فترة مضاعفة التشعب

في نظرية الأنظمة الديناميكية ، يحدث تشعب مضاعف الفترة عندما يتسبب تغيير طفيف في معلمات النظام في ظهور مسار دوري جديد من المسار الدوري الحالي - المسار الجديد الذي يحتوي على ضعف الفترة الأصلية. مع الفترة المضاعفة ، يستغرق الأمر ضعف المدة (أو ضعف عدد التكرارات في نظام ديناميكي منفصل ) للقيم العددية التي يزورها النظام لتكرار نفسها.

يحدث تشعب الفترة إلى النصف عندما يتحول النظام إلى سلوك جديد بنصف فترة النظام الأصلي.

شلال مضاعف الفترة هو سلسلة لا نهائية من التشعبات المضاعفة للفترة. هذه التسلسلات هي طريق شائع تتطور من خلاله الأنظمة الديناميكية إلى الفوضى. ^[1] في علم الديناميكا المائية ، تعتبر أحد الطرق المحتملة للاضطراب . ^[2]

تشعبات الفصل إلى النصف (L) تؤدي إلى الترتيب ، متبوعة بتقسيمات مضاعفة الفترة (R) تؤدي إلى الفوضى.

أمثلة

مخطط التشعب للخريطة اللوجستية. يظهر قيم الجاذب ، مثل${\displaystyle x_{*}}$و${\displaystyle x'_{*}}$، كدالة للمعلمة${\displaystyle r}$.

خريطة لوجستية

الخريطة اللوجستية _

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$

أين${\displaystyle x_{n}}$هي دالة للوقت (المنفصل)${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$. ^[3] المعلمة${\displaystyle r}$من المفترض أن تقع في الفترة${\displaystyle (0,4]}$، في أي حالة${\displaystyle x_{n}}$مقيد${\displaystyle [0,1]}$.

ل${\displaystyle r}$بين 1 و 3 ،${\displaystyle x_{n}}$يتقارب إلى النقطة الثابتة الثابتة${\displaystyle x_{*}=(r-1)/r}$. ثم ل${\displaystyle r}$بين 3 و 3.44949 ،${\displaystyle x_{n}}$يتقارب إلى تذبذب دائم بين قيمتين${\displaystyle x_{*}}$و${\displaystyle x'_{*}}$التي تعتمد على${\displaystyle r}$. مثل${\displaystyle r}$ينمو بشكل أكبر ، تظهر التذبذبات بين 4 قيم ، ثم تظهر 8 ، 16 ، 32 ، إلخ. هذه الفترة المضاعفة تبلغ ذروتها في${\displaystyle r\approx 3.56995}$، والتي تظهر بعدها أنظمة أكثر تعقيدًا. مثل${\displaystyle r}$الزيادات ، هناك بعض الفواصل الزمنية حيث تتقارب معظم قيم البداية مع واحد أو عدد صغير من التذبذبات المستقرة ، مثل قريب${\displaystyle r=3.83}$.

في الفترة التي تكون فيها الفترة${\displaystyle 2^{n}}$لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n}$، ليست كل النقاط لها حقبة${\displaystyle 2^{n}}$. هذه نقاط مفردة ، وليست فترات. يقال إن هذه النقاط في مدارات غير مستقرة ، لأن النقاط القريبة لا تقترب من نفس المدار مثلها.

خريطة تربيعية

ترتبط النسخة الحقيقية للخريطة التربيعية المعقدة بشريحة حقيقية من مجموعة ماندلبروت .

• 

  شلال مضاعف الفترة في رسم خرائط أسي لمجموعة ماندلبروت

• 

  نسخة 1D مع تعيين أسي

• 

  فترة مضاعفة التشعب

معادلة كوراموتو - سيفاشينسكي

تضاعف الفترة في معادلة كوراموتو-سيفاشينسكي بشروط حدية دورية. تصور المنحنيات حلول معادلة كوراموتو-سيفاشينسكي المسقطة على مستوى طور الطاقة (E ، dE / dt) ، حيث E هو L ² - طبيعي للحل. بالنسبة إلى ν = 0.056 ، يوجد مدار دوري ذي فترة T ≈ 1.1759. بالقرب من ≈ 0.0558 ، ينقسم هذا الحل إلى مدارين ، ينفصلان أكثر عندما ينخفض ​​ν . بالضبط عند القيمة الانتقالية لـ ، فإن المدار الجديد (المتقطع باللون الأحمر) لديه ضعف الفترة الأصلية. (ومع ذلك ، مثل νيزيد بشكل أكبر ، تنحرف نسبة الفترات عن 2.)

معادلة كوراموتو -سيفاشينسكي هي مثال على النظام الديناميكي المستمر الزماني والمكاني الذي يعرض تضاعف الفترة. إنها واحدة من أكثر المعادلات التفاضلية الجزئية اللاخطية المدروسة جيدًا ، وقد تم تقديمها في الأصل كنموذج لانتشار جبهة اللهب. ^[4]

معادلة كوراموتو - سيفاشينسكي أحادية البعد هي

${\displaystyle u_{t}+uu_{x}+u_{xx}+\nu \,u_{xxxx}=0}$

الاختيار الشائع لظروف الحدود هو الدورية المكانية:${\displaystyle u(x+2\pi ,t)=u(x,t)}$.

لقيم كبيرة من${\displaystyle \nu }$و${\displaystyle u(x,t)}$يتطور نحو حلول ثابتة (مستقلة عن الوقت) أو مدارات دورية بسيطة. مثل${\displaystyle \nu }$ينخفض ​​، وتطور الديناميات في نهاية المطاف الفوضى. يحدث الانتقال من النظام إلى الفوضى عبر سلسلة من التشعبات المضاعفة للفترة ، ^{[5] [6]} أحدها موضح في الشكل.

خريطة لوجستية لمنحنى فيليبس معدل

ضع في اعتبارك الخريطة اللوجستية التالية لمنحنى فيليبس المعدل :

${\displaystyle \pi _{t}=f(u_{t})+b\pi _{t}^{e}}$

${\displaystyle \pi _{t+1}=\pi _{t}^{e}+c(\pi _{t}-\pi _{t}^{e})}$

${\displaystyle f(u)=\beta _{1}+\beta _{2}e^{-u}\,}$

${\displaystyle b>0,0\leq c\leq 1,{\frac {df}{du}}<0}$

أين :

• ${\displaystyle \pi }$هو التضخم الفعلي
• ${\displaystyle \pi ^{e}}$هو التضخم المتوقع ،
• ش هو مستوى البطالة ،
• ${\displaystyle m-\pi }$هو معدل نمو عرض النقود .

حفظ${\displaystyle \beta _{1}=-2.5,\ \beta _{2}=20,\ c=0.75}$ومتفاوتة${\displaystyle b}$، يخضع النظام لتشعبات مضاعفة الفترة ويصبح في النهاية فوضويًا. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

الملاحظة التجريبية

وقد لوحظ تضاعف الفترة في عدد من الأنظمة التجريبية. ^[7] هناك أيضًا دليل تجريبي على مضاعفة فترات التعاقب. على سبيل المثال ، لوحظت تسلسلات من 4 فترات مضاعفة في ديناميات لفات الحمل الحراري في الماء والزئبق . ^{[8] [9]} وبالمثل ، لوحظ 4-5 تضاعفات في بعض الدوائر الإلكترونية غير الخطية . ^{[10] [11] [12]} ومع ذلك ، فإن الدقة التجريبية المطلوبة لاكتشاف الحدث ^{المضاعف} الأول في سلسلة تتزايد أضعافًا مضاعفة مع i ، مما يجعل من الصعب مراقبة أكثر من 5 أحداث مضاعفة في سلسلة. ^[13]

انظر أيضا

• قائمة الخرائط الفوضوية
• خريطة تربيعية معقدة
• ثوابت شجرة التين
• العالمية (أنظمة ديناميكية)
• نظرية شاركوفسكي

ملاحظات

المراجع

• أليجود ، كاثلين تي. سوير ، تيم ؛ يورك ، جيمس (1996). الفوضى: مقدمة للأنظمة الديناميكية . كتب مدرسية في العلوم الرياضية. Springer-Verlag نيويورك. دوى : 10.1007 / 0-387-22492-0_3 . رقم ISBN 978-0-387-94677-1. ISSN 1431-9381.
• جيجليو ، مارزيو ؛ موسازي ، سيرجيو ؛ بيريني ، أمبرتو (1981). "الانتقال إلى السلوك الفوضوي عبر تسلسل قابل للتكرار من التشعبات التي تضاعف الفترة". رسائل المراجعة البدنية . 47 (4): 243-246. بيب كود : 1981 PhRvL..47..243G . دوى : 10.1103 / PhysRevLett.47.243 . ISSN  0031-9007 .
• كالوجيرو ، أ. كيفيني ، إي ؛ Papageorgiou ، DT (2015). "دراسة رقمية متعمقة لمعادلة كوراموتو- سيفاشينسكي ثنائية الأبعاد" . وقائع الجمعية الملكية أ: العلوم الرياضية والفيزيائية والهندسية . 471 (2179): 20140932. بيب كود : 2015 RSPSA.47140932K . دوى : 10.1098 / rspa.2014.0932 . ISSN  1364-5021 . PMC  4528647 . بميد  26345218 .
• كوزنتسوف ، يوري أ. (2004). عناصر نظرية التشعب التطبيقية . العلوم الرياضية التطبيقية. المجلد. 112 (الطبعة الثالثة). Springer-Verlag . رقم ISBN 0-387-21906-4. زبل  1082.37002 .
• ليشاببر ، أ. لاروش ، سي ؛ فوف ، س. (1982). "فترة مضاعفة التعاقب في الزئبق ، قياس كمي" (PDF) . جورنال دي فيزيك ليتريس . 43 (7): 211-216. دوى : 10.1051 / jphyslet: 01982004307021100 . ISSN  0302-072X .
• باباجورجيو ، دي تي ؛ Smyrlis، YS (1991) ، "الطريق إلى الفوضى لمعادلة كوراموتو-سيفاشينسكي" ، Theoret. حاسوب. Fluid Dynamics ، 3 : 15–42 ، بيب كود : 1991 ThCFD ... 3 ... 15P ، دوى : 10.1007 / BF00271514 ، hdl : 2060/19910004329 ، ISSN  1432-2250 ، S2CID  116955014
• سميرليس ، واي إس ؛ Papageorgiou ، DT (1991). "توقع الفوضى للأنظمة الديناميكية ذات الأبعاد اللانهائية: معادلة كوراموتو-سيفاشينسكي ، دراسة حالة" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 88 (24): 11129-11132. بيب كود : 1991PNAS ... 8811129S . دوى : 10.1073 / pnas.88.24.11129 . ISSN  0027-8424 . PMC  53087 . بميد  11607246 .
• ستروغاتز ، ستيفن (2015). الديناميكيات والفوضى اللاخطية: مع تطبيقات في الفيزياء وعلم الأحياء والكيمياء والهندسة (الطبعة الثانية). اضغط CRC. رقم ISBN 978-0813349107.
• تشيونغ ، بي. وونغ ، أيه واي (1987). "السلوك الفوضوي والفترة تتضاعف في البلازما". رسائل المراجعة البدنية . 59 (5): 551-554. بيب كود : 1987 PhRvL..59..551C . دوى : 10.1103 / PhysRevLett.59.551.37 . ISSN  0031-9007 . بميد  10035803 .

روابط خارجية

• ربط شلالات مضاعفة الفترة بالفوضى