مشاكل جائزة الألفية

مسائل جائزة الألفية هي سبع مسائل رياضية معقدة ومعروفة اختارها معهد كلاي للرياضيات في عام 2000. وقد تعهد معهد كلاي بتقديم جائزة قدرها مليون دولار أمريكي لأول حل صحيح لكل مسألة.

قام معهد كلاي للرياضيات رسميًا بتعيين عنوان مشكلة الألفية للمسائل الرياضية السبع التي لم يتم حلها، وهي حدسية بيرش وسوينرتون-داير ، وحدسية هودج ، ووجود نافير-ستوكس والسلاسة ، ومسألة P مقابل NP ، وفرضية ريمان ، ووجود يانغ-ميلز والفجوة الكتلية. وحدسية بوانكاريه في اجتماع الألفية الذي عقد في 24 مايو 2000. وهكذا، على الموقع الرسمي لمعهد كلاي للرياضيات، تسمى هذه المشاكل السبع رسميًا مشاكل الألفية .

وحتى الآن، فإن المشكلة الوحيدة التي تم حلها بشأن جائزة الألفية هي حدسية بوانكاريه. منح معهد كلاي الجائزة المالية لعالم الرياضيات الروسي جريجوري بيرلمان في عام 2010. ومع ذلك، فقد رفض الجائزة لأنها لم تُمنح أيضًا لريتشارد إس هاميلتون ، الذي بنى بيرلمان على أعماله.

ملخص

استلهم معهد كلاي من مجموعة من ثلاث وعشرين مسألة نظمها عالم الرياضيات ديفيد هيلبرت في عام 1900، والتي، على الرغم من عدم وجود قيمة نقدية لها، كان لها تأثير كبير في دفع تقدم الرياضيات في القرن العشرين. ^[1] تتراوح المسائل السبع المختارة بين عدد من المجالات الرياضية، وهي الهندسة الجبرية ، والهندسة الحسابية ، والطوبولوجيا الهندسية ، والفيزياء الرياضية ، ونظرية الأعداد ، والمعادلات التفاضلية الجزئية ، وعلوم الكمبيوتر النظرية.. على عكس مسائل هيلبرت، كانت المسائل التي اختارها معهد كلاي مشهورة بالفعل بين علماء الرياضيات المحترفين، حيث عمل العديد منهم بنشاط على حلها. ^[2]

أصدر غريغوري بيرلمان ، الذي بدأ العمل على حدسية بوانكاريه في التسعينيات، برهانه في عامي 2002 و2003. وقد حظي رفضه للحصول على الجائزة المالية لمعهد كلاي في عام 2010 بتغطية واسعة في وسائل الإعلام. وتظل مسائل جائزة الألفية الستة الأخرى دون حل، على الرغم من وجود عدد كبير من البراهين غير المرضية التي قدمها علماء الرياضيات الهواة والمحترفون.

كان أندرو وايلز ، كجزء من المجلس الاستشاري العلمي لمعهد كلاي، يأمل في أن يؤدي اختيار الجائزة المالية البالغة مليون دولار أمريكي إلى نشر المشكلات المختارة بالإضافة إلى "إثارة المساعي الرياضية" بين الجماهير العامة. ^[3] أعرب عضو آخر في مجلس الإدارة، الحائز على ميدالية فيلدز آلان كون ، عن أمله في أن تساعد الدعاية حول المشكلات التي لم يتم حلها في مكافحة "الفكرة الخاطئة" بين الجمهور بأن الرياضيات "سوف تتفوق عليها أجهزة الكمبيوتر". ^[4]

