a anglické hvězdy Abhinay Vaddi , Suhasini Maniratnam , Bhama , Kevin McGowan a Michael Lieber . ^[147]
• Nandan Kudhyadi režíroval indické dokumentární filmy The Genius of Srinivasa Ramanujan (2013) a Srinivasa Ramanujan: The Mathematician and His Legacy (2016) o matematikovi. ^[148]
• Ramanujan (The Man Who Reshaped 20th Century Mathematics) , indický dokumentární film režírovaný Akashdeepem vydaný v roce 2018. ^[149]
• Thriller román MN Krish The Steradian Trail vetkává Ramanujana a jeho náhodný objev do své zápletky spojující náboženství, matematiku, finance a ekonomii. ^{[150] [151]}
• Partition , hra Ira Hauptmana o Hardym a Ramanujanovi, byla poprvé uvedena v roce 2013. ^{[152] [153] [154] [155]}
• Hra First Class Man od Alter Ego Productions ^{[156] byla založena na} First Class Man od Davida Freemana . Hra se točí kolem Ramanujana a jeho složitého a nefunkčního vztahu s Hardym. Dne 16. října 2011 bylo oznámeno, že Roger Spottiswoode , nejlépe známý svým filmem o Jamesi Bondovi Zítřek nikdy neumírá , pracuje na filmové verzi se Siddharthem v hlavní roli . ^[157]
• Zmizelé číslo je britská divadelní produkce společnosti Complicite , která zkoumá vztah mezi Hardym a Ramanujanem. ^[158]
• Román Davida Leavitta The Indian Clerk zkoumá události po Ramanujanově dopise Hardymu. ^{[159] [160]}
• Google poctil Ramanujana k jeho 125. výročí narození tím, že na své domovské stránce nahradil své logo svátečním logem . ^{[161] [162]}
• Ramanujan byl zmíněn ve filmu Dobrý Will Hunting z roku 1997 ve scéně, kde profesor Gerald Lambeau ( Stellan Skarsgård ) vysvětluje Seanu Maguireovi ( Robin Williams ) génia Willa Huntinga ( Matt Damon ) tím, že ho přirovnává k Ramanujanovi. ^[163]

• George E. Andrews a Bruce C. Berndt , Ramanujan's Lost Notebook: Part I (Springer, 2005, ISBN 0-387-25529-X ) ^[164] 
• George E. Andrews a Bruce C. Berndt, Ramanujanův ztracený zápisník: část II , (Springer, 2008, ISBN 978-0-387-77765-8 ) 
• George E. Andrews a Bruce C. Berndt, Ramanujanův ztracený zápisník: část III , (Springer, 2012, ISBN 978-1-4614-3809-0 ) 
• George E. Andrews a Bruce C. Berndt, Ramanujanův ztracený zápisník: část IV , (Springer, 2013, ISBN 978-1-4614-4080-2 ) 
• George E. Andrews a Bruce C. Berndt, Ramanujanův ztracený zápisník: Část V , (Springer, 2018, ISBN 978-3-319-77832-7 ) 
• MP Chaudhary, Jednoduché řešení některých integrálů podaných Srinivasou Ramanujanem, (Resonance: J. Sci. Education – publikace Indian Academy of Science, 2008) ^[165]
• MP Chaudhary, Mock theta funguje k zesměšňování theta dohadů, SCIENTIA, Series A: Math. Sci., (22) (2012) 33–46.
• MP Chaudhary, O modulárních vztazích pro identity typu Roger-Ramanujan, Pacific J. Appl. Math., 7(3) (2016) 177–184.

• Biswas, Soutik (16. března 2006). „Film na oslavu matematického génia“ . BBC . Získáno 24. srpna 2006 .
• Celovečerní film o matematickém géniovi Ramanujanovi od Deva Benegala a Stephena Frye
• Rozhlasový pořad BBC o Ramanujanovi – epizoda 5
• Životopisná píseň o Ramanujanově životě
• "Proč tato matematická rovnice všechny tak rozzlobila?". Myšlenka2. 11. dubna 2022 . Staženo 29. června 2022 – přes YouTube.

• Srinivasa Ramanujan v projektu Matematika Genealogie
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Srinivasa Ramanujan", MacTutor Archiv historie matematiky , University of St Andrews
• Weisstein, Eric Wolfgang (ed.). "Ramanujan, Srinivasa (1887-1920)". ScienceWorld .
• Krátká biografie Ramanujan
• „Naše oddané místo pro velkého matematického génia“

• Wolfram, Stephen (27. dubna 2016). "Kdo byl Ramanujan?". Spisy Stephena Wolframa .
• Studijní skupina pro matematiku: Srinivasa Ramanujan Iyengar
• The Ramanujan Journal – Mezinárodní časopis věnovaný Ramanujanu
• Mezinárodní ceny matematické unie, včetně ceny Ramanujan
• Hindu.com: Norští a indičtí matematickí géniové, Ramanujan – Essays and Surveys Archived 6. listopadu 2012 na Wayback Machine , Ramanujanův rostoucí vliv, Ramanujanův mentor
• Hindu.com: Sponzor Ramanujan
• Bruce C. Berndt; Robert A. Rankin (2000). „Knihy studoval Ramanujan v Indii“ . Americký matematický měsíčník . 107 (7): 595– 601. doi : 10.2307/2589114. JSTOR  2589114. MR  1786233.
• "Ramanujanova falešná úloha theta funkce vyřešena"
• Ramanujanovy papíry a sešity
• Ukázková stránka z druhého sešitu
• Ramanujan na Fried Eye
• Clark, Alex. "163 a Ramanujan Constant" . Numberphile . Brady Haran . Archivováno z originálu 4. února 2018 . Staženo 23. června 2018 .