ستيني

الستيني ، المعروف أيضًا باسم القاعدة 60 أو السكسجيني ، ^[1] هو نظام عددي مكون من ستين أساسًا . نشأت مع السومريين القدماء في الألفية الثالثة قبل الميلاد ، وانتقلت إلى البابليين القدماء ، ولا تزال تستخدم - في شكل معدل - لقياس الوقت والزوايا والإحداثيات الجغرافية .

الرقم 60 ، وهو رقم مركب للغاية ، يحتوي على اثني عشر عاملاً ، وهي 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 و 10 و 12 و 15 و 20 و 30 و 60 ، منها 2 و 3 و 5 عدد أولي أرقام . مع وجود العديد من العوامل ، يتم تبسيط العديد من الكسور التي تتضمن أعدادًا ستينية. على سبيل المثال ، يمكن تقسيم ساعة واحدة بالتساوي إلى أقسام من 30 دقيقة و 20 دقيقة و 15 دقيقة و 12 دقيقة و 10 دقائق و 6 دقائق و 5 دقائق و 4 دقائق و 3 دقائق و 2 دقيقة ودقيقة واحدة. 60 هو أصغر رقم يقبل القسمة على كل رقم من 1 إلى 6 ؛ أي أنه المضاعف المشترك الأصغر لـ 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6.

في هذه المقالة ، يتم تمثيل جميع الأرقام الستينية كأرقام عشرية ، ما لم يُذكر خلاف ذلك. على سبيل المثال ، أكبر رقم ستيني هو "59".

الأصل

باستخدام الإبهام ، والإشارة إلى كل من عظام الأصابع الثلاثة في كل إصبع على التوالي ، يمكن للأشخاص الاعتماد على أصابعهم حتى 12 في يد واحدة. يعمل نظام العد التقليدي الذي لا يزال قيد الاستخدام في العديد من مناطق آسيا بهذه الطريقة ، ويمكن أن يساعد في تفسير حدوث أنظمة الأرقام على أساس 12 و 60 إلى جانب تلك التي تستند إلى 10 و 20 و 5. في هذا النظام ، يد الشخص الأخرى سيحسب عدد المرات التي تم الوصول فيها إلى 12 من يده الأولى. تعد الأصابع الخمسة خمس مجموعات من 12 أو ستين. ^{[2] [3]} ومع ذلك ، فإن النظام الجنسي البابلي كان مبنيًا على ست مجموعات من عشرة ، وليس خمس مجموعات من 12.

وفقًا لـ Otto Neugebauer ، فإن أصول الستيني ليست بسيطة أو متسقة أو مفردة في الوقت المناسب كما يتم تصويرها غالبًا. على مدار قرون عديدة من استخدامها ، والتي لا تزال مستمرة حتى يومنا هذا لموضوعات متخصصة مثل الوقت والزوايا وأنظمة الإحداثيات الفلكية ، احتوت الرموز الستينية دائمًا على تيار خفي قوي للتدوين العشري ، مثل كيفية كتابة الأرقام الستينية. لقد تضمن استخدامها دائمًا (ولا يزال يشمل) التناقضات في مكان وكيفية تمثيل القواعد المختلفة للأرقام حتى داخل نص واحد. ^[4]

الكتابة المسمارية المبكرة (الألفية الرابعة قبل الميلاد) والعلامات المسمارية للنظام الستيني (60 ، 600 ، 3600 ، إلخ.)

لطالما كان الدافع الأقوى للاستخدام الصارم والمتسق ذاتيًا للجزء الستيني هو المزايا الرياضية لكتابة الكسور وحسابها. يظهر هذا في النصوص القديمة في حقيقة أن الستيني يستخدم بشكل موحد ومتسق في جداول البيانات الرياضية. ^[4] هناك عامل عملي آخر ساعد في توسيع استخدام الستين في الماضي حتى لو كان أقل اتساقًا مما هو عليه في الجداول الرياضية ، وهو المزايا المحددة للتجار والمشترين لجعل المعاملات المالية اليومية أسهل عندما تنطوي على مساومة وتقسيم كميات أكبر من بضائع. كان الشيكل المبكر على وجه الخصوص واحدًا على ستين من مانا ، ^[4]على الرغم من أن الإغريق في وقت لاحق أجبروا هذه العلاقة على النسبة الأكثر توافقًا مع القاعدة 10 بحيث يكون الشيكل واحدًا على خمسين من الميناء .