وكان بعض علماء الرياضيات أكثر انتقادا. وصف أناتولي فيرشيك جائزتهم المالية بأنها "عرض تجاري" يمثل "أسوأ مظاهر الثقافة الجماهيرية الحالية"، واعتقد أن هناك طرقًا أكثر جدوى للاستثمار في التقدير العام للرياضيات. ^لقد رأى أن المعالجات الإعلامية السطحية لبيريلمان وعمله، مع إيلاء اهتمام غير متناسب لقيمة الجائزة نفسها، أمر غير مفاجئ. وعلى النقيض من ذلك، أشاد فيرشيك بالتمويل المباشر الذي يقدمه معهد كلاي للمؤتمرات البحثية والباحثين الشباب. ردد الحائز على ميدالية فيلدز شينغ تونغ ياو تعليقات فيرشيك لاحقًا، الذي انتقد أيضًا فكرة قيام المؤسسة باتخاذ إجراءات "مناسبة" للأسئلة الرياضية الأساسية و"ربط اسمها بها". ^[6]

تم حل المشكلة

حدسية بوانكاريه

في مجال الطوبولوجيا الهندسية ، تتميز الكرة ثنائية الأبعاد بأنها السطح الوحيد ثنائي الأبعاد المغلق والمتصل ببساطة . في عام 1904، طرح هنري بوانكاريه سؤالًا حول ما إذا كانت العبارة المماثلة تنطبق على الأشكال ثلاثية الأبعاد. أصبح هذا معروفًا باسم حدسية بوانكاريه، والتي تنص صياغتها الدقيقة على ما يلي:

أي مشعب طوبولوجي ثلاثي الأبعاد مغلق ومتصل ببساطة يجب أن يكون متجانسًا مع الكرة الثلاثة .

على الرغم من أن التخمين عادة ما يتم ذكره بهذا الشكل، إلا أنه يعادل (كما تم اكتشافه في الخمسينيات) طرحه في سياق المتشعبات الملساء والتغايرات .

تم تقديم دليل على هذا التخمين، إلى جانب حدسية الهندسة الأكثر قوة، بواسطة غريغوري بيرلمان في عامي 2002 و2003. أكمل حل بيرلمان برنامج ريتشارد هاملتون لحل حدسية الهندسة، والذي طوره على مدار الدورة السابقة عشرون عاما. تمحور عمل هاملتون وبيريلمان حول تدفق ريتشي لهاملتون ، وهو نظام معقد من المعادلات التفاضلية الجزئية المحددة في مجال الهندسة الريمانية .

لمساهماته في نظرية تدفق ريتشي، حصل بيرلمان على ميدالية فيلدز في عام 2006. ومع ذلك، رفض قبول الجائزة. ^[7] لإثباته لحدسية بوانكاريه، حصل بيريلمان على جائزة الألفية في 18 مارس 2010، ^[8] لكنه رفض الجائزة والجائزة المالية المرتبطة بها. ونقلت وكالة إنترفاكس للأنباء عن بيرلمان قوله إنه يعتقد أن الجائزة غير عادلة، حيث اعتبر أن مساهمته في حل حدسية بوانكاريه ليست أكبر من مساهمة هاميلتون. ^[9]

مشاكل لم تحل

حدسية بيرش وسوينرتون-داير

يتعامل تخمين بيرش وسوينرتون -داير مع أنواع معينة من المعادلات: تلك التي تحدد المنحنيات الإهليلجية على الأعداد النسبية . التخمين هو أن هناك طريقة بسيطة لمعرفة ما إذا كانت هذه المعادلات لها عدد محدود أو لا حصر له من الحلول العقلانية. تعاملت مسألة هيلبرت العاشرة مع نوع أكثر عمومية من المعادلات، وفي هذه الحالة ثبت أنه لا توجد طريقة لتحديد ما إذا كانت معادلة معينة لديها أي حلول.

البيان الرسمي للمشكلة قدمه أندرو ويلز . ^[10]

تخمين هودج

حدسية هودج هي أنه بالنسبة للمتنوعات الجبرية الإسقاطية ، فإن دورات هودج هي مجموعات خطية عقلانية من الدورات الجبرية .

${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X).}$

نحن نسمي هذه مجموعة فئات هودج من الدرجة 2 k على X .

البيان الحديث لحدسية هودج هو:

دع X يكون مشعبًا إسقاطيًا معقدًا غير مفرد. إذن كل فئة هودج على X عبارة عن مزيج خطي مع معاملات عقلانية لفئات علم التجانس من الأصناف الفرعية المعقدة لـ X.

البيان الرسمي للمشكلة قدمه بيير ديلين . ^[11]

نافير – ستوكس الوجود والنعومة

${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Variation}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Convection}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Inertia (per volume)}}\overbrace {-\underbrace {\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Diffusion}}=\underbrace {-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Internal}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Divergence of stress}}+\underbrace {\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}.}$

تصف معادلات نافييه -ستوكس حركة الموائع ، وهي إحدى ركائز ميكانيكا الموائع . إلا أن الفهم النظري لحلولها غير مكتمل، على الرغم من أهميتها في العلوم والهندسة. بالنسبة لنظام المعادلات ثلاثي الأبعاد، وبالنظر إلى بعض الشروط الأولية، لم يثبت علماء الرياضيات حتى الآن أن الحلول السلسة موجودة دائمًا. وهذا ما يسمى مشكلة الوجود والنعومة نافيير-ستوكس .

المشكلة، التي تقتصر على حالة السائل غير القابل للضغط ، هي إثبات وجود حلول سلسة ومحددة عالميًا تفي بشروط معينة، أو أنها لا توجد دائمًا وتنهار المعادلات. البيان الرسمي للمشكلة قدمه تشارلز فيفرمان . ^[12]

P مقابل NP

السؤال هو ما إذا كان بإمكان الخوارزمية أيضًا العثور على هذا الحل بسرعة، بالنسبة لجميع المشكلات التي يمكن للخوارزمية التحقق من حل معين لها بسرعة (أي في زمن متعدد الحدود )، أم لا. نظرًا لأن الأول يصف فئة المشكلات التي تسمى NP، بينما يصف الأخير P، فإن السؤال يعادل التساؤل عما إذا كانت جميع المشكلات في NP موجودة أيضًا في P. ويعتبر هذا عمومًا أحد أهم الأسئلة المفتوحة في الرياضيات وعلوم الكمبيوتر النظرية كما أن لها عواقب بعيدة المدى على مشاكل أخرى في الرياضيات ، وعلم الأحياء ، [ ^13] الفلسفة ^[14] والتشفير (انظر عواقب إثبات المشكلة P مقابل NP ). من الأمثلة الشائعة لمشكلة NP غير المعروفة في P هي مشكلة الإشباع المنطقي .

يتوقع معظم علماء الرياضيات وعلماء الكمبيوتر أن P ≠ NP؛ ومع ذلك، فإنه لا يزال غير مثبت. ^[15]

البيان الرسمي للمشكلة قدمه ستيفن كوك . ^[16]

فرضية ريمان

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$

دالة زيتا لريمان ζ(s) هي دالة قد تكون وسيطاتها أي رقم مركب غير 1، وقيمها معقدة أيضًا. استمرارها التحليلي له أصفار عند الأعداد الصحيحة الزوجية السالبة؛ أي أن ζ(s) = 0 عندما تكون s واحدة من −2، −4، −6، .... وتسمى هذه الأصفار التافهة. ومع ذلك، فإن الأعداد الصحيحة الزوجية السالبة ليست هي القيم الوحيدة التي تكون فيها دالة زيتا صفرًا. أما الباقي فيسمى بالأصفار غير البديهية. وتهتم فرضية ريمان بمواقع هذه الأصفار غير البديهية، وتنص على ما يلي:

الجزء الحقيقي من كل صفر غير بديهي في دالة زيتا لريمان هو 1/2.

فرضية ريمان هي أن جميع الأصفار غير البديهية للاستمرارية التحليلية لدالة _زيتا لريمان لها جزء حقيقي من ^1/2 . إن إثبات أو دحض هذا سيكون له آثار بعيدة المدى في نظرية الأعداد ، وخاصة بالنسبة لتوزيع الأعداد الأولية . كانت هذه هي المشكلة الثامنة لهيلبرت ، ولا تزال تعتبر مشكلة مفتوحة مهمة بعد قرن من الزمان.

لقد كانت هذه المشكلة معروفة جيدًا منذ أن طرحها برنهارد ريمان في عام 1860. وقد قدم إنريكو بومبيري شرح معهد كلاي للمشكلة . ^[17]

وجود يانغ ميلز والفجوة الجماعية

في نظرية المجال الكمي ، فجوة الكتلة هي الفرق في الطاقة بين الفراغ وحالة الطاقة الأدنى التالية . طاقة الفراغ هي صفر حسب التعريف، وبافتراض أنه يمكن اعتبار جميع حالات الطاقة كجسيمات في موجات مستوية، فإن فجوة الكتلة هي كتلة أخف الجسيم.

بالنسبة لمجال حقيقي معين ، يمكننا القول أن النظرية لها فجوة جماعية إذا كانت الدالة ذات النقطتين تمتلك هذه الخاصية ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)}$

مع كونها أدنى قيمة طاقة في طيف الهاملتوني وبالتالي فجوة الكتلة. هذه الكمية، التي يسهل تعميمها على مجالات أخرى، هي ما يتم قياسه بشكل عام في حسابات الشبكة. ${\displaystyle \Delta _{0}>0}$

نظرية كوانتوم يانغ-ميلز هي الأساس الحالي لغالبية التطبيقات النظرية للفكر على الواقع والحقائق المحتملة لفيزياء الجسيمات الأولية . ^[18] النظرية عبارة عن تعميم لنظرية ماكسويل في الكهرومغناطيسية حيث يحمل المجال الكهرومغناطيسي اللوني نفسه شحنة. وباعتبارها نظرية مجال كلاسيكية، فإن لديها حلولًا تنتقل بسرعة الضوء، لذا فإن نسختها الكمومية يجب أن تصف الجسيمات عديمة الكتلة ( الجلونات ). ومع ذلك، فإن ظاهرة الحبس اللوني المفترضة تسمح فقط بحالات محددة من الغلوونات، مما يشكل جسيمات ضخمة. هذه هي الفجوة الجماعية. جانب آخر من جوانب الحبس هو الحرية المقاربة التي تجعل من الممكن تصور وجود نظرية يانغ ميلز الكمومية دون قيود على مقاييس الطاقة المنخفضة. تكمن المشكلة في إثبات وجود نظرية يانج-ميلز الكمومية وفجوة الكتلة بدقة.

أثبت أنه بالنسبة لأي مجموعة قياس بسيطة مدمجة G، توجد نظرية يانغ-ميلز الكمومية غير التافهة ولها فجوة جماعية Δ > 0. يتضمن الوجود إنشاء خصائص بديهية على الأقل بنفس قوة تلك المذكورة في Streater & Wightman (1964)، ^[19] أوسترفالدر وشرايدر (1973)، ^[20] وأوسترفالدر وشرايدر (1975). ^[21]${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

البيان الرسمي للمشكلة قدمه آرثر جافي وإدوارد ويتن . ^[22]

أنظر أيضا

• تخمين بيل
• مشاكل هيلبرت
• قائمة جوائز الرياضيات
• قائمة المسائل غير المحلولة في الرياضيات
• مشاكل سمايل
• بول وولفسكيل (عرض عليه جائزة نقدية لحل نظرية فيرما الأخيرة )
• اي بي سي التخمين

مراجع

• تحتوي هذه المقالة على مادة من Millennium Issues على PlanetMath ، المرخصة بموجب ترخيص Creative Commons Attribution/Share-Alike .

قراءة متعمقة

• كارلسون، جيمس. جافي, آرثر ; ويلز، أندرو ، محررون. (2006). مشاكل جائزة الألفية. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات ومعهد كلاي للرياضيات . رقم ISBN 978-0-8218-3679-8.
• ديفلين، كيث ج. (2003) [2002]. مشاكل الألفية: أعظم سبعة ألغاز رياضية لم يتم حلها في عصرنا . نيويورك: الكتب الأساسية. رقم ISBN 0-465-01729-0.

روابط خارجية

• مشاكل جائزة الألفية