الضرورة والكفاية

From Wikipedia, the free encyclopedia

في المنطق والرياضيات ، الضرورة والكفاية هما مصطلحان يستخدمان لوصف علاقة شرطية أو ضمنية بين جملتين . على سبيل المثال ، في العبارة الشرطية : "إذا كان P ثم Q " ، فإن Q ضرورية لـ P ، لأن حقيقة Q مضمونة بحقيقة P (بالتساوي ، من المستحيل أن يكون لديك P بدون Q ). [1] وبالمثل ، صكافٍ لـ Q ، لأن P كونه صحيحًا يعني دائمًا أن Q صحيح ، لكن P ليس صحيحًا لا يعني دائمًا أن Q ليس صحيحًا. [2]

بشكل عام ، الشرط الضروري هو الشرط الذي يجب أن يكون موجودًا حتى يحدث شرط آخر ، بينما الشرط الكافي هو الشرط الذي ينتج عنه الشرط المذكور. [3] التأكيد على أن البيان هو شرط "ضروري وكافي " للآخر يعني أن العبارة الأولى صحيحة إذا وفقط إذا كانت الأخيرة صحيحة. أي أن العبارتين يجب أن تكون إما صحيحة في نفس الوقت ، أو خاطئة في نفس الوقت. [4] [5] [6]

في اللغة الإنجليزية العادية (أيضًا لغة طبيعية ) تشير "ضرورية" و "كافية" إلى العلاقات بين الظروف أو الحالات ، وليس البيانات. على سبيل المثال ، كونك ذكرًا هو شرط ضروري لكونك أخًا ، لكنه غير كافٍ - بينما كونك أخًا هو شرط ضروري وكافٍ لكونك أخًا. يتكون أي بيان شرطي من شرط واحد كافٍ على الأقل وشرط ضروري واحد على الأقل.

التعريفات

في العبارة الشرطية ، "إذا كان S ، ثم N " ، فإن التعبير الذي يمثله S يسمى السابق ، والتعبير الذي يمثله N يسمى التالي . يمكن كتابة هذه العبارة الشرطية بعدة طرق مكافئة ، مثل " N if S " و " S only if N " و " S تعني N " و " N متضمنة بواسطة S " و SN و S N و "". [7]

في الحالة المذكورة أعلاه لـ "N كلما S" ، يقال إن N شرط ضروري لـ S. في اللغة العامة ، هذا يعادل القول بأنه إذا كانت العبارة الشرطية عبارة صحيحة ، فيجب أن تكون النتيجة N صحيحة - إذا كانت S صحيحة (انظر العمود الثالث من " جدول الحقيقة " أدناه مباشرة). بعبارة أخرى ، لا يمكن أن يكون السالف S صحيحًا دون أن يكون N صحيحًا. في الحالة العكسية لـ "If N ، ثم S ،" على سبيل المثال ، لكي يُطلق على شخص ما اسم S ocrates ، من الضروري أن يكون هذا الشخص Nأميد. وبالمثل ، لكي يعيش البشر ، من الضروري أن يكون لديهم هواء. [8]

يمكن للمرء أيضًا أن يقول أن S شرط كافٍ لـ N (ارجع مرة أخرى إلى العمود الثالث من جدول الحقيقة أدناه مباشرة). إذا كانت العبارة الشرطية صحيحة ، إذا كانت S صحيحة ، يجب أن تكون N صحيحة ؛ بينما إذا كانت العبارة الشرطية صحيحة وكانت N صحيحة ، فقد تكون S صحيحة أو خاطئة. بعبارات عامة ، "حقيقة S تضمن حقيقة N ". [8] على سبيل المثال ، بالاستمرار في المثال السابق ، يمكن للمرء أن يقول إن معرفة أن شخصًا ما يسمى سقراط يكفي لمعرفة أن شخصًا ما لديه N ame.

شرط ضروري وكاف يتطلب أن كلا من الآثار المترتبةو(يمكن أيضًا كتابة الأخير كـ) يمسك. يشير التضمين الأول إلى أن S شرط كافٍ لـ N ، بينما يشير الضمني الثاني إلى أن S شرط ضروري لـ N. يتم التعبير عن هذا كـ " S ضروري وكافي لـ N " أو " S إذا وفقط إذا N " أو.

جدول الحقيقة
س ن
تي تي تي تي تي
تي F F تي F
F تي تي F F
F F تي تي تي

الضرورة

وجود الشمس فوق الأفق شرط ضروري لأشعة الشمس المباشرة ؛ لكنها ليست حالة كافية ، لأن شيئًا آخر قد يلقي بظلاله ، على سبيل المثال ، القمر في حالة حدوث خسوف .

التأكيد على أن Q ضروري لـ P يعادل بالعامية " P لا يمكن أن يكون صحيحًا ما لم يكن Q صحيحًا" أو "إذا كانت Q خطأ ، فإن P خطأ". [8] [1] عن طريق التناقض ، هذا هو نفس الشيء مثل "عندما تكون P صحيحة ، كذلك Q ".

يتم التعبير عن العلاقة المنطقية بين P و Q كـ "if P ، ثم Q " ويشار إليها " PQ " ( P تعني Q ). يمكن التعبير عنها أيضًا على أنها أي من " P only if Q " و " Q ، if P " و " Q when P " و " Q when P ". غالبًا ما يجد المرء ، في النثر الرياضي على سبيل المثال ، عدة شروط ضرورية ، مجتمعة ، تشكل شرطًا كافيًا (على سبيل المثال ، ضروري بشكل فردي وكافي بشكل مشترك [8]) ، كما هو موضح في المثال 5.

مثال 1
لكي يكون صحيحًا أن "يوحنا أعزب" ، من الضروري أن يكون صحيحًا أيضًا أنه كذلك
  1. اعزب،
  2. ذكر،
  3. بالغ
منذ أن ذكر "جون هو البكالوريوس" يعني أن جون لديه كل من هذه المسندات الإضافية الثلاثة .
مثال 2
بالنسبة للأعداد الصحيحة الأكبر من اثنين ، من الضروري أن يكون العدد فرديًا ليكون عددًا أوليًا ، لأن اثنين هو العدد الصحيح الوحيد الذي يكون زوجيًا وأوليًا.
مثال 3
فكر في صوت الرعد ، الصوت الناجم عن البرق. يقول أحدهم أن الرعد ضروري للبرق ، لأن البرق لا يحدث أبدًا بدون رعد. كلما كان هناك برق ، كان هناك رعد. لا يسبب الرعد البرق (لأن البرق يسبب الرعد) ، ولكن لأن البرق يأتي دائمًا مع الرعد ، نقول إن الرعد ضروري للبرق. (بمعنى رسمي ، لا تعني الضرورة السببية).
مثال 4
أن يكون عمرك 30 عامًا على الأقل ضروري للخدمة في مجلس الشيوخ الأمريكي. إذا كان عمرك أقل من 30 عامًا ، فمن المستحيل أن تكون عضوًا في مجلس الشيوخ. أي ، إذا كنت عضوًا في مجلس الشيوخ ، فيجب أن يكون عمرك 30 عامًا على الأقل.
مثال 5
في الجبر ، بالنسبة لبعض المجموعات S مع العملية لتشكيل مجموعة ، من الضروري ذلككن مترابط . من الضروري أيضًا أن تتضمن S عنصرًا خاصًا e بحيث يكون الحال بالنسبة لكل x في S هو الحال س و س كلاهما يساوي x . من الضروري أيضًا أن يوجد لكل x في S عنصر مقابل x ″ ، بحيث يكون كلاهما x س ″ و س ″ س يساوي العنصر الخاص ه . لا يكفي أي من هذه الشروط الثلاثة الضرورية بحد ذاته ، لكن اقتران الثلاثة يكون كافياً.

كفاية

يمكن أن يكون تشغيل القطار في الموعد المحدد شرطًا كافيًا للوصول في الوقت المحدد (إذا صعد أحدهم إلى القطار وغادر في الوقت المحدد ، فسيصل في الوقت المحدد) ؛ لكنها ليست دائمًا شرطًا ضروريًا ، نظرًا لوجود طرق أخرى للسفر (إذا لم يتم تشغيل القطار في الوقت المحدد ، فلا يزال بإمكان المرء الوصول في الوقت المحدد عبر وسائل النقل الأخرى).

إذا كانت P كافية لـ Q ، فإن معرفة P لتكون صحيحة هي أسباب كافية لاستنتاج أن Q صحيحة ؛ ومع ذلك ، فإن معرفة أن P خطأ لا يلبي الحد الأدنى من الحاجة لاستنتاج أن Q خطأ.

يتم التعبير عن العلاقة المنطقية ، كما في السابق ، كـ "if P ، ثم Q " أو " P Q ". يمكن أيضًا التعبير عن هذا كـ " P فقط إذا كان Q " ، أو " P يتضمن Q " أو عدة متغيرات أخرى. قد يكون الأمر كذلك أن العديد من الشروط الكافية ، عند أخذها معًا ، تشكل شرطًا ضروريًا واحدًا (أي كافية بشكل فردي وضروري بشكل مشترك) ، كما هو موضح في المثال 5.

مثال 1
تشير عبارة "جون ملك" إلى أن يوحنا ذكر. لذا فإن معرفة أن يوحنا ملك يكفي لمعرفة أنه ذكر.
مثال 2
أن يكون الرقم قابلاً للقسمة على 4 كافٍ (ولكن ليس ضروريًا) ليكون زوجيًا ، ولكن كونه قابلاً للقسمة على 2 يعد كافياً وضروريًا ليكون زوجيًا.
مثال 3
يعد حدوث الرعد شرطًا كافيًا لحدوث البرق بمعنى أن سماع الرعد ، والاعتراف به بشكل لا لبس فيه على هذا النحو ، يبرر استنتاج وجود صاعقة برق.
مثال 4
إذا أقر الكونجرس الأمريكي مشروع قانون ، فإن توقيع الرئيس على مشروع القانون يكون كافياً لسنه قانوناً. لاحظ أن الحالة التي بموجبها لم يوقع الرئيس على مشروع القانون ، على سبيل المثال من خلال ممارسة حق النقض الرئاسي ، لا تعني أن مشروع القانون لم يصبح قانونًا (على سبيل المثال ، لا يزال من الممكن أن يصبح قانونًا من خلال تجاوز الكونغرس ) .
مثال 5
يجب وضع علامة على مركز بطاقة اللعب بمجرفة كبيرة واحدة (♠) كافية لتكون البطاقة آسًا. هناك ثلاثة شروط أخرى كافية وهي أن يتم تمييز مركز البطاقة بماسة واحدة () أو قلب (♥) أو مضرب (♣). لا يعتبر أي من هذه الشروط ضروريًا لكون البطاقة آسًا ، ولكن فصلها كذلك ، نظرًا لأنه لا يمكن أن تكون أي بطاقة آسًا دون استيفاء (في الواقع ، بالضبط) أحد هذه الشروط على الأقل.

العلاقة بين الضرورة والكفاية

إن التواجد في المنطقة الأرجواني كافٍ لكونك في A ، ولكنه ليس ضروريًا. أن تكون في A ضروري لكونك في المنطقة الأرجواني ، لكن ليس كافيًا. أن تكون في A وأن تكون في B أمر ضروري وكافٍ للتواجد في المنطقة الأرجواني.

يمكن أن يكون الشرط ضروريًا أو كافيًا دون أن يكون هو الآخر. على سبيل المثال ، كونك من الثدييات ( N ) ضروري ولكنه غير كافٍ لكون الإنسان ( S ) ، وهذا الرقم عقلانية ( S ) كافية ولكنها ليست ضرورية كونه رقمًا حقيقيًا ( N ) (نظرًا لوجود أرقام حقيقية غير منطقية).

يمكن أن تكون الحالة ضرورية وكافية. على سبيل المثال ، في الوقت الحاضر ، يعتبر "اليوم هو الرابع من يوليو " شرطًا ضروريًا وكافيًا لـ "اليوم هو يوم الاستقلال في الولايات المتحدة ". وبالمثل ، فإن الشرط الضروري والكافي لعكس المصفوفة M هو أن M لها محدد غير صفري .

من الناحية الحسابية ، الضرورة والكفاية مزدوجان مع بعضهما البعض. بالنسبة لأية عبارات S و N ، فإن التأكيد على أن " N ضروري لـ S " يعادل التأكيد على أن " S كافية لـ N ". وجه آخر لهذه الازدواجية هو ، كما هو موضح أعلاه ، اقتران (استخدام "و") من الشروط الضرورية قد يحقق الكفاية ، في حين أن الفصل (باستخدام "أو") من الشروط الكافية قد يحقق الضرورة. لوجه ثالث ، حدد كل مسند رياضي N مع مجموعة T ( N ) من الكائنات أو الأحداث أو العبارات التي Nتمسك بالحقيقه؛ ثم التأكيد على ضرورة N لـ S يعادل الادعاء بأن T ( N ) هي مجموعة شاملة من T ( S ) ، بينما التأكيد على كفاية S لـ N يعادل الادعاء بأن T ( S ) هي مجموعة فرعية من T ( N) ).

من الناحية النفسية ، تعتبر الضرورة والكفاية جانبين رئيسيين لوجهة النظر الكلاسيكية للمفاهيم. بموجب النظرية الكلاسيكية للمفاهيم ، كيف تمثل عقول البشر فئة X ، تؤدي إلى مجموعة من الشروط الفردية الضرورية التي تحدد X. معًا ، هذه الشروط الفردية ضرورية لتكون X. [9] وهذا يتناقض مع النظرية الاحتمالية لـ مفاهيم تنص على أنه لا توجد ميزة تعريف ضرورية أو كافية ، بل أن الفئات تشبه بنية شجرة العائلة.

الضرورة والكفاية في وقت واحد

إن القول بأن P ضرورية وكافية لـ Q يعني شيئين:

  1. أن P ضرورية لـ Q ، ، وأن P تكفي لـ Q ،.
  2. على نحو مكافئ ، قد يكون من المفهوم أن نقول أن P و Q ضروريان للآخر ،، والتي يمكن ذكرها أيضًا لأن كل منها كافٍ أو يشير إلى الآخر.

يمكن للمرء أن يلخص أيًا من هذه الحالات ، وبالتالي جميعها ، بالعبارة " P if and only if Q " ، والتي يُشار إليها بـ، في حين أن الحالات تخبرنا بذلكمطابق لـ.

على سبيل المثال ، في نظرية الرسم البياني ، يسمى الرسم البياني G ثنائي الأجزاء إذا كان من الممكن تعيين اللون الأسود أو الأبيض لكل رأس من رؤوسه بحيث يكون لكل حافة G نقطة نهاية واحدة لكل لون. ولكي يكون أي رسم بياني ثنائيًا ، فإنه شرط ضروري وكافٍ ألا يحتوي على دورات ذات طول فردي . وبالتالي ، فإن اكتشاف ما إذا كان الرسم البياني يحتوي على أي دورات فردية يخبر المرء ما إذا كان ثنائيًا والعكس بالعكس. قد يميز فيلسوف [10] هذه الحالة على النحو التالي :التمديد . [11]

في الرياضيات ، غالبًا ما يتم ذكر النظريات بالصيغة " P يكون صحيحًا فقط إذا كان Q صحيحًا".

لأنه ، كما هو موضح في القسم السابق ، فإن ضرورة أحدهما للآخر تعادل كفاية الآخر للأول ، على سبيل المثاليعادل _ ، إذا كانت P ضرورية وكافية لـ Q ، فإن Q ضرورية وكافية لـ P. يمكننا الكتابةويقولون إن العبارات " P صحيحة إذا وفقط إذا كانت Q صحيحة" و " Q تكون صحيحة إذا وفقط إذا كانت P صحيحة" متكافئة.

انظر أيضا

المراجع

  1. ^ أ ب "[M06] الضرورة والكفاية" . فلسفة. hku.hk. تم الاسترجاع 2019/12/02 .
  2. ^ بلوخ ، إيثان د. (2011). البراهين والأساسيات: دورة أولى في الرياضيات المجردة . سبرينغر. ص 8 - 9. رقم ISBN 978-1-4419-7126-5.
  3. ^ ارتباك ضروري (2019-05-15). "الخلط بين الضروري بشرط كافي" . www.txstate.edu . تم الاسترجاع 2019/12/02 .
  4. ^ بيتز ، فريدريك (2011). إدارة العلوم: منهجية وتنظيم البحث . نيويورك: سبرينغر. ص. 247. ISBN 978-1-4419-7487-7.
  5. ^ Manktelow ، KI (1999). التفكير والتفكير . شرق ساسكس ، المملكة المتحدة: مطبعة علم النفس. رقم ISBN 0-86377-708-2.
  6. ^ أسنينا ، إريكا ؛ Osis ، Janis & Jansone ، Asnate (2013). "المواصفات الرسمية للعلاقات الطوبولوجية". قواعد البيانات ونظم المعلومات VII . 249 (قواعد البيانات ونظم المعلومات السابع): 175. doi : 10.3233 / 978-1-61499-161-8-175 .
  7. ^ ديفلين ، كيث (2004) ، المجموعات والوظائف والمنطق / مقدمة في الرياضيات المجردة (الطبعة الثالثة) ، تشابمان وهال ، ص 22-23 ، ISBN 978-1-58488-449-1
  8. ^ أ ب ج د "مفهوم الشروط الضرورية والشروط الكافية" . www.sfu.ca. _ تم الاسترجاع 2019/12/02 .
  9. ^ "النظرية الكلاسيكية للمفاهيم ، | موسوعة الإنترنت للفلسفة" .
  10. ^ كتاب جامعة ستانفورد ، 2006 .
  11. ^ "غالبًا ما تسمى المعاني ، بهذا المعنى ، النوايا ، والأشياء المعينة ، الامتدادات . السياقات التي يكون فيها الامتداد هو كل ما يهم ، بطبيعة الحال ، تسمى توسعية ، في حين أن السياقات التي لا يكفي فيها التمديد تكون مكثفة . وعادة ما تكون الرياضيات ممتدة في جميع أنحاء . " كتاب تمهيدي لجامعة ستانفورد ، 2006 .

روابط خارجية