بصرف النظر عن الجداول الرياضية ، امتدت التناقضات في كيفية تمثيل الأرقام في معظم النصوص وصولاً إلى أبسط الرموز المسمارية المستخدمة لتمثيل الكميات الرقمية. ^[4]على سبيل المثال ، كان الرمز المسماري للرقم 1 شكلًا بيضاويًا تم إنشاؤه من خلال تطبيق النهاية المستديرة للقلم بزاوية على الصلصال ، بينما كان الرمز الستيني للرقم 60 عبارة عن شكل بيضاوي أكبر أو "كبير 1". ولكن في نفس النصوص التي استخدمت فيها هذه الرموز ، تم تمثيل الرقم 10 كدائرة مكونة من خلال تطبيق النهاية الدائرية للنمط المتعامد على الصلصال ، وتم استخدام دائرة أكبر أو "10 كبيرة" لتمثيل 100. مثل يمكن خلط رموز الكمية الرقمية متعددة القواعد مع بعضها البعض ومع الاختصارات ، حتى داخل رقم واحد. التفاصيل وحتى المقادير الضمنية (حيث لم يتم استخدام الصفر بشكل ثابت) كانت اصطلاحية لفترات زمنية وثقافات وكميات أو مفاهيم معينة يتم تمثيلها. في حين أن مثل هذه التمثيلات المعتمدة على السياق للكميات الرقمية يسهل نقدها بأثر رجعي ، فلا يزال لدينا في العصر الحديث العشرات من الأمثلة المستخدمة بانتظام لخلط القاعدة المعتمد على الموضوع ، بما في ذلك الابتكار الأخير في إضافة الكسور العشرية إلى الإحداثيات الفلكية الستين. ^[4]

الاستخدام

الرياضيات البابلية

لم يكن النظام الستيني كما هو مستخدم في بلاد ما بين النهرين القديمة نظام قاعدة 60 خالصًا ، بمعنى أنه لم يستخدم 60 رمزًا مميزًا لأرقامه . بدلاً من ذلك ، استخدمت الأرقام المسمارية عشرة كقاعدة فرعية بطريقة تدوين قيمة الإشارة : يتكون الرقم الستيني من مجموعة من العلامات الضيقة على شكل إسفين والتي تمثل وحدات تصل إلى تسعة (، ، ، ، ... ، ) ومجموعة من العلامات العريضة على شكل إسفين والتي تمثل ما يصل إلى خمس عشرات ( ، ، ، ، ). كانت قيمة الرقم عبارة عن مجموع قيم الأجزاء المكونة له:

تمت الإشارة إلى الأرقام الأكبر من 59 بواسطة مجموعات رموز متعددة من هذا النموذج في تدوين القيمة المكانية . نظرًا لعدم وجود رمز للصفر ، فليس من الواضح دائمًا على الفور كيفية تفسير الرقم ، ويجب أحيانًا تحديد قيمته الحقيقية من خلال سياقه. على سبيل المثال ، رموز 1 و 60 متطابقة. ^{[5] [6]} استخدمت النصوص البابلية اللاحقة عنصرًا نائبًا ( ) لتمثيل الصفر ، ولكن فقط في المواضع الوسطية ، وليس على الجانب الأيمن من الرقم ، كما هو الحال في أرقام مثل13200 . _ ^[6]

الاستخدامات التاريخية الأخرى

تشكل مجموعات العناصر الخمسة و 12 حيوانًا من دائرة الأبراج الصينية 60 عامًا من دورة sexagenary

في التقويم الصيني ، يشيع استخدام النظام ، حيث يتم تسمية الأيام أو السنوات حسب المواضع في تسلسل من عشرة سيقان وفي تسلسل آخر من 12 فرعًا. نفس الجذع والفرع كرر كل 60 خطوة خلال هذه الدورة.

يتضمن الكتاب الثامن من جمهورية أفلاطون قصة رمزية للزواج تتمحور حول الرقم 60 ⁴ =12960000 والمقسومات عليها . يحتوي هذا الرقم على تمثيل جنسي بسيط بشكل خاص 1،0،0،0،0. وقد تذرع العلماء اللاحقون بكل من الرياضيات البابلية ونظرية الموسيقى في محاولة لتفسير هذا المقطع. ^[7]

تستخدم أطروحة المجسطي لبطليموس في علم الفلك الرياضي المكتوبة في القرن الثاني الميلادي ، القاعدة 60 للتعبير عن كسور الأرقام. على وجه الخصوص ، جدول الحبال الخاص به ، والذي كان في الأساس الجدول المثلثي الشامل الوحيد لأكثر من ألف عام ، يحتوي على أجزاء كسرية من الدرجة في القاعدة 60 ، وكان مكافئًا عمليًا لجدول قيم العصر الحديث لوظيفة الجيب .

استخدم علماء الفلك في العصور الوسطى أيضًا الأرقام الستينية لتدوين الوقت. قسّم البيروني أولاً الساعة sexagesimally إلى دقائق وثواني وأثلاث وأرباع في 1000 أثناء مناقشة الأشهر اليهودية . ^[8] في حوالي عام 1235 ، واصل جون ساكروبوسكو هذا التقليد ، على الرغم من اعتقاد نوتهافت أن ساكروبوسكو كان أول من فعل ذلك. ^[9] النسخة الباريسية من جداول ألفونسين (حوالي 1320) استخدمت اليوم كوحدة أساسية للوقت ، مسجلة مضاعفات وكسور اليوم في تدوين الأساس 60. ^[10]

استمر استخدام نظام العدد الستيني بشكل متكرر من قبل علماء الفلك الأوروبيين لإجراء الحسابات حتى أواخر عام 1671. ^[11] على سبيل المثال ، جوست بورجي في Fundamentum Astronomiae (قدم إلى الإمبراطور رودولف الثاني في عام 1592) ، وزميله Ursus في Fundamentum Astronomicum ، وربما استخدم هنري بريجز أيضًا جداول الضرب على أساس النظام الستيني في أواخر القرن السادس عشر لحساب الجيوب. ^[12]

في أواخر القرن الثامن عشر وأوائل القرن التاسع عشر ، تم العثور على علماء الفلك التاميل لإجراء حسابات فلكية ، مع مراعاة الأصداف باستخدام مزيج من الرموز العشرية والستينية التي طورها علماء الفلك الهلنستيون . ^[13]

كما تم استخدام أنظمة الأرقام Base-60 في بعض الثقافات الأخرى التي لا علاقة لها بالسومريين ، على سبيل المثال من قبل شعب Ekari في غرب غينيا الجديدة . ^{[14] [15]}

الاستخدام الحديث

تشمل الاستخدامات الحديثة للنظام الستيني قياس الزوايا والإحداثيات الجغرافية والملاحة الإلكترونية والوقت . ^[16]

ساعة واحدة من الوقت مقسمة إلى 60 دقيقة ، ودقيقة واحدة مقسمة إلى 60 ثانية. وبالتالي ، يمكن تفسير قياس الوقت مثل 3:23:17 (3 ساعات و 23 دقيقة و 17 ثانية) على أنه عدد ستيني كامل (بدون نقطة ستينية) ، أي 3 × 60 ² + 23 × 60 ¹ + 17 × 60 ⁰ ثانية . ومع ذلك ، فإن كل من الأرقام الستينية الثلاثة في هذا الرقم (3 و 23 و 17) مكتوب باستخدام النظام العشري .

وبالمثل ، فإن الوحدة العملية للقياس الزاوي هي الدرجة التي يوجد منها 360 (ست ستينيات) في الدائرة. هناك 60 دقيقة قوس في الدرجة ، و 60 ثانية قوسية في الدقيقة.

YAML

في الإصدار 1.1 ^[17] من تنسيق تخزين البيانات YAML ، يتم دعم sexagesimals للقياسات العادية ، ويتم تحديدها رسميًا لكل من الأعداد الصحيحة ^[18] وأرقام الفاصلة العائمة. ^[19] وقد أدى ذلك إلى حدوث ارتباك ، على سبيل المثال ، سيتم التعرف على بعض عناوين MAC على أنها sexagesimals وتحميلها كأعداد صحيحة ، بينما لم يتم تحميل البعض الآخر كسلاسل. في YAML 1.2 ، تم إسقاط دعم sexagesimals. ^[20]

تدوينات

في النصوص الفلكية اليونانية الهلنستية ، مثل كتابات بطليموس ، تمت كتابة الأرقام الستينية باستخدام الأرقام الأبجدية اليونانية ، مع معاملة كل رقم ستيني كرقم مميز. اعتمد علماء الفلك الهلنستيون رمزًا جديدًا للصفر ،-°، والتي تحولت عبر القرون إلى أشكال أخرى ، بما في ذلك الحرف اليوناني omicron ، ο ، والذي يعني عادةً 70 ، ولكن مسموح به في النظام الستيني حيث تكون القيمة القصوى في أي موضع هي 59. [21] [22] حد اليونانيون ^{من استخدامهم} لـ الأرقام الستينية إلى الجزء الكسري من الرقم. ^[23]

في النصوص اللاتينية في العصور الوسطى ، تمت كتابة الأرقام الجنسية باستخدام الأرقام العربية . تم الإشارة إلى المستويات المختلفة من الكسور بـ minuta (أي جزء) ، و minuta secunda ، و minuta tertia ، وما إلى ذلك بحلول القرن السابع عشر ، أصبح من الشائع الإشارة إلى الجزء الصحيح من الأرقام الستينية بصفر مرتفع ، والأجزاء الكسرية المختلفة بواسطة واحد أو المزيد من علامات التمييز. قام جون واليس ، في كتابه Mathesis universalis ، بتعميم هذا الترميز ليشمل مضاعفات أعلى لـ 60 ؛ إعطاء كمثال الرقم 49 ‵ ‵ ‵ ‵ 36 ‵ ‵ ‵ 25‵‵15‵1 ° 15′2 ″ 36 ‴ 49؛ حيث يتم ضرب الأرقام على اليسار في قوى أعلى 60 ، والأرقام على اليمين مقسومة على قوى 60 ، والرقم المميز بصفر مرتفع مضروب في 1. [24] هذا الترميز يؤدي إلى العلامات ^{الحديثة} لـ درجات ودقائق وثواني. تُستخدم نفس التسميات الدقيقة والثانية أيضًا لوحدات الوقت ، ويمكن تفسير الترميز الحديث للوقت مع الساعات والدقائق والثواني المكتوبة بالنظام العشري والمفصولة عن بعضها البعض بواسطة النقطتين كشكل من أشكال التدوين الستيني.

في بعض أنظمة الاستخدام ، تم ترقيم كل موضع بعد النقطة الستينية ، باستخدام جذور لاتينية أو فرنسية: أولي أو بريموس ، ثانوي أو ثانوي ، تيرس ، رباعي ، خماسي ، إلخ. حتى يومنا هذا ، نسمي الجزء الثاني من الساعة أو من الدرجة الثانية. حتى القرن الثامن عشر على الأقل ،1/60من الثانية كانت تسمى "الطبقة" أو "الثالثة". ^{[25] [26]}

في الثلاثينيات من القرن الماضي ، قدم أوتو نيوجباور نظامًا تدوينيًا حديثًا للأرقام البابلية والهيلينستية يستبدل بالتدوين العشري الحديث من 0 إلى 59 في كل موضع ، أثناء استخدام فاصلة منقوطة (؛) لفصل الأجزاء الصحيحة والكسرية من الرقم واستخدام فاصلة (،) لفصل المواضع داخل كل جزء. ^[27] على سبيل المثال ، متوسط ​​الشهر المجمعي المستخدم من قبل علماء الفلك البابليين والهيلينستيين وما زال مستخدمًا في التقويم العبري هو 29 ؛ 31،50،8،20 يومًا. يتم استخدام هذا الترميز في هذه المقالة.

الكسور والأعداد غير النسبية

كسور

في النظام الستيني ، يمكن التعبير عن أي جزء يكون المقام فيه عددًا عاديًا (يحتوي فقط على 2 و 3 و 5 في التحليل الأولي ) بشكل دقيق. ^[28] الموضح هنا جميع الكسور من هذا النوع يكون فيها المقام أقل من أو يساوي 60:

لكن الأعداد غير المنتظمة تشكل كسورًا متكررة أكثر تعقيدًا . على سبيل المثال:

1 ⁄ 7 = 0 ؛ 8،34،17 (يشير الشريط إلى تسلسل الأرقام الستينية 8،34،17 يتكرر بلا حدود عدة مرات)

1 11 = 0 ؛ 5 ، 27 ، 16 ، 21 ، 49

1 ⁄ 13 = 0 ؛ 4،36،55،23

1 ⁄ 14 = 0 ؛ 4 ، 17،8،34

1 ⁄ 17 = 0 ؛ 3،31،45،52،56،28،14،7

1 19 = 0 ؛ 3،9،28،25،15،47،22،6،18،56،50،31،34،44،12،37،53،41

1 ⁄ 59 = 0 ؛ 1

1 61 = 0 ؛ 0،59

حقيقة أن العددين المجاورين لستين و 59 و 61 كلاهما عدد أولي يعني أن الكسور التي تتكرر مع فترة من رقم واحد أو رقمين ستين يمكن أن تحتوي فقط على مضاعفات عدد منتظمة من 59 أو 61 كمقام لها ، وأن الأعداد الأخرى غير العادية بها كسور تتكرر مع فترة أطول.

أعداد غير منطقية

قرص بابلي YBC 7289 يظهر الرقم الستيني 1 ؛ 24،51،10 تقريب  √ 2

تمثيلات الأرقام غير المنطقية في أي نظام رقم موضعي (بما في ذلك النظام العشري والستيني) لا تنتهي ولا تتكرر .

تم تقريب الجذر التربيعي للعدد 2 ، وهو طول قطر الوحدة المربعة ، من قبل البابليين في العصر البابلي القديم ( 1900 قبل الميلاد - 1650 قبل الميلاد ) على النحو التالي:

${\displaystyle 1;24,51,10=1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}\approx 1.41421296\ldots }$^[29]

لأن √ 2  ≈ 1.414213 56 ... هو رقم غير منطقي ، لا يمكن التعبير عنه بالضبط في الستين (أو في الواقع أي نظام قاعدة صحيحة) ، لكن التوسع الستيني يبدأ 1 ؛ 24،51،10،7،46،6،4 ، 44 ... ( OEIS :  A070197 )

كانت قيمة π كما استخدمها عالم الرياضيات والعالم اليوناني بطليموس 3 ؛ 8،30 = 3 +8/60+30/60 ²=377/120≈3.141 666 .... ^[30] جمشيد الكاشي ، عالم رياضيات فارسي من القرن الخامس عشر ، حسب 2 π كتعبير ستيني إلى قيمته الصحيحة عند تقريبه إلى تسعة أرقام فرعية (وبالتالي1/60 ⁹) ؛ كانت قيمته لـ 2 6 ؛ 16،59،28،1،34،51،46،14،50. ^{[31] [32]} مثل √ 2 أعلاه ، 2 رقم غير منطقي ولا يمكن التعبير عنه بالضبط في الستين. يبدأ توسعها الستيني 6 ؛ 16،59،28،1،34،51،46،14،49،55،12،35 ... ( OEIS :  A091649 )

انظر أيضا

• ساعة
• خط العرض
• علم المثلثات

المراجع

قراءات إضافية

• إفراح ، جورج (1999) ، التاريخ العالمي للأرقام: من عصور ما قبل التاريخ إلى اختراع الكمبيوتر ، وايلي ، ISBN 0-471-37568-3.
• نيسن ، هانز جيه ؛ Damerow ، P. ؛ إنجلوند ، ر. (1993) ، مسك الدفاتر القديمة ، مطبعة جامعة شيكاغو ، ISBN 0-226-58659-6

روابط خارجية

• "حقائق في حساب الدرجات والدقائق" كتاب باللغة العربية لسبع المارديني بدر الدين محمد بن محمد (مواليد 1423). يقدم هذا العمل معالجة مفصلة للغاية للرياضيات الستينية ويتضمن ما يبدو أنه أول ذكر لدورية الكسور الستينية